有界变量的强大数定理

2.实数基本定理的等价性证明

§ 2 实数基本定理等价性的证明 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理致密性定理Cauchy收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 . 一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ). 1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: 定理 1 单调有界数列必收敛 . 2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: 定理 2 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有. 推论1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有. 推论2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, . 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”: 定理 3 数列收敛是Cauchy列.

引理Cauchy列是有界列. ( 证 ) 定理 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅 读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观. 4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”： 定理5 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确 界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是 的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗. 下证.用反证法验证的上界性和最小性. 二. “Ⅱ”的证明: 1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”: 定理6 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 证（突出子列抽取技巧） 定理7 每一个有界无穷点集必有聚点. 2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”： 定理8 数列收敛是Cauchy列.

态度(平衡理论-一致性理论-认知失调论)

海德的平衡理论 1958年，心理学家海德（）提出了改变态度的“平衡理论”，又被称为“P-O-X理论”，P与O各代表一个人，X是第三者或态度对象。平衡理论假定P－O－X之间的平衡状态是稳定的，排斥外界的影响，不平衡状态是不稳定的，并会使个人产生心理上的紧张。这种紧张消除仅当他们之间的关系发生改变，恢复平衡状态时才竟其功。综合言之，海德尔的平衡理论考虑的是一个人会在自己的认知架构内，组合彼此间对人和对物的态度。申言之，海德尔所感兴趣的一致性是在人对他们与其它人之间的关系，以及与环境之间关系的看法 简介 海德的平衡理论（Heider's Balance Theory），原则上与费斯廷格的认知失调理论是相同的，但海德强调一个人对某一认知对象的态度，常常受他人对该对象态度的影响，即海德十分重视人际关系对态度的影响力。 示例 例如：P为学生，X为爵士音乐，0为P所尊敬的师长。如果P喜欢爵士音乐，听到0赞美爵士音乐，P—0—X模式中三者的关系皆为正号，P的认知体系呈现平衡状态。如果P喜欢爵士音乐，又听到O批判爵士音乐，P—0—X模式中，三者的关系二正一负，这时P的认知体系呈现不平衡状态，不平衡状态会导致认知体系发生变化。

用处 平衡理论的用处在于使人们可以用“最小努力原则”来预计不平衡所产生的效应，使个体尽可能少地改变情感关系以恢复平衡结构。在一定的情境中，它能以简练的语言来描述认知的平衡概念，使它成为解释态度改变的重要理论。 编辑本段海德的平衡理论的主要内容 海德认为，人类普遍地有一种平衡、和谐的需要。一旦人们在认识上有了不平衡和不和谐性，就会在心理上产生紧张的焦虑，从而促使他们的认知结构向平衡和和谐的方向转化。显然，人们喜欢完美的平衡关系，而不喜欢不平衡的关系。 平衡理论涉及到一个认知对象与二个态度对象之间的三角形关系。例如，用符号P来表示认知的主体，用符号O与X表示二个态度对象。 O与X称为处于一个单元中的二个对象。认知主体P对构成一体的两对象O与X的评价是带有情绪性的，喜恶、赞成与反对。 通常，认知主体对单元中两对象的态度是趋向一致的，如喜欢某人，则对某人的工作也很赞赏；不喜欢某人，则认为他的朋友也不是好东西。 为此，当认知主体对一个单元内两对象看法一致时，其认知体系呈现平衡状态；当对两对象有相反看法时，就产生不平衡状态。例如，喜欢某人，但对他的工作表现不能赞同。不平衡的结果会引起内心的不愉快和紧张。消除不平衡状态的办法将是，赞同他的工作表现，或不再喜欢此人，这就产生了态度转变的问题。 现将上述的P--O--X的关系列成图解形式，以符号“+”表示正的关系，以符号“-”表示负的关系，那么，共有8种工，其中4种是平衡的结构，4种是不平衡的结构，如图（P-O-X关系形式）： 判断三角关系是平衡的，还是不平衡的，其根据为：平衡的结构必须三角形三边符号相乘为正；不平衡的结构必须三角形三边符号相乘为负。 现举例说明这种三角关系。今有认知主体P（女青年），态度对象为O（男青年，为P的男朋友），X（男青年O自愿当清洁工）。 对此，可能存在三种情况： ·P对O与X皆持赞成态度，这是一种平衡状态； ·P对O与X皆持不赞成态度，这也是一种平衡状态； ·P对O持赞成态度，对X持不赞成态度，这就造成了不平衡状态。 在第三种情况下，P要达到平衡的解决办法为： ·P改变对O的看法，认为O很老实，肯干； ·P改变对X的看法，认为X（清洁工）也是工作的需要； ·P劝说O，不要去做清洁工。 由上可见，不平衡状态会导致认知结构中的各种变化，所以，态度可以凭借这种不平衡的关系而形成和改变。 海德的平衡理论缺点 海德平衡理论的缺点是过于简单，只表示出关系的方向，却没有说明这种关系的程

