浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，从左边的等边三角形到右边的等边三角形，经过下列一次变化不能得到的是()
A．轴对称B．平移C．绕某点旋转D．先平移再轴对称
2．如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为（）
A．28°B．32°C．42°D．52°
3．下列事件中是随机事件的是()
A．校运会上立定跳远成绩为10米
B．在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球
C．慈溪市明年五一节是晴天
D．在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水
4．如图，⊙O中，点D，A分别在劣弧BC和优弧BC上，∠BDC=130°，则∠BOC=()
A．120°B．110°C．105°D．100°
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是()
A．sin A=3
5
B．cos A=
3
5
C．tan A=
3
5
D．cos A=
4
5
6．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果
下面有三个推断：
①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是( ) A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①③
7．下列命题是真命题的是( )
A ．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
D ．三角形外心是三条角平分线的交点
8．在平面直角坐标系中，把抛物线y =2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( ) A ．y =2(x ﹣1)2﹣2 B ．y =2(x +1)2﹣2 C ．y =﹣2(x ﹣1)2﹣2
D ．y =﹣2(x +1)2﹣2
9．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，且EF ∥BC ，FD ∥AB ，则下列各式正确的是( )
A ．
AE CD
EB BD
= B ．
EF AE
BC DF
= C ．
EF DF
BC AB
= D ．
AE BD
AB BC
= 10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知4EF CD ==，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
11．已知，当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，则m的值为()
A．﹣5 B．﹣1 C．﹣1.25 D．1
12．如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON=6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN=MP=5，则PN=()
A．2 B．3 C．8
3
D．
10
3
二、填空题
13．写出一个图象的顶点在原点，开口向下的二次函数的表达式_____．
14．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________.
15．已知，⊙O的半径为6，若它的内接正n边形的边长为，则n=_____．16．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为______米．（结果保留两个有效数字）（参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601）
17．如图，⊙O过正方形网格中的格点A，B，C，D，点E也为格点，连结BE交⊙O 于点F，P为CD上的任一点，则tan P=_____．
18．若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线．如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛
物线，且顶点都在直线y上，T1与x轴交于点A1(2，0)，A2(A2在A1右侧)，T2与x轴交于点A2，A3，T3与x轴交于点A3，A4，……，则抛物线T n的函数表达式为_____．
三、解答题
19．解下列两题：
(1)已知
3
4
a
b
=，求
23
a b
a
+
的值；
(2)已知α为锐角，且﹣tan60°，求α的度数．
20．如图，转盘A中的4个扇形的面积相等，转盘B中的3个扇形面积相等．小明设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，那么是甲获胜；如果所得的积是奇数，那么是乙获胜．这样的规则公平吗？为什么？
21．如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点．△ABC是格点三角形(顶点是格点的三角形)
(1)若每个小矩形的较短边长为1，则BC=；
(2)①在图1、图2中分别画一个格点三角形(顶点是格点的三角形)，使它们都与△ABC
相似(但不全等)，且图1，2中所画三角形也不全等)．
②在图3中只用直尺(没有刻度)画出△ABC的重心M．(保留痕迹，点M用黑点表示，并注上字母M)
22．如图，二次函数y=ax2+bx+c过点A(﹣1，0)，B(3，0)和点C(4，5)．
(1)求该二次函数的表达式及最小值．
(2)点P(m，n)是该二次函数图象上一点．
①当m=﹣4时，求n的值；
②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出n的取值范围．
23．如图1，是一种自卸货车．如图2是货箱的示意图，货箱是一个底边AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端档板高DE=0.5米，底边AB离地面的距离为1.3米．卸货时，货箱底边AB的仰角α=37°(如图3)，求此时档板最高点E离地面的高度．(精确到0.1米，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
