求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
<
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、
~
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法
二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、
等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
]
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，
则
21321(1)
(2) ()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=
∑
例1 已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
！
所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +，得
111
21
3333n n n n n a a +++=++
， 则
11121
3333
n n n n n a a +++-=+，故 因此1
1(13)
2(1)2113133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?- <
评注：已知a a =1,)
(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数
函数、分式函数，求通项
n
a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列
}
{n a 中,
>n a 且
)(21n n n a n a S +=
,求数列}{n a 的通项公式.
解:由已知
)(21n n n a n a S +=
得)(2111---+-=n n n n n S S n
S S S ,
化简有
n
S S n n =--2
12,由类型(1)有
n
S S n ++++= 32212
,
…
又11a S =得11=a ,所以2)
1(2
+=n n S n
,又0>n a ,
2)1(2+=n n s n ,
则
2)
1(2)1(2--+=
n n n n a n
此题也可以用数学归纳法来求解. 二、累乘法
1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若
1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==?∏ …
例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故
1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
???
??=-+-+??+?+??=-?????=???
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
例5.设{}n a 是首项为1的正项数列，且
()0
112
21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），
则它的通项公式是n a =________.
解：已知等式可化为：
[]0
)1()(11=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*
N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即
1
1+=+n n
a a n n
∴2≥n 时，
n
n a a n n 1
1-=-
∴
112211a a a a a a a a n n n n n ????=
--- =121121??--?- n n n
n =n 1. 、
评注：本题是关于
n
a 和
1
+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到
n
a 与
1
+n a 的更为明显的关系式，从而求出
n
a .
练习.已知
1
,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式.
答案：
=n a )
1()!1(1+?-a n -1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
,
11-+=+n na a n n 转化为
),
1(11+=++n n a n a 若令
1
+=n n a b ,则问题进一步转化为
n
n nb b =+1形式，进而应用累乘法求
出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于1()n n a qa f n +=+
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如
(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型
?
（1）若c=1时，数列{
n a }为等差数列;
（2）若d=0时，数列{n
a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{n
a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列
来求.
待定系数法：设
)
(1λλ+=++n n a c a ,
得
λ
)1(1-+=+c ca a n n ,与题设
,
1d ca a n n +=+比较系数得
d c =-λ)1(,所以
)0(,1≠-=
c c
d λ所以有：
)1(11-+=-+-c d a c c d a n n 因此数列????
??-+1c d a n 构成以11-+
c d
a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以
11)1(1-?-+=-+
n n c c d a c d a 即：
1)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 、
规律：将递推关系
d
ca a n n +=+1化为
)1(11-+=-+
+c d
a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数
列
}1{-+
c d a n 从而求得通项公式)1(1111-++-=-+c d
a c c d a n n
逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系d
ca a n n +=+1中把n 换成n-1有
d
ca a n n +=-1,
两式相减有
)
(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比为c 的等比数列
}
{1n n a a -+,进而求得通项公式.
)
(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：
121(2),n n a a n -=+≥
又
{}112,1n a a +=∴+是首项为2，公比为2的等比数列
12n n a ∴+=，即21n
n a =-
解法二：
121(2),n n a a n -=+≥
两式相减得112()(2)n n n n a a a a n +--=-≥，故数列{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等
比数列，再用累加法的……
]
练习．已知数列
}
{n a 中，
,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a 。
答案：1
)21
(1+=-n n a
2．形如：
n
n n q a p a +?=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：
n
n n q a a +=+1，累加即可.
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +?=+1，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1
+n p .目的是把所求数列构造成等差数列
即：
n
n
n n n q
p p q a p a )(11
1
?+
=
++,令
n n n p a b =
，则
n
n n q p p b b )
(11?=
-+,然后类型1，
累加求通项.
ii.两边同除以1+n q . 目的是把所求数列构造成等差数列。
]
即：
q
q a q p q a n n n n 1
1
1
+?=
++,
令
n
n
n q
a
b=
,则可化为
q
b
q
p
b
n
n
1
1
+
?
=
+
.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设
)
(
1
1
n
n
n
n
p
a
p
q
a?
+
=
?
++
+
λ
λ
.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p≠q，否则待定系数法会失效。
例7已知数列{}
n
a
满足
1
11
2431
n
n n
a a a
-
+
=+?=
，
，求数列
{}
n
a
的通项公式。
解法一（待定系数法）：设
1
112
3(3
n n
n n
a a
λλλ-
+
+=+?)
，比较系数得12
4,2
λλ
=-=
，
则数列{}1
43n
n
a-
-?
是首项为
11
1
435
a-
-?=-
，公比为2的等比数列，
·
所以
11
4352
n n
n
a--
-?=-?
，即
11
4352
n n
n
a--
=?-?
解法二（两边同除以
1+
n
q）：两边同时除以1
3n+得：
1
12
24
3333
n n
n n
a a
+
+
=?+
，下面解法略
解法三（两边同除以
1+
n
p）：两边同时除以1
2+n得：
n
n
n
n
n
a
a
)
2
3
(
3
4
2
21
1?
