同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)3811

411

02---

解 3

811411

02---

2(4)30(1)(1)118 0

132(1)8

1(

4)

(1)

248164

4

(2)b a c a

c b c

b a

解 b

a c a c

b c

b a

acb bac cba bbb aaa ccc

3abc a 3b 3c 3

(3)2221

11c b a c

b a

解 2

221

11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2

(a

b )(b

c )(c a )

(4)y x y x x

y x y y

x y x +++

解 y x y x x y x y y

x y x +++

x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3

3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3

2(x

3

y 3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆

序数

(1)1 2 3 4

解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1

4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)

解逆序数为

2)1

(

n

n

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

(2n1)2(2n1)4(2n1)6

(2n1)(2n2) (n1个)

(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2

解逆序数为n(n1)

3 2(1个)

5 2 5 4 (2个)

(2n1)2(2n1)4(2n1)6

(2n1)(2n2) (n1个)

4 2(1个) 6 2 6 4(2个)

(2n )2 (2n )4 (2n )6

(2n )(2n

2)

(n

1个)

3 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项

解 含因子a 11a 23的项的一般形式为

(

1)t

a 11a 23a 3r a 4s

其中rs 是2和4构成的排列 这种排列共有两个 即24和

42

所以含因子a 11a 23的项分别是 (1)t

a 11a 23a 32a 44(1)1

a 11a 23a 32a 44a 11a 23a 32a 44 (1)t a 11a 23a 34a 42

(1)2

a 11a 23a 34a 42

a 11a 23a 34a 42

4 计算下列各行列式

(1)7

1100251020214214

解 711002510202142140

100142310

20211021

473234-----======c c c c 34)1(1431022110

14+-?---=

143102211014--=0

14

171720010

99323211=-++======c c c c

(2)2

605232112131412-

解 2605232112131412-26050

321

2213041224--=====c c 0

41203212213

041224--=====r r 00

0003212213041

2

14=--=====r r

(3)ef

cf bf de

cd bd ae

ac ab ---

解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e

c b adf ---=

abcdef

adfbce 41

111111

11=---=

(4)d

c b a 100110011001---

解 d c b a 100110011001---d

c b a

ab ar r 10011001101021---++===== d

c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====c

d c ad

a a

b d

c c

cd

ad ab +-+--=+111)1)(1(23abcd ab cd ad 1

5 证明:

(1)111222

2b

b a a b ab a +(a b )3

;

证明

1112222b b a a b ab a +001

2222

2221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====

a

b a b a b a ab 22)1(2

221

3-----=+21))((a b a a b a b +--=(a b )3

(2)y x z x z y z

y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;

证明

bz

ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx

az bz ay by ax +++++++++

bz ay by ax x by ax bx az z bx

az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=

bz ay y x by ax x z bx

az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22

z y x y x z x

z y b y x z x z y z y x a 33+=

y x z x z y z

y x b y x z x z y z y x a 33+=

y x z x

z y z

y x b a )(33+=

(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2

2

2

2

2222

2

222

2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2

2

2

2

2222

2

222

2222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4

c 3 c 3c 2 c 2c 1得)

5

232125232125232125

232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4c 3 c 3c 2得) 02

2122212221222122222=++++=d d c c b b a a

(4)4

44

4

22221111d c b a d c b a d c b a (a

b )(a

c )(a

d )(b c )(b d )(c d )(a b c d );

证明 4

4

4

4

22221111d c b a d c b a d c b a )

()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a

d a c a b ---------=

)

()()(1

11))()((2

22a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=

)

)(())((001

11))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------=

)()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----=

=(a b )(a c )(a

d )(b c )(b d )(c d )(a b c d )

(5)1

22

1 1 000 00 10

00 01a x a a a a x x x n n n +???-????????????????

?????-?