24．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？
25．定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．
(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？
①正方形是自相似菱形；
②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．
③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．
(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．
①求AE，DE的长；
②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．
26．如图，AB是半圆O的直径，C为半圆弧上一点，在AC上取一点D，使BC=CD，连结BD并延长交⊙O于E，连结AE，OE交AC于F．
(1)求证：△AED是等腰直角三角形；
(2)如图1，已知⊙O
①求CE的长；
②若D为EB中点，求BC的长．
(3)如图2，若AF：FD=7：3，且BC=4，求⊙O的半径．
参考答案
1．A
【分析】
根据对称，平移和旋转的定义，结合等边三角形的性质分析即可．
【详解】
解：从左边的等边三角形到右边的等边三角形，可以利用平移或绕某点旋转或先平移再轴对称，只轴对称得不到，
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形的变换：旋转、平移和对称，等边三角形的性质，掌握图形的变换是解题的关键．
2．C
【详解】
∵△ABC∽△DEF，
∴∠B=∠E，
在△ABC中，∠A=110°，∠C=28°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=42°，
∴∠E=42°，
故选C．
3．C
【分析】
根据随机事件的定义，就是可能发生也可能不发生的事件进行判断即可．
【详解】
解：A．“校运会上立定跳远成绩为10米”是不可能事件，因此选项A不符合题意；
B．“在只装有5个红球的袋中，摸出一个红球”是必然事件，因此选项B不符合题意；
C．“慈溪市明年五一节是晴天”可能发生，也可能不发生，是随机事件，因此选项C 符合题意；
D．“在标准大气压下，气温3°C时，冰熔化为水”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，理解随机事件的定义是解题的关键．4．D
【分析】
根据圆内接四边形的性质，对角互补可知，∠D+∠BAC=180°，求出∠D，再利用圆周角定理即可得出．
【详解】
解：∵四边形ABDC为圆内接四边形
∴∠A+∠BDC=180°
∵∠BDC=130°
∴∠A=50°
∴∠BOC=2∠A=100°
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．5．B
【分析】
利用勾股数求出BC=4，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的三角函数值即可．
【详解】
解：如图所示：
∵∠C=90°，AB=5，AC=3，
∴BC=4，
∴sin A=4
5
，故A错误；
cos A=3
5
，故B正确；
tan A=4
3
，故C错误；
cos A=3
5
，故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．6．B
【分析】
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【详解】
解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，
可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；
③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是
0.45，故错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．
7．A
【分析】
根据圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，对照选项逐一分析即可．【详解】
解：A．在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；
B．平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，故原命题是假命题；
C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；
D．三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，掌握圆的性质和相关定理内容是解题的关键．
8．C
【分析】
抛物线y=2x2绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x，y）变为（-x，-y），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．
【详解】
解：∵把抛物线y=2x2绕原点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y=﹣2x2，
∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2﹣2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键．
9．D
【分析】
根据EF∥BC，FD∥AB，可证得四边形EBDF是平行四边形，利用平行线分线段成比例逐一验证选项即可．
【详解】
解：∵EF∥BC，FD∥AB，
∴四边形EBDF是平行四边形，
∴BE=DF，EF=BD，
∵EF∥BC，
∴AE AF
