江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法_椭圆讲义含解析201905231172

第三讲 大题考法——椭圆

题型(一) 直线与椭圆的位置关系

主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方

程、直线方程的求法.

[典例感悟]

[例1] 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b

＞0)的离心率为

2

2

，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；

(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，

C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．

[解] (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2

c

＝3，

解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 2

2

＋y 2

＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．

当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2

)x 2

－4k 2

x ＋2(k 2

－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2

±21＋k

2

1＋2k

2

，

C 的坐标为? ??

?

?2k 2

1＋2k 2，－k 1＋2k 2，

且AB ＝x 2－x 1

2

＋y 2－y 1

2

＝

1＋k

2

x 2－x 1

2

＝221＋k 2

1＋2k

2

.

若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k

1＋2k 2

＝－1k ? ??

??x －2k 2

1＋2k 2，

则P 点的坐标为? ??

??－2，5k 2

＋2k 1＋2k 2， 从而PC ＝

2

3k 2＋11＋k

2

|k |1＋2k

2

. 因为PC ＝2AB ， 所以

23k 2

＋1 1＋k 2

|k |1＋2k 2＝421＋k

2

1＋2k

2

，

解得k ＝±1.

此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.

[方法技巧]

解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点

(1)直线方程的求解只需要两个独立条件，但在椭圆背景下，几何条件转化为坐标的难度增加，涉及到长度、面积、向量等．

(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理，联立方程组时要关注相关的点是否能够求解，不能求解的可以用根与系数的关系来处理．

[演练冲关]

1．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已

知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2

，两条准线之间的距离为4 2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2

＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且

△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．

解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a

2

c

＝42，

解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)法一：(设点法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点． 因为椭圆的方程为x 24＋y 2

2＝1，所以A (－2,0)．

设M (x 0，y 0)(－2

0＝89

，①

2x 0＋22

4

＋

2y 02

2

＝1，②

由①②得9x 2

0－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23或x 0＝8

3(舍去)．

把x 0＝－23代入①得y 0＝±2

3

，

所以k AB ＝±12，因此直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.

法二：(设线法)因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．

由椭圆方程知A (－2,0)，设B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)．

由?????

x 24＋y 2

2＝1，

y ＝k x ＋2，

得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2

－4＝0，

所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2

－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 2

1＋2k 2.

所以x M ＝

x B ＋－2

2＝－4k 2

1＋2k

2， y M ＝k (x M ＋2)＝

2k

1＋2k

2， 代入x 2

＋y 2

＝89，得? ????－4k 2

1＋2k 22＋? ????2k 1＋2k 22＝89，

化简得28k 4

＋k 2

－2＝0，

即(7k 2＋2)(4k 2

－1)＝0，解得k ＝±12，

所以直线AB 的方程为y ＝±1

2(x ＋2)，

即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.

2.(2018·南师附中调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，右准线

l 方程为x ＝4，右焦点F (1,0)，A 为椭圆的左顶点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设点M 为椭圆在x 轴上方一点，点N 在右准线上且满足AM ―→·MN ―→＝0且5|AM ―→

|＝2|MN ―→

|，求直线AM 的方程．

解：(1)∵a 2

c

＝4，c ＝1，

∴a 2＝4，b 2

＝3，

∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)设AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，

联立?????

y ＝k x ＋2，x 24＋y

2

3

＝1，

消去y ，得(4k 2

＋3)x 2

＋16k 2x ＋16k 2

－12＝0， ∴x M ＝－16k 2

4k 2＋3＋2＝6－8k

2

4k 2＋3

，

y M ＝k (x M ＋2)＝

12k

4k 2

＋3

. 而k MN ＝－1

k

，又∵x N ＝4，

∴MN ＝ 1＋1

k

2|x M －x N |＝

1＋1k 2??????24k 2＋64k 2＋3＝1＋k 2k ·24k 2

＋64k 2＋3

. 又∵AM ＝1＋k 2

|x M －x A |＝1＋k 2

????

??124k 2＋3＝1＋k 2·124k 2

＋3，

∵5|AM ―→|＝2|MN ―→

|，

∴51＋k 2

·124k 2＋3＝21＋k 2k ·24k 2

＋6

4k 2＋3

，

∴k ＝1或14，∴AM 的方程为y ＝x ＋2或y ＝14x ＋1

2

.

题型(二) 椭圆与圆的综合问题

主要考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆与圆相结合的问题，主要求椭圆、圆的方

程.

[典例感悟]

[例2] (2018·无锡期末)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的离心

率为

2

2

，F 1，F 2分别为左、右焦点，A ，B 分别为左、右顶点，D 为上顶点，原点O 到直线BD 的距离为

6

3

.设点P 在第一象限，且PB ⊥x 轴，连结PA 交椭圆于点C ，记点P 的纵坐标为t .

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程； (3)求过点B ，C ，P 的圆的方程(结果用t 表示)．

[解] (1)因为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22

，所以a 2＝2c 2

，b ＝c ，

所以直线DB 的方程为y ＝－2

2

x ＋b ， 又O 到直线BD 的距离为

6

3

，所以b

1＋12

＝

63

， 解得b ＝1，a ＝ 2.

所以椭圆E 的方程为x 2

2

＋y 2

＝1.

