2020东北三省三校一模联考数学(理)试题

东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考

试

理科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合{}21x x A =-<<，{}

220x x x B =-≤，则A B =I （ ）

A ．{}01x x <<

B ．{}01x x ≤<

C ．{}11x x -<≤

D ．{}21x x -<≤ 2、复数212i

i

+=-（ ）

A ．(

)

2

2i + B ．1i + C ．i D ．i -

3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）

A ．14

B ．112-

C ．14或1

12

- D ．14-或112

4、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）

A ．6

B ．7

C ．10

D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）

①对于命题:p R x ?∈，使得210x x +-<，则

:p ?R x ?∈，均有210x x +->

②p 是q 的必要不充分条件，则p ?是q ?的充分不必要条件

③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命

题

④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到

一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A ．(1,2??

B ．)2,?+∞?

C ．(]1,3

D ．)

3,?+∞?

9、不等式组2204x y -≤≤??≤≤?表示的点集记为A ，不等式组2

20x y y x

-+≥??≥?表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）

A ．932

B ．7

32

C ．916

D ．716

10、设二项式12n

x ?

?- ???（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，

n b ，则

1212n

n

a a a

b b b ++???+=++???+（ ）

A ．123n -+

B ．()1221n -+

C ．12n +

D ．1

11、已知数列{}n a 满足3215

334

n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为

（ ）

A ．14

B ．13

C ．14-

D ．1

3

-

12、已知函数()()()()2

1102ln 10x x f x x x ?+≥?

=??--

，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，

则k 的取值范围为（ ）

A ．()0,1

B ．10,2?? ???

C ．1,12??

???

D ．()1,+∞

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、向量a r ，b r 满足1a =r ，2b =r ，()()

2a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r

与b r 的夹角

为 ．

14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =o ，

C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．

15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．

16、已知函数()()sin 2cos y x x π?π?=+-+（0?π<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2?= ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17、（本小题满分12分）已知C ?AB 的面积为2，且满足0C 4

和C A uuu r

的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；

()2求函数()22sin 3cos 24f π

θθθ??

=+-

???

的取值范围．

18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．

()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，

再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；

()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．

()I 求证：F//E 平面D PA ；

()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为

5

5

？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分12分）已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，

点()

2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．

()1求椭圆的方程；

()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求?AOB 面积的最大值．

21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．

()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；

()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：1

02

a -

<<； ()II 求证：()()2112

f x f x >>-

．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在C ?AB 中，C 90∠AB =o ，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；

()II 求证：D C D C D E?B =M?A +M?AB ．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x

轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3

12

x t m y t ?=+????=??（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；

()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ?PB =，求实数m 的

值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．

()I 解不等式()0f x >；

()II 若0R x ?∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．

东北三省三校2020年三校第一次联合模拟考试理科数学试题 参考答案 一．选择题：

1.B

2.C

3.C

4.B

5.A

6.B

7.C

8.A

9.A 10.C 11.B 12.C

二．填空题：

13. 900 14. 64π 15. 84 16. 5

4

-

三．解答题： 17.解：

（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，

则由已知：2sin 2

1

=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4ΛΛ分

可得1tan ≥θ，所以：)2

,4[π

πθ∈． 6ΛΛ分

（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ??

=+- ??

?π1cos 222θθ????=-+- ??????

?

(1sin 2)2θθ=+

πsin 2212sin 213θθθ?

?=+=-+ ??

?． 8ΛΛ分

)2,4[ππθ∈Θ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ?

?-+ ???∴≤≤．

即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π

4θ=时，min ()2f θ=．

所

以

：

函

数

)

(θf 的取值范围是]3,2[

12ΛΛ分

18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2

ΛΛ分

3ΛΛ

年龄(岁)

平均年龄估值为:

5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(2

1

=?+?+?+?+?（岁） 6Λ分

(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 38

21)0(2220

15

==

=C C X P 3815

)1(2

2011515===C C C X P 38

2

)2(22025=

==C C X P 9ΛΛ分

X 的分布列为

X

0 1 2 P

3821 3815 38

2 10ΛΛ分

期望2

1

38223815138210)(=?+?+?=X E （人）

12ΛΛ分

19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为

PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21

//∴,

MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴

2ΛΛ分 又?EF Θ平面PAD ,?AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4ΛΛ分

(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

111

(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F

由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6ΛΛ分

假设存在Q 满足条件：设11

,(,0,1),(,,)222

EQ EF EF Q λλλ==u u u r u u u r u u u r ,]1,0[∈λ

1

(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==u u u r u u u r 设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =u r ,

10(1,,0)2

20

x y z m z λλλ?++=??=-??=?u

r 10ΛΛ分 x

y

z

∴

2

1,cos λλ+-< 由已知：

5

512

=

+λλ

解得：2

1

=

λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。 12ΛΛ分 20.（1）有已知：2c =

，2

b a

=

24a b ∴==

故椭圆方程为22

184

x y += 4ΛΛ分

(2)当AB

斜率不存在时：1

22

AOB S ?=?= 6ΛΛ分

当AB 斜率存在时:

设其方程为：(

)2y k x k ?=-≠ ?