BE FC
=，
AE EF AF
AB BC AC
==，
∴AE BD
AB BC
=，故B错误，D正确；
∵DF∥AB，
∴AF BD
FC DC
=，
DF FC
AB AC
=,
∴AE BD
BE DC
=，故A错误；
∵EF AF
BC AC
=，
DF FC
AB AC
=，故C错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的的判定，平行线分线段成比例的定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM=4-x，MF=2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】
如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
【点睛】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．11．A
【分析】
根据题意，分情况讨论：当二次函数开口向上时，在对称轴上取得最小值，列出关于m的一次方程求解即可；当二次函数开口向下时，在x=-1时取得最小值，求解关于m的一次方程即可，最后结合条件得出m的值．
【详解】
解：∵当﹣1≤x≤2时，二次函数y=m(x﹣1)2﹣5m+1(m≠0，m为常数)有最小值6，∴m＞0，当x=1时，该函数取得最小值，即﹣5m+1=6，得m=﹣1(舍去)，
m＜0时，当x=﹣1时，取得最小值，即m(﹣1﹣1)2﹣5m+1=6，得m=﹣5，
由上可得，m的值是﹣5，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，注意根据开口方向分情况讨论，一次方程的列式求解，分情况讨论是解题的关键．
12．D
【分析】
根据等边对等角，得出∠MNP=∠MPN，由外角的性质和折叠的性质，进一步证明
△CPN∽△CNM，通过三角形相似对应边成比例计算出CP，再次利用相似比即可计算出结果．
【详解】
解：∵MN=MP，
∴∠MNP=∠MPN，
∴∠CPN=∠ONM，
由折叠可得，∠ONM=∠CNM，CN=ON=6，∴∠CPN=∠CNM，
又∵∠C=∠C，
∴△CPN∽△CNM，
CP CN
CN CM
=，即CN2=CP×CM，
∴62=CP×(CP+5)，
解得：CP=4，
又∵PN CP NM CN
=，
∴
4 56 PN
=，
∴PN=10
3
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
13．y=﹣2x2(答案不唯一)
【分析】
由题意知，图象过原点，开口向下则二次项系数为负数，由此可写出满足条件的二次函数的表达式．
【详解】
解：由题意可得：y=﹣2x2(答案不唯一)．
故答案为：y=﹣2x2(答案不唯一)．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
14．4∶9
【解析】
试题解析：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
考点：相似三角形的性质．
15．4
【分析】
根据题意作出图形，得到Rt△ADO，利用三角函数值计算出sin∠AOD，得出∠AOD=45°，通过圆周角360°计算即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：连接AO，BO，过点O做OD⊥AB，
∵⊙O的半径为6，它的内接正n边形的边长为，
∴AD=BD，
∴sin∠AOD=
2
，
∴∠AOD=45°，
∴∠AOB=90°，
∴n=360
90
?
?
=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了圆内接正多边形的性质，垂径定理的应用，三角函数值的应用，掌握圆的性质内容是解题的关键．
16．6.2
【分析】
根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
故答案为6.2.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.
17．2
【分析】
根据题意，连接DF，得出∠P=∠BDF，由圆的性质，进而证明出∠BDF=∠BED，利用正方形网格图形，结合锐角三角函数值求出tan∠P即可．
【详解】
解：连接DF，如图，则∠P=∠BDF，
∵BD为直径，
∴∠BFD=90°，
∵∠DBF+∠BDF=90°，∠EBD+∠BED=90°，
∴∠BDF=∠BED，
∴∠P=∠BED，
∵tan∠BED=BD
DE
=2，
∴tan∠P=2．故答案为2．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，同角的余角相等，锐角三角函数值应用，掌握圆的基本性质和相关知识点是解题的关键．
18．)
2
1
322n n y x --=-?+【分析】
设抛物线T 1，T 2，T 3…的顶点依次为B 1，B 2，B 3…，连接A 1B 1，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 2，A 3B 3，
A 4
B 3…，过抛物线各顶点作x 轴的垂线，由△A 1B 1A 2是等边三角形，结合顶点都在直线y
x 上，可以求出1B ，A 2(4，0)，进而得到T 1的表达式：23)y x =-+理，依次类推即可得到结果． 【详解】
解：设抛物线T 1，T 2，T 3…的顶点依次为B 1，B 2，B 3…，连接A 1B 1，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 2，A 3B 3，A 4B 3…，过抛物线各顶点作x 轴的垂线，如图所示：
∵△A 1B 1A 2是等边三角形， ∴∠B 1A 1A 2=60°，
∵顶点都在直线y 上，设1()B m ，
∴OC 1=m ，11B C =
，
∴11111tan 3
B C B OC OC ==∠， ∴∠B 1OC 1=30°， ∴∠OB 1A 1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=2=A 2B 1， ∴A 1C 1=A 1B 1?cos60°=1，
1111sin60B C A B =??