(2)设P (2，t )，t >0，则直线PA 的方程为y ＝t

22

(x ＋2)，

由?????

x 2

2＋y 2

＝1，y ＝t

22x ＋

2，

整理得(4＋t 2

)x 2

＋22t 2

x ＋2t 2

－8＝0， 解得x C ＝42－2t 2

4＋t

2

， 则点C 的坐标是? ????

42－2t 24＋t

2，4t 4＋t 2，

因为△ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积， 所以△AOC 的面积等于△BPC 的面积，

S △AOC ＝1

2×2×

4t 4＋t 2＝22t 4＋t

2， S △PBC ＝12×t ×? ?

???2－42－2t 2

4＋t 2

＝2t 3

4＋t

2， 则2t 3

4＋t 2＝22t 4＋t

2，解得t ＝ 2. 所以直线PA 的方程为x －2y ＋2＝0.

(3)因为B (2，0)，P (2，t )，C ? ????

42－2t 24＋t

2，4t 4＋t 2，

所以BP 的垂直平分线为y ＝t

2

，

BC 的垂直平分线为y ＝

2t 2x －2t

t 2＋4

， 所以过B ，C ，P 三点的圆的圆心为? ??

??

t 2

＋82t 2

＋4，t 2， 则过B ，C ，P 三点的圆的方程为?

?????x －t 2

＋82t 2

＋42＋? ????y －t 22

＝t 42t 2＋42

＋t 2

4

，

即所求圆的方程为x 2

－2t 2

＋82t 2

＋4x ＋y 2－ty ＋8

t 2＋4

＝0. [方法技巧]

椭圆与圆的综合问题的解题策略

(1)在椭圆背景下，常会出现给出三点(包含椭圆上的点)求圆的方程，也会出现给出以椭圆上的两点为直径的圆的问题．这里涉及到椭圆上动点如何求解，以及椭圆的弦的处理．

(2)以两点为直径的圆，可以用直角三角形处理，也可以用向量数量积处理，这两种方法都是转化为点坐标来处理.

(3)运算时要加强“设而不求”思想的渗透，出现多个变量时，要有消元意识和主元思想；在代入运算过程中，不要忘掉整体思想．

(4)在研究直线与椭圆相交的问题时，通常有两种方法来设参，一是设点坐标来作为参数，二是设直线的斜率作为参数．在学习中，要通过比较来看应用哪种方法较为简便，以免将问题复杂化．

[演练冲关]

(2018·镇江期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：

x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2

，左焦点F (－2,0)，直线l ：y ＝t 与椭圆交于A ，B 两点，M 为椭圆E 上异于A ，B 的点．

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若M (－6，－1)，以AB 为直径的圆P 过点M ，求圆P 的标准方程． 解：(1)因为e ＝c

a ＝

2

2

，且c ＝2，所以a ＝22，b ＝2. 所以椭圆方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)设A (s ，t )，则B (－s ，t )，且s 2

＋2t 2

＝8.① 因为以AB 为直径的圆P 过点M ，所以MA ⊥MB ， 所以MA ―→·MB ―→

＝0，

又MA ―→＝(s ＋6，t ＋1)，MB ―→＝(－s ＋6，t ＋1)，所以6－s 2＋(t ＋1)2

＝0.② 由①②解得t ＝13，或t ＝－1(舍，因为M (－6，－1)，所以t >0)，所以s 2

＝709.

又圆P 的圆心为AB 的中点(0，t )，半径为AB

2

＝|s |，

所以圆P 的标准方程为x 2

＋? ????y －132＝709

.

题型(三)

椭圆中的定点、定值问题

主要考查直线与椭圆的位置关系及动直线、动圆过定点问题或与动点有关的定值问题.

[典例感悟]

[例3] (2018·江苏六市调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，

已知B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，

B 2的一动点．当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设点Q 满足QB 1⊥PB 1，QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值． [解] 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1)．

(1)在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.

由?????

x 2a 2＋y 2

9＝1，y ＝x ＋3

得x 2a 2＋x ＋3

2

9

＝1.

所以x 0＝－6a

2

9＋a 2.

因为PB 1＝x 2

0＋

y 0－3

2

＝2|x 0|，

所以42＝2·6a 2

9＋a 2，解得a 2

＝18.

所以椭圆的标准方程为x 218＋y 2

9

＝1.

(2)法一：(设点法) 直线PB 1的斜率为kPB 1＝y 0－3

x 0， 由QB 1⊥PB 1，所以直线QB 1的斜率为kQB 1＝－

x 0

y 0－3

.

于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0

y 0－3

x ＋3. 同理，QB 2的方程为y ＝－

x 0

y 0＋3

x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9

x 0

.

因为P (x 0，y 0)在椭圆x 218＋y 29＝1上，所以x 2018＋y 20

9＝1，从而y 2

－9＝－x 202.所以x 1＝－x 0

2.

所以

S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝????

??

x 0x 1＝2.

法二：(设线法) 设直线PB 1，PB 2的斜率分别为k ，k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1

k

x ＋3.

将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 2

9＝1，

得(2k 2

＋1)x 2

＋12kx ＝0.

x 0≠0， 所以k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9

x 20＝－12

，

得k ′＝－1

2k

.

由QB 2⊥PB 2，所以直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立?????

y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，

解得x 1＝6k

2k 2＋1

.

所以S △PB 1B 2S △QB 1B 2＝????

