绝对值不等式练习题

绝对值的不等式

一、选择题（8分×6=48分）

1.不等式243<-x 的整数解的个数为 ( )

A 0

B 1

C 2

D 大于2

2.函数22--=x x y 的定义域是 ( )

A ]2,2[-

B ),2[]2,(+∞--∞

C ),1[]1,(+∞--∞

D ),2[+∞

3.设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 ( )

A ．a ＝1，b ＝3

B ．a ＝－1，b ＝3

C ．a ＝－1，b ＝－3 23

,21

.==b a D

4.若两实数y x ,满足0+ C y x y x -<- D.x

y y x -<+

5.已知,b c a <-且,0≠abc 则 ( )

A c b a +<

B b c a ->

C c b a +<

D c b a ->

6.)(13)(R x x x f ∈+=,当b x <-1有),,(4)(+∈<-R b a a x f

则b a ,满足 ( ) A 3a

b ≤ B 3b

a ≤ C 3a

b > D 3b

a ≥

二、填空题（8分×2=16分）

7.不等式x x ->+512的解集是

8.不等式x x

x x ->-11的解集是

三、解答题（18分×2=36分）

9.解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x

10．已知a x x x f +-++=|2||1|)(，（1）当5-=a 时，求)(x f 定义域；

（2）若)(x f 的定义域为R ，求a 的取值范围。

附加题：（10分×2=20分）

1.若不等式|1|75+>-x x 与不等式022

>-+bx ax 同解，而k b x a x ≤-+-||||的解集为非φ，求实数k 的取值范围

2.当10<a a

选修4-5不等式高考题汇编

选修4-5不等式选讲高考题汇编 1. (2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04 12=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是_______. 2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。（1）作出函数)(x f y =的 图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。 3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3 3 3 11123a b c + + +abc ≥． 4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：3 6)111( 2 2 2 2≥+ + +++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何 值时，等号成立。 5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。 选修4-5不等式选讲高考题汇编 1、(2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04 12=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是_______. 2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。（1）作出函数)(x f y =的 图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。 3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3 3 3 11123a b c + + +abc ≥． 4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：3 6)111( 2 2 2 2≥+ + +++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何 值时，等号成立。 5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。

绝对值不等式例题解析

典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤x 时，原不等式化为 2321-->+x x ．∴6<-+-有解的条件为32 7<-a ，即1>a ； 当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ；

当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1

高考数学全国卷选做题之不等式

2010——2016《不等式》高考真题 2010全国卷设函数f(x)=241 x-+ （Ⅰ)画出函数y=f(x)的图像； （Ⅱ）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. 2011全国卷设函数()||3 =-+，其中0 f x x a x a>． （I）当a=1时，求不等式()32 ≥+的解集． f x x （II）若不等式()0 x≤-，求a的值． f x≤的解集为｛x|1}

2012全国卷已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|. (Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。 2013全国卷Ⅰ 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. （Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集； （Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12 )时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.

2013全国卷Ⅱ 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)2221a b c b c a ++≥. 2014全国卷Ⅰ 若,0,0>>b a 且ab b a =+11 （I ）求33b a +的最小值； （II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.

2014全国卷Ⅱ设函数() f x=1(0) ++-> x x a a a （Ⅰ）证明：() f<，求a的取值范围. f x≥2 （Ⅱ）若()35 2015全国卷Ⅰ已知函数=|x+1|-2|x-a|，a>0. （Ⅰ）当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； （Ⅱ）若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围

2021年高考数学大数据分析预测高考中常见的不等式(选做题)解法

2021年高考数学大数据分析预测 高考中常见的不等式（选做题）的解法 目录 一、基础知识点： (2) 二、七种含有绝对值的不等式 (2) )()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 (2) 题型二：形如)0()(>><型不等式 (3) ()(x g x f < (3) )()(),()(x f x f x f x f ><型不等式 (3) c n x m x c n x m ≥-+-≥---,恒成立型不等式. (4) a x g x <±)()(型不等式 (4) 三、2011—2020年十年高考题（不等式选做） (5) 题型一：绝对值不等式的求解 (5) 题型二：含绝对值不等式的恒成立问题 (8) 题型三：不等式的证明 (14) 四、大数据分析预测高考 (18)

一、基础知识点： 绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 绝对值不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ?a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c . 3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 绝对值不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|a x ＋b|≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 二、七种含有绝对值的不等式 题型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时，a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集.

