专题23 导数在研究函数中的应用(1)(解析版)

专题23 导数在研究函数中的应用（1）

一、单选题

1．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示．则函数()f x 在(),a b 内有几个极小值点（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】A 【解析】

因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个， 故函数()f x 在(),a b 内极小值点的个数是1. 故选：A

2．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，

不可能．．．

正确的是( ) A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】

根据()0f x '>，则()f x 单调递增；()0f x '<，()f x 单调递减， 容易判断,,A B C 正确；

对选项D ：取()f x '与x 轴的两个交点的横坐标为,m n

数形结合可知当(),x n ∈-∞时，()0f x '≤， 故此时函数()f x 应该在此区间单调递减，

但从图象上看()f x 不是单调递减函数，故该选项错误. 故选：D.

3．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列关于函数()y f x =的极值和单调性的说法中，正确的个数是（ ）

①2x ，3x ，4x 都是函数()y f x =的极值点； ②3x ，5x 都是函数()y f x =的极值点； ③函数()y f x =在区间1(x ，3)x 上是单调的； ④函数()y f x =在区间上3(x ，5)x 上是单调的． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】C 【解析】

由图象得：()f x 在3(,)x -∞递增，在3(x ，5)x 递减，在5(x ，)+∞递增， 故3x ，5x 都是函数()y f x =的极值点，

故②③④正确， 故选：C ．

4．（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）如图是函数()y f x =的导数()'y f x =的图象，则下面判断正确的是（ ）

A ．在()3,1-内()f x 是增函数

B ．在1x =时()f x 取得极大值

C ．在()4,5内()f x 是增函数

D ．在2x =时()f x 取得极小值 【答案】C 【解析】

对A ，由导函数()y f x ='的图象可知，在区间(3,1)-内函数先减后增，∴在(3,1)-不单调，故A 错误；

对B ，当1x =时，'

(1)0f ≠，此时(1)f 不是极大值，故B 错误；

对C ，在(4,5)内()0f x '>，此时函数单调递增，故C 正确．

对D ，当2x =时，'

(2)0f =，但此时(2)f 不是极小值，而是极大值，故D 错误；

故选：C ．

5．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））已知函数()()2

f x x x c =-在2x =处取得极大值，则c 的值为（ ） A ．2 B ．6

C ．4

D ．4-

【答案】B 【解析】

由题意得：()()()2

2f x x c x x c '=-+-，

由()()()2

222220f c c '=-+?-=，解得：6c =或2c =. 当6c =时，()()()636f x x x '=--，

∴当(),2x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()2,6x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； ∴()f x 在2x =处取得极大值，符合题意；

当2c =时，()()()232f x x x '=--，

∴当3,22x ??

∈ ???时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；

∴()f x 在2x =处取得极小值，不合题意；

综上所述：6c =. 故选：B .

6．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数32

()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)

f 等于( ) A ．1 B ．2

C ．—2

D ．—1

【答案】B 【解析】

()32f x x ax bx =++， ()2'32f x x ax b ∴=++，

函数()3

2

f x x ax bx =++ 在1x =处有极值为10，

320110a b a b ++=?∴?++=?，解得1221a b =-??=?

．

经检验知，12,?

21a b =-=符合题意． ()321221f x x x x ∴=-+，

()32221222122f ∴=-?+?=．选B ．

点睛：

由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断．同样在已知函数的极值点0x 求参数的值时，根据

0()0f x '=求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍．

7．（2020·江西省石城中学高二月考（文））已知函数()sin f x x x =+，x ∈R ，若12

log 3a f ??= ??

?

，

13log 2b f ??

= ???

，()22c f -=则,,a b c 的大小为（ ）

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c b a >>

D ．b a c >>

【答案】C 【解析】

()()'sin 1cos 0f x x x f x x =+?=+≥，所以()f x 是R 上的增函数.

1222

21333

log 2log 2log 31,log 3log 3log 21,200-==-<-=->->-=->，

所以()12

1322log 2log 3c f b a f f -??=>??= ??> ???

?=，故本题选C.

8.（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））若函数1

()ln f x x ax x

=++在[1,)+∞上是单调函数，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,0]4??-∞?+∞????

B ．1,[0,)4

??-∞?+∞ ??

?

C ．1,04??