??

x 0x 1＝?

??

?

??－12k 2k 2

＋16k 2k 2

＋1

＝2.

[方法技巧]

1．定点问题的两种求解方法

(1)引进参数法，引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量

与参数何时没有关系，找到定点．

(2)由特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．

2．定值问题的基本求解方法

先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．

[演练冲关]

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为

2.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．

解：(1)由题意得，c ＝3，a b

＝2，a 2＝b 2＋c 2

， ∴a ＝2，b ＝1，

∴椭圆C 的标准方程为(2)证明：当直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，

y 2)．

联立，得?

????y ＝kx ＋x 2＋4y 2

＝4，2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2

－4＝0.

∴Δ＝16(4k 2

＋1－m 2

)>0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2

－4

4k 2＋1.

∵点B 在以线段MN 为直径的圆上，∴BM ―→·BN ―→

＝0.

∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2

＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2

＝0，

∴(k 2

＋1)4m 2

－44k 2＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1

＋(m －1)2

＝0，

整理，得5m 2

－2m －3＝0， 解得m ＝－3

5或m ＝1(舍去)．

∴直线l 的方程为y ＝kx －3

5

.

易知当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．

故直线l 过定点，且该定点的坐标为?

????0，－35. 2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3

2

，且过点P (2，－

1)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．

解：(1)由e ＝c a ＝

3

2

，得a ＝2b ， 所以椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2

b

2＝1.

把P (2，－1)的坐标代入，得b 2

＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y 2

2＝1.

(2) 由已知得PA ，PB 的斜率存在，且互为相反数． 设直线PA 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0.

由?

????

y ＋1＝k x －2，

x 2＋4y 2

＝8，消去y ，

得x 2

＋4[kx －(2k ＋1)]2

＝8，

即(1＋4k 2

)x 2

－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2

－8＝0. 因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝42k ＋12

－8

1＋4k

2

， 即x A ＝8k 2

＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2

－4k －14k 2

＋1

. 把k 换成－k ，得x B ＝8k 2

－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2

＋4k －1

4k 2

＋1. 计算，得k AB ＝

y B －y A x B －x A ＝8k －16k ＝－1

2

，是定值． [课时达标训练]

A 组——大题保分练

1.如图，圆C 与y 轴相切于点T (0，2)，与x 轴正半轴相交于两点

M ，N (点M 在点N 的左侧)，且MN ＝3.

(1)求圆C 的方程；

(2)过点M 任作一条直线与椭圆T ：x 24＋y 2

8＝1相交于两点A ，B ，连

结AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .

解：(1)设圆C 的半径为r ，依题意得，圆心坐标为(r,2)．

∵MN ＝3，∴r ＝

? ??

??322＋22，∴r ＝52， ∴圆C 的方程为? ??

??x －522＋(y －2)2

＝254.

(2)证明：把y ＝0代入方程? ??

??x －522＋(y －2)2

＝254，解得x ＝1或x ＝4，即点M (1,0)，

N (4,0)．

①当AB ⊥x 轴时，由椭圆对称性可知∠ANM ＝∠BNM .

②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，

联立方程?????

y ＝k x －1，x 24＋y

2

8

＝1消去y ，

得(k 2

＋2)x 2

－2k 2

x ＋k 2

－8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2

k 2＋2，x 1x 2＝k 2

－8

k 2＋2.

∵y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)， ∴k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2

x 2－4

＝k x 1－1x 1－4＋k x 2－1

x 2－4

＝

k x 1－1

x 2－4＋k x 2－1

x 1－4

x 1－4x 2－4

.

∵(x 1－1)(x 2－4)＋(x 2－1)(x 1－4)＝2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋8＝2

k 2－8k 2＋－10k

2

2＋8＝0，

∴k AN ＋k BN ＝0，∴∠ANM ＝∠BNM . 综上所述，∠ANM ＝∠BNM .

2．(2018·高邮中学月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：

x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A (－2,0)，离心率为1

2

，过点A 的直线l 与椭圆E 交于另一点B ，点C 为y 轴上的一点．

(1)求椭圆E 的标准方程；

(2)若△ABC 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．

解：(1)由题意可得：?????

a ＝2，c a ＝1

2

，即?

??

??

a ＝2，

c ＝1，

从而有b 2

＝a 2

－c 2

＝3，

所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 2

3＝1，

得(3＋4k 2

)x 2

＋16k 2

x ＋16k 2

－12＝0,

因为x ＝－2为该方程的一个根，解得B ? ??

?

?6－8k 2

3＋4k 2，12k 3＋4k 2，

设C (0，y 0)，由k AC ·k BC ＝－1， 得y 02·12k

3＋4k 2－y 0

6－8k

2

3＋4k

2

＝－1， 即(3＋4k 2

)y 2

0－12ky 0＋(16k 2

－12)＝0.(*)

由AC ＝BC ，即AC 2

＝BC 2

，得4＋y 2

＝? ????6－8k 2

3＋4k 22＋?

