高中数学必修3提纲

必修3复习提纲 第一章 算法初步

一、基础精析

要点1：算法的一些基本概念

（1）算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤． （2）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. （3）程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构． （4）算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言． 例题1：下列给出的赋值语句中正确的是（ B ）

A 4M =

B M M =-

C 3B A ==

D 0x y +=

练习1：看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ） A.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达

B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1

C.方程x 2-1=0有两个实根

D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=３,再由于3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15 要点2：程序框图

（一）构成程序框的图形符号及其作用

（二）算法的三种基本逻辑结构

程

序

框

图

练习2：算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ D ）

A.一个算法只能含有一种逻辑结构

B. 一个算法最多可以包含两种逻辑结构

C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构

D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合

要点3：算法的基本语句

（1）输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能

语句一般格式功能

输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息

输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息

赋值语句变量=表达式将表达式的值赋给变量

（2）条件语句

①IF—THEN格式（单支结构）

②IF—THEN—ELSE格式（双支结构）

（3）循环语句

①UNTIL语句

②WHILE语句

例2：右图程序框图表示的算法输出的结果是________.

要点4：辗转相除法与更相减损术求最大公约数

（1）辗转相除法：对于给定的两个正整数，用大数除以小数，若余

数不为0，则将小数和余数构成新的一对数，继续上面的除法，反复执

行此步骤，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最

大公约数.

（2）更相减损术：对于给定的两个正整数，若它们都是偶数，则将它们反复除以2(假设进行了k次)，直到它们至少有一个不是偶数后，将大数减小数，然后将差和较小的数构成一对新数，继续上面的减法，反复执行此步骤，直到差和较小的数相等，此时相等的数或这个数与约简的数的乘积即为所求两数的最大公约数.

例3：分别用辗转相除法和更相减损术求三个数72,120,168的最大公约数.

解法1:用辗转相除法

先求120,168的最大公约数,

=?+=?+=????????

因为168120148,12048224,48242

所以120,168的最大公约数是24.

再求72,24的最大公约数,

=?,所以72,24的最大公约数为24,

因为72243

即72,120,168的最大公约数为24.

解法2:用更相减损术

先求120,168的最大公约数,

168-120=48,120-48=72,72-48=24,48-24=24

所以120,168的最大公约数为24. 再求72,24的最大公约数, 72-24=48，48-24=24 72,24的最大公约数为24, 即72,120,168的最大公约数为24. 要点4：秦九韶（shao 第二声）算法

设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，

改写为如下形式：()f x =1210(())).n n n a x a x a x a x a --++++L L 设0101,n n v a v v x a -==+

21232310

n n n n v v x a v v x a v v x a ---=+=+=+L

例4：用秦九韶算法计算多项式6

5

4

2

35683512)(x x x x x x f +++-+=在4-=x 时的值时,3V 的值为 ( )

A. －144

B. －136

C. －57

D. 34

练习3：用秦九韶算法计算多项式362)(2

3

+++=x x x x f 在4-=x 时的值时分别要用多少次乘法和加法？

要点5：进位制

（1）k 进制数的基数为k ，k 进制数是由k ???10、-1之间的数字构成的. （2）将十进制的数转化为k 进制数的方法是除k 取余法（倒序取余数）.

（3）110110(0,0,,)n n n n k a a a a a k a a a k --<<≤

1110()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=++++L L .

例5：将下列数进行转换 (1) )10(3________10202=）（ (2) )8(10________101=）（

解: 420(3)(10)(1)10202132323101=?+?+?=

(2)用8反复去除101,直到商为0止,所得的余数(从末位读起)就是十进制数101的 8进制表示

8

1018

1258140

1

余数???所以(10)(8)101145=

评注:将k 进制的数转化为k '进制的数的方法是先将k 进制的数转化为十进制的数，再将这个数转化为k '进制的数.

第二章 统计

一、基础精析

要点1：随机抽样

(1)简单随机抽样:一般地，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．最常用的简单随机抽样方法有两种：抽签法和随机数法．

(2) 系统抽样:一般地，要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.