-

????

D ．(,1]-∞

【答案】B 【解析】

由题意得，f ′（x ）211

a x x =

+-， 因为()1

f x lnx ax x

=++在[1，+∞）上是单调函数，

所以f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在[1，+∞）上恒成立， ①当f ′（x ）≥0时，则

211

0a x x

+-≥在[1，+∞）上恒成立，

即a 211x x ≥-，设g （x ）22

11111

()24

x x x =-=--， 因为x ∈[1，+∞），所以1

x

∈（0，1]，

当1

x

=1时，g （x ）取到最大值是：0， 所以a ≥0，

②当f ′（x ）≤0时，则211

0a x x

+-≤在[1，+∞）上恒成立， 即a 211x x ≤-，设g （x ）2211111()24

x x x =-=--，

因为x ∈[1，+∞），所以1

x

∈（0，1]，

当112x =时，g （x ）取到最大值是：14

-， 所以a 1

4

≤-，

综上可得，a 1

4

≤-或a ≥0，

所以数a 的取值范围是（﹣∞，1

4

-]∪[0，+∞），

故选：B ． 二、多选题

9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）

A ．-3是()f x 的一个极小值点；

B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；

C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；

D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-． 【答案】ACD

【解析】

当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，

∴3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-． 故选：ACD.

10．（2020·山东省高二期中）已知函数()f x 的导函数()f x '

的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函

数()f x 的图象的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】BCD 【解析】

由导函数图像可得：

当0x <时，()0f x '>，即函数()f x 在(),0-∞上单调递增； 当02x <<时，()0f x '<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 当2x >时，()0f x '>，即函数()f x 在()2,+∞上单调递增； 故BCD 错误，A 正确. 故选：BCD.

11．（2020·海南省高三其他）已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则（ ） A ．()f x 为奇函数

B ．()f x 在[)0,π上单调递增

C ．()f x 恰有4个极大值点

D ．()f x 有且仅有4个极值点 【答案】BD 【解析】

因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，

()sin cos f x x x x x =+-

()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，

当0,

x 时，()0f x '>，则()f x 在0,

上单调递增.

显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x

=-， 分别作出sin y x =，1

y x

=-

在区间[)2,2ππ-上的图象，

由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故

()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点.

12．（2020·江苏省高二期中）若函数()ln f x x ?在定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数为（ ）. A ．1

()f x e

=

B ．()1f x x

C ．1()x f x e

=

D ．()x f x e =

【答案】AD 【解析】

对于A ，()1()ln ln g x f x x x e =?=

?定义域为()0,∞+，则()1

0g x ex

'=>恒成立，故满足条件； 对于B ，()()()ln 1ln g x f x x x x =?=-?定义域为()0,∞+，则()1

ln 1g x x x

'=-+，又

2111ln 10x x x x '??-+=+> ??

?，()11ln1101g '=-+=，即当01x <<时()0g x '<，函数()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时()0g x '>，函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故不满足条件；

对于C ，()1()ln ln x g x f x x x e =?=?定义域为()0,∞+，()1ln x x x g x e -'=，又2111ln 0x x x x '??-=--< ???，即()g x '在定义域上单调递减，且()11

e e g e e

-'=<，故不满足函数()g x 在定义域上单调递增，故错误； 对于D ，()()ln ln x

g x f x x e x =?=?定义域为()0,∞+，()11ln ln x

x x g x e x e e x x x ?

?'=?+

=+ ??

?，令()1ln h x x x =+

，()22111

x h x x x x

-'=-=， 则1x >时，()0h x '>；当01x <<时()0h x '<，即()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，在

1x =处取得极小值即最小值()()min 110h x h ==>，所以()1ln 0x

g x e x x

??'=+> ??

?

恒成立，即()g x 在定

义域上单调递增，故D 正确； 故选：AD 三、填空题

13．（2020·江苏省邗江中学高一期中）函数32

()35f x x x =-+的极小值为_______________．

【答案】1

32()35f x x x =-+，故()'2()3632f x x x x x =-=-，

取'

()0f x <得到02x <<，故函数在()0,2上单调递减；

取'

()0f x >得到2x >或0x <，故函数在(),0-∞和()2,+∞上单调递增.

故极小值为(2)1f =. 故答案为：1.