????y 0－12k 3＋4k 22，

即4＝? ????6－8k 2

3＋4k 22＋? ????12k 3＋4k 22－24k 3＋4k 2

y 0

， 即4(3＋4k 2)2

＝(6－8k 2)2

＋144k 2

－24k (3＋4k 2

)y 0， 所以k ＝0或y 0＝－2k

3＋4k

2，

当k ＝0时，直线l 的方程为y ＝0，

当y 0＝－2k 3＋4k 2时，代入(*)得16k 4＋7k 2

－9＝0，解得k ＝±34，

此时直线l 的方程为y ＝±3

4

(x ＋2)，

综上，直线l 的方程为y ＝0,3x －4y ＋6＝0或3x ＋4y ＋6＝0. 3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知

椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2

，焦点到相应准线的距离为1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y ＝2于点Q ，求

1

OP

2

＋

1

OQ 2

的值．

解：(1)由题意得?????

c a ＝2

2

，a

2c －c ＝1，b 2

＋c 2

＝a 2

，

解得???

a ＝2，c ＝1，

b ＝1.

所以椭圆的标准方程为x 2

2＋y 2

＝1.

(2)由题意知OP 的斜率存在．

当OP 的斜率为0时，OP ＝2，OQ ＝2， 所以

1

OP

2

＋

1

OQ 2

＝1.

当OP 的斜率不为0时，设直线OP 的方程为y ＝kx .

由?????

x 2

2＋y 2＝1，y ＝kx ，

得(2k 2＋1)x 2＝2，解得x 2

＝22k 2＋1

，

所以y 2

＝2k 2

2k 2＋1，所以OP 2

＝2k 2

＋22k 2＋1

.

因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为y ＝－1

k

x .

由?

????

y ＝2，y ＝－1

k x 得x ＝－2k ，所以OQ 2＝2k 2

＋2.

所以1

2＋1

2＝2k 2

＋12＋1

2

，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆

与椭圆M 和圆N 均只

(1)求椭圆M 的方程和直线l 的方程； (2)试在圆N 上求一点P ，使

PB

PA

＝2 2. 解：(1)由题意知?????

c a ＝12，

a

2

c －c ＝3，

解得a ＝2，c ＝1，所以b ＝3，

所以椭圆M 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

圆N 的方程为(x －1)2

＋y 2

＝5，

联立?????

x 24＋y 2

3

＝1，y ＝kx ＋m ，

消去y ，得(3＋4k 2

)x 2

＋8kmx ＋4m 2

－12＝0，① 因为直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆M 只有一个公共点，

所以Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0得m 2＝3＋4k 2,

② 由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆N 只有一个公共点， 得|k ＋m |1＋k

2

＝5，即k 2＋2km ＋m 2＝5＋5k 2

，③

将②代入③得km ＝1，④ 由②④且k >0，得k ＝1

2，m ＝2.

所以直线l 的方程为y ＝1

2

x ＋2.

(2)将k ＝12，m ＝2代入①，可得A ?

????－1，32. 又过切点B 的半径所在的直线l ′为y ＝－2x ＋2，所以得交点B (0,2)， 设P (x 0，y 0)，因为PB

PA

＝22， 则

x 20＋y 0－22

x 0＋1

2

＋?

????y 0－22＝8，

化简得7x 2

0＋7y 2

0＋16x 0－20y 0＋22＝0，⑤ 又P (x 0，y 0)满足x 2

0＋y 2

0－2x 0＝4，⑥

将⑤－7×⑥得3x 0－2y 0＋5＝0，即y 0＝3x 0＋52.⑦

将⑦代入⑥得13x 20＋22x 0＋9＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝－13，

所以P (－1,1)或P ? ??

?

?－

913，1913.

B 组——大题增分练

1．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，

F 2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab .

(1)若椭圆C 的离心率为

6

3

，求椭圆C 的方程； (2)若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线PF 2交

y 轴于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆与点F 1的位置关系，并说明理由．

解：由题意，得点A (a,0)，B (0，b )，直线AB 的方程为x a ＋y b

＝1，即bx ＋ay －ab ＝0﹒ 由题设，得

||

ab a 2

＋b

2

＝ab ，化简得a 2＋b 2

＝1.①

(1)因为e ＝c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23

，即a 2＝3b 2

.②

由①②，解得?????

a 2＝3

4

，b 2

＝1

4，

所以椭圆C 的方程为4x 2

3

＋4y 2

＝1.

(2)点F 1在以PQ 为直径的圆上，理由如下：

由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，

由?????

x 2a 2＋y 2

b 2＝1，y ＝kx ＋1

消去y 得，

(b 2

＋a 2k 2

)x 2

＋2ka 2x ＋a 2－a 2b 2

＝0，(*) 则Δ＝(2ka 2)2

－4(b 2

＋a 2k 2

)(a 2

－a 2b 2

)＝0， 化简得1－b 2

－a 2k 2

＝0，所以k 2

＝1－b

2

a

2＝1，

因为点P 在第二象限，所以k ＝1.

把k ＝1代入方程(*)，得x 2

＋2a 2

x ＋a 4

＝0， 解得x ＝－a 2

，从而y ＝b 2

，所以P (－a 2

，b 2

)﹒

从而直线PF 2的方程为y －b 2

＝b 2－a 2－c

(x ＋a 2

)，

令x ＝0，得y ＝b 2c a 2＋c ，所以点Q ? ????0，b 2c a 2＋c ﹒

从而F 1P ―→＝(－a 2＋c ，b 2

)，F 1Q ―→＝? ????c ，b 2

c a 2＋c ，

从而F 1P ―→·F 1Q ―→＝c (－a 2

＋c )＋b 4

c a 2＋c

＝c －a 4＋b 4＋c 2

a 2＋c ＝c []

b 2－a 2

b 2＋a 2＋

c 2a 2＋c

＝0，

所以F 1P ―→·F 1Q ―→

＝0.

