(精心整理)三角变换与解三角形
第2讲 三角变换与解三角形
一、选择题
1．(2010·福建卷)计算1－2sin 222.5°的结果等于 ( ) A.12 B.22 C.33 D.32 解析：1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22
. 答案：B
2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝ ( ) A ．－43 B.54 C ．－34 D.45
解析：sin 2θ＋sin θ·cos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2
tan 2θ＋1，又
tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45.
答案：D
3．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 解析：由题知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝3
2.
又0 3. 答案：B 4．(2010·威海模拟)已知方程 x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a >0)的两根为 tan α、tan β，且α、β∈ ? ?? ??－π2，π2，则tan α＋β2 的值是 ( ) A.12 B ．－2 C.43 D.1 2或－2 解析：∵a >0，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝ 3a ＋1>0，又∵α、β∈? ?? ??－π2，π2， ∴α、 β∈? ????－π2，0，则α＋β2∈? ???? －π2，0，∴tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan α·tan β＝－4a 1－(3a ＋1) ＝ 43 ，∴tan(α＋β)＝2tan α＋β 2 1－tan 2 α＋β 2 ＝4 3，整理得2tan 2α＋β2＋3tan α＋β2－2＝0，解得tan α＋β2 ＝－2或1 2 (舍去)．故选B. 答案：B 5．(2010·北京卷)某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它 由腰长为1，顶角为α的四个 等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成．该八 边形的面积为 ( ) A ．2sin α－2cos α＋2 B ．sin α－3cos α＋3 C ．3sin α－3cos α＋1 D ．2sin α－cos α＋1 解析：等腰三角形的面积为12×1×1·sin α＝1 2sin α， 等腰三角形的底边长为a ＝12＋12－2×1×1×cos α ＝ 2－2cos α，所以八边形面积为：4×1 2 sin α＋a 2 ＝2sin α＋2－2cos α. 答案：A 二、填空题 6．(2010·北京卷)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π 3，则a ＝________. 解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3，sin B ＝12，又b 6 . ∴∠A ＝π 6.∴a ＝1. 答案：1 7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos A (sin B ＋cos B )＋cos C ＝0，则∠A ＝________. 解析：由题意得 cos A (sin B ＋cos B )－cos(A ＋B )＝0，整 理得sin B (cos A ＋sin A )＝0， 因为sin B >0，所以cos A ＋sin A ＝0，tan A ＝－1， 又A ∈(0，π)，所以∠A ＝3π 4 . 答案：34 π 8．某工程设计员为了测量某地的地势，向正东方向走了x 千米后，他向右转150°，然 后朝新方向走了3千米，这时他距离出发点恰好为3千米，则x 的值为________． 解析：如图，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°，由正 弦定理得BC sin ∠CAB ＝AC sin 30°，故∠CAB ＝60°或120°，当∠CAB ＝60°时，∠ACB ＝ 90°，AB ＝23；当∠CAB ＝120°时，∠ACB ＝30°，故AB ＝ 3. 答案：23或3 9．(2010·江苏卷)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ， 则tan C tan A ＋tan C tan B 的值是________． 解析：∵b a ＋a b ＝6cos C ，由余弦定理得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－ c 22ab ，∴a 2＋b 2＝32 c 2， ∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝ sin C cos C ? ???? cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝c 2ab · a 2＋ b 2－ c 22ab ＝2c 2 a 2＋ b 2－ c 2 ＝ 2c 2 32c 2－c 2＝4. 答案：4 三、解答题 10．(2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝ (2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状． 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c ＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由 余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 故cos A＝－1 2，A＝120°. (2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C. 又sin B＋sin C＝1，得sin B＝sin C＝1 2. 因为0° 11．(2010·天津卷)在△ABC中，AC AB＝ cos B cos C. (1)证明B＝C； (2)若cos A＝－1 3，求sin? ? ? ? ? 4B＋ π 3的值． (1)证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sin B sin C＝ cos B cos C .于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0. 因为－π (2)解：由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝1 3 . 又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 2 2B ＝22 3 . 从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝42 9， cos 4B ＝cos 2 2B －sin 2 2B ＝－7 9 . 所以sin ????4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－73 18 . 12．已知向量m ＝(－1，cos ωx ＋3sin ωx )，n ＝(f (x )，cos ωx )，其中ω>0，且m ⊥n ， 又函数f (x )的图象任意两相邻对称轴间距为3 2π. (1)求ω的值； (2)设α是第一象限角，且f ????32α＋π2＝23 26，求sin ??? ?α＋π 4cos ()4π＋2α的值． 解：(1)由题意得m ·n ＝0，所以， f (x )＝cos ωx ·(cos ωx ＋3sin ωx )＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2 ＝sin ????2ωx ＋π6＋12 根据题意知，函数f (x )的最小正周期为3π， 又ω>0，所以ω＝1 3 (2)由(1)知f (x )＝sin ????23x ＋π6＋1 2 所以f ????32α＋π2＝sin ????α＋π2＋12＝cos α＋12＝23 26 解得cos α＝5 13 因为α是第一象限角，故sin α＝12 13 ， 所以sin ??? ?α＋π 4cos (4π＋2α)＝sin ??? ?α＋π 4cos 2α＝22(cos α－sin α) ＝－13 14 2.