高三第一次模拟考试文科数学试卷
北京市崇文区高三第一次模拟考试文科数学试卷
第一卷（选择题，共40分）
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知向量a ＝（－5，3），b ＝（2，x ），且a//b ，则x 的值是
A. 6
5
B.
103
C. -65
D. -
103
2. 椭圆x y 2
2
4
1+=的准线方程是 A. x =±
43
3
B. y =±
43
3
C. y =±4
D. x =±4
3. 已知直线m 、n 及平面α、β，则下列命题正确的是 A.
m n //////αβαβ?
??
? B.
m m n n //////αα?
??
? C.
m m ⊥⊥?
??
?ααββ//
D.
m n m n ⊥?
??
?⊥αα// 4. 已知集合A x x x =-=-{|()}332，B x x x =-=-{|}33，p x A ：∈，q x B ：∈，则p 是q 的
A. 充分条件，但不是必要条件
B. 必要条件，但不是充要条件
C. 充分必要条件
D. 既不是充分条件，也不是必要条件 5. 方程x ＝sinx 在x ∈-[]ππ，上实根的个数为 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 已知θ是第二象限角，sin θ=45，则tan()θπ
-4
的值为 A. 7
B. -7
C.
1
7 D. -17
7. 等差数列{}a n 中，已知a a a S n 1281
2
5105=+==，，，则n 为 A. 20
B. 21
C. 210
D. 218
8. 已知函数f x ()是R 上的减函数，A （0，－2）、B （－3，2）是其图象上的
两点，则y f x y =-->|()|()220的图象可能是
A
B
C
D
第二卷（共110分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9. 若x y x y ≥≥+≤???
?
?1
26，则目标函数z x y =+2的最小值为_____________
10. 函数f x x x x x R ()cos (sin cos )()=-+∈222取得最大值时，自变量x 的集合是_____________
11. 小明上楼梯每步可以登一级或两级台阶，若小明上有四级台阶的楼梯，则有_____________种不同的走法。
12. 若()127+x 展开式的第三项为168，则x ＝_____________
13. 已知x R ∈，［x ］表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]1
2
0=，
则[]-=3_____________；使[]x -=13成立的x 的取值范围是_____________
14. 双曲线
x y 22
916
1-=的左、右焦点为F 1、F 2，则左焦点F 1到渐进线的距离为_____________，若双曲线上一点P 使得∠F PF 12为锐角，则P 点横坐标的取值范
围是_____________。
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题共12分
已知一次函数f x ax ()=-2
（I ）当a =3时，解不等式|()|f x <4； （II ）当函数g x f x x ()(sin )()
=-≤≤
26
3
π
π
的最大值为4，求实数a 的值。
16. （本小题共14分）
如图，直三棱柱ABC －A’B’C’中，CB ⊥平面ABB’A’，点E 是棱BC 的中点，AB ＝BC ＝AA’
（I ）求证直线CA’//平面AB’E； （II ）求二面角C －A’B’－B 的大小；
（III ）求直线CA’与平面BB’C’C 所成角的大小。
17. （本小题共13分） 已知数列{}a n 满足
a a n n n N n n n -=+-∈>11
1
1()*，，a 12= （I ）求证：数列{}a n 的通项公式为a n n n =+()1 （II ）求数列{
}1
a n
的前n 项和T n ； （III ）是否存在无限集合M ，使得当n M ∈时，总有||T n -<11
10
成立。若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。 18. （本小题共13分）
某足球赛事中甲乙两中球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜
利决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队，进入点球大战。现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都踢一球，假设在点球大战中双方每
名运动员进球概率均为3
4。求：
（I ）乙队踢进4个球的概率有多大？
（II ）5个点球过后是4：4或5：5平局的概率有多大？ 19. （本小题共14分）
已知f x ax x cx ()=++32是定义在R 上的函数，f x ()在［－1，0］和［4，5］上是减函数，在［0，2］上是增函数。 （I ）求c 的值； （II ）求a 的取值范围；
（III ）在函数f x ()的图象上是否存在一点M （x 0，y 0），使得曲线y f x =()在点M 处的切线的斜率为3，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。 20. （本小题共14分）
过抛物线x px p 220=>()的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点
（I ）证明：?ABO 是钝角三角形； （II ）求?ABO 面积的最小值；
（III ）过A 点作抛物线的切线交y 轴于点C ，求线段AC 中点M 的轨迹方程。