14．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知函数()()y f x x R =∈的图象如图所示，则不等式

()'0xf x ≥的解集为______．

【答案】][1

022???+∞????

，，

． 【解析】

由()y f x =图象特征可得，

导数()f x '，在1(,][2,)2-∞+∞上()0f x '>，在1(,2)2

上()0f x '<， 所以()0xf x '≤等价于()00x f x '≥??

≥?或()00

x f x '

02x ≤≤或2x ≥，

即不等式()0xf x '≤的解集为1

[0,][2,)2

?+∞．

15．（2020·周口市中英文学校高二月考（理））如图是()y f x =的导函数的图象，现有四种说法．

（1）()f x 在()2,1-上是增函数，（2）1x =-是()f x 的极小值点 （3） ()f x 在()1,2-上是增函数，（4）2x =是()f x 的极小值点 以上说法正确的序号是_________ 【答案】（2），（3） 【解析】

由函数的图象可知：(2)0f '-<，(1)0f '-=，

()f x 在()2,1-上不是增函数，()1不正确；

1x =-时(1)0f '-=，函数在()3,1--递减，

在()1,2-递增，1x =-是()f x 的极小值点；所以()2正确；

()f x 在()1,2-上()0f x '>，函数是增函数，所以()3正确；

函数在()1,2-递增，在()2,4递减，2x =是()f x 的极大值点，所以D 不正确． 故答案为：(2)(3)

16．（2020·山东省高二期中）若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是______；若函数()f x 在区间()1,+∞内不单调，则k 的取值范围是______. 【答案】[

)1,+∞ ()0,1 【解析】

若()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，所以

()1

0f x k x

'=-≥在()1,+∞上恒成立，

即1k x

≥

在()1,+∞上恒成立，又1x >时，1

1x <，所以1k

；

若函数()f x 在区间()1,+∞内不单调，则方程

()1

0f x k x

'=-=在区间()1,+∞有解，

因为1x >时，1

01x

<

<，因此只需01k <<. 故答案为：[

)1,+∞；()0,1.

四、解答题

17．（2020·横峰中学高二开学考试（文））已知函数()x

f x xe =．

（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．

【答案】（1）20ex y e --=；（2）极小值为1

e

-，无极大值． 【解析】

（1）()x

f x xe =，则(1)f e =，切点坐标为()1,e ． 由题意知，()(1)x x x

f x xe e x e '=+=+，

(1)2k f e '==，由直线的点斜式方程有：2(1)y e e x -=-

即20ex y e --=．

（2）由（1）知，()(1)x

f x x e '

=+，

令()0f x '>，得1x >-；令()0f x '<，得1x <-． 则()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 所以()f x 的极小值为1

(1)f e

-=-

，无极大值． 18．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））已知函数2

()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）求()f x 的单调区间；

【答案】（1）3y =-（2）详见解析 【解析】 （1）

1a =，()2

42ln f x x x x ∴=-+，()224f x x x

'∴=-+

， ()10f '∴=，又()1143f =-=-，

()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为3y =-.

（2）()()()()()()2

22122122210x a x a x a x a f x x a x x x x

-++--'=-++==>，

令()0f x '=，解得：1x a =，21x =.

①当01a <<时，若()0,x a ∈和()1,+∞时，()0f x '>；若(),1x a ∈时，()0f x '<；

()f x ∴的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞；单调递减区间为(),1a ；

②当1a =时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，

()f x ∴的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；

③当1a >时，若()0,1x ∈和(),a +∞时，()0f x '>；若()1,x a ∈时，()0f x '<；

()f x ∴的单调递增区间为()0,1，(),a +∞；单调递减区间为()1,a ；

综上所述：当01a <<时，()f x 的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞；单调递减区间为(),1a ； 当1a =时，()f x 的单调递增区间为()0,∞+，无单调递减区间；

当1a >时，()f x 的单调递增区间为()0,1，(),a +∞；单调递减区间为()1,a . 19．（2020·阳江市第三中学高二期中）已知函数()2

f x ax blnx =+在1x =处有极值

1

2

． （1）求a,b 的值；

（2）求()f x 的单调区间．

【答案】(1)1

2

a =,1

b =-．(2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【解析】 （1）

()'2.b

f x ax x =+又()f x 在1x =处有极值12

,

()()112'10f f ?