1.2数集和确界原理

§1.2 数集和确界原理 授课章节：第一章 实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、 区间与邻域 (一) 区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <. ???有限区间区间无限区间 ，其中 {}{}{}{}|(,).|[,]. |[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ??∈<<=??∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=???开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间: {}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|. x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?无限区间 (二) 邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？ 1、a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即

数集和确界原理

§2 数集和确界原理 教学目的与要求： 使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理。 教学重点，难点： 集合有界，有上下确界的定义， 确界原理的证明及应用。 教学内容： 本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R 中的两类重要数集—区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。 一 区间与邻域 1、区间的定义 设a 、b ∈R 且a ＜b. 开区间（a, b ）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间([]b a b a ,),和、有限区间的定义。 几何意义。 区间[)∞+,a 、(]a ,∞-、), (∞+a 、()a ,∞-、R =∞+-∞),(、无限区间的定义。 有限区间和无限区间统称为区间。 满足绝对值不等式δ<-a x 的全体实数x 的集合称为 2、邻域的定义 设0,>∈δR a 。 点a 的δ邻域 );(δa U 或)(a U 的定义 点a 的空心δ邻域()δ;a U 或)(a U 的定义 ()δδ;);(a U a U 与 的差别 点a 的δ右邻域()δ;a U +或)(a U + 点a 的δ左邻域()δ;a U -或)(a U - 点a 的空心δ左、右邻域()a U - 、()a U - 等的定义 ∞邻域()∞U 、+∞邻域()∞+U 、∞-邻域()∞-U 。 二 有界集·确界原理 1、有阶集的定义 定义1 设S 为R 中的一个数集。若存在数M （L ），使得对一切,S x ∈都有(),L x M x ≥≤则称S 为有上界（下界）的数集，数M （L ）称为S 的一个上界（下界）。 若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。若S 不是有界集，则称S 为无界集。 注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。 例1 证明数集{} 为正整数n n N =+有下界而无上界。

Aldmin《数学分析》3第一章 实数集与函数---§2数集和确界原理

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。 授课章节：第一章 实数集与函数---§２数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。 教学要求：（１）掌握邻域的概念；（２）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加 以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课。 引言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容。下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ １．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-. ３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤. ４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<. [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。 本节主要内容： １．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。 一 区间与邻域 １．区间（用来表示变量的变化范围） 设,a b R ∈且a b <。

六大定理互相证明总结

六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件： （1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，

确界原理的证明

§2 数集. 确界原理 (一) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上、下界，上确界和下确界；确界原理 难 点： 上、下确界定义的理解、数集确界的证明 二) 教学目的： 1）正确使用区间和邻域概念，掌握集合的有界性的证明； 2）初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。 （三）基本要求： 1）掌握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合， 能指出其确界； 2）能用定义证明集合A 的上确界为ξ．即： A x ∈?有ξ≤x ，且 ,,00A x ∈?>?ε使得 εξ->0x ． (三) 教学建议： (1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置 证明具体集合的确界的习题． (2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较好学生可布置证明抽象集合的确界的习 题． 一 区间与邻域: 区间 邻 域 设a 与δ是两个实数，且0>δ，称点集 }|||{δ<-=a x x E 为点 a 的δ邻域，记作)(a U δ 称点集 }|{}|{)(δδδ+<<<<-=a x a x a x a x a U 为点 a 的去心δ邻域 记作)(0 a U δ . δ δ

