概率论与数理统计作业
概率论与数理统计作业
第一章随机事件与概率
1?将一枚均匀的硬币抛两次，事件代B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。
解：舄」正正、正反、反正、反反］
A=.正正、正反/, B =「正正1, C =:正正、正反、反正 /
2.设P(A)二3，P(B)二2，试就以下三种情况分别求P(BA):
3 2
(1)AB=必，(2)A B，( 3)P(AB)=1
8
解：
(1)P(BA) =P(B — AB) =P(B) — P(AB) =P(B) =0.5
(2)P(BA)二P(B —AB)二P(B) —P(AB)二P(B) 一P(A) = 0.5 -1/3 = 1/6
(3)P(BA)二P(B — AB)二P(B) —P(AB) =0.5 —0.125 =0.375
3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
寫H = A +瓦人 2 +瓦入2民三种情况互斥
二P(H) =P(A)+P(AjP(A2 |瓦)+ 卩(瓦)卩(入2丨A I)P(A3 1A1A2)
19 19 8 13
=—+—X —+ —X —X —=—
10 10 9 10 9 8 10
如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下，求H再发
生的概率。
P(H |B) =PA |B A A2 |B A1A2A3| B)
= P(A!|B) P(A1| B)P(A2|BA1) P(A1| B)P(A2| BA!)P(A3 |B^A2)
14 14 3 13
= ---- i ----- 4 --- I ------ A. ---- A. --- = ------
5 5 4 5 4 3 5
4?进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为，试求以下事件的概率：
(1)直到第r次才成功;
(2)在n次中取得r(「乞r乞n)次成功；
解：(1) P=(1—p)rJL p (2) P =C：p r(1 一p)^
5.设事件A, B的概率都大于零，说明以下四种叙述分别属于那一种：(a)必然对，(b) 必然错，(c)可能对也可能错，并说明理由。
(1)若A，B互不相容，则它们相互独立。
(2)若A与B相互独立，则它们互不相容。
(3)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B互不相容。
(4)P(A)二P(B) =0.6，则 A与 B相互独立。
解:(1)b, 互斥事件，一定不是独立事件
(2)c, 独立事件不一定是互斥事件，
(3)b, P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)若 A与 B互不相容，则P(AB) = 0
而P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) =1.2 1
⑷a, 若A与B相互独立,则P(AB) = P(A)P(B)
J
这时P(A B)二P(A) P(B) -P(AB) =1.2 -0.36 =0.84
6.有甲、乙两个盒子，甲盒中放有 3个白球，2个红球；乙盒中放有4个白球，4个红球，现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中，再从乙盒中取出一球，试求：
(1)从乙盒中取出的球是白球的概率；
⑵若已知从乙盒中取出的球是白球，则从甲盒中取出的球是白球的概率。
解:(1)记A, A分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
???B=AB+AB且 A, A互斥
3 4+1 2 4
P ( B)= P ( A) P( B| A?+ P ( A) P (B| A2)= =
3+2 4+4+1 3+2 4+4+1
(2)
7.思考题：讨论对立、互斥(互不相容)和独立性之间的关系。
解:独立事件不是对立事件，也不一定是互斥事件；对立事件是互斥事件，不能是独立事件;互斥事件一般不是对立事件，一定不是独立事件.
第二章随机变量及其概率分布
1.设X的概率分布列为：
F(x)为其分布的函数，则F (2) =?
解：F(2) =P{X 乞2}二P{X =0} P{X =1} P{X =2} =0.3
-c
2 ?设随机变量X的概率密度为f (x)= X2, x 1;则常数c等于?