=?∴??=?

即12

20a a b ?=

???+=?解得12a =,1b =-． （2）由（1）可知()2

12

f x x lnx =

-,其定义域是()0,∞+, ()()()111'x x f x x x x

+-=-

=． 由()'0f x <,得01x <<；由()'0f x >,得1x >．

∴函数()y f x =的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞．

20．（2020·山东省高二期中）已知函数32

()f x ax x bx =-+在2

3

x =-

与1x =时都取得极值. （1）求a ，b 的值；

（2）求函数()f x 的单调区间，并指出23f ??

-

???

与()1f 是极大值还是极小值. 【答案】（1）2a =，

4b =-.（2）函数()f x 的单调递增区间是2,3?

?-∞- ??

?和()1,+∞，单调递减区间是2,13??

- ???

，23f ??

- ???

是极大值，(1)f 是极小值 【解析】

（1）由()3

2

f x ax x bx =-+，所以()2

'32f x ax x b =-+.

由题意可知203f ??

'-

= ???

，()01f '=， 整理列方程组44033

320

a b a b ?++=?

??+-=? 解得2a =，4b =-. （2）由（1）知

()()()26242321f x x x x x '=--=+-

当x 变化时，()'f x ?()f x 的变化情况如下表：

单调递增 单调递减 单调递增所以函数()f x 的单调递增区间是2,3??-∞-

???和()1,+∞，单调递减区间是2,13??- ???

当2

3x =-时，()f x 有极大值

244327

f ??-= ???；

当1x =时，()f x 有极小值(1)3f =-.

21．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2﹣3x 在x ＝﹣1和x ＝3处取得极值. （1）求a ，b 的值

（2）求f （x ）在[﹣4，4]内的最值. 【答案】（1）a 13=，b ＝﹣1（2）f （x ）min ＝763-，f （x ）max ＝5

3

【解析】 （1）

'()f x ＝3ax 2+2bx ﹣3，

由题意可得

'()f x ＝3ax 2+2bx ﹣3＝0的两个根为﹣1和3，

则2133113b a a ?

-+=-????-?=-

??

，

解可得a 1

3

=

，b ＝-1， （2）由（1）)'(1)3)(f x

x x +＝(﹣， 易得f （x ）在∞(-,-1)，(3,)+∞单调递增，在(1,3)-上单调递减，

又f （﹣4）763=-

，f （﹣1）5

3

=，f （3）＝﹣9，f （4）203=-， 所以f （x ）min ＝f （﹣4）763=-，f （x ）max ＝f （﹣1）5

3

=.

22．（2020·安徽省池州一中高二期中（文））已知函数()2

8ln f x x x =-

（1）求函数()f x 的极值;

（2）求函数()f x 在区间1

,e e

??????

上的最值． 【答案】（1）极小值为48ln2-；无极大值（2）最小值为48ln2-，最大值为21

8e

+． 【解析】

（1）由题意得：()f x 定义域为()0,∞+，()()()22282x x f x x x x

+-'=-

=， ∴当()0,2x ∈时，()0f x '<；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，

()f x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()f x ∴的极小值为()248ln 2f =-，无极大值；

（2）由（1）知：()f x 在1,2e ??????

上单调递减，在(]

2,e 上单调递增，

()()min 248ln 2f x f ∴==-，()()max 1max ,f x f f e e ??

??=?? ?????

，

又211

8f e e

??

=+ ???

，()28f e e =-，()1f f e e ??∴> ???，()2max 11

8f x f e e

??∴==+ ???.

精选-高考数学大二轮复习专题二函数与导数2-3二导数的综合应用练习

2.3（二）导数的综合应用 【课时作业】 A 级 1．(2018·昆明市高三摸底调研测试)若函数f (x )＝2x －x 2 －1，对于任意的x ∈Z 且x ∈ (－∞，a )，都有f (x )≤0恒成立，则实数a 的取值范围为() A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，4] D ．(－∞，5] 解析： 对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )， 都有f (x )≤0恒成立，可转化为对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，2x ≤x 2 ＋1恒成立． 令g (x )＝2x ，h (x )＝x 2 ＋1， 当x <0时，g (x )h (x )． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，5]，故选D. 答案： D 2．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋ x >0，则函数F (x ) ＝xf (x )＋1 x 的零点个数是() A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析： 由F (x )＝xf (x )＋1 x ＝0， 得xf (x )＝－1 x ， 设g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 因为x ≠0时，有f ′(x )＋x >0， 所以x ≠0时， ＋x >0， 即当x >0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，此时函数g (x )单调递增，