不等式选讲内容题型大全不看后悔

不等式选讲内容题型大全不看后悔 1.绝对值不等式的解法 一．简单的去绝对值情形 1．不等式：32-x ≤1的解集是_______ ___． 2.不等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _． 3.解不等式：312>-+ x x 的解集是_______ _ _． 4．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围为 。 5．设集合{}1,A x x a x = -<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ?，则实数,a b 必满足（ ）． Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤ Ｄ．3a b -≥ 6. 不等式： 123-<+x x 的解集是_______ _ _． 7．（2007广东，14）（不等式选讲选做题） 设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 。 8.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 解不等式：|21|3x x +-< 9. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分） 选修4-5不等选讲 设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集； (2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。 二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值 例：1. 不等式130x x +--≥的解集是___ ___. 2.（2011年高考广东卷理科9)不等式 130x x +--≥的解集是______. 3. （2009广东14)不等式1| 2||1|≥++x x 的实数解为 . 4.若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。

不等式选做题

不等式选做题 一．解答题（共4小题） 1．已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 2．设函数f（x）＝|x+3|，g（x）＝|x﹣3|． （1）解不等式f（x）＜g（x）+2； （2）若不等式f（x）+g（x）≥ax+4的解集包含[﹣3，3]，求a的取值范围．

3．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|＜4的解集为M． （1）求集合M； （2）设实数a∈M，b?M，证明：|ab|+1≤|a|+|b|． 4．已知函数f（x）＝2|x+4|﹣|x﹣1|． （1）求不等式f（x）≤1的解集； （2）当x＞1时，f（x）＞﹣x2+ax，求a的取值范围．

不等式选做题答案 一．解答题（共4小题） 1．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，由f（x）＞1， ∴或， 解得x＞， 故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2， ∵x∈（0，1）， ∴a＞0， ∴0＜x＜， ∴a＜ ∵＞2， ∴0＜a≤2， 故a的取值范围为（0，2]． 2．【解答】解：（1）当x≤﹣3时，﹣x﹣3＜﹣x+3+2，即﹣3＜5，所以x≤﹣3； 当﹣3＜x＜3时，x+3＜﹣x+3+2，解得﹣3＜x＜1； 当x≥3时，x+3＜x﹣3+2不成立， 综上，不等式的解集为（﹣∞1） （2）条件等价于当x∈[﹣3，3]时，f（x）+g（x）≥ax+4，

基本不等式应用题

基本不等式应用题 最值问题 一．教学目标：1．进一步掌握用均值不等式求函数的最值问题； 2．能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题。 二．教学重点、难点：化实际问题为数学问题。 三．教学过程： （一）复习：1．均值不等式： 2．极值定理： （一）练习题 1、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。 2、已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。 3、已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。 4、已知0,>y x ，且211=+y x ，求y x 2+的最小值。 5、已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。 6、（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。 7 3+1,a b R x y x y ∈+=+已知a,b,x,y ，且 求的最小值 （二）新课讲解： 例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，1.4,2224,24x y x y x y x y +=++=+已知求的最小值。 变式题：已知求的最小值。22222.,4,log log ,24,log log x y R x y x y x y R x y x y ++∈+=+∈+=+已知、求的最大值。变式题：已知、求的最大值。

所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 例3．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总 造价是多少元？ 例4．如图，设矩形()ABCD AB AD >的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后，交DC 于P ，设AB x =，求ADP ?的最大面积及相应的x 值。 例5．甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小．．时的运输成本．．．．．． （以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度x （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元， （1）把全程运输成本．．．．．．y （元）表示为速度x （千米/时）的函数，指出定义域； （2）为了使全程运输成本．．．．．． 最小，汽车应以多大速度行驶？

选修4-5 绝对值不等式教案(绝对经典)

选修4-5 不等式选讲 第1节绝对值不等式 【最新考纲】 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 要点梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集 (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 基础自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.()