[0, x 兰1,
丹* 「一 c :: c
伤牛：由于 2 dx 2 dx 二 C 二〔，^故 c = 1
x 1 x
3.一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算
机是否被使用相互独立，问在同一时刻
(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？
(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？
(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？
(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？
解：(1) P{X =2} =C；0.620.43 =0.2304
(2)P{X _3} =1 —P{X =4} —P{X =5} =1 — C；0.640.4 一0.65 = 0.66304
(3)P{X <3} = P{X =1} +P{X =2} +P{X =3} =C；0.6 O44 +C；0.620.43+ C；0.630.42
=0.0768+0.2304+0.1728=0.48
(4)P{X _1} =1 -P{X =0} =1 一0.45=0.98976
4.设随机变量K在区间(0, 5) 上服从均匀分布，求方程4 x2+ 4Kx + K + 2 = 0 有
实根的概率。
解：由,;.=16k2 -4 4 (k 2) =16k2 -16k -32 _0可得：k 乞-1,k _2
所以P{K _2}
5
5.假设打一次电话所用时间(单位：分) X服从:=0.2
的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概率；(2)10分钟到20分钟的概率。
解: X ~ f(x) =0.2eg,x 0
10
P{X 10} =1 —P{X 岂10} =1 - 0 0.2e』.2x dx =1 -1 e，
20
P{10 乞X 岂20} = J 0.2eH.2x dx —e，
6.随机变量 X?N (3, 4), (1) 求 P(2
(2)确定 c，使得 P(X>c) = P(X 5_3 2 —3 解：P{2 ：X 乞5}3)—：」(2 3)—：」(1) 一：」(一0.5) —：，(1) 一1 G(0.5) 2 2 = 0.8413-1 0.6915=0.5328 P{ -4 - X 乞10}=讥1^13) _：：」(/ 3)—：」(3.5)- ：」(-3.5) = 2初(3.5)-1 =1 2 2 2 _ 3 _ 2 _3 P{ X >2}=1—P{X 兰2} =1—^( ------- )+◎( ------ ) =1-^(一0.5) + ①(一2.5) 2 2 =1 _(1 _「(0.5)) 1 -：：」(2.5) =1 -0.9938 0.6915 二0.6977 3 _3 P{X 3} =1 -P{X — 3} =1 - 讥)=1 - 0.5 二0.5 2 3. (X 、Y)的联合密度函数为: 「k(x + y) 0 x 1,0 y 1 其 他 c 一3 c — 3 P{X . c} =1 —P{X < c} =1 —：：」( )=P{X :：: c}—：」( ) 2 2 所以：「(c ?) =0.5 故 c =3 2 7 ?设随机变量X 与 丫相互独立，且X, 丫的分布律分别为 试求：(1) 二维随机变量(X, 的分布律；(2)随机变量Z=XY 的分布律. 解： 8.思考题:举出几个随机变量的例子 第三章多维随机变量及其概率分布 1. 设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X 表示取到的红 球个数，用丫 表示取到的白球个数，写出(X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。 解: 2. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为： 试根椐下列条件分别求a 和b 的值； (1) P(X -1) -0.6 ； (2) P(X =1|Y =2) =0.5 ； (3) 设F(x)是Y 的分布函数，F(1.5) =0.5。 解：(1) P{X =1} =0.1 b 0.2 =0.6, b =0.3 (2) P{X =0} P{X =1} =1, P{X =0} =1 -P{X =1} =0.4 二 0.3 a , a =0.1 X 0 1 P 1 3 4 4 Y 1 2 P 2 3 5 5 1/6 1/9 1/18 求(1 常数 k; (2) P(X<1/2,Y<1/2) ; (3) P(X+Y<1);⑷ P(X<1/2)。 :::: 11 … 解：⑴ f(x, y)dxdy k(x y)dxdy = k = 1,故 k=1 1 1 _ _ 1 ⑵p{X w — 才爲 (x WE 1 1_x ⑶ P{X Y :：: 1} = 0 ,0 (x y)dxdy 求(1)常数 k; (2) P(X+Y<1); (3) P(X<1/2)。 :::: 1 x 解：(1) 」L f(X, y)dxdy = 0 [ kxydxdy =迈=1 ,故 k = 2 6.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 X 与Y 的边缘密度函数 f("叫0 其；； 解： ■be x fx (x)二. ..f (x, y)dy = 0 e^dy (0 ：： x ：：:: ) -bo -bo f x (x)二 _：f(x, y)dx 二 y 「dx 二e\ (0 ：： y ：：：：) 7. (X, Y) 的联合分布律如下, Y 1 2 3 p{X ::: 1 1 2 0 (x y)dxdy 4. (X 、Y)的联合密度函数为: f(x,y) [kx y =< 0 ：： x 1, 0 ：： y x ⑶ p{ X :: 1 _ X 1 2}0 2x ydxdy 二 6； 5.