此时g (x )>g (0)＝0， 当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0，此时函数g (x )单调递减，此时g (x )>g (0)＝0， 作出函数g (x )和函数y ＝－1 x 的图象，(直线只代表单调性和取值范围)，由图象可知函数 F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数为1个． 答案： B 3．定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )，即f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x ) 在区间D 上为凹函数． 已知函数f (x )＝x 3 －32 x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________． 解析： ∵f (x )＝x 3－32 x 2＋1，∴f ′(x )＝3x 2 －3x ，∴f ″(x )＝6x －3.令f ″(x )>0，即 6x －3>0，解得x >12.∴x 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 答案： ? ?? ? ?12，＋∞ 4．已知函数f (x )＝ ex x ，g (x )＝－(x －1)2＋a 2 ，若当x >0时，存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，则实数a 的取值范围是________． 解析： 由题意得存在x 1，x 2∈R ，使得f (x 2)≤g (x 1)成立，等价于f (x )min ≤g (x )max . 因为g (x )＝－(x －1)2 ＋a 2 ，x >0， 所以当x ＝1时，g (x )max ＝a 2 . 因为f (x )＝ex x ，x >0， 所以f ′(x )＝ex·x－ex x2 ＝ －x2 . 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝e.

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导 数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念 一、问题的提出 1.切线问题 割线的极限位置——切线位置 如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义 设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为 即 其它形式 关于导数的说明： 在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。 对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作 注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题： 例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求： （1） 【答疑编号11030101：针对该题提问】 （2） 【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数： 函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。 【答疑编号11030103：针对该题提问】 解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数 步骤： 例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。 【答疑编号11030104：针对该题提问】 解 例4、设函数 【答疑编号11030105：针对该题提问】 解

第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .

一元函数微分与中值定理.

一元函数微分与中值定理 类型一：高阶导数问题 1、研究函数 1 0()0 x e x f x x -??≠=? =??的各次可微性（7P63） 当0x ≠时，归纳假设12 ()1()()x n n f x P e x - =，再利用导数定义归纳得出0点处 的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数 4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩） 用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22 x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专） 38、设41 x y x =-，求(2001).y （10P204 京13专） 将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设 y x = ，求()(0).n y （10P307 北建88）（曹庆梅） 转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式 2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f （10P342北京防化 92） 利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕） 65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）

一元函数(导数与积分)课堂训练题

填空题 1.下列各极限正确的是 （ ） A 、e x x x =+ →) 11(lim 0 B 、e x x x =+ ∞ →1 )11(lim C 、11sin lim =∞ →x x x D 、 11sin lim 0 =→x x x 2.不定积分=-? dx x 2 11 （ ） A 、2 11x - B 、 c x +-2 11 C 、x arcsin D 、 c x +arcsin 3.若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ） A 、0)('x f C 、0)('>x f ,0)(''x f ,0)(''>x f 4.=-?dx x 2 1、 （ ） A 、0 B 、2 C 、－1 D 、1 5.设? ??+==2 2t t y te x t ，则==0 t dx dy 6.设)(x f 为连续函数，则=+-+?-dx x x x f x f 3 1 1 ])()([ 7.下列极限中，正确的是 （ ） A 、 e x x x =+→cot 0 ) tan 1(lim B 、 11sin lim 0 =→x x x C 、 e x x x =+→sec 0 ) cos 1(lim D 、 e n n n =+∞ →1 )1(lim 8.已知)(x f 是可导的函数，则=--→h h f h f h ) ()(lim 0 （ ） A 、)(x f ' B 、)0(f ' C 、)0(2f ' D 、)(2x f ' 9.设)(x f 有连续的导函数，且0≠a 、1，则下列命题正确的是 （ ）

