阶段性测试题八(平面解析几何)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。)
1.(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)“a =2”是“直线2x +ay -1=0与直线ax +2y -2=0平行”的( )
A .充要条件
B .充分不必要条件
C .必要不充分条件
D .既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 两直线平行的充要条件是2a =a 2≠-1-2,即两直线平行的充要条件是a =±2.故a
=2是直线2x +ay -1=0与直线ax +2y -2=0平行的充分不必要条件.
[点评] 如果适合p 的集合是A ,适合q 的集合是B ,若A 是B 的真子集,则p 是q 的充分不必要条件,若A =B ,则p ,q 互为充要条件,若B 是A 的真子集,则p 是q 的必要不充分条件.
2.(2011·福州市期末)若双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该
双曲线的离心率为( )
A. 5 B .5 C. 2 D .2
[答案] A
[解析] 焦点F (c,0)到渐近线y =b a
x 的距离为d =bc a 2+b 2
=2a ,两边平方并将b 2=c 2
-a 2
代入得c 2
=5a 2
,∵e =c a
>1,∴e =5,故选A.
3.(2011·黄冈期末)已知直线l 交椭圆4x 2
+5y 2
=80于M 、N 两点,椭圆与y 轴的正半轴交于B 点,若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线l 的方程是( )
A .6x -5y -28=0
B .6x +5y -28=0
C .5x +6y -28=0
D .5x -6y -28=0
[答案] A
[解析] 由椭圆方程x 220+y 2
16=1知,点B (0,4),右焦点F (2,0),
∵F 为△BMN 的重心,∴直线BF 与MN 交点D 为MN 的中点,
∴BD →=32
BF →
=(3,-6),
又B (0,4),∴D (3,-2),将D 点坐标代入选项检验排除B 、C 、D ,选A.
4.(2011·江西南昌调研)直线l 过抛物线y 2
=2px (p >0)的焦点F ,且与抛物线交于A 、
B 两点,若线段AB 的长是8,AB 的中点到y 轴的距离是2,则此抛物线方程是( )
A .y 2
=12x B .y 2
=8x C .y 2=6x D .y 2
=4x
[答案] B
[解析] 设AB 中点为M ,A 、M 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、M 1、B 1,则
2|MM 1|=|AA 1|+|BB 1|=|AF |+|BF |=|AB |=8, ∴|MM 1|=4,又|MM 1|=p
2+2,∴p =4,
∴抛物线方程为y 2
=8x .
5.(2011·福州市期末)定义:平面内横坐标为整数的点称为“左整点”.过函数y =9-x 2
图象上任意两个“左整点”作直线,则倾斜角大于45°的直线条数为( ) A .10 B .11 C .12 D .13
[答案] B
[解析] 依据“左整点”的定义知,函数y =9-x 2
的图象上共有七个左整点,如图过两个左整点作直线,倾斜角大于45°的直线有:AC ,AB ,BG ,CF ,CG ,DE ,DF ,DG ,EF ,
EG ,FG 共11条,故选B.
6.(文)(2011·巢湖质检)设双曲线y 2m -x 2
2
=1的一个焦点为(0,-2),则双曲线的离心
率为( )
A. 2 B .2 C. 6 D .2 2
[答案] A
[解析] 由条件知m +2=4,∴m =2, ∴离心率e =
22= 2.
(理)(2011·山东潍坊一中期末)已知抛物线y 2
=2px (p >0)与双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1有相同的
焦点F ,点A 是两曲线的交点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为( )
A.
5+1
2
B.3+1
C.2+1
D.
22+1
2
[答案] C
[解析] 由AF ⊥x 轴知点A 坐标为? ??
??p 2,p ,代入双曲线方程中得,p 24a 2-p 2
b 2=1,∵双曲线与抛物线焦点相同,∴
c =p
2,即p =2c ,又b 2
=c 2
-a 2
,∴4c 24a 2-4c
2
c 2-a
2=1,
由e =c a
代入整数得,e 4-6e 2
+1=0, ∵e >1,∴e 2
=3+22,∴e =2+1.