所以点F 1在以PQ 为直径的圆上．

2.如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆O ：x 2

＋y 2

＝4，椭圆

C ：x 2

4

＋y 2＝1，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆

C 交于B ，C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线P

D 与圆O 的

另一交点为Q ，其中D ? ??

??－65，0.设直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2. (1)求k 1k 2的值；

(2)记直线PQ ，BC 的斜率分别为k PQ ，k BC ，是否存在常数λ，使得k PQ ＝λk BC ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由；

(3)求证：直线AC 必过点Q .

解：(1)设B (x 0，y 0)，则C (－x 0，－y 0)，x 20

4＋y 2

0＝1，

因为A (2,0)，所以k 1＝

y 0x 0－2，k 2＝y 0

x 0＋2

， 所以k 1k 2＝y 0x 0－2·y 0x 0＋2＝y 2

x 20－4＝1－14x 2

x 20－4＝－1

4.

(2)设直线AP 方程为y ＝k 1(x －2)，

联立?????

y ＝k 1x －2

，

x 2＋y 2

＝4，

消去y ，得(1＋k 2

1)x 2

－4k 2

1x ＋4(k 2

1－1)＝0， 解得x P ＝

2k 21－1

1＋k 21，y P ＝k 1(x P －2)＝－4k 11＋k 21

，

联立?????

y ＝k 1x －2，x 2

4

＋y 2

＝1，

消去y ，得(1＋4k 2

1)x 2

－16k 21x ＋4(4k 2

1－1)＝0， 解得x B ＝

2

4k 2

1－11＋4k 21，y B ＝k 1(x B －2)＝－4k 1

1＋4k 21

，

所以k BC ＝y B x B ＝－2k 14k 21－1，k PQ ＝y P x P ＋65＝－4k 1

1＋k 2

12k 2

1－11＋k 2

1＋65＝－5k 1

4k 21－1

， 所以k PQ ＝52k BC ，故存在常数λ＝52，使得k PQ ＝5

2k BC .

(3)设直线AC 的方程为y ＝k 2(x －2)， 当直线PQ 与x 轴垂直时，Q ? ????－6

5，－85，

则P ? ????－65，85，所以k 1＝－12，

即B (0,1)，C (0，－1)，所以k 2＝1

2

，

则k AQ ＝－85－65－2＝1

2＝k 2，所以直线AC 必过点Q .

当直线PQ 与x 轴不垂直时，

设直线PQ 的方程为y ＝－5k 14k 21－1? ????

x ＋65，

联立?????

y ＝－5k 14k 21－1? ??

??x ＋65，

x 2＋y 2＝4，

解得x Q ＝

－216k 2

1－116k 2

1＋1，y Q ＝16k 1

16k 21＋1

， 因为k 2＝－y B －x B －2＝4k 1

1＋4k 2

121－4k 2

11＋4k 2

1

－2＝－1

4k 1

， 所以k AQ ＝16k 116k 2

1＋1－216k 2

1－116k 2

1＋1

－2＝－1

4k 1

＝k 2，故直线AC 必过点Q . 3．(2018·扬州期末)已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若椭圆E 2：x 2ma 2＋y 2

mb 2＝1(a >b >0，

m >1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．

(1)求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 2

2＋y 2

＝1“相似”的椭圆E 2的方程； (2)若椭圆E 1与椭圆E 2“相似”，且m ＝4，椭圆E 1的离心率为

2

2

，P 在椭圆E 2上，过P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP ―→

＝λAB ―→

.

①若B 的坐标为(0,2)，且λ＝2，求直线l 的方程； ②若直线OP ，OA 的斜率之积为－1

2

，求实数λ的值．

解：(1)设椭圆E 2的方程为x 22m ＋y 2

m

＝1，将点(2，1)代入得m ＝2，

所以椭圆E 2的方程为x 24＋y 2

2＝1.

(2)因为椭圆E 1的离心率为

22

，故a 2＝2b 2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2. 又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”，且m ＝4，所以椭圆E 2：x 2

＋2y 2

＝8b 2

.设A (x 1，y 1)，B (x 2，

y 2)，P (x 0，y 0)．

①法一：(设线法)由题意得b ＝2，所以椭圆E 1：x 2＋2y 2＝8，椭圆E 2：x 2＋2y 2

＝32.当直线l 斜率不存在时，B (0,2)，A (0，－2)，P (0,4)，不满足AP ―→＝2AB ―→

，从而直线l 斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋2，

代入椭圆E 1：x 2

＋2y 2

＝8得(1＋2k 2

)x 2

＋8kx ＝0， 解得x 1＝－8k 1＋2k 2，x 2＝0，故y 1＝2－4k

2

1＋2k

2，y 2＝2，

所以A ? ??

?

?－8k 1＋2k 2，2－4k 2

1＋2k 2.

又AP ―→＝2AB ―→

，即B 为AP 中点，

所以P ? ??

??8k 1＋2k 2，2＋12k 2

1＋2k 2， 代入椭圆E 2：x 2

＋2y 2

＝32，得

? ????8k 1＋2k 22＋2? ??