由222)

2=8

y kx k x y ?=+-??+??得(

)

))

2

22214

22

280k x k kx k

++-+-=

由已知：)

(

))

2

2

2

2

16

282124k

k k k

?

??=--+-???

?

(2

820k =+>

即：k ≠

AB =8ΛΛ分

O 到直线AB

的距离：d 1

24

22212

+-==

∴?k d AB S ABC 10ΛΛ分

2212k k ≠+≠Q

[)()2211,22,k ∴+∈+∞U

)()24

22,00,221k ∴-

∈-??+U ∴此时 ]22,0(∈?AOB S

综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时：0A B ?面积取最大值为

12ΛΛ分

21.解(1)由已知:/()ln 12(0)f x x ax x =++> ,切点(1,)P a 1L L 分

切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = 3L L 分

(2)(Ⅰ)依题意:/()0f x = 有两个不等实根1212,()x x x x <

设()ln 21g x x ax =++ 则:/1

()2(0)g x a x x

=

+> ①当0a ≥ 时: /()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; 5Λ分 ②当0a < 时:由/()0g x =得:1

02x a

=-> 列表如下:

x

1(0,)2a

-

12a -

1

(,)2a -

+∞ /()g x + 0 - ()g x

↗ 极大值 ↘ 依题意:11()ln()022g a a -=-> ,解得:1

02

a -<<

综上所求: 1

02a -<<得证; 8Λ分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:/(),()f x f x 变化如下:

x 1(0,)x 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ /()f x - 0 + 0 - ()f x

↘

↗

↘

由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,所以:21()()f x f x > 10

Λ

分

又/(1)(1)210f g a ==+> , 故1(0,1)x ∈

由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=

,2111111111

()ln (x ln )(01)2

f x x x ax x x x =+==-<

()ln 02

h x x =< 成立,所以()h x 单调递减,

故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11

()2

f x >-

综上所证: 211

()()2

f x f x >>-成立. 12Λ分

22.选修4-1: 几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结OE .

∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点，

∴AC OD 21

//=，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,.

∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 3Λ分 在EOD ?和BOD ?中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =，

∴EOD ?≌BOD ?，∴ο

90=∠=∠OBD OED ，即

ED OE ⊥.

∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. 5ΛΛ分 （Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .

∵EOD ?≌BOD ?，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.

∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴222DE DB DE BC DE =?=?.

7Λ分

∵OF AB OD AC 2,2==，

∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ?=+?=+?=?+?2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，

∴DF DM DE ?=2，∴AB DM AC DM BC DE ?+?=? 10ΛΛ分 23.选修4-4: 坐标系与参数方程

解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ，

F

C

D

M

O

B

E

A

∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 3Λ分

由???

????=+=t

y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ，

∴直线的普通方程为03=--m y x . 5ΛΛ分

（Ⅱ）将???

????=+=t

y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=??? ??+???? ??-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，

由0>?，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .

设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， 8Λ分 又直线过点)0,(m P ，由上式及的几何意义得

1|2|||||||221=-==?m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ， 因此实数m 的值为或21+或21-. 10ΛΛ分

24.选修4-5: 不等式选讲

解：（Ⅰ）当2-

0)(>x f ，即03>+-x ，解得3

当2

1

2≤

≤-x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即013>--x ，解得31-

1

2-<≤-x ；

当2

1

>x 时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ，

0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又2

1

>

x ，∴3>x . 3Λ分 综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞??? ?

?

-∞-Y . 5ΛΛ分

（Ⅱ）???

?

?

????

>

-≤≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=??? ??=f x f . 8

Λ分

∵R x ∈?0，使得m m x f 42)(20<+，∴25

)(24min 2-=>-x f m m ，

整理得：05842<--m m ，解得：2521<<-

m ， 因此m 的取

值

范

围

是

??

?

??-25,21.

10ΛΛ分