(完整版)解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结

解三角形
正弦定理和余弦定理

．直角三角形中各元素间的关系：
ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。
1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）
2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；
3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）
A＝cosB＝
a，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。


ABC中， R
cBbAa2sinsinsin。（外接圆圆半径）

正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件

三内角和为180°
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
面积公式：S=
1absinC=Rabc4=2R2sinAsinBsinC
11
()
22aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）
(
1cbap,))()((cpbpappS(海伦公式)
三角函数的恒等变形。
sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）
，cos(A+B)=-cosC ，sin
BA=cos2C，cos
BA=sin2C
sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（6）(边化角公式）
,sin,sin
22abcABCRRR（7）(角化边公式）
:sin:sin:sinabcABC（8）
sinsin
,,
sinsinaAaAbBbBcCcC
10）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）

使用正弦定理解三角形共有三种题型
1 利用正弦定理公式原型解三角形
2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边

3 三角形解的个数的讨论
a，b和A，求B时的解的情况:

sinA≥sinB，则B有唯一解；如果sinAsinB=1，则B有唯一解；如果sinB>1，则B无解.

通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果



2=b2+c2﹣2bccosA cosA=
a2cb222
2=a2+c2﹣2accosB cosB=
bca2222
2=a2+b2﹣2abcosC cosC=
cba2222
余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦

三内角和为180°；
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
面积公式：S=
1absinC=Rabc4=2R2sinAsinBsinC
三角函数的恒等变形。

1 利用余弦定理公式的原型解三角形
2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的

3 判断三角形的形状
a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2中有一个关系式成立时，该
a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一种关系式成立时，并不



将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，

将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内
A+B+C=π这个结论。
一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解

．解斜三角形的常规思维方法是：
1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；
2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短
A+B+C = π，求另一角

；
3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求
，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；
4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。
．三角形内切圆的半径：2Sr
bc，特别地，2abcr斜直；
．三角学中的射影定理：在△ABC 中，AcCabcoscos，…
．两内角与其正弦值：在△ABC 中，BABAsinsin，…
．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大
。

1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现
.
2）在ABC中，由余弦定理可知:222222
22是直角ABC是直角三角形是钝角ABC是钝角三角形
abcAabcAabcAABC是锐角三角形
是锐角AABC是锐角三角形）
若BA2sin2sin，则A=B或
BA.
2013年选择一道（定比分点与向量）
填空一道（模的最大值）
2012年选择一道（向量的数量积）
解答一道（正余弦求值与面积）
2011年填空一道（面积与取值范围）
解答一道（求值与取值范围）
2010年填空一道（平面向量取值范围）
解答一道（求值与边）