+
=
+
+
，下面解法略
3．形如
b
kn
pa
a
n
n
+
+
=
+1 (其中k,b是常数，且0
≠
k)
方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法
通过凑配可转化为
)
)1
(
(
)
(
1
y
n
x
a
p
y
xn
a
n
n
+
-
+
=
+
+
-;
解题基本步骤：】
1、确定
()
f n=kn+b
2、设等比数列
)
(y
xn
a
b
n
n
+
+
=
，公比为p
3、列出关系式
)
)1
(
(
)
(
1
y
n
x
a
p
y
xn
a
n
n
+
-
+
=
+
+
-,即1-
=
n
n
pb
b
4、比较系数求x,y
5、解得数列
)
(y xn a n ++的通项公式
6、解得数列
{}n a 的通项公式
例8 在数列}
{n a 中，
,
23,111n a a a n n +==+求通项
n
a .（逐项相减法）
解： ，
,
231n a a n n +=+ ①
$
∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，
两式相减得
2
)(311+-=--+n n n n a a a a .令
n
n n a a b -=+1,则
2
31+=-n n b b
利用类型5的方法知2
351+?=-n n b 即
1
3511-?=--+n n n a a ②
再由累加法可得
213251--?=
-n a n n . 亦可联立 ① ②解出213251--?=-n a n n .
例9. 在数列{}n a 中，
362,23
11-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .（待定系数法）
解：原递推式可化为
y
n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为1
2-=n n b b
所以
{}n b 是一个等比数列，首项
299611=
+-=n a b ,公比为21.1
)21
(29-=∴n n b 即：
n
n n a )21
(996?=+-
>
故9
6)21
(9-+?=n a n n .
4．形如
c
n b n a pa a n n +?+?+=+21 (其中a,b,c 是常数，且0≠a )
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设22
1(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++
比较系数得3,10,18x y z ===，
所以22
13(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++
由213110118131320a +?+?+=+=≠，得2
310180n a n n +++≠
；
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +?+?+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=?，则42231018n n a n n +=---。
5.形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列
{}1n n a a λ++为等比数列。
例11 已知数列
{}
n a 满足
211256,1,2
n n n a a a a a ++=-=-=，求数列
{}
n a 的通项公式。
解：设
211(5)()
n n n n a a a a λλλ++++=++
比较系数得3λ=-或2λ=-，不妨取2λ=-，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
则
21123(2)
n n n n a a a a +++-=-，则
{}12n n a a +-是首项为4，公比为3的等比数列
1
1243n n n a a -+∴-=?，所以
11
4352n n n a --=?-?
~
练习.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .
答案：
n
n a 311-=.
四、迭代法
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型
例12 已知数列
{}
n a 满足
3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为
3(1)21n
n n n
a a
++=，所以
又
15
a =，所以数列
{}
n a 的通项公式为
(1)12
3!2
5
n n n n n a --??=。
注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。 五、对数变换法 适用于
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0，
>n a
…
例14. 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 1
22+=+-n n a a ，设1log 2+=n a n
b ，则1
2-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 1
21=+=b 11221--=?=n n n b ，
1221log -=+n a n
，12log 12-=-n a n ，∴
1
21
2--=n n a
练习 数列
{}n a 中，11=a ，1
2
-=n n a a （n ≥2），求数列
{}n a 的通项公式.
答案：n
n a --=22
22
例15 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=??，17a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为5
11237n n n a a a +=??=，，所以100n n a a +>>，。
两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++
设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ （同类型四）
/
比较系数得， lg3lg3lg 2
,4164
x y =
=+
由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +
?++=+?++≠，得lg3lg3lg 2
lg 04164
n a n +++≠， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +
++是以lg3lg3lg 2
lg 74164
+++
为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此
111111111
16
164
4
44
1111
15
1616
444
4
541515116
4
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
[lg(7332)]5lg(332)
lg(7332)lg(332)lg(73
2
)
n n n n n n n n n n a n --------=+
++---=???-??=???-??=??
则11
54151516
4
73
2
n n n n n a -----=??。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。 解：求倒数得
11111111111,,22n n n n n n a a a a a a +++??=+∴-=∴-????
为等差数列，首项111a =，公差为1
2，
112
(1),21
n n n a a n ∴
=+∴=+ 七、换元法 适用于含根式的递推关系
，
例17 已知数列{}n a
满足111
(14116n n a a a +=
++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令n b =2
1(1)24
n n a b =-
代入11
(1416
n n a a +=
++得 即22
14(3)n n b b +=+
因为0n b =≥，
则123n n b b +=+，即11322
n n b b +=+， 可化为11
3(3)2
n n b b +-=
-， 所以{3}n b -
是以13332b -===为首项，以
2
1
为公比的等比数列，因此121132()()22n n n b ---==，则21()32n n b -=+
21
()32
n -=+，得
>
2111
()()3423
n n n a =++。
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳
法加以证明。 例18 已知数列{}n a 满足1122
8(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+
=++，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+
++及1
89
a =，得 由此可猜测22
(21)1
(21)n n a n +-=+，下面用数学归纳法证明这个结论。 （1）当1n =时，212(211)18
(211)9
a ?+-=
=?+，所以等式成立。 （2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，则当1n k =+时， 由此可知，当1n k =+时等式也成立。
（
根据（1），（2）可知，等式对任何*
n N ∈都成立。 九、阶差法（逐项相减法） 1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把已知关系通过11,1
,2
n n n S n a S S n -=?=?