(3) 分层抽样:一般，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样． 例1：为了了解全校240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（ ）A.总体是240 B.个体 C.样本是40名学生 D.样本容量是40 例2：为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，若采用系统抽样方法较恰当？简述抽样过程．

解 ：（1）随机地将这1 000名学生编号为1，2 ，3，…，1000． （2）将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体．

（3）在第一部分的个体编号1，2，3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如18． （4）以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18，38，58，…，978，998．

例3：一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁

以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解：用分层抽样来抽取样本,步骤是:

(1)分层：按年龄将150名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁以上的职工.

(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为51500100 ，则在不到35岁的职工中抽125×51

=25人；在35岁至49岁的职工中抽280×51=56人；在50岁以上的职工中抽95×5

1

=19人．

(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样，组成样本． 要点2：频率分布

（1）频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率分布。

（2）频率分布直方图及其画法：

①计算一组数据中最大值与最小值的差，即求极差②决定组距与组数 ③将数据分组④列频率分布表⑤画频率分布直方图

注意：①频率分布直方图中，每个小矩形的高表示的不是频率，是频率与组距之比 ②频率分布直方图中，每个小矩形的面积表示频率，其和是1。

（3）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. （4）总体密度曲线.：在样本频率分布直方图中,随着样本容量的增加，作图时所分组数的增加，组距减少，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画出来,我们只能用样本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越精确。 例4：已知某班50个同学的身高数据的分组以及各组的频数如下：

[153，155），2；[155，157），7；[157，159），9；[159，161），11； [161，163），10；[163，165），6；[165，167），4；[167，169），1。 （1）列出样本的频率分布表；

（2）画出频率分布直方图及频率分布折线图。 （3）估计这50个同学的身高的中位数和平均数。

要点3：茎叶图

（1）茎叶图：当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶图. （2）画茎叶图的步骤如下：

①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字; ②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧; ③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧.

（3）注意：①用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰. 例5：从参加某次考试的学生中，随机抽取20名，成绩如下：

44，52，48，57，71，74，59，74，75，82， 61，62，68，70，71，83，63，63，84，90。

试作出上述数据茎叶图，通过茎叶图，你能得出什么结论？

要点4：众数、中位数、平均数、标准差

(1)众数（在一组数据中,出现次数最多的数称为众数）、中位数（在按大小顺序排列的一组数据中,居于中间的数称为中位数）、平均数（一般是一组数据和的算术平均数） （2）方差、标准差： ①方差：])()()[(1

222212

x x x x x x n

s n -++-+-=

Λ

②标准差：s=

])()()[(1

22221x x x x x x n

n -++-+-Λ. 注：标准差较大，数据的离散程度（波动）较大；标准差较小，数据的离散程度（波动）较小。 例6：在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：

试判断选谁参加某项重大比赛更合适？ 答案：3

373472

2

=

>=

乙甲s s ,乙的成绩比甲稳定,应选乙参加比赛更合适. 要点5：相关关系的概念

(1)相关关系：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.

(2) 两个变量之间的关系分两类：

①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；

②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关） 要点6：两个变量的相关关系

（1）散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.

（2）正相关、负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）

（3）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。

例7：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：

年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪

29.6

30.2

31.4

30.8

33.5

35.2

34.6

（1）画出散点图。

（2）人体脂肪含量和年龄的关系是函数关系还是相关关系？ （3）人体脂肪含量和年龄的关系是正相关还是负相关关系？ 解：（1） （2）相关关系 （3）正相关关系 要点7：回归直线

如果在散点图中所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。变量线

性相关关系的回归直线方程为a x b y )

))+=。

其中, ?????????

-=--=---=∑∑∑∑====)2.....(............................................................

)1(.............,)())((2121121x b y a x n x y

x n y x x x y y x x b n i i

n

i i i n i i n i iB i )))（11n i i x x n ==∑,11n i i y y n ==∑） 注意：回归直线一定过点),(y x .

例8： 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据： 施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量y

330

345

365

405

445

450

455

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解：(1)散点图如下图．

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:

i 1 2 3 4 5 6 7 x i 15 20 25 30 35 40 45 y i 330 345 365 405 445 450 455 x i y i

4 950

6 900

9 125

12 150

15 575

18 000

20 475

87175,1132725,7000,3.399,307

1

71

271

2=====∑∑∑===i i i i i

i i

y x y x y x

故可得到 b=

2

30770003

.39930787175?-??-≈4.75,

a=399.3-4.75×30≈257.从而得回归直线方程是^

y =4.75x+257.