??2＋12k 2

1＋2k 22＝32， 即20k 4

＋4k 2

－3＝0，所以k ＝±

3010，所以直线l 的方程为y ＝±30

10

x ＋2. 法二：(设点法)由题意得b ＝2，

所以椭圆E 1：x 2

＋2y 2

＝8，E 2：x 2

＋2y 2

＝32.

由A (x 1，y 1)，B (0,2)，AP ―→＝2AB ―→

，即B 为AP 中点， 则P (－x 1,4－y 1)．

代入椭圆得?

????

x 2

1＋2y 2

1＝8，

x 2

1＋24－y 12

＝32，

解得y 1＝1

2

，

故x 1＝±

302

， 所以直线l 的斜率k ＝±

3010

， 所以直线l 的方程为y ＝±

30

10

x ＋2. ②由题意得x 2

0＋2y 2

0＝8b 2

，x 2

1＋2y 2

1＝2b 2

，

x 22＋2y 22＝2b 2

，

法一：(设点法)由直线OP ，OA 的斜率之积为－12

，

得y 0x 0·y 1x 1＝－1

2

，即x 0x 1＋2y 0y 1＝0. 又AP ―→＝λAB ―→

，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得

????

?

x 2

＝x 0

＋λ－1x 1

λ，

y 2

＝

y 0

＋λ－1y 1

λ

，

所以??

????x 0＋λ－1x 1λ2＋2????

??y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，

则x 2

0＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 2

1＋2y 2

0＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 2

1＝2λ2b 2

， (x 2

0＋2y 2

0)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2

(x 2

1＋2y 2

1)＝2λ2b 2

，所以8b 2

＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2，即4＋(λ－1)2＝λ2

，所以λ＝52

.

法二：(设线法) 不妨设点P 在第一象限，设直线OP ：y ＝kx (k >0)，代入椭圆E 2：x 2

＋2y 2

＝8b 2

，

解得x 0＝

22b 1＋2k

2

，则y 0＝22bk 1＋2k

2

.

直线OP ，OA 的斜率之积为－12，则直线OA ：y ＝－12k x ，代入椭圆E 1：x 2＋2y 2＝2b 2

，

解得x 1＝－

2bk 1＋2k

2

，则y 1＝b

1＋2k

2

.

又AP ―→＝λAB ―→

，则(x 0－x 1，y 0－y 1)＝λ(x 2－x 1，y 2－y 1)，解得

????

?

x 2

＝x 0

＋λ－1x 1

λ，

y 2

＝

y 0

＋λ－1y 1

λ

，

所以??

????x 0＋λ－1x 1λ2＋2????

??y 0＋λ－1y 1λ2＝2b 2，

则x 2

0＋2(λ－1)x 0x 1＋(λ－1)2x 2

1＋2y 2

0＋4(λ－1)y 0y 1＋2(λ－1)2y 2

1＝2λ2b 2

， (x 2

0＋2y 2

0)＋2(λ－1)(x 0x 1＋2y 0y 1)＋(λ－1)2

(x 2

1＋2y 2

1)＝2λ2b 2

，所以8b 2

＋2(λ－1)

22b 1＋2k

2

·? ?

???－2bk

1＋2k 2＋2·22bk 1＋2k 2·b 1＋2k

2

＋(λ－1)2·2b 2＝2λ2b 2

， 即8b 2

＋(λ－1)2

·2b 2

＝2λ2b 2

，即4＋(λ－1)2

＝λ2

， 所以λ＝5

2

.

4.(2018·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点?

????3，12，焦点为F 1(－3，0)， F 2(3，0)，圆O 的直径为F 1F 2.

(1)求椭圆C 及圆O 的方程；

(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .

①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为

26

7

，求直线l 的方程． 解：(1)因为椭圆C 的焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

又点? ????3，12在椭圆C 上， 所以?????

3a 2＋14b

2＝1，

a 2－

b 2＝3，

解得?

????

a 2

＝4，

b 2

＝1.

所以椭圆C 的方程为x 2

4＋y 2

＝1.

x 0＞0，y 0＞0)，则x 2

0＋y 2

0＝3， ，

由?????

x 2

4＋y 2

＝1，y ＝－x 0y 0

x ＋3

y

消去y ，得

(4x 2

0＋y 2

0)x 2

－24x 0x ＋36－4y 2

0＝0.(*) 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，

所以Δ＝(－24x 0)2

－4(4x 2

0＋y 2

0)·(36－4y 2

0)＝48y 2

0(x 2

0－2)＝0. 因为x 0＞0，y 0＞0， 所以x 0＝2，y 0＝1. 所以点P 的坐标为(2，1)． ②因为△OAB 的面积为267，

所以12AB ·OP ＝267，从而AB ＝427

.

2019年江苏高考数学试题

2016年江苏数学高考试题 数学Ⅰ试题 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________________. 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173 x y -=的焦距是________________. 4.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是________________. 5.函数y ＝232x x --的定义域是________ 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是________ 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________

8.已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和.若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________ 9.定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________ 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆 22 22 1( ) x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线 2 b y=与椭圆交于B，C两点，且90 BFC ∠=，则该椭圆的离心率是________ 11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ ?1，1)上， ,10, ()2 ,01, 5 x a x f x x x +-≤< ? ? =? -≤< ? ? 其中. a∈R若 59 ()() 22 f f -=，则f（5a）的值是________ 12. 已知实数x，y满足 240 220 330 x y x y x y -+≥ ? ? +-≥ ? ?--≤ ? ，则x2＋y2的取值范围是________ 13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4 BC CA ?=，1 BF CF ?=-，则BE CE ?的值是________ 14.在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________

2019年高考数学理科全国三卷

2019年高考数学理科 全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D.