??---Λx n a 1x n

1

a n 1x a n

证明 用数学归纳法证明

当n

2时

2121

221a x a x a x a x D ++=+-= 命题成立

假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即 D n

1

x n

1

a 1 x n

2

a n 2x a n

1

则D n 按第一列展开

有

1 1

1

00 100 01

)1(11-?????????????????????-???--+=+-x x a xD D n n n n xD n

1

a n x n a 1x n 1

a n 1x a n

因此 对于n 阶行列式命题成立

6 设n 阶行列式D det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针

旋转90、或依副对角线翻转 依次得

n

nn

n a a a a D 11111 ????

???????????= 1

1112 n nn

n a a a a D ???????????????=

11

113 a a a a D n n

nn ????

???????????=

证明D

D D n n 2

)1(21)

1(--== D 3

D

证明 因为D det(a ij ) 所以

n

nn n n n n

nn

n a a a a a a a a a a D 2211

111

111111 )1( ??????????????????-=???????????????=- ???=?

????????????????????--=-- )1()1(331

1

221

11121n

nn n n

n n n a a a a a a a a D

D n n n n 2

)1()

1()2( 21)

1()1(--+-+???++-=-=

同理可证

nn

n n n n a a a a D ???????????????-=- )

1(11112

)1(2D D n n T

n n 2)

1(2)1()1()1(---=-=

D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2

)1(2

)1(22

)1(3)1()

1()

1()1(

7 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式)

(1)a

a D n 1

1?

??=

, 其中对角线上元素都是a 未写出的元

素都是0 解 a

a a a a D n 0

1

0 000 00 00

0 00

10 00?

????????????????????????????????=(按第n 行展开) )

1()1(1

0 000 0

0 00

0 001

0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a

a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a

n

n n n

n a a a

+?

??-?-=--+)

2)(2(1

)1()1(a n a n

2

a n 2(a 21)

(2)x

a a a x a a a x

D n ?????????????

????????= ; 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得

a

x x a a

x x a a x x a a

a a x D n --??????????????????--???--???=00

0 0 00 0

再将各列都加到第一列上 得

a

x a

x a x a

a

a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0

0 )1([x (n 1)a ](x a )n

1

(3)1 11 1 )( )1()( )1(1

1

11???-?

????????-?

?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n

n n n ; 解 根据第6题结果

有

n

n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a

D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-?

?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式

∏≥>≥++++--+--=1

12

)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D

∏≥>≥++---=112

)1()]([)1(j i n n n j i

∏≥>≥++???+-++-?

-?-=1

12

1

)1(2

)1()()1()1(j i n n n n n j i

∏≥>≥+-=

1

1)

(j i n j i

(4)n

n

n

n

n d c d c b a b a D ??????

?

?????=

1

1112; 解

n

n

n

n

n d c d c b a b a D ????????????=

1

1112(按第1行展开) n

n n n n n

d d c d c b a b a a 000

11

111111

----?

?????

??????=Λ

0)

1(111

1111

1

1

2c d c d c b a b a b n

n n n n n

n ----+?

???????????-+ 再按最后一行展开得递推公式 D 2n

a n d n D 2n

2

b n

c n D 2n

2

即D 2n (a n d n b n c n )D 2n

2

于是 ∏=-=n

i i i i i n D c b d a D 2

2

2)( 而 1

111111

12c b d a d c b a D -==

所以 ∏=-=n

i i i i i n c b d a D 1

2)

(

(5) D det(a ij ) 其中a ij |i j |;

解 a ij

|i j |

4321 4 0123

3 10122 2101

1 3210)det(???----??????????????????-???-???-???-???==n n n n n n n n a D ij n 0 4321 1 11111 11111 1111

1 1111 2132???----????????????????

?????----???---???--???--???-=====n n n n r r r r 1

5

242321

0 22210 02210 0021

0 0001 1213-???----????????????????

?????----???---???--???-+???+=====n n n n n c c c c (1)

n 1

(n 1)2n 2

(6)n

n a a a D +??????????????????+???+=1 1

1 1 111

1

12

1, 其中a 1a 2 a

n

解

n

n a a a D +??????????????????+???+=1 1

1 1 111

1

12

1 n

n n n a a a a a a a a a c c c c +-???-??????????????????????