a 的右δ邻域 }|{)(δδ+<≤=+a x a x a U a 的右δ空心邻域 }|{)(0 δδ+<<=+a x a x a U a 的左δ邻域 }|{)(a x a x a U ≤<-=-δδ a 的左δ空心邻域 }|{)(0a x a x a U <<-=-δδ ∞邻域 }||| {)(M x x U >=∞ ∞+ 邻域 }|{)(M x x U >=∞ ∞- 邻域 }|{)(M x x U -<=∞ 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数R 上的一个数集，若存在一个数M （ L ）, 使得对一切 S x ∈ 都有 )(L x M x ≥≤，则称S 为有上界(下界)的数集。 若集合S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。 例如，区间 ],[b a 、(,) (,a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {} ) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集. 无界数集: 若对任意0M >，存在 ,||x S x M ∈>，则称S 为无界集。 例如，) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-，有理数集等都是无界数集, 例1 证明集合 ??? ??? ∈= =) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 是无界数集. 证明：对任意0M >, 存在 1 1 (0,1),,11 x y E y M M M x =∈= ∈=+>+ 由无界集定义，E 为无界集。 y x M M+1

数集 确界原理(经典课件).

§２数集?确界原理 教学内容：1．实数集的有关概念； 2．确界的概念和确界原理。 教学目的：1．使学生知道区间与邻域的表示方法； 2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。 教学难点：确界的定义及其应用。 教学方法：讲授为主。 教学学时：2学时。 引言： 为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视。 一、区间与邻域： １．区间（用来表示变量的变化范围）： 设,a b R ∈且a b <。 {}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ????∈<<=????∈≤≤=??∈≤<=?????∈<≤=?????∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间????????????? 注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。 ２．邻域： 联想字面意思：“邻近的区域”。 设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数。 (1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+ (2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<-

通过视频自学确界原理证明的学习笔记完整整理版zfy

“R”指的是全体实数集合“?”一切 “a A ?∈”，表示对一切属于集合A的元素a 用定义证明没有最大上界 确界存在原理证明的学习笔记 北京师范大学郇中丹 这是我的学习笔记，里面的有些证明是王峻老师给出的。 确界存在定理是初学数学分析遇到的第一个学习难度大的定理，一是理解难度比较大，还有就是对定理重要性的认识不是很到位。 在看郇中丹的教学视频之前我反复看过这个定理两个不同版本数学分析教材中的证明，一个是陈纪修版，高等教育出版社的《数学分析第二版》（2004年6月第2版），一个是张筑生编著，北京大学出版社的《数学分析新讲》（1990年1月第1版）。当时我认为自己弄懂了这个定理的证明，但当我看到北京师范大学郇中丹的课堂教学视频实录（2006年9月25日的两节课，100分钟）后才发现自己还没有完全明白。郇中丹证明严谨，当然也就更难理解。我花了自己近一个月的业余时间，揣摩他的证明，弄明白了这个定理证明，整理了这份学习笔记。 采取双栏（左窄右宽）的方式是因为这个定理的证明非常长，当你从起点出发走的比较远时，你会发现已经经常会忘了自己到哪里了，又该去哪里，左边的窄栏帮你快速了解自己现在所处的位置，方便你继续前进。 一、定义上界和上确界 在证明过程中会反复用到这两个定义，尤其是上确界的定义，一定要搞明白． 1．上界 设A?R，A不是空集，b∈R，如果a A ?∈，都有a b ≤，称b是集合A的上界． 下面的问题是显然的． (1)非空有上界的实数集合A有最大上界吗？ 显然没有最大的上界．理由如下： 因为若b是集合A的上界，有 1 b b >，则a A ?∈，都有1 b b a >≥，即 1 a b b ≤<，那么 1 b也是集合A的上界．所以集合A没有最大的上界． 问题2即确界存在原理

目标一致性理论

目标一致性理论 目标一致性理论指的是在评价系统中，应在系统目标、评价指标和评价目的三者之间取得一致。这是建立有效的评价指标体系的前提条件。三者的关系如下图： （一）评价指标与系统总目标的一致性 系统存在与目标，即在决策和计划中所确定的人们所期望的内容及其数量值。系统输出的评价均体现为目标实现的程度，在人力系统中，就是业绩水平。这决定了业绩评价必须和系统目标相联系，而评价指标表达的是评价的要求，必然要与系统目标相一致，这体现在两个方面。 1、内容是否一致。评价指标的内容是否反映了目标的实质含义，做到一致性。评价目标的内容不仅能够正确评价系统输出对目标值的实现程度，而且能引导系统朝正确的方向发展。 2、内容是否反映了目标的整体性。评价目标的内容是否反映了系统总目标的整体和各个侧面。综合评价要求评价指标不应该是单一的，而是根据系统的总目标进行科学的分析，系统的了解，建立一套能够反映系统总目标和整体效率的多方面，多层次有机联系的评价指标体系。 （二）评价指标与评价目的的一致性 评价指标体系是一组既独立又相关并能较完整的表达评价要求的评价因子，也就是说，评价指标体现的是评价要求、评价目的。由于评价目的的不同，评价指标也应该有所变动。 （三）评价目的与系统目标的一致性 评价指标既要与系统目标一致，又要与评价目的一致，这就要求评价目的与系统目标具有良好的一致性。否则，设计评价指标体系过程将遇到难以两相适应的局面，导致评价工作的失败。另一方面，系统目标决定了一切活动，评价工作必须服务于系统目标。评价只是一种手段，为评价而评价的活动是毫无价值的。因此，评价的目的和系统目标的一致性也是目标一致性原理所要求的。