(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当10，|x－1|

高中数学高考题详解-基本不等式

考点29 基本不等式 一、选择题 1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3 ）63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.2 9 C.3 D. 2 2 3 【解题指南】直接利用基本不等式求解. 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时, 2 9263)6)(3(=++-≤ +-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23 =a 时取等号. 2. （2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当 xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C. 94 D.3 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212x y z +-，进而再利用基本不等式求出2 12x y z +-的最值. 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以 22 14343xy xy x y z x xy y y x ==-++ -1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =z xy . xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=2 11122412y y ??+- ? ?≤= ? ??? . 3. （2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，

则当 z xy 取得最大值时，2x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.9 8 C.2 D.94 【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y 来表示z ，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2x y z +-，进而再利用基本不等式求出2x y z +-的最值. 【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以1342344322=-?≥-+=+-=x y y x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x = ， 即2x y =时取等号此时22y z =， 所以()2222222422222 22=?? ? ??-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ， 当且仅当y=2-y 时取等号. 4.(2013·福建高考文科·T7)若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( ) A ．[]0,2 B ．[]2,0- C ．[)2,-+∞ D ．(],2-∞- 【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式. 【解析】选D. ≤2x +2y =1,所以2x+y ≤14 ,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2. 二、填空题 5. （2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)a f x x x a x =+>>在3x =时取得最小值，则a =____________。 【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x =代入即可. 【解析】由题()4(0,0)a f x x x a x =+>>，根据基本不等式4a x x +≥

绝对值不等式的证明及练习

绝对值不等式的证明 知识与技能： 1. 理解绝对值的三角不等式， 2．应用绝对值的三角不等式． 过程方法与能力： 培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力. 情感态度与价值观： 让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。 教学重点：理解绝对值的三角不等式 应用绝对值的三角不等式． 教学难点：应用绝对值的三角不等式． 教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4）)0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0

含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。 定理（绝对值三角形不等式） 如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当a b 、为复数或向量时结论也成立. 特别注意等号成立的条件. 定理推广： 1212≤n n a a a a a a ++++++ . 当且仅当都12n a a a ，，，非正或都非负时取等号. 探究：利用不等式的图形解不等式 1. 111<--+x x ; 2．.12≤+y x 3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34-+-x x

(完整版)2019年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲

14 2019 年全国高考理科数学试题分类汇编 16：不等式选讲 一、填空题 1. ．（2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数 x 的不等式 x - 5 + x + 3 < a 无解,则实数 a 的取值范围是 【答案】(-∞,8] 2. ．（2019 年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知 a , b , m , n 均为正数, 且 a +b =1, mn =2, 则 (am +bn )(bm +an )的最小值为 . 【答案】2 3. ．（2019 年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式 【答案】 [0, 4] x - 2 -1 ≤ 1的解集为 4. ．（2019 年高考湖北卷（理））设 x , y , z ∈ R ,且满足: x 2 + y 2 + z 2 = 1, x + 2 y + 3z = ,则 x + y + z = . 【答案】 7 二、解答题 5. ．（2019 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））选修 4—5;不等式选 讲 设 a , b , c 均为正数,且 a + b + c = 1,证明: 1 a 2 b 2 c 2 (Ⅰ) ab + bc + ca ≤ ; (Ⅱ) 3 + + ≥ 1. b c a 【答案】 3 14

6.．（2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修 4-5:不等式选讲 已知函数f (x)= x -a ,其中a > 1 . (I)当a=2 时,求不等式f (x)≥ 4 = x - 4 的解集; (II)已知关于x 的不等式{f (2x +a)- 2 f (x)}≤ 2 的解集为{x |1 ≤x ≤ 2},求a 的值. 【答案】 7.．（2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版））不等式选讲:设不等式 x - 2 0,求证: 2a3-b3≥ 2ab 2-a 2b [必做题]第 22、23 题,每题 10 分,共 20 分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3 2 1 2