7.(2011·烟台调研)与椭圆x 2
4+y 2
=1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )
A.x 2
4-y 2
=1 B.x 2
2-y 2
=1 C.x 23-y 23=1 D .x 2
-y 2
2
=1
[答案] B
[解析] 椭圆的焦点F 1(-3,0),F 2(3,0), 由双曲线定义知2a =|PF 1|-|PF 2|=2+3
2
+1-2-3
2
+1=8+43
-8-43=22,
∴a =2,∴b 2
=c 2
-a 2
=1,
∴双曲线方程为x 2
2
-y 2
=1.
8.(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)椭圆x 2
4
+y 2
=1的焦点为F 1,F 2,点M 在椭圆上,
MF 1→·MF 2→
=0,则M 到y 轴的距离为( )
A.23
3 B.26
3
C.33
D. 3
[答案] B
[分析] 条件MF 1→·MF 2→
=0,说明点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,点M 又在椭圆上,通过方程组可求得点M 的坐标,即可求出点M 到y 轴的距离.
[解析] 椭圆的焦点坐标是(±3,0),点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上,该圆的方程是x 2
+y 2
=3,即y 2
=3-x 2
,代入椭圆得x 2
4+3-x 2=1,解得x 2
=83,即|x |=263
,此即点M
到y 轴的距离.
[点评] 满足MF →·MB →
=0(其中A ,B 是平面上两个不同的定点)的动点M 的轨迹是以线段
AB 为直径的圆.
(理)(2011·山东实验中学期末)已知双曲线的两个焦点为F 1(-10,0),F 2(10,0),
M 是此双曲线上的一点,且MF 1→·MF 2→=0,|MF 1→|·|MF 2→
|=2,则该双曲线的方程是( )
A.x 2
9-y 2
=1 B .x 2
-y 2
9=1
C.x 23-y 27=1
D.x 27-y 2
3
=1 [答案] A
[解析] 由条件知,MF 1→⊥MF 2→,∴|MF 1→|2+|MF 2→|2=|F 1F 2→|2=(210)2
=40, (|MF 1→|-|MF 2→|)2=|MF 1→|2+|MF 2→|2-2|MF 1→|·|MF 2→|=40-2|MF 1→|·|MF 2→
|=36, ∴||MF 1|-|MF 2||=6=2a ,∴a =3,
又c =10,∴b 2
=c 2
-a 2
=1,∴双曲线方程为x 2
9
-y 2
=1.
9.(2011·宁波市期末)设双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点.若
以F 为圆心,FO 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点A (不同于O 点),则△OAF 的面积为( )
A .ab
B .bc
C .ac D.a 2b c
[答案] A
[解析] 由条件知,|FA |=|FO |=c ,即△OAF 为等腰三角形,F (c,0)到渐近线y =b a
x 的距离为b ,∴OA =2a ,
∴S △OAF =1
2
×2a ×b =ab .
10.(2011·北京朝阳区期末)已知圆的方程为x 2
+y 2
-2x +6y +8=0,那么下列直线中经过圆心的直线方程为( )
A .2x -y +1=0
B .2x +y +1=0
C .2x -y -1=0
D .2x +y -1=0
[答案] B
[解析] 将圆心(1,-3)坐标代入直线方程检验知选B.
11.(文)(2011·江西南昌调研)设圆C 的圆心在双曲线x 2a 2-y 2
2
=1(a >0)的右焦点上,且
与此双曲线的渐近线相切,若圆C 被直线l :x -3y =0截得的弦长等于2,则a =( )
A.14
B. 6
C. 2 D .2
[答案] C
[解析] 由条件知,圆心C (a 2
+2,0),C 到渐近线y =
2
a
x 的距离为d =
2
a 2+2
2+a
2
=2为⊙C 的半径,又截得弦长为2,∴圆心C 到直线l :x -3y =0的距离a 2+2
2
=1,
∴a 2
=2,∵a >0,∴a = 2.