2019江苏卷数学高考真题【2020新】

2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 样本数据12,,,n x x x …的方差()2 2 11n i i s x x n ==-∑，其中1 1n i i x x n ==∑． 柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积1 3 V Sh = ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ . 2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ . 4．函数y =的定义域是 ▲ . 5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ . 6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .

7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2 2 21(0)y x b b -=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ . 8．已知数列* {}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ . 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ . 10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4 (0)y x x x =+ >上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自 然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ?=?u u u r u u u r u u u r u u u r ， 则 AB AC 的值是 ▲ . 13．已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数. 当2(]0,x ∈ 时，()f x =，(2),01 ()1,122 k x x g x x +<≤??=?-<≤??，其中k >0.若在区间(0，9]上，关 于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．． 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

2019年高考理科全国1卷数学(含答案解析)

2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?=（ ） A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ） A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 22 (1)1x y +-= D. 2 2(+1)1y x += 3.已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a << 4. ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体 ．若某人满足上述两个黄金分割

2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析

绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．

10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的 周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．

2019年高考真题理科数学(全国II卷)

AB=（2，3），AC=（3，t），|BC|=1，则AB?BC=（ ） M233 3

7.8.9.10.11. 12.13.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ） α内有无数条直线与β平行 α内有两条相交直线与β平行α，β平行于同一条直线α，β垂直于同一平面 若抛物线y =2px（p＞0）的焦点是椭圆x 23p +y 2p =1的一个焦点，则p=（ ） 2348下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2 ）单调递增的是（ ）f（x）=|cos2x| f（x）=|sin2x|f（x）=cos|x|f（x）=sin|x|已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=（ ）15553325 5设F为双曲线C：x 2a 2-y 2b 2 =1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x +y =a 交于P，Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）2325 设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x-1）．若对任意x∈（-∞，m]，都有f（x）≥-89 ，则m的取值范围是（ ）（-∞，94]（-∞，73]（-∞，52]（-∞，83 ]我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ． A. B. C. D. 2A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D. 222A. B. C. D. A. B. C. D.

2019年江苏省高考数学一模试卷(解析版)

2019年江苏省淮安市高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把每小题的答案填在答题纸相应的位置上） 1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=． 2．命题：“?x∈R，x2+2x+m≤0”的否定是． 3．复数Z满足（1+i）Z=|1﹣i|，是Z的虚部为． 4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000）（元）内应抽出人． 5．如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．

6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则摸到同色球的概率为． 7．已知抛物线y2=8x的焦点是双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点，则双曲线的右准线方程． 8．已知函数的定义域是，则实数a的值为． 9．若函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则函数的单调增区间为． 10．已知等差数列{a n}的首项为1，公差为2，若a1a2﹣a2a3+a3a4﹣ a4a5+…对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是．11 ．在等腰△ABC中，CA=CB=6，∠ACB=120°，点M满足=2，则? 等于． 12．若对满足条件x+y+3=xy（x＞0，y＞0）的任意x，y，（x+y）2﹣a

（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是． 13．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是． 14．已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3﹣|x|图 象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则的取值范围为． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠B= （1）若a=2，b=2，求c的值； （2）若tanA=2，求tanC的值． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E、F分别为AB、AA1的中点． （1）求证：直线EF∥平面BC1A1； （2）求证：EF⊥B1C．

2019年高考理科数学考试大纲

理科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容,确定理工类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例,经过分析提炼,发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

2019年江苏省高考理科数学试题及答案

数学Ⅰ试题 参考公式 圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥 1 3 Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B I ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22 173 x y -=的焦距是________▲________. 4.已知一组数据4.7,4.8, 5.1,5.4,5.5，则该组数据方差是________▲________. 5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ . 6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ . 7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ . 10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22 221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ， C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ . (第10题)

2019年江苏省高考数学试卷和答案

2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A ∩B＝． 2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是． 3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．

9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．

(完整word)2019年江苏高考数学压轴题技巧

2017年江苏高考数学压轴题技巧 虽然我们认为最后一题有相当分值的易得分部分，但是毕竟已是整场考试的最后阶段，强弩之末势不能穿鲁缟，疲劳不可避免，因此所有同学在做最后一题时，都要格外小心谨慎，避免易得分部分因为疲劳出错，导致失分的遗憾结果出现。 2017年江苏高考数学压轴题技巧 1. 复杂的问题简单化，就是把一个复杂的问题，分解为 一系列简单的问题，把复杂的图形，分成几个基本图形，找相似，找直角，找特殊图形，慢慢求解，高考(微博)是分步得分的，这种思考方式尤为重要，能算的先算，能证的先证，踏上要点就能得分，就算结论出不来，中间还是有不少分能拿。 2. 运动的问题静止化，对于动态的图形，先把不变的线段，不变的角找到，有没有始终相等的线段，始终全等的图形，始终相似的图形，所有的运算都基于它们，在找到变化线段之间的联系，用代数式慢慢求解。 3. 一般的问题特殊化，有些一般的结论，找不到一般解法，先看特殊情况，比如动点问题，看看运动到中点怎样，运动到垂直又怎样，变成等腰三角形又会怎样，先找出结论，再慢慢求解。 需要掌握的主要的数学思想： 1. 方程与函数思想 利用方程解决几何计算已经不能算难题了，建立变量间的函数关系，也是经常会碰到的，常见的建立函数关系的方法有比例线段，勾股定理，三角比，面积公式等 2. 分类讨论思想