数学分析1.2数集与确界原理

第一章实数集与函数 2 数集·确界原理 一、区间与邻域 设a、b∈R，且aa}， (?∞, +∞) ={x|?∞0。满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有 U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ) 点a的空心δ邻域定义为 U?(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ} 也简单地记作U? (a). 点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)； 点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)； 去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U?+(a)和U?-(a). ∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)； +∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}. 二、有界集·确界原理 定义1：设S为R中的一个数集。若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。若S不是有界集，则称S为无界集。 例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。 证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；

b 社会心理学的认知理论-认知一致性趋向

社会心理学的认知理论 认知不和谐有的心理学家又称之为认知失调论。它是社会心理学的基本理论之一，也是态度和认知研究范畴中的一个重要课题。认知不和谐（认知失调）理论是由费斯廷格在1957年提出来的。他以认知元素为基本单位（认知元素指有关环境、个人及个人行为的任何认识、意见及信念），将两个单位的关系区分为协调（和谐）、不协调（不和谐）和不相关三种。简言之，认知不和调（不协调）就是指两种认识上的不一致而导致出紧张心理状态，产生动机冲突。这种不和谐程度取决于两个因素：（1）认知对个体的重要性程度。（2）与某一不平衡的特殊问题有关的认知与总认知所占的比例。费斯廷格假定，当认知间的不和谐程度增加时，个人所感受到要改变这种状况的心理压力也就愈来愈大。如果得不到解决，就必然导致人格失常与离轨行为。导致认知不和谐的原因有两个方面：一是认知体系的成分，即客观存在与主体认识是否相一致成分。（2）改变不和谐成分使之相互之间不再出现矛盾，或是减少这种不和谐成分的重要作用。（3）纠正两个对立认知的不协调的逻辑判断。以扎琼斯为代表的社会心理学家对这一理论又做出了新的贡献。认知不和谐理论，受到心理界的欢迎，并激励着人们进行更深入的研究。 认知一致论。对于态度的形成，西方社会心理学家提出守三种不同的理论解释：（1）学习论，认为态度和其他习惯一样是通过后来学习而获取的（2）诱因论，认为一个人采取的态度受他对收益多少的考虑决定。（3）认知一致论，这是目前影响较大的一种理论。 认知一致论强调人在认识总是寻求一种平衡的、一致的、协调的状态。一个人如果有几种信念或观点彼此不协调，他将感受到心理上的压力，进而引起认知结构的重新组合，以便恢复认知结构。的学派的知觉完形观和勒温的场论，它试图说明态度的不同成分之间有趋向一致的压力。从生物学立场看，人只有一个自己，一切身体的行为运动全靠唯一的大脑中枢下达指令来控制，即使是由潜意识引起的某种行为。这是否意味着人下意识地希望有种统一的、主宰其他的文化、信念或者知识体系。这样看来，民主政体就毫无合理性可言了，总不能让各个器官投票决定让大脑先做什么这件事吧。看起来还是中国的天子制度更适合人。不过情况也许是，各个器官真的先投票了——它们为有机整体的功能需求的急迫性而投票，有个谈判过程，然后才决定暂时让哪个器官工作或更卖力些。 认知一致论有三种变式。第一种变式是平衡论，它是由海德在198、58

