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高三数学立体几何中的最值问题复习

突破立体几何之《立体几何中的最值问题》考点动向

高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．

例１如图６－１，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，

1906ACB AC BC CC ∠==== ，，．

P 是1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值

为．

解析考虑将立体几何问题通过图形变换，转化为平面几何问题解答．

解连结1A B ，沿1BC 将1CBC △展开与

11A BC △在同一个平面内，如图６－２所示，连1AC ，则1AC 的长度就是所求的最小值．通过计

算可得1190AC C ∠=?，又145BC C ∠=?故11135AC C ∠=?，

由余弦定理可求得1AC =．

例２如图６－３，在四棱锥P ABCD -中，

PA ⊥底面A B C D ，DAB ∠为直角，

2A B C D A D C D A B ==，∥，E F ，分别为

PC CD ，的中点．

（I ）试证：CD ⊥平面BEF ；

（II ）设PA k AB =

，且二面角E BD C --的平面角大于30?，求k 的取值范围．

解析对（I ），可以借助线面垂直的判定定理，或者借助平面的法向量及直线的方向

A 1

图６－１

C P

图６－２

C C

图６－３

向量解答；对（II ），关键是确定出所求二面角的平面角．

解法１（I ）证：由已知DF AB ∥且DAB ∠为直角，故ABFD 是矩形，从而CD BF ⊥．又PA ⊥底面

ABC D ，CD AD ⊥，故由三垂线定理知CD PD ⊥．

在PDC △中，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，故

EF PD ∥，从而CD EF ⊥，由此得CD ⊥面BEF ．

（II ）连接AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点，

连接EG ，则在PAC △中易知EG PA ∥．又因PA ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD ．在底面ABCD 中，过G 作GH BD ⊥，垂足为H ，连接EH ，由三垂线定理知EH BD ⊥，从而EHG ∠为二面角E BD C --的平面角．设

AB a =，则在PAC

△中，有

EG PA ka =

=．以下计算GH ，考虑底面的平面图（如图６－５），连接GD ，因

22BD S BD GH GB DF =

= △G ，故GB DF

GH BD = ．在ABD △中，因AB a =，

2AD a =

，得BD =．

而11

GB FB AD a =

==，DF AB =，

从而得GB AB GH BD ===

．因此1

tan ka

EG EHG GH ===．

故0k >知EHG ∠是锐角，故要使30EHG >

∠

，必须

tan 3023

，解之得，k

的取值范围为15

k >

．解法２（I ）如图６－６，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则易知点A ，B ，C ，D ，F 的坐标分别为()000A ，，，()00B a ，，，()220C a a ，，，()020D a ，，，()20F a a ，，．

图６－４

图６－５

从而(200)(020)DC a BF a ==

，，，，，，0DC BF = ，故DC BF ⊥ ．

设PA b =，则(00)P b ，，，而E 为PC 中

点，故

2b E a a ?

? ?

?，，，从而

02b B E a ??

= ??? ，，．0DC BE = ，故

D C B E