设(X, Y)的联合密度函数如下，分别求 X 与Y 的边缘密度函数 f (x, y)二 1 ~2 2 2~ (1 x 2)(1 - y 2) —co X ￡ < y < f x (X) 1 2~ 二 f Y (y) 二 ■be . ..f(x, y)dx 1 - ：-：2(1 x 2)(1 y 2)dX _ 1 ■:(1 y 2) P{X Y ::: 1} 二 1 2xydxdy = 24 二 _..f(x, y)dy 二 1 2 2 2~ (1 x )(1 y ) 试根椐下列条件分别求a和b的值; (1) P(Y : =1) =1/3 ; ⑵P(X .1|Y =2) =0.5 ； (3) 已知: X与Y相互独立。 解：(1) P{Y = 1} = a - = 1, a _ 1 _6 (2)1/6+1/6+1/9+b+1/18+1/9=1,b=7/18 8.(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与Y是否相互独立? f (x, y)= 解: 2 cxy 0 0 ：：： x :: 1, 0 ： y ::: 1 其 :::: 1 1 2 二J(x,y)dxdy 二0 0cx y dxdy =1 ,c= 6 :: i f x(x) = =f (x, y)dy = 06xy dy =2x , -- 1 2 2 f Y(y) = . J(x, y)dy = 06xy dx =3y f x(x) f Y(y) =f(x,y),故X 与Y 相互独立. 9.思考题：联合分布能决定边缘分布吗？反之呢？解:联合分布可以得到边缘分布，反之不 真. 第四章随机变量的数字特征 1.盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则 EX 是：B (A) 1； (B) 1.2 ; 2.设X有密度函数：f(x)二 (C) 1.5 ; 3x2 江2乞x乞4 (D) 2. 求E(X), E(2X -1), E(A),并求 X 大于数 X 学期望E(X)的概率。(该题数有错) 解:E(X) = 2 43x2 , 3 4 x dx x 8 32 E(2X -1) 1 3 、1 3x\ 1 - --- dx = — x P(X E(X)) =P(X 7.5) =1 _ P(X 4 3x2 “5"1.〒。"1—7一6 3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 已知 E(XY)二 0.65 , 则a 和b 的值是：D (A) a=0.1, b=0.3 ； a=0.3, b=0.1 ； ( C) a=0.2, b=0.2 ； ( D) a=0.15, b=0.25。 4 ?设随机变量(X, Y) 的联合密度函数如下：求 EX, EY, E(XY 1)。 f (x, y)二 xy 0 0 ：： x :: 1, 0 ：： y ：2 他 E(X) 解: 1 0 0 x xydxdy E(Y) 1 2 0 0 y xydxdy i 2 2 4 xdx 0 y dy 二 E(XY 1)= 5 ?设X 有分布律: 则 E(X 2 -2X - 3)是：D (A) 1; (B) 2; (C) 3； (D) 4. 6.丢一颗均匀的骰子，用 1 解：X 的分布为 戸2"6心,2 ，3 ,4 ,5 ,6 E(X)=1 1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 6 6 6 6 6 6 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 E(X )=1 2 3 4 5 - 6 6 6 6 6 6 19 D(X) =E(X ) -(E(X)) 2 91 7. X 有密度函数: f(x) (x+1)/40 兰 xE2 =< ，求 D(X). 2 解: E (X)「°x D(X) 7 6 二E(X 2 ) -(E(X))2 dx 4 2 E(X ) 2 x 2 5 dx =- 4 3 8.设X U (A) -1.6 」-(7 ) 2 3 6 P (2)，丫 ~B(3, 0.6),相互独立，则 E(X -2Y), 和 4.88 ； ( B) -1 和 4; (C) 1.6 和 4.88 ； D(X -2Y)的值分别是: (D) 1.6 和-4.88. X 表示点数，求EX , DX . 解: 1 1 E(X) = J x -4 x 2 21x y dxdy = 0 1 1 E(Y)= JJ y -1 x 2 21x y dxdy 二 — 9.设X?U(a, b), 丫?N(4, 3) , X与Y有相同的期望和方差，求a, b的值 (A)0 和 8; (B) 1 和 7; ( C) 2 和 6; (D) 3 和 5. 解：B 10.下列结论不正确的是( ) (A)X与Y相互独立，则X与Y不相关； (B)X与Y相关，则X与Y不相互独立； (C)E(XY)二E(X)E(Y)，则X 与Y 相互独立； (D) f(x,y)二 f x (x) f y(y)，则 X 与Y 不相关； 解：B 11.若COV(X,Y) =0，贝U不正确的是( ) (A) E(XY) =E(X)E(Y) ； (B) E(X Y^E(X) E(Y)； (C) D(XY)二D(X)D(Y) ； (D) D(X Y)二D(X) D(Y)； 解:D 12.( X,Y )有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。 3 3 9 1 解：由于P{X 二-1}?P{Y = -1} 而P{X 二-1,丫二-1}： 8 8 64 8 所以X与Y不独立. 