(完整版)关于教学评一致性的学习

“基于课程标准的小学数学“教学评一致性”行动研究 山东省东营市垦利区黄河口镇小学韩敏 作为有效教学的一个基本原理，“教学评一致性”越来越受到理论与实践研究者的关注。它既反映了课程思维的本质要求，即整体一致地思考“为什么教”、“教什么”、“怎样教”、“教到什么程度”的问题，也为我们在推进有效教学中顺应课程视域的这种专业化诉求，建立以目标为灵魂的“三位一体”的关系，进而矫正种种偏差、建立专业自觉提供了依据和可能。“教学评一致性”理论体系基本形成，那么具体行动问题就上升到了我们教育教学的议事日程： 一、数学课堂教学评价的内容和标准研究通过研究，我们认为应考虑在以下五个维度上构建数学课堂教学评价的内容和标准： 1．目标制定所谓目标制定就是指教师和学生根据实际问题和学生先前的知识、兴趣和经验共同选择学习目标。通过对身边老师的观察，我们认为他们有想让学生学会学习，学会生活的良好愿望。但在实际调研中，我们发现了一些问题，比如一些教师一味地追求完美，追求学生的全面发展，而忽视自己学生的实际水平，一意照搬教参的目标，一意照仿别人所上的目标来作为自己课堂教学的目标，造成事倍功半，课堂效果差。例如在小学数学《平行四边形面积》的教学： 教学：（平行四边形纸片，给出了底和高的数据。） 师：谁来说说你是怎么求的？ 生：我把平行四边形象这样剪开。 （拿着一平行四边形纸片，并演示）拼过来就是长方形了，这个长方形面积就是它的面积。 师：小组讨论一下，平行四边形的底与高和长方形的长与宽有什么关系？面积呢？

生：（讨论、汇报略） 师：所以平行四边形的面积就等于？ 生：底乘以高。 2．教学策略 教师与学生共同制定学习策略教师与学生共同制定学习是指教师和学生共同设计，合作来完成本堂课的教学。整节课教学过程中既体现了教师是课堂教学的主导，又体现了学生是课堂教学的主体这一鲜明的特点，教师和学生有机的结合，最终来达到教学的目的，发挥出教师和学生在这知识点教学上所应起到的作用。在平时我们所见的课堂教学中，我们看到最多的就是那些教师设计好整个剧本而让学生顺着剧情来表演的教学策略，也就是老师们经常提到的“教师牵着学生走”的教学。这类教学忽视了学生是课堂教学的主体，忽视了学生的个性差异，把老师当成课堂教学的主宰，绝对权威，这样一来，课堂上的学生积极性不高，课堂气氛往往显得沉闷。学生学到的往往是知识的结果，而不明白为什么会有这样的结果。而我们的教学目的不仅让学生知道结果，更重要的是产生这一结果的过程，也就是说教师不单单“授之以鱼”更要“授之以渔”。学生自定步骤，为个别性学习而设计所谓学生自定步骤学习，这充分体现了学生在某些知识教学过程中的自主性，体现了学生真正是课堂教学的主体。每位学生都有着不同的经验，每位学生都有各自原有的水平，每位学生都有怎样获取知识的兴趣、爱好。学生是具有鲜明个性的活生生的人，他们都有着个性的差异，他们不可能都以一种同样的方式来获取知识。因此，教师要给他们自主选择的权力，让他们有计划的自定步骤、自我支配课堂教学的某些环节，张扬个性，体现自主，更好地发挥出自身的潜能。同时，教师也在这适当的“放”的过程中，为学生的个别化学习提供了良好的平台，让每个学生各有所长，体现出教师因材施教的教育原则。

2数集和确界原理.

§ 2数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数一一§ 2数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念 . 教学要求： （1） 掌握邻域的概念； （2） 理解实数确界的定义及确界原 理，并在 有关命题的证明中正确地加以运用 教学重点 教学难点 教学方法 教学程序 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章§ 实数的相关内容.下面，我们先来检验一下自学的效果如何！ 1、证明：对任何 x^R 有：(1) |x-1|+|X-2|31 ； (2) |x-1|+|x-2| + |x-3|>2. ((1 7| X —1]=|1+(X -2)|>1 — 2、证明：|x|-1 y| ^x-y|. 3、设a,b 亡R ，证明：若对任何正数S 有a +b vs ，贝U a y ，证明：存在有理数r 满足y c r c x. ［引申］:①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一 .而 不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小 题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭 空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用 .提请注意这种差 别，尽快掌握本门课程的术语和工具. 本节主要内容： 1、 先定义实数集R 中的两类主要的数集一一区间与邻域； 2、 讨论有界集与无界集； 3、 由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理） . 、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围） 、几口 . 有限区间甘+ 设a,b 匸R 且a1) ((2)|x —1|+|x -2| >1,|X -2|+|X -3 >1,|x -2+|X -3>2.三式相加化简即可）