第三章 概率

一、基础精析

要点1：必然事件、不可能事件、随机事件

（1）必然事件：一般的，我们把在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件；

（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件；

（3）确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件。 （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件。

（5）确定事件和随机事件统称为事件。常用大写字母A ，B ，C 等表示。 例1：下面一些事件,哪些一定会发生?哪些一定不会发生?哪些是可能发生的?

（1）导体通电时发热； （2）抛一石块，下落；

（3）在标准大气压下且温度低于c 0?时，冰融化． （4）在常温下，焊锡熔化； （5）掷一枚硬币，出现正面；

（6）某人射击一次，中靶大于3小于11的偶数 要点2：频率与概率的定义

（1）频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，若某一事件A 出现的次数为n A ，则称n A 为事件A 出现的频数，那么事件A 出现的频率]1,0[)(∈=

n

n A f A

n 。 （2）概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率)(A f n 稳定在某个常数上，把这个常数记做)(A P ，称为事件A 的概率，简称为A 的概率。 例2：判断

（1）事件A发生的频率是不变的。（）

（2）事件A发生的概率是不变的。（）

（3）有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。（）

要点3：极大似然法

极大似然法：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，例如在例题2中我们所做的推断。这种判断问题的方法称为极大似然法。

要点4：事件的关系与运算

（1）一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为:B?A(或A?B)。特别地，不可能事件用Ф表示；任何事件都包含不可能事件.

（2）一般地，当两个事件A、B满足: 若B ? A，且A ?B，则称事件A与事件B相等，记作A=B.

(3)一般地,当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B 的并事件(或和事件)，记作C=A∪B(或A+B).

(4)类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB）

（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝?，此时，称事件A与事件B互斥。

（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A 与事件B有且只有一个发生.

例3：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：

C1＝｛出现1点｝，C2＝｛出现2点｝，C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，

C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，D1＝｛出现的点数不大于1｝，D2＝｛出现的点数大于4｝，D3＝｛出现的点数小于6｝，E＝｛出现的点数小于7｝，F＝｛出现的点数大于6｝，

G＝｛出现的点数为偶数｝，H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.

（1）上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?

（2）如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？

（3）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？

(4 )如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？

练习1：一个人打靶时连续射击两次事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ D ）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶

练习2：把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( B )

A. 对立事件

B. 互斥但不对立事件

C. 必然事件

D. 不可能事件

要点5：概率的几个基本性质

（1）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是概率的加法公式.

（2）若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1.

（3）如果事件A1,A2，…，A n中任何两个都互斥, P(A1 + A2 +…+ A n)= P(A1)+P(A2)+…+P(A n).

（4）任何事件的概率都介于0和1之间。不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.（5）概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)=P(A)＋P(B) P(AB).

例4：某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率。

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。

（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。

要点6：古典概率

（1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；

（2）等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；

（3）古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型

①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的；

（4）古典概型的概率：

如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是

1n ，如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为()m P A n

=． 例5：将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：

（1）共有多少种不同的结果？

（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数和是3的倍数的概率是多少？

解：（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6中结果。

先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有6636?=种不同的结果；

(2)第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有6212?=种不同的结果．

(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A ，则事件A 的结果有12种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为121

()363

P A == 要点7：几何概率

（1）几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型． （2）几何概型的基本特点：

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等． （3）几何概型的概率

一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件

A ，则事件A 发生的概率的长度（面积或体积）

的长度（面积或体积）

D d A P =

)(．

例6：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆（如下图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）

分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比． 解：记＂豆子落入圆内＂为事件A ，则

22()44

a P A a ππ===圆面积正方形面积．

答：豆子落入圆内的概率为

4

． 例7-图

例7：甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

练习3： 向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则△PB C 的面积小于

2

S

的概率是_________

练习4：一只蚂蚁在三边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ） A ．

3

4

B ．

2

3

C ．13

D ．

12

练习5：假设你家订了一份报纸，送报员可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间，问你父亲离开家前能够得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？（答案0.875）

要点8（补充）：内心、外心、重心、垂心

(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 性质：到三边距离相等。

(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 性质：到三个顶点距离相等。 (3)重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 (4)垂心：三条高所在直线的交点。