余弦定理公式

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

一、明确复习目标

掌握正弦、余弦定理，能初步运用它们解斜三角形。

二．建构知识网络

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

cos

2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2

B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2

1

casinB

S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2

c

b a ++, r 为内切圆半径)

（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A

2．正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===外 证明：由三角形面积

111s i n s i n s i n 222S a b C b c A a c B

=

== 得sin sin sin a b c

A B C

== 画出三角形的外接圆及直径易得：

2sin sin sin a b c R A B C

=== 3．余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

-2bccosA , 222

cos 2b c a A bc

+-=；

证明：如图ΔABC 中，

s i n ,c o s ,C H b A A

H b A B H

c b

===-

2222

222

sin (cos )

2cos a CH BH b A c b A b c bc A

=+=+-=+-

当A 、B 是钝角时，类似可证。

B

正弦、余弦定理可用向量方法证明。

要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况： bsinA

（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，

标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力

三、双基题目练练手

1．(2006山东)在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13

A a b π

===，

则c = （ ）

A.1

B.2

1

2．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）

A.

223 B.2

3

3 C.23 D.33

3．（2002年上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

4. (2006全国Ⅰ)用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为 ( )

A. 2

B. 2m

C. 2

D. 2

20cm

5.（2006全国Ⅱ）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，

则边BC 上的中线AD 的长为_________.

6.(2006春上海)在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .

◆答案:1-4.BBCB; 3.由2cos B sin A =sin C 得ac

b c a 2

22-+×a =c ，∴a =b .

4.组成边长6,7,7时面积最大;

5.

25

7 四、经典例题做一做

【例1】(2006天津)如图，在ABC ?中，2AC =，1BC =，

4

3cos =

C ． （1）求AB 的值； （2）求()C A +2sin 的值. 解（Ⅰ）： 由余弦定理，

2222..cos AB AC BC AC BC C

=+-

3

41221 2.4

=+-???=

∴AB =（Ⅱ）解：由3

cos 4

C =

，且0,C π<<得

sin 4

C ==

由正弦定理:

,sin sin AB BC

C A

=

解得sin sin 8

BC C A AB =

=。所以，cos 8A =。由倍角公式

sin 2sin 2cos A A A =?=

，

()sin 2sin 2cos cos 2sin 8

A C A C A C +=+=

. ◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形

内角”的限制.

【例2】在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ．

解：由正弦定理得：sinA=23

2

45sin 3sin =

?= b B a ,因为B=45°<90°且b

(1)当A=60°时,C=180°-(A+B)=75°， c=

22

645

sin 75sin 2sin sin +=?=

B C

b ,

(2)当A=120°时,C=180°-(A+B)=15 °，c=22

645

sin 15sin 2sin sin -=?=

B C

b ◆提炼方法：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理求解，必需注意解

的情况的讨论．

【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30

，

相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1?）？

[解] 连接BC,由余弦定理得

BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700

于是

∵

7

10120sin 20sin ?=ACB , ∴sin ∠ACB=73

, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援

思路点拨:把实际问题转化为解斜三角形问题，在问题中构造出三角形，标出已知

量、未知量，确定解三角形的方法；

【例4】已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有 (

)(

)

B b a

C A R s i n 2s i n s i n 222-=-成立，求△ABC 面积S 的最大值．

解：由已知条件得 ()

()(

)

b a B R B A R -=-2s i n 2s i n s i n 22

2

2

．即有 2222b ab c a -=-，

又 222cos 222=-+=ab c b a C ∴ 4π

=c ．34

A B π+=

∴ B A R ab C ab S sin sin 44

242sin 212?===

2

2

2

2

3

s i n s i n()

4

sin)

22

(sin21cos2)

2

)1]

24

A A

A A A

R

A A

R

A

π

π

=-

=+

=+-

=-+

当

3

2,()

428

A A B

πππ

-===

即时, 2

max2

1

2

R

S

+

=．

◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。

2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．

【研讨.欣赏】

（2006江西）如图,已知△ABC是边长为1的正三角形, M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过△ABC的中心G.设

2

()

33

MGA

ππ

αα

∠=≤≤.

(1)试将△AGM、△AGN的面积(分别记为

1

S与

2

S)表示为α的函数;

(2)求

22

12

11

y

S S

=+的最大值与最小值.

解:

(1)因为G为边长为1的正三角形ABC的中心,

所以

2

.

3236

AG MAG

π

=?=∠=

由正弦定理,

sin sin()

66

GM GA

ππ

πα

=

-

-6sin()

6

GM

α

=

+

得

11s i n

s i n (

).2)

12s i n ()6

S G M G A ααπα=

??=+则或

,sin

sin()

6sin()6

6

6

GN GA GN π

π

αα=

=

--又

得

21s i n s i n ()).

2t

)

12s i n (6

S G N G A απαπα=

??-==-则或 222

2221211144

(2)sin ()sin ()72(3cot ).sin 66y S S ππαααα??=

+=++-=+???