∴OC 1=OA 1+A 1C 1=3，
∴1B ，A 2(4，0)，
设T 1
的解析式为：2(3)y a x =-+
则20(23)a =-+
∴a =
∴T 1
：23)y x =-
同理，T 2
的解析式为：26)2
y x =-
-+ T 3
的解析式为：212)y x =-+ …
则T n
的解析式为：1232)2n n y x --=-?+，
故答案为：121
(32)22
n n n y x ---=--?+． 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中锐角三角函数值的应用，直线表达式的应用，图形规律中类比归纳思想的应用，顶点式设二次函数解析式并求解，掌握二次函数解析式的求解是解题的关键． 19．(1) 6；(2) 锐角α=30° 【分析】
（1）根据等式
3
4
a
b
=,设a=3k，b=4k，代入所求代数式化简求值即可；
（2）由cos30°tan60°sinα的值，根据特殊角的三角函数值即可得．
【详解】
解：(1)∵
3
4
a
b
=，
∴设a=3k，b=4k，
∴23
a b
a
+
=
612
3
k k
k
+
=6，
故答案为：6；
(2)∵sinα=4cos30°﹣tan60°
∴sinα=1
2
，
∴锐角α=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了化简求值，特殊角的三角函数值的应用，掌握化简求值的计算是解题的关键．20．规则不公平,理由见解析
【解析】
【分析】
首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果，由两个数字的积为奇数和偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：列表，积的情况如下：
以上共有12个等可能的结果，其中积为偶数的有8个结果，积为奇数的有4个结果，
∴P（甲胜）＝2
3
，P（乙胜）＝
1
3
，
∵P（甲胜）＞P（乙胜），
∴规则不公平．
【点睛】
本题考查游戏公平性、列表法和树状图法，解答此类问题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
21．(2)①见解析；②见解析
【分析】
（1）根据勾股定理，计算BC即可；
（2）①根据图形，令∠B′A′C′=∠BAC，且使得△A′B′C′与△ABC作出图（1）即可；令∠B″A″C″=∠BAC，△A″B″C″与△ABC相似比为2作出图（2）即可；
②根据格点图形的特征，以及中点的定义，连接格点如图所示，则交点M即为所求．
【详解】
解：(1)BC；
(2)①如图1，2所示：∠B′A′C′=∠BAC，△A′B′C′与△ABC，∠B″A″C″=∠BAC，
△A″B″C″与△ABC相似比为2即为所求作图形；
②如图3所示：利用格点图形的特征，中点的定义，作出点M即为所求．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，格点图中作相似三角形，中点的定义，格点图形的特征，掌握格点图形的特征是解题的关键．
22．(1) y =x 2﹣2x ﹣3，-4；(2)①21；②﹣4≤n ≤21 【分析】
（1）根据题意，设出二次函数交点式(1)(3)y a x x =+-，点C 坐标代入求出a 值，把二次函数化成顶点式即可得到最小值；
（2）①m=-4，直接代入二次函数表达式，即可求出n 的值；
②由点P 到y 轴的距离不大于4，得出﹣4≤m ≤4，结合二次函数图象可知，m=1时，n 取最小值，m=-4时，n 取最大值，代入二次函数的表达式计算即可． 【详解】
解：(1)根据题意，设二次函数表达式为，(1)(3)y a x x =+-，点C 代入， 得(41)(43)5a +-=， ∴a =1，
∴函数表达式为y =x 2﹣2x ﹣3， 化为顶点式得：2
(1)4y x =--， ∴x=1时，函数值最小y=-4， 故答案为：2
(1)4y x =--；-4； (2)①当m =﹣4时，n =16+8﹣3=21， 故答案为：21；
②点P 到y 轴的距离为|m |， ∴|m |≤4， ∴﹣4≤m ≤4，