(理)(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)直线y =kx +3与圆(x -3)2+(y -2)2
=4相交于M ,
N 两点,若|MN |≥23,则k 的取值范围是( )
A.????
??-34,0 B.?
????-∞,-34∪[0,+∞) C.???
?
??-
33,33 D.????
??-23,0
[答案] A
[解析] 由条件知,圆心(3,2)到直线y =kx +3的距离不大于1,∴|3k -2+3|
1+k 2
≤1,解之得-3
4
≤k ≤0.
12.(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C :y =2x 2
,点A (0,-2)及点B (3,a ),从点
A 观察点
B ,要使视线不被曲线
C 挡住,则实数a 的取值范围是( )
A .(4,+∞)
B .(-∞,4]
C .(10,+∞)
D .(-∞,10]
[答案] D
[解析] 过点A (0,-2)作曲线C :y =2x 2
的切线, 设方程为y =kx -2,代入y =2x 2
得, 2x 2
-kx +2=0,令Δ=k 2
-16=0得k =±4, 当k =4时,切线为l ,
∵B 点在直线x =3上运动,直线y =4x -2与x =3的交点为M (3,10),当点B (3,a )满足a ≤10时,视线不被曲线C 挡住,故选D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2011·广东高州市长坡中学期末)若方程x 24-k +y 2
6+k =1表示焦点在x 轴上的椭圆,
则k 的取值范围是________.
[答案] (-6,-1)
[解析] 由题意知,4-k >6+k >0,∴-6 14.(文)(2011·浙江宁波八校联考)已知F 1、F 2是双曲线的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形,MF 1的中点A 在双曲线上,则双曲线的离心率是________. [答案] 3+1 [解析] 由条件知,|F 1F 2|=2c ,|AF 1|=c , ∴|AF 2|=3c , 由双曲线定义知,|AF 2|-|AF 1|=2a , ∴3c -c =2a ,∴e =c a = 2 3-1 =3+1. (理)(2011·重庆南开中学期末)设双曲线x 2 -y 2 3 =1的左右焦点分别为F 1、F 2,P 是直线 x =4上的动点,若∠F 1PF 2=θ,则θ的最大值为________. [答案] 30° [解析] F 1(-2,0)、F 2(2,0),不妨设P (4,y ),y >0,过P 作PM ⊥x 轴,垂足为M ,设 ∠F 1PM =β,∠F 2PM =α,则θ=β-α,∴tan θ=tan(β-α)=tan β-tan α 1+tan βtan α= 6y - 2y 1+6y · 2 y = 4 y +12y ≤4212=33,∴θ≤30°. 15.(文)(2011·黑龙江哈六中期末)设抛物线y 2 =8x 的焦点为F ,过点F 作直线交抛物线于A 、B 两点,若线段AB 的中点E 到y 轴的距离为3,则AB 的长为________. [答案] 10 [解析] 2p =8,∴p 2=2,∴E 到抛物线准线的距离为5,∴|AB |=|AF |+|BF |=2×5 =10. (理)(2011·辽宁大连联考)已知抛物线“y 2 =4x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为M ,N 为抛物线上的一点,且满足|NF |= 3 2 |MN |”,则∠NMF =________. [答案] π6 [解析] 设N 在准线上射影为A ,由抛物线的定义与条件知,|NA |=|NF |= 32|MN |,∴∠AMN =π3,从而∠NMF =π6 . 16.(文)(2011·湖南长沙一中月考)直线l :x -y =0与椭圆x 2 2+y 2 =1相交A 、B 两点, 点C 是椭圆上的动点,则△ABC 面积的最大值为________. [答案] 2 [解析] 设与l 平行的直线方程为x -y +a =0,当此直线与椭圆的切点为C 时,△ABC 的面积最大,将y =x +a 代入x 2 2+y 2=0中整理得,3x 2+4ax +2(a 2-1)=0,由Δ=16a 2 - 24(a 2 -1)=0得,a =±3,两平行直线x -y =0与x -y +3=0的距离d =6 2 ,将y =x 代入x 2 2+y 2 =1中得,x 1=-63,x 2=63 , ∴|AB |=1+1| 63-(-63)|=43 3 , ∴S △ABC =12|AB |·d =12×433×6 2 = 2. (理)(2011·湖北荆门调研)已知P 为椭圆C :x 225+y 2 16=1上的任意一点,F 为椭圆C 的 右焦点,M 的坐标为(1,3),则|PM |+|PF |的最小值为________. [答案] 5 [解析] 如图,连结F 1M ,设直线F 1M 与C 交于P ,P ′是C 上任一点,则有 |PF 1|+|PF |=|P ′F 1|+|P ′F |, 即|PM |+|MF 1|+|PF |=|P ′F 1|+|P ′F |, ∵|P ′F 1|≤|P ′M |+|MF 1|, ∴|PM |+|PF |≤|P ′M |+|P ′F |, 故P 点是使|PM |+|PF |取最小值的点, 又M (1,3),F 1(-3,0),∴|MF 1|=5, ∴|PM |+|PF |=|PF 1|+|PF |-|MF 1|=2×5-5=5. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2011·山东潍坊一中期末)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦 点为F 1,F 2,椭圆上一点M ? ????263 ,33满足MF 1→·MF 2→ =0. (1)求椭圆的方程; (2)若直线L :y =kx +2与椭圆恒有不同交点A 、B ,且OA →·OB → >1(O 为坐标原点),求k 的取值范围. [解析] (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0), MF 1→ =? ? ???-c - 263,-33,MF 2→=? ???? c -263,-33, ∵MF 1→·MF 2→=0,∴-c 2 +? ????2632+? ?? ??332=0, ∴c 2 =3,∴a 2 -b 2 =3① 又点M 在椭圆上,∴83a 2+13b 2=1② ①代入②得 83a 2+1 3 a 2 -3 =1, 整理得,a 4 -6a 2 +8=0,∴a 2 =2或a 2 =4, ∵a 2 >3,∴a 2 =4,b 2 =1, ∴椭圆方程为x 2 4 +y 2 =1. (2)由??? ?? x 2 4+y 2=1 y =kx +2 , 消去y 解得? ?? ??14+k 2x 2 +22kx +1=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则OA →·OB → =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2) =(1+k 2 )x 1x 2+2k (x 1+x 2)+2=6-4k 2 1+4k 2>1, ∴k 2<58,又由Δ=k 2-14>0得k 2>1 4, ∴14 ,-12∪? ????12,104. 18.(本小题满分12分)(2010·湖北文)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点 F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程; (2)是否存在正数m ,对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任一直线,都有FA →·FB → <0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] (1)设P (x ,y )是曲线C 上任意一点,那么点P (x ,y )满足: x -1 2 +y 2 - x =1(x >0) 化简得y 2 =4x (x >0) (2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).设l 的方程为x =ty +m , 由??? ?? x =ty +m y 2 =4x 得y 2 -4ty -4m =0, 此时Δ=16(t 2 +m )>0. 于是? ?? ?? y 1+y 2=4t y 1·y 2=-4m ① 又FA →=(x 1-1,y 1),FB → =(x 2-1,y 2) FA → ·FB → <0?(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=x 1·x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2<0② 又x =y 2 4 ,于是不等式②等价于 y 214 ·y 22 4+y 1y 2-(y 214+y 22 4 )+1<0 ? y 1y 2 2 16 +y 1y 2-14 [(y 1+y 2)2 -2y 1y 2]+1<0③ 由①式,不等式③等价于m 2 -6m +1<4t 2 ④ 对任意实数t,4t 2 的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2 -6m +1<0,即3-22 由此可知,存在正数m ,对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ,B 的任意一直线,都有FA →·FB → <0,且m 的取值范围是(3-22,3+22). 19.(本小题满分12分)(2011·巢湖市质检)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为2 2 ,