? 因为

23

3π

πα≤≤

,所以当233

ππαα==或时,y 的最大值max 240y =; 当2

π

α=时, y 的最小值min 216y =.

五．提炼总结以为师

1．掌握三角形中的的基本公式和正余弦定理； 2．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：

（1） 已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。 4．边角互化是解三角形的重要手段．

同步练习

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

【选择题】

1.（2004浙江）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞

2

1

”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.（2004全国Ⅳ）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c

成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23

，那么b 等于 ( ) A.2

3

1+

B.1+3

C.

2

3

2+ D.2+3 3..下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 ( )

A.sin A +cos A =

5

1 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0

D.b =3，c =33，B =30°

4.(2006全国Ⅰ)ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = ( )

A .

14 B. 34 C. 4 D. 3

【填空题】

5.（2004春上海）在ABC ?中，c b a 、、

分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________

6.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.

练习简答：1-4.BBCB; 1.在△ABC 中，A ＞30°?0＜sin A ＜1sin A ＞2

1；sin A

＞

2

1

?30°＜A ＜150°?A ＞30°答案：B 2. 2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .由S=

21ac sin30°=41ac =2

3

，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.得cos B =ac b c a 2222-+=6212422?--b b =4

42-b =23

，解得b =1+3.答案：B

3.由tan A +tan B +tan C=tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.答案：C

5.2;

6.若c 最大，由cos C ＞0.得c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.

【解答题】

7.（2004春北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、

b 、

c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及

c

B

b sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、

c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故

可用余弦定理.由b 2

=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求c

B

b sin 的值.

解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc . 在△ABC 中，由余弦定理得

cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=2

1

，∴∠A =60°.

在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a

A

b sin ，

∵b 2=ac ，∠A =60°，

∴ac b c B b ?=60sin sin 2=sin60°=2

3

. 解法二：在△ABC 中，

由面积公式得

21bc sin A =2

1

ac sin B . ∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴

c

B

b sin =sin A =23.

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.

8.（2005春北京）在△ABC 中，sin A +cos A =22

，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.

解法一：∵sin A +cos A =2cos （A －45°）=

2

2， ∴cos （A －45°）=2

1. 又0°＜A ＜180°，

∴A －45°=60°，A =105°. ∴tan A =tan （45°+60°）=

3

131-+=－2－3.

∴sin A =sin105°=sin （45°+60°） =sin45°cos60°+cos45°sin60°=4

6

2+. ∴S △ABC =2

1

AC ·AB sin A =

2

1

·2·3·462+

=

4

3

（2+6）. 解法二：∵sin A +cos A =2

2，

①

∴（sin A +cos A ）2=

21.∴2sin A cos A =－2

1. ∵0°＜A ＜180°，∴sin A ＞0，cos A ＜0. ∴90°＜A ＜180°. ∵（sin A －cos A ）2=1－2sin A cos A =23， ∴sin A －cos A =2

6.

②

①+②得sin A =46

2+. ①－②得cos A =

46

2-. ∴tan A =

A A

cos sin =462+·6

24-=－2－3.

（以下同解法一）

9. （2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=

53，sin （A －B ）=5

1. （1）求证：tan A =2tan B ；

（2）设AB =3，求AB 边上的高.

剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.

（1）证明：∵sin （A +B ）=

53，sin （A －B ）=5

1， ∴???????

=

-=+51sin cos cos sin 5

3sin cos cos sin B A B A B A B A

B A B A B A t a n t a n 51s i n c o s 5

2c o s s i n ????

????

=

=?=2.

∴tan A =2tan B .

（2）解：

2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ） ∴tan （A +B ）=－4

3

， 即B

A B

A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan

B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得

tan B =

262±（负值舍去）.得tan B =2

6

2+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CD tan =6

23+CD

.由AB =3得CD =2+6，

所以AB 边上的高为2+6.

评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.

10. 在△ABC 中，sin A =

C

B C

B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.

分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”. 解：应用正弦定理、余弦定理，可得

a =a

b

c b a ca b a c c

b 222

22222-++

-++，所以

22222

2

22c a b a b c b c c b

+-+-+=+, 化简得a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.

评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.

【探索题】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +）

（C B A A

-+cos cos sin 2.

（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论. （2）求y 的最小值.

解：（1）∵y =cot A +[][]）（）（）

（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2

=cot A +）（）（）

（C B C B C B -++-+cos cos sin 2

=cot A +

C

B C

B C B sin sin sin cos cos sin +

=cot A +cot B +cot C ，

∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，

∴y ≥cot A +

A

A

cos 1sin 2+=

2

tan

22tan 12

A A

-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2

c o t 2t a n 3A

A ?=3.

故当A =B =C =

3

π

时，y min =3. 评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥3. 可由三数的均值不等式结合cot A +cot B +cot C =cot A cot B cot C 来证.