由于E(X) =0,E(Y) =0,E(XY) =0,所以「=0, X 与Y 不相关 13.E(XY)二E(X)E(Y)是 X 与Y不相关的(B ) (A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分 14.E(XY)二E(X)E(Y)是 X 与Y 相互独立的(A ) (A)必要条件；(B)充分条件：(C)充要条件；(D)既不必要，也不充分。 15.思考题：(1)设随机变量(X, Y)有联合密度函数如下：试验证X与Y不相关，但不独立。 f (x, y)=丿r" ￡ 2 21x y/4 x v y v1 0 其他 E(XY) = [ X 2xy ■21x ^ dxdy = 0^=0,不相关 1 21x 2 v 21X 2 (1-X 2 ) 彳 彳 2 dy ,-1 _ x _1 4 8 「 5 y 21x 2y 」7y 2 dx ,0 _ y _ 1 -y 4 2 显然：f x (x)g(y)式f(x,y),所以x 与Y 不独立. ' 3 r 75Vd^5^ 1 -y 4 2 显然:f x (x) f Y (y) = f(x,y),所以X 与Y 不独立. 讨论E(XY) = E(X)E(Y)与独立性，相关性与独立性之间的关系 解:若X 与 丫相互独立,则E(XY) = E(X)E(Y),反之不成立. 独立一定不相关，反之不真? 第五章大数定律及中心极限定理 1. 一批元件的寿命(以小时计)服从参数为 0.004的指数分布，现有元件30只，一只 在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30只 元件至少能使用一年(8760小时)的近似概率。 30 解：设第i 只元件的寿命为 X j (i =1,2,…30), EX j =225, DX j =50625 ,则丫二為X j 是这 i=d f x (X)= “ f Y (y)= “ (2) 设(X,Y)有 f(x, y)= ‘5 -y 0 2 4 x ：：： y ，试验证E(XY) = E(X)E(Y)，但X 与Y 不相互独 其 他 解: E(X)二 1 E(XY)= 1 1 5y c 2 x dxdy 二 0 4 5y 2 xy dxdy 二 0 4 ■J ?: 1 1 5 y 5 E(Y)二」沙；dxdy 「 E(XY) = E(X)E(Y) f x (x) - 5^2-1沁绡 8 f Y (y)二 30 只元件寿命的总合，EY =225*30 = 6750, DY = 50625* 30 = 1518750, 则所求的概率为： 30 30 ' X i -6750 P{Y _8760} =P{' X j _8760} =P{ 7 8 76°二6750} = i _：：」(你? = 0.0516 y J30 X225 J1518750 2. 某一随机试验，“成功”的概率为0.04 ,独立重复100次，由中心极限定理求最多“成 功” 6次的概率的近似值。 解：设成功的次数为 X ,则 X ?B(100,0.04) ,np = 4 , npq =、4* 0.96 = 1.9596 f X -4 6 —4〕亠 P{X 兰6} = P ------- < ------ \ = Q(1.02) =0.8461 J .9596 1.9596： 第六章样本与统计量 1. 有 n=10 的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4， 则样本均值X =1.57 ，样本均方差S= 0.2541 ，样本方差S 2 = 0.06456 ° 一 2 _ _____________ b 2 ?设总体方差为b 2有样本X 1, X 2/ ,X n ，样本均值为X ，则Cov(X 「X) = n 3. 查有关的附表，下列分位点的值： Z 0.9 =?，鼻0.1 (5) =9.236 ， t °.9 (10) =-1.3722 ° 4. 设 X 1,X 2, ,X n 是总体 2(m)的样本，求 E(X), D(X) ° 解:E(X) =m, D(X) n 5 ?设总体X ?N(J ；「2)，样本X-X 2, ,X n ，样本均值X ，样本方差S 2，则 参数二的矩估计。 2. 每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ~ "(■)，为估计?的值，在实地随机地调查了 20 次，每次1分钟，结果如下： 次数：2 3 4 5 6 N(0,1)，X _ 1 S / J n T(n-1)， -X)2 ?2(n-1)， 琴(X i :二 id J 2 ?2(n) 1.设总体X 的密度函数为: 第七章 晶x 参数估计 <14 0 "：： x ":: 1 其「他，有样本X 1，X 2「X n ，求未知 解：E(X) = ° x - "dx 二 .「1,加的矩估计斤亡 量数：9 5 3 7 4 试求■的一阶矩估计和二阶矩估计。 ” 2 1 1 o 1 o 1 解：x=5.2,s 6.8, EX , DX 2 ,所以？？0.1923, ? 0.3835 - s 3.设总体X的密度函数为: f(x)= '(恥+1)x ，有样本X1,X2，…,X n，求未 知参数的极大似然估计。 解:由题设，似然函数为： n L（） 7 （ G 1）X i " i A （L 1）"（济2.必）" In L( 巧=n ln(、v 1) - In x ), 7 dln L(R 2、 丁（门 1） n ' In x v = 0 2 V 解得v 的极大似然估计为= （1 n n ' In X j i 4 )2 4.