不等式选讲内容题型大全不看后悔之欧阳光明创编

不等式选讲内容题型大全不看后悔 欧阳光明（2021.03.07） 1.绝对值不等式的解法 一．简单的去绝对值情形 1．不等式：32-x ≤1的解集是_______ ___． 2.不等式：1-x ≥3的解集是_______ _ _． 3.解不等式：312>-+x x 的解集是_______ _ _． 4．（2008·山东高考题）若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围为。 5．设集合{}1,A x x a x =-<∈R ，{}2,B x x b x =->∈R ．若A B ?，则实数,a b 必满足（ ）． Ａ．3a b +≤ Ｂ．3a b +≥ Ｃ．3a b -≤ Ｄ．3a b -≥ 6. 不等式：123-<+x x 的解集是_______ _ _． 7．（2007广东，14）（不等式选讲选做题） 设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则=；若5)(≤x f ，则x 的取 值范围是。 8.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题 满分10分） 解不等式：|21|3x x +-< 9. (2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10 分） 选修4-5不等选讲

设函数0,3)(>+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集； (2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。 二．只涉及两个绝对值，不再有其它项时，用平方法去绝对值 例：1. 不等式130x x +--≥的解集是______. 2.（2011年高考广东卷理科9)不等式130x x +--≥的解集是______. 3. （2009广东14)不等式1| 2||1|≥++x x 的实数解为. 4.若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。 5.(2009山东卷理)不等式0212<---x x 的解集为. . 6.【2012高考真题湖南理10】不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 三．涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值 1.不等式：|||1|3x x +->的解集是_______ _ _． 2．不等式 的解集为. 3. 不等式|21|2|432|+-≥-x x 的解集是_______ _ _． 4．对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为________ 5．（2009福建选考21（3）） 解不等式∣2x-1∣<∣x ∣+1 6.【2012高考真题广东理9】不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____．

数学选做题(不等式选讲,极坐标与参数方程)

选做题(一) 极坐标与参数方程 1、已知直线l 的参数方程是??? ????+==242222t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(22πθρ+=，(1)求圆心C 的直角坐标 (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系。 2、坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为： 21)6sin(=-πθρ，曲线C 的参数方程为：???? =?+=sin 2cos 22y x (α为参数) (1)写出直线l 的直角坐标方程 (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值。 3、在平面直角坐标系中，坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程是??? ????=+=t y t x 21232(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2= (1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程 (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最值。 4、已知曲线1C 的参数方程? ??==θθsin 3cos 2y x (θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2=ρ (1)分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程 (2)已知M ，N 分别为曲线1C 的上下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PN PM +最大值 5、已知直线? ???=?+=sin cos 1:t y t x l ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2)sin 1(22=+θρ (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系 (2)已知点P(1，0)，当4π =?时，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当4 3π=?时，直线l 与曲线C 交于E ，F 两点，求PF PE PB PA +的值。

选做题 绝对值不等式

选做题 不等式选讲【选修4-5】 ·定义：一个数在数轴上所对应的点到原点的距离。 ·去绝对值：?? ???→→→00相反数负数本身正数 一、主要考试范围 多以绝对值不等式为命题载体，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围。 二、结合例题说思路 （1）（2018年全国一卷文数）（10分） 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()11f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集； （2）若()01x ∈， 时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． ·思路解答： （1） ①分段函数法（零点分段法）：去绝对值符号+分类讨论(并集思想) ②画图法：分段函数的解析式+结合图像判断 （2）恒成立：

①移参 ②判断非参的最值（根据不等号去值） 补充：恒成立问题：小小取小，大大取大 ③把最值代进去求 参考答案 解：（1）①（去绝对值）当 1a =时，()|1||1f x x x =+--，即 2,1,()2,11, 2,1.x f x x x x -≤-??=-<的解集为1{|}2 x x >． ②（画图法） （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以2 1a ≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]． （2）(2017年全国一卷)(10分)

23.已知函数f（x）=-x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x-1|. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[-1,1],求a的取值范围。 参考答案：（1）当a=1时，不等式f（x）≥g（x）等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x＜-1时，①式化为x2-3x-4≤0，无解； 当-1≤x≤1时，①式化为x2-x-2≤0，从而-1≤x≤1； 当x＞1时，①式化为x2+x-4≤0，从而1＜x≤ 217 1-+。 所以f（x）≥g（x）的解集为{x|-1＜x≤ 217 1-+}。 (2)当x∈[-1,1]时，g（x）=2. 所以f（x）≥g（x）的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f（x）≥2. 又f（x）在[-1,1]的范围上最小值必为f（-1）与f （1）之一， 所以f（-1）≥2且f（1）≥2，得-1≤a≤1. 所以a的取值范围为[-1,1]. （3）（2016年全国一卷（10分）） 24.已知函数f（x）=|x+1|-|2x-3|。 （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出y=f（）的图像；