?????-???-???-???-=====--10 0001 000 100 0

100 0100 00

113322

1

2132 1

1

1

1

3

1

2

1

121110

11 000 00 110

00 011

00 001 ------+-???-????

???????????????????????-???-??????=n

n n a a a a a a a a

∑=------+?????????????????????????

??????????????=n i i n n a a a a a a a a 1

1

11

131******** 0001

0 000 00 100

00 01000 001

)

11)((121∑=+=n

i i n a a a a Λ

8 用克莱姆法则解下列方程组

(1)????

?=++

+-=----=+-+=+++0112325322

4254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

解 因为

14211

2135132

41211

111

-=----=D

14211210513241221

1151-=------=D 28411

2035122

41211

1512-=-----=D

42611013

5232

42211

511

3-=----=D 1420

213

2132

21215

1114=-----=D

所以 1

1

1==D D x 2

2

2==D D x 3

3

3==D D x 1

4

4-==D

D x

(2)??

?????=+=++=++=++=+150650

65065165545434323

212

1x x x x x x x x x x x x x

解 因为

6655

10006510006510

0651

00065==D

1507510016510006510

0650

000611==D 1145510106510006500

0601000152-==D

7035

1

1

6500006010

0051

001653==D 3955

1

6010000510

0651010654-==D

2121

10000510006510

0651

100655==D

所以 665

1507

1=x 665

1145

2-=x 665703

3=x 665395

4-=x 665

212

4=x

9 问

取何值时

齐次线性方程组

?????=++=++=++0200

321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？ 解 系数行列式为

μλ

μμμλ-==1

21111

1D

令D 0 得 0或1

于是 当

0或

1时该齐次线性方程组有非零解

10

问取何值时 齐次线性方程组

?????=-++=+-+=+--0)1(0)3(20

42)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式为

λ

λλλλλλ--+--=----=101112431111132421D

(1

)

3

(3)4(1)2(1)(3)

(1)

3

2(1

)

2

3

令D 0 得 0

2或3

于是 当0 2或

3时

该齐次线性方程组有非

零解

第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

?????++=++=++=3

213321232113235322y y y x y y y x y y y x

求从变量x 1

x 2

x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换

解 由已知

?

?

??

?????? ?

?=???? ??221321323513122y y y x x x

故 ???? ?????? ?

?=???? ??-3211

221323513122x x x y y y ?

?

??

?????? ??----=321423736947y y y

?????-+=-+=+--=32133

2123

211423736947x x x y x x x y x x x y

2 已知两个线性变换

?????++=++-=+=32133

2123

11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3

233122

11323z z y z z y z z y

求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换

解 由已知

???? ?????? ?

?-=???? ??221321514232102y y y x x x ???

?

?????? ??--???? ??-=32131

010

201

3514232102z z z ??

?

?

?????? ??----=321161109412316z z z

所以有?????+--=+-=++-=32133

2123

2111610941236z z z x z z z x z z z x

3 设??

?

?

??--=111111111A ??

?

?

??--=150421321B 求3AB 2A 及

A T B

解 ????

??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB

??

??

??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503

??

??

??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

同济大学线性代数第五版课后习题答案

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)

{教育管理}工程数学线性代数课后答案同济五版

{教育管理}工程数学线性代数课后答案同济五版

第五章相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1) ; 解根据施密特正交化方法, , , . (2) . 解根据施密特正交化方法, , , . 2.下列矩阵是不是正交阵: (1); 解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵. (2) . 解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设x为n维列向量,x T x=1,令H=E-2xx T,证明H是对称的正交阵.证明因为 H T=(E-2xx T)T=E-2(xx T)T=E-2(xx T)T =E-2(x T)T x T=E-2xx T,

所以H是对称矩阵. 因为 H T H=HH=(E-2xx T)(E-2xx T) =E-2xx T-2xx T+(2xx T)(2xx T) =E-4xx T+4x(x T x)x T =E-4xx T+4xx T =E, 所以H是正交矩阵. 4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵. 证明因为A,B是n阶正交阵,故A-1=A T,B-1=B T, (AB)T(AB)=B T A T AB=B-1A-1AB=E, 故AB也是正交阵. 5.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解, 故A的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,1,-1)T,向量p1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量. (2); 解,