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量, 某厂化纤纤度 X ~ N （~ ；「2 ）,抽取9根纤维，测 量其纤度为：1.36，1.49，1.43，1.41， 1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，试求」的置信度 为0.95的置信区间，（1）若二2 =0.0482, （2）若二2未知 解:(1) X =1.3967, =0.05的置信区间为 X -1'96：＞ X 1' 96 ：n = 1 ' 3653X42811 (2) X =1.3967, s 2 =0.0049, a =0.05时，0025(8) = 2.3060 置信区间为： . 3967 -2.3060 晋,1. 3967 2. 3060 罟 小 429" 50 引 5.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x =12.075伽, s = 0.0494伽,设另件长度X ~N （U 「2 ）,取置信度为0.95，（1）求二 2 的置信区间，（2）求二 的置 信区间。 解:s 2 =0.00244036 , （n —1）s 2 = 0.0366054 , ^（15^6.262, ^為厶仆①=27.448 所以二2 置信区间为：0.0366054,0.0366054 = 0.0013,0.00581. 1 27.448 6.262 」 二的置信区间为:[0.0361,0.0762] 第八章假设检验 值殳=992，试在:=0.1下检验电阻值的期望「是否符合要求？ 解:检验假设：H。—1000 , H, M000 由已知可得：u =992 -1000 = / 查表得：u°05 = 1.64,故拒绝原假设,电阻值的期望卩不符20/5 合要求 2.在上题中若匚2未知，而25个元件的均方差s=25，则需如何检验，结论是什么？ 解:由于方差未知，故用t检验. 992 —1000 检验假设：H。：」=1000 ,比：」-1000 t = -------- = -1.6 25/5 查表t°.05（24） =1.7109由于t =1.6 ￡1.7109,故接收原假设，电阻值的期望卩符合要求， 3.成年男子肺活量为亠=3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一 定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为2=3808毫升，设方差为匚2 = 1202，试检验肺活量均值的提高是否显著（取〉=0.02）？ 解：检验假设: H ° ：」-3750 ,比：' 3750, u = 3808二3750= 2.1615 120/、'20 查表得：U0.01 =2.33,故接收原假设，即提高不显著. 第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑ ·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 《概率论与数理统计》作业集及答案 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC ) 概率论与数理统计作业及解答 第一次作业 ★ 1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹?设事件ABC 分别表示甲.乙.丙 击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示? 事件E 丸事件A, B,C 最多有一个发生｝,则E 的表示为 E =ABC ABC ABC ABC;或工 ABU AC U B C;或工 ABU ACU BC; 或工 ABACBC ；或工 ABC_(AB C ABC A BC ). (和 A B 即并AU B,当代B 互斥即AB 二'时.AU B 常记为AB) 2. 设M 件产品中含m 件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率 ★ 3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率 A 二｛8只鞋子均不成双｝, B=｛恰有2只鞋子成双｝, C 珂恰有4只鞋子成双｝. C 6 (C 2 )6 32 C 8C 4(C 2)4 80 0.2238, P(B) 8 皆 0.5594, P(A) 8 /143 ★ 4.设某批产品共50件.其中有5件次品?现从中任取3件?求 (1) 其中无次品的概率-(2)其中恰有一件次品的概率‘ /八 C 5 1419 C ：C 5 99 ⑴冷 0.724.⑵虫产 0.2526. C 50 1960 C 50 392 5. 从1?9九个数字中?任取3个排成一个三位数?求 (1) 所得三位数为偶数的概率-(2)所得三位数为奇数的概率? 4 (1) P ｛三位数为偶数｝ = P ｛尾数为偶数｝=-, 9 ⑵P ｛三位数为奇数｝ = P ｛尾数为奇数｝ = 5, 9 或P ｛三位数为奇数｝ =1 -P ｛三位数为偶数｝ =1 -彳=5. 9 9 6. 某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码 求(1)最小号码为5的概率 ⑵ 最大号码为5的概率 记事件A =｛最小号码为5｝, B=｛最大号码为5｝. 1 1 2 C m C M m C m m(2M - m -1) M (M -1) 6 — C 16 143 P(C)二 C 8 CJC 2 ) 30 0.2098. 143 C 16 . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）概率论与数理统计第4章作业题解
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案
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