导数的综合应用

导数的综合应用 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（06江西卷）对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1) f ' (x ) ≥0，则必有（ C ） A ． f (0)＋f (2)<2f (1) B. f (0)＋f (2) ≤2f (1) C. f (0)＋f (2) ≥2f (1) D. f (0)＋f (2) >2f (1) 解：依题意，当x ≥1时，f ' (x )≥0，函数f (x )在（1，＋∞）上是增函数；当x <1时，f ' (x )≤0，f (x )在（－∞， 1）上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故选C 2．（06全国II ）过点（－1，0）作抛物线y=x 2+x +1的切线，则其中一条切线为 （A ）2x+y +2=0 （B ）3x-y +3=0 （C ）x+y+1=0 （D ）x-y+1=0 解：y '=2x +1，设切点坐标为(x 0,y 0)，则切线的斜率为2x 0+1，且y 0=x 02+x 0+1 于是切线方程为y -(x 02+x 0+1)=(2x 0+1)(x-x 0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D 正确。选D 3.（06四川卷）曲线y =4x-x 3在点(-1,-3)处的切线方程是D （A ）y=7x+4 （B ）y=7x+2 （C ）y=x-4 （D ）y=x-2 解：曲线y =4x-x 3，导数y '=4-3x 2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D. 4.（06天津卷）函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ． 4个 解析：函数f (x )的定义域为开区间(a,b )，导函数f ' (x )在(a,b )内的图象如图所示，函数f (x )在开区间(a,b )内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A. 5.（浙江卷）f (x )=x 3-3x 2+2在区间[-1,1]上的最大值是 (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 解：f ' (x )=3x 2-6x =3x (x -2)，令f ' (x )=0可得x ＝0或2（2舍去），当－1≤x <0时，f ' (x )>0，当0

数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型

数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。

5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。

导数的综合应用题型及解法(可编辑修改word版)

导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 x 2 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 1.已知函数y f (x ) x(x c)2 个 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2.求下列直线的方程： （1）曲线y x 3 x 2 1在P(-1,1)处的切线；（2）曲线y x2 过点P(3,5)的切线； 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 f (x) =x3+ax 2+bx +c, 过曲线y = f (x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 3.已知函数 y=3x+1 f (x)在x =-2 处有极值，求f (x) 的表达式； （Ⅰ）若函数 y =f (x) 在[－3，1]上的最大值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 y =f (x) 在区间[－2，1]上单调递增，求实数 b 的取值范围（Ⅲ）若函数 4.已知三次函数f (x) =x3+ax2+bx +c 在x =1 和x =-1 时取极值，且f (-2) =-4 ． (1)求函数y =f (x) 的表达式； (2)求函数y =f (x) 的单调区间和极值； 5.设函数f (x) =x(x -a)(x -b) ． f(x)的图象与直线5x -y - 8 = 0 相切，切点横坐标为２，且f(x)在x = 1 处取极值，（1）若 a, b 的值； 求实数 f (x) 总有两个不同的极值 （2）当b=1 时，试证明：不论 a 取何实数，函数 点．题型四：利用导数研究函数的图象 f / ( x) 的图象如右图所示，则 f（x）的图象只可能是（ 6.如右图：是 f（x）的导函数， D ）

3 （A ） （B ） （C ） （D ） y 1 x 3 4x 1个个个个 7. 函数 3 ( A ) 6 4 2 -4 -2 y o 2 4 -2 -4 6 4 2 x -4 -2 y o 2 4 -2 -4 x -4 6 y 6 y 4 4 2 2 y 2 4 x o x -2 -2 -2 2 4 -4 -4 8．方程 2x 3 6x 2 7 0个 (0,2)个个个个个个 ( B ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 f (x ) = - 1 x 3 + 2ax 2 - 3a 2 x + b ,0 < a < 1. 9. 设函数 3 （1）求函数 f (x ) 的单调区间、极值. （2）若当 x ∈[a + 1, a + 2] 时，恒有| f ' (x ) |≤ a ，试确定 a 的取值范围. 2 10. 已知函数 f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在 x ＝－ 3 与 x ＝1 时都取得极值（1）求 a 、b 的值与函数 f （x ）的单调区间 （2）若对 x ∈〔－1，2〕，不等式 f （x ） 0,函数f (x ) = x 3 - ax 在[1,+∞) 上是单调函数. （1）求实数 a 的取值范围； （2）设 x 0 ≥1， f (x ) ≥1，且 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 .