高三选做题参数方程22,不等式23题练习(11月)

1.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin , x t y t αα=??=+?（t 为参数）.以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 0ρθθ-=. （1）写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()0,1P ，点) Q ，直线l 过点Q 且与曲线C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求PM 的值. 2.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1:4cos 02C πρθθ??=≤< ?? ?，2:cos 3C ρθ=. ()Ⅰ求1C 与2C 交点的极坐标； ()Ⅱ设点Q 在1C 上，23 OQ QP =，求动点P 的极坐标方程. 3.已知曲线1C 的参数方程是2cos ,3sin x y ??=??=? （?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π ． （1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； （2）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PA PB PC PD +++的取值范围． 4.在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠．以O 为极点， x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=． （Ⅰ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且2MA MB =，求直线l 的斜率k ．

含有绝对值的不等式典型例题分析

含有绝对值的不等式·典型例题分析 例1 求下列函数的定义域和值域： 分析利用绝对值的基本概念． 解 (1)x+|x|≠0，即|x|≠-x．∴x＞0． ∴定义域为(0，+∞)，值域为(0，+∞)． (2)|x|≥x，x∈R．|x|-x≥0，∴y∈[0，+∞)． (3)x+|x|＞0，x∈R+．y∈R． 画出函数图象如图5-17所示．不难看出，x∈R，y∈[-1，1]． 说明本例中前三个易错，第四个要分析写出函数表达式，并画出函数图象，此法在求值域时常用． 例2 解不等式|x+1|＞|2x-3|-2．

将不等式中的绝对值符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式(组)，再去求解．去绝对值符号的关键是找零点(使绝对值等于零的那个数所对应的点)，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． (1)当x≤-1时原不等式化为-(x+1)＞-(2x-3)-2． ∴x＞2与条件矛盾，无解． 综上，原不等式的解为{x|0＜x＜6}． 注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 例3 解不等式|x2-4|＜x+2． 分析解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：

二是根据绝对值的性质：|x|＜a?-a＜x＜a，|x|＞a?x＞a或x＜-a，因此本题有如下两种解法． ∴2≤x＜3或1＜x＜2 故原不等式的解集为{x|1＜x＜3}． 解法二原不等式等价于-(x+2)＜x2-4＜x+2 例4 求使不等式|x-4|+|x-3|＜a有解的a的取值范围． 分析此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一将数轴分为(-∞，3]，[3，4]，(4，+∞)三个区间 当3≤x≤4 时，得(4-x)+(x-3)＜a，即a＞1；

利用基本不等式解高考选做题

利用基本不等式解高考选做题 引入：用基本不等式证明不等式 用基本不等式证明不等式，要分析不等式的左右结构特征，通过拆(添)项创设一个应用基本不等式的条件． 【例1】 已知a ，b ，c 都是实数． 求证：a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥1 3(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca . 证明：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 在①式两边同时加上(a 2＋b 2＋c 2)得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2， 即a 2 ＋b 2 ＋c 2 ≥1 3(a ＋b ＋c )2. 在②式两边同时加上2(ab ＋bc ＋ca )得 (a ＋b ＋c )2≥3(ab ＋bc ＋ca )， 即1 3(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca . ∴由③④可得 a 2＋ b 2＋ c 2≥1 3(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca . 方法点评：利用不等式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b ≥2ab (a ＞0，b ＞0)时，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用． 变式训练1．已知a ，b ，c ∈R ＋ 且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.

证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ?? ??c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝1 3时取等号． 高考衔接 （2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））（不等 式选讲） 设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤1 3； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2 a ≥1. 【解题指南】(1)将1a b c ++=两边平方，化简整理，借助不等式的性质，即得结论. (2) 证222 1a b c b c a ++≥，也即证222+.a b c a b c b c a +≥++ 可分别证222 +2,2,2,a b c b a c b a c b c a ≥+≥+≥然后相加即得. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤1 3. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2 a ＋a ≥2c ， 故a 2 b ＋b 2 c ＋c 2 a ＋(a ＋ b ＋ c )≥2(a ＋b ＋c )，