区块链分布式系统面临一致性问题及共识算法的理论知识解析

区块链分布式系统面临一致性问题及共识算法的理论知识解析共识机制已经成为了目前区块链系统性能提升的关键瓶颈。 单一的共识算法均存在各种问题，如PoW算法存在消耗大量计算资源及性能低下的问题，PoS或DPoS存在“富豪统治”问题，融合多种共识算法优势的想法正受到越来越广泛的关注。 分布式系统面临的挑战区块链是一个分布式系统，分布式系统碰到的第一个问题就是一致性问题。 在分布式系统中，一致性是指：对于系统中的多个服务节点，给定一系列操作，在协议（往往通过某种共识算法）保障下，试图使得他们对处理结果达成某种程度的一致。 如果一个分布式系统无法保证处理结果一致的话，那任何建立于其上的业务系统都无法正常工作。 分布式系统面临的主要挑战包括： 1）资源受限：节点间的通信需要通过网络，而网络存在带宽限制和时延，节点也无法做到瞬间响应和高吞吐。 2）故障的独立性：系统的任何一个模块都可能发生故障，如节点之间的网络通讯是不可靠的，随时可能发生网络故障或任意延迟；节点的处理可能是错误的，甚至节点自身随时可能宕机。 3）不透明性：分布式系统中任何组件所在的位置、性能、状态、是否故障等情况对于其它组件来说都是不可见的、也无法预知的。 4）并发：分布式系统的目的，是为了更好的共享资源。同步调用会让系统阻塞，因此节点间通信通常设计成异步的。 5）缺乏全局时钟：在程序需要协作时，它们通过交换消息来协调它们的动作。紧密的协调经常依赖于对程序动作发生时间的共识，但是，实际上网络上计算机同步时钟的准确性受到极大的限制，即没有一个一致的全局时间的概念。这是通过网络发送消息作为唯一的通信方式这一事实带来的直接结果。

工科数学分析-数集和确界原理.

《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院 §1.2 数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理 教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1) 掌握邻域的概念； (2) 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用. 教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）. 教学难点：确界的定义及其应用. 教学方法：讲授为主. 教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课. 一、区间与邻域 (一) 区间（用来表示变量的变化范围） 设a,b∈R且aa}=(a,+∞). ?{x∈R|x0，满足不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简记为U(a)，即 6 《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院 U(a;δ)={x|x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).

2 数集

§2 数集。确界 §2 二数集. 确界原理:一区间与邻域: 区间：

邻域 二有界数集. 确界原理: 1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. 无界数集:对任意，存在，则称S为无界集。 等都是无界数集, 例证明集合是无界数集. 证明：对任意, 存在 由无界集定义，E为无界集。 确界 先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称 它为数集S的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义2 设S是R中的一个数集，若数满足一下两条： （1）对一切有，即是数集S 的上界；

（2）对任何存在使得（即是S的最小上界） 则称数为数集S的上确界。记作 定义3设S是R中的一个数集，若数满足一下两条： （3）对一切有，即是数集S 的下界； （4）对任何存在使得（即是S的最大下界） 则称数为数集S的下确界。记作 例1 ⑴则 ⑵则 定理1.1(确界原理). 设S 为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 证明（见教材） 例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的. 例3设和是非空数集，且有则有 . 例4 设和是非空数集. 若对和都有则有 证是的上界, 是的下界, 例5 和为非空数集, 试证明: 证有或由和分别是和的下界,有 或 即是数集的下界,

又的下界就是的下界, 是的下界, 是的下界, 同理有于是有 . 综上, 有. 2.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释. 3.确界与最值的关系: 设为数集. ⑴的最值必属于, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶若存在, 必有 对下确界有类似的结论.