函数导数及其应用

函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 考纲要求：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用． [基础真题体验] 考查角度[求函数的定义域] 1．(2014·山东高考)函数f (x )＝1 log 2x －1的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【解析】 要使函数有意义，则?? ? x >0， log 2x －1>0， 解得x >2. 【答案】 C 2．(2012·广东高考)函数y ＝x ＋1 x 的定义域为______． 【解析】 要使函数有意义，需????? x ＋1≥0，x ≠0.解得????? x ≥－1， x ≠0. ∴原函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}． 【答案】 {x |x ≥－1且x ≠0} 考查角度[函数的表示方法] 3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 【解析】 设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x

＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1) 2. 【答案】 －x (x ＋1) 2 考查角度[分段函数] 4．(2013·福建高考)已知函数f (x )＝??? 2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2 ，则f ? ???? f ? ????π4＝________. 【解析】 ∵π4∈??????0，π2，∴f ? ?? ??π4＝－tan π 4＝－1， ∴f ? ?? ?? f ? ????π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 【答案】 －2 [命题规律预测]

一元函数微分学知识点

第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：

基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法

一元函数微分

第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ） （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ） （A ）必要条件。 (B) 充分条件。 （C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2 -∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。

（C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C

导数及其应用教材分析

第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：

高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用

高考真题第十四篇一元函数的导数及其应用 一、导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 二、导数的综合应用 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线在点处的切线方程为____________． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线在点处的切线方程为y =2x +b ，则 A ． B ．a=e ，b =1 C ． D ． ， 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线() y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01, ln ,1, x x x x -<?图象上点1P ，2P 处的切 线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞) 3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3 y x = 4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足 2 3()e x y x x =+(0)0， e ln x y a x x =+1e a （，）e 1a b ==-，1e 1a b -==，1e a -=1b =-

一元函数的导数公式和微分

一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则

若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导，

导数在经济学中的应用

引言 近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。 1、导数的概念 早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建 2、经济分析中常用的函数 由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类： 2.1需求函数 需求函数指在特定的时间，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多

自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Q d =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一 一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。 例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。 解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q += 则b a +=100120；b a +=80200 解得4-=a ；520=b 所以需求函数为5204+-=P Q 。 2.2供给函数 一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用()P f Q s =表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。 例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。 解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q += 则b a +=42000；b a +=5.42500 得1000=a ；2000-=b 所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数 产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成

导数的综合应用练习题及答案

导数应用练习题答案 1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 2(1)()23[1,1.5]f x x x =---； 2 1(2)()[2,2]1f x x = -+； (3)()[0,3]f x =； 2 (4)()1 [1,1]x f x e =-- 解：2 (1)()23 [1,1.5]f x x x =--- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为()41f x x '=-，在开区间上可导，而且(1)0f -=，(1.5)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(1,1.5)ξ∈-， 使()410f ξξ'=-=，解出14 ξ=。 解：2 1(2)()[2,2]1f x x = -+ 该函数在给定闭区间上连续，其导数为222()(1)x f x x -'=+，在开区间上可导，而且1(2)5f -=，1 (2)5 f = ，满足罗尔定理，至少有一点(2,2)ξ∈-， 使22 2()0(1)f ξ ξξ-'= =+，解出0ξ=。 解：(3)()[0,3]f x = 该函数在给定闭区间上连续，其导数为() f x '=，在开区间上可导，而且(0)0f =， (3)0f =，满足罗尔定理，至少有一点(0,3)ξ∈， 使()0 f ξ'==，解出2ξ=。 解：2 (4)()e 1 [1,1]x f x =-- 该函数在给定闭区间上连续，其导数为2 ()2e x f x x '=，在开区间上可导，而且(1)e 1f -=-，(1)e 1f =-，满足罗尔定理，至少有一点ξ，使2 ()2e 0f ξξξ'==，解出0ξ=。 2.下列函数在给定区域上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足，请求出定理中的数值ξ。 3 (1)()[0,](0)f x x a a =>； (2)()ln [1,2] f x x =； 32(3)()52 [1,0] f x x x x =-+-- 解：3 (1)()[0,](0)f x x a a =>

一元函数微分学习题

第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ） （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ） （A ）必要条件。 (B) 充分条件。 （C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D

5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C