-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的
方法求解。
例19 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。 解：∵对任意n N +
∈有1
(1)(2)6
n n n S a a =++ ⑴ ∴当n=1时，11111
(1)(2)6
S a a a ==++，解得11a =或12a = 当n ≥2时，1111
(1)(2)6
n n n S a a ---=
++ ⑵ :
⑴-⑵整理得：11()(3)0n n n n a a a a --+--= ∵{}n a 各项均为正数，∴13n n a a --=
当11a =时，32n a n =-，此时2
429a a a =成立
当12a =时，31n a n =-，此时2
429a a a =不成立，故12a =舍去
所以32n a n =-
练习。已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2
1
+=
n n a S ,求数列}{n a 的通项公式. 答案：n n n a S S =--1 2
12)1()1(+=--n n a a 12-=n a n
2、对无穷递推数列
：
例20 已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-=
则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
???
?=-???=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，
则21a =，代入③得!13452
n n a n =?????=
。 所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
{
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数()f x 的定义域为D ，若存在0()f x x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为
()f x 的不动点或称00(,())x f x 为函数()f x 的不动点。
分析：由()f x x =求出不动点0x ，在递推公式两边同时减去0x ，在变形求解。 类型一：形如1 n n a qa d +=+
例21 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为()21f x x =+，由()f x x =得，不动点为-1 ∴112(1)n n a a ++=+，…… 类型二：形如1n n n a a b
a c a d
+?+=
?+
;
分析：递归函数为()a x b
f x c x d
?+=
?+
（1）若有两个相异的不动点p,q 时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q ，再将两式相除得
11n n n n a p a p k a q a q ++--=?--，其中a pc k a qc -=-，∴111111()()
()()
n n n a q pq k a p pq a a p k a q -----=---
（2）若有两个相同的不动点p ，则将递归关系式两边减去不动点p ，然后用1除，得
111n n k a p a p +=+--，其中2c
k a d
=+。
例22. 设数列{}n a 满足7
24
5,211++=
=+n n n a a a a ,求数列{}n a 的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：
7
2524
7)52(727)52(72451
++++
+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a , 令5
24
7++=
t t t , 解之得t=1,-2 代入72)52(1+++=++n n n a t a t t a 得
>
7213
11+-=-+n n n a a a ,7
22
921++=++n n n a a a ,
相除得
21312111+-?=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为4
1
2111=+-a a ，
公比为31
的等比数列, 21+-n n a a =n -?134
1, 解得13423411-?+?=--n n n a .
方法2：,
7
21
3
11+-=-+n n n a a a ，
两边取倒数得
1
3
32)1(39)1(2)1(3721
11-+=-+-=-+=
-+n n n n n n a a a a a a ，
令b 1
1
-=
n n a ，则b =n n b 33
2
+,, 转化为累加法来求. 例23 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-=
=+，，求数列{}n a 的通项公式。
解：令212441x x x -=
+，得2
420240x x -+=，则1223x x ==，是函数2124()41
x f x x -=+的两个不
动点。因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793341
n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。所以数列23n n a a ??-??-??
是
以
112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故12132()39
n n
n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=
+-。
十一。特征方程法 形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列
形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项
n a ，其特征方程为2x px q =+…①
若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n
n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n
n a c nc c c α=+是待定常数）
再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a
例24 已知数列{}n a 满足*
12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为2
32x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =?+?，
由1122122243a c c a c c =+=??=+=?，得121
12
c c =???=??， 112n n a -∴=+
例25、数列{}n a 满足1512a =-，且2
12542924
n n n a a a +-
=+求数列{}n
a 的通项。 解：22
11252925244429292244
n n n n n n n a a a a a a a λλλλ++-++-
+==
+=++
……① 令2
29254λλ-=，解得12251,4
λλ==，将它们代回①得，
()21112924
n n n a a a +++=
+
……②，2
12525429424n
n n a a a +??+ ???+=+……③， ③÷②，得2
1125254411n n n n a a a a ++??
++ ?= ?++ ?
??
,
则11252544lg 2lg 11n n n n a a a a +++
+=++，∴数列254lg 1n n a a ??+????+??
??
成等比数列，首项为1，公比q =2
所以1254lg 21n n n a a -+
=+，则12254101n n n a a -+=+，1
1
222510
4101
n n n a ---∴=- 十二、基本数列
1．形如)(1n f a a n n =-+型 等差数列的广义形式，见累加法。 2.形如
)(1
n f a a n
n =+型 等比数列的广义形式，见累乘法。 3.形如)(1n f a a n n =++型
（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.