故A的特征值为λ1=0,λ2=-1,λ3=9. 对于特征值λ1=0,由 , 得方程Ax=0的基础解系p1=(-1,-1,1)T,向量p1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p2=(-1,1,0)T,向量p2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9,由 , 得方程(A-9E)x=0的基础解系p3=(1/2,1/2,1)T,向量p3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量. (3). 解, 故A的特征值为λ1=λ2=-1,λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1,由 , 得方程(A+E)x=0的基础解系p1=(1,0,0,-1)T,p2=(0,1,-1,0)T,向量p1和p2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1,由 ,

《线性代数》同济大学版-课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个)

同济大学线性代数课后答案 第四章

第四章向量组的线性相关性 1.设v 1=(1,1,0)T ,v 2=(0,1,1)T ,v 3=(3,4,0)T ,求v 1?v 2及3v 1+2v 2?v 3. 解v 1?v 2=(1,1,0)T ?(0,1,1)T =(1?0,1?1,0?1)T =(1,0,?1)T . 3v 1+2v 2?v 3=3(1,1,0)T +2(0,1,1)T ?(3,4,0)T =(3×1+2×0?3,3×1+2×1?4,3×0+2×1?0)T =(0,1,2)T . 2.设3(a 1?a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ),求a ,其中a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,?1,1)T . 解由3(a 1?a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1321a a a a ?+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(36 1T T T ??+==(1,2,3,4)T . 3.已知向量组 A :a 1=(0,1,2,3)T ,a 2=(3,0,1,2)T ,a 3=(2,3,0,1)T ; B :b 1=(2,1,1,2)T ,b 2=(0,?2,1,1)T ,b 3=(4,4,1,3)T , 证明B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 证明由

???????????=312123111012421301402230) ,(B A ???? ?????????????971820751610402230421301 ~r ????????????????531400251552000751610421301 ~r ???? ???????????000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A ,B )=3,所以B 组能由A 组线性表示. 由 ???????????????????? ???????????????=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2.因为R (B )≠R (B ,A ), 所以A 组不能由B 组线性表示. 4.已知向量组A :a 1=(0,1,1)T ,a 2=(1,1,0)T ; B :b 1=(?1,0,1)T ,b 2=(1,2,1)T ,b 3=(3,2,?1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由 ,??? ?????????????????????????=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B 知R (B )=R (B ,A )=2.显然在A 中有二阶非零子式,故R (A )≥2,又R (A )≤R (B ,A )=2,所以R (A )=2,从而R (A )=R (B )=R (A ,B ).因此A 组与B 组等价.

同济版_工程数学-线性代数第五版答案

同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.

解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)

05同济大学线性代数课后答案 第五章

第五章相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1);??? ?????=931421111) , ,(321a a a 解根据施密特正交化方法, ,??? ?????==11111a b ,??? ??????=?=101],[],[1112122b b b a b a b .??? ??????=??=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b (2).???? ?????????=011101110111) , ,(321a a a 解根据施密特正交化方法, ,???? ???????==110111a b ,???? ???????=?=123131],[],[1112122b b b a b a b .???????????=??=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b

2.下列矩阵是不是正交阵: (1);?????? ???????????121312112131211解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.(2).?????? ??????????????979494949198949891解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设x 为n 维列向量,x T x =1,令H =E ?2xx T ,证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E ?2xx T )T =E ?2(xx T )T =E ?2(xx T )T =E ?2(x T )T x T =E ?2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E ?2xx T )(E ?2xx T ) =E ?2xx T ?2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E ?4xx T +4x (x T x )x T =E ?4xx T +4xx T

线性代数同济版答案

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - ; 解 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2) b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ; 解 2 2 2 1 1 1 c b a c b a =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y3-(x +y)3-x3 =3xy(x +y)-y3-3x2 y -x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n); 解 逆序数为 2)1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n(n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解

《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )

(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2