实数的连续性公理证明确界存在定理

实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五 Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六 Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七 Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是：任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描 述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性）， 它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二：设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B= ，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知A、B不漏。又， 则，使，即A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界，

则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三：只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的 上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对 ，，当时有。又都不是X上界对每一个， ，使得。故对，，使得。②若 ，使得，则由知。故 ，使得。又都是X的上界，故对有。而， 故，这是不可能的。故对，有。综上①、②即有。即X 有上确界存在。

一致性问题概述

一致性问题及动力学分析概述 所谓一致性就是，在分布式协调控制算法的，网络中各自主体的状态或输出达到某种一致性。一致性协议的设计与性能分析是一致性问题的核心。多自主体系统一致性控制的研究有两个方面：一是研究为保证系统一致性所具备的网络通信条件；而是设计分布式一致性控制算法，并分析其收敛性。在有界通信时延作用下，多自主系统渐进一致的充要条件是系统的有向连接拓扑结构含有全局可达节点。对于高阶系统，研究表明，系统状态是否达到一致，不仅取决于通信拓扑条件，而且还与一致性算法的结构和参数有关。当前主要研究设计高阶一致性协议并寻找保证一致性算法参数范围和允许实验的范围。可分散检验是指检验条件中只包含各个节点和其邻居节点的信息。对高阶和有非单一通信时延的多自主体系统，目前得到的可分散检验的一致性判据大多比较保守。对系统模型的假设过于简单和理想化，很少考虑模型结构或参数发生摄动的情况。信号噪音，信道衰减和输入时延等因素对多自主体系统性能的影响作用值得研究。当前大多数研究针对的是一二阶理性化系统，较少考虑通信信道的物理约束。1建立多自主体系统频域模型，有信道模型，自主体及一致性算法的动力学模型，噪声模型；2设计鲁棒一致性算法，建立可分散检验且保守性小的鲁棒一致性收敛判据；3分析系统性能，提出改善系统性能的方法，包括：抗干扰性，收敛精度，收敛速度；4仿真研究和实物验证，将一致性算法与编队控制算法结合起来。针对多自主系统中的常常出现的通信时延，信道衰减，测量噪声和系统动力学不确定等情况，给出分析鲁棒一致性和设计鲁棒一致性控制算法的方法，得到系统可一致性条件，建立可分散检验且保守性小的鲁棒一致性判据。如何将鲁棒一致性问题转化为鲁棒稳定性问题及如何将基于频域特性函数顺时针特性的方法推广和应用到不对称网络拓扑和高阶系统，这对于得到保守性小且可分散检验的鲁棒一致性判据至关重要。拟采用图论和频域鲁棒控制理论相结合的方法，用图论刻画通信网络拓扑结构，并分析系统的可一致性条件；用频域鲁棒控制理论设计鲁棒一致性算法，分析一致性算法的收敛条件。从当前多自主体系统的研究上看，基本上可以分为时域方法和频域方法，基于利亚普诺夫函数、线性矩阵不等式和切换系统理论等工具的时域方法适合于分析切换通信拓扑下的多自主体系统，而基于频域特性分析、广义nyquist判据和谱分析的频域方法则更加有利于有信道衰减或滤波、自主体模型或协议参数有摄动的情况。不仅考虑通信时延对系统一致性的影响，还考虑信道衰减和滤波及测量噪声对系统性能的影响。 多智能体系统泛指那些由一定数量的个体单元（agent简称个体）通过局部相互作用产生系统的集体行为——即系统整体上的宏观有序现象。发展设计有效地控制方法成为控制领域中的富于挑战性的课题。在系统的耦合拓扑结构满足某些基本的连通性条件时（如通常的连通性、或较弱的‘联合连通性’、存在生成树等）。但无法描述复杂系统演化中的多样性和不可预测性。例如如果系统的拓扑图包含生成树，则系统最终收敛到其初值的加权平均值。基于多极相互作用势函数的智能体系统模型，以分析复杂集体行为的多样化和演化过程、以及多尺度集体行为的产生机理，探讨对这些集体行为的调控方法和应用。采用非平均更新规则建立的新模型，能够较好地呈现集体行为演化过程的多样性。通过数值仿真我们也发现了多极相互作用势下智能体系统的分簇与分层现象。基于个体动态以及和个体间的相互作用和关联拓扑结构，建立理论模型的分析探讨获得启发性。拟分别采取启发式方法和演化博弈理论方法的有关思想，建立非局部平均规则算法。通过引入适当的个体评价指标或适应度概念，刻画不同个体在集体中的作用影响上的差异。拟利用非线性动力学理论分析多尺度动力学问题。拟通过对含参数的平衡方程分支解的分析来研究非局部平均规则情况下，多智能体系统中平衡的演化和转换机制。利用广义；laypunov 函数方法讨论平衡态的演化稳定性；对于多尺度动力学问题，拟采用建立簇单元上的平均动力学的方法讨论系统分层结构的演化和稳定性。