这个大家碰的多了，就不多讲了，常见于动点问题，找等腰，找相似，找直角三角形之类的。 3. 转化与化归思想 就是把一个问题转化为另一个问题，比如把四边形问题转化为三角形问题，还有压轴题中时有出现的找等腰三角形，有时可以转化为找一个和它相似的三角形也是等腰三角形的问题等等，代数中用的也很多，比如无理方程有理化，分式方程整式化等等 4. 数形结合思想 高中用的较多的是用几何问题去解决直角坐标系中的函数问题，对于高中生，尽可能从图形着手去解决，比如求点的坐标，可以通过往坐标轴作垂线，把它转化为求线段的长，再结合基本的相似全等三角比解决，尽可能避免用两点间距离公式列方程组。切记先用几何方法，实在做不出再用解析法。

2019年江苏省苏州市中考数学试卷附解析

2019年江苏省苏州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.5的相反数是（） A. B. C. 5 D. 2.有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 3.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为 （） A. B. C. D. 4.如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1=54°，则∠2等于（） A. B. C. D. 5.如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若 ∠ABO=36°，则∠ADC的度数为（） A. B. C. D. 6.小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本 硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（） A. B. C. D. 7.若一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，-1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（） A. B. C. D. 8.如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平 距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为 30°．则教学楼的高度是（） A. B. 54m C. D. 18m 9.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4，BD=16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当 点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（）

2019年全国III卷理科数学高考真题

2019普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答 题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 A．{-1，0，1} B．{0，1} C．{-1，1} D．{0，1，2} 2.若z（1+i）=2i，则z= A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本小学生阅读四大名著的情况，随机调查看了100位学生，期中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为 A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8 4.的展开式中的系数为 A．12 B．16 C．20

D．24 5.已知各项均为正数的等比数列 {}的前4项和为15，且，则 A．16 B．8 C．4 D．2 6.已知曲线y=+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 A．a=e，b=-1 B．a=e，b=1 C．a= ，b=1 D．a=，b=-1 7.函数y= 2x3 2x+2-x ，在[-6,6]的图像大致为 A．B.

2019-8年江苏各市中考数学真题卷含答案解析

2019年江苏省宿迁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）2019的相反数是（） A．B．﹣2019C．﹣D．2019 2．（3分）下列运算正确的是（） A．a2+a3＝a5B．（a2）3＝a5 C．a6÷a3＝a2D．（ab2）3＝a3b6 3．（3分）一组数据：2、4、4、3、7、7，则这组数据的中位数是（）A．3B．3.5C．4D．7 4．（3分）一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（） A．105°B．100°C．75°D．60° 5．（3分）一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（） A．20πB．15πC．12πD．9π 6．（3分）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 7．（3分）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（）

A．6﹣πB．6﹣2πC．6+πD．6+2π 8．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B 落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y＝（x ＞0）的图象上，则的值为（） A．B．C．2D． 二、填空题，（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．（3分）实数4的算术平方根为． 10．（3分）分解因式：a2﹣2a＝． 11．（3分）宿迁近年来经济快速发展，2018年GDP约达到275000000000元．将275000000000用科学记数法表示为． 12．（3分）甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是S甲2、S乙2，且S甲2＞S乙2，则队员身高比较整齐的球队是． 13．（3分）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为． 14．（3分）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，朝上一面的点数是3的倍数的概率是．15．（3分）直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为．16．（3分）关于x的分式方程+＝1的解为正数，则a的取值范围是．17．（3分）如图，∠MAN＝60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB＝2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是．

2019年高考理科数学 (全国II卷)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国II 卷） 理科数学 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞) 2．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC u u u r u u u r = A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M

2019年北京高考理科数学真题及答案

2019年北京高考理科数学真题及答案 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知复数z =2+i ，则z z ?= （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）已知直线l 的参数方程为13, 24x t y t =+=+??? （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是 （A ） 15 （B ） 25 （C ） 45 （D ） 65 （4）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b （5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥?1，则3x+y 的最大值为

（A ）?7 （B ）1 （C ）5 （D ）7 （6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2?m 1= 52lg 2 1E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10?10.1 （7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC uuu r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2 2 1||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）函数f （x ）=sin 2 2x 的最小正周期是__________． （10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=?3，S 5=?10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． （11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长 为1，那么该几何体的体积为__________．

2019年高考全国1卷理科数学试题和答案

2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ) 第I 卷（选择题) 一、单选题 1．已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A ．}{43x x -<< B ．}{42x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．22 (1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

2019年江苏高考数学考试说明-2

2019年江苏省高考说明－数学科 一、命题指导思想 2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度. 1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查 对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查. 2．重视数学基本能力和综合能力的考查 数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力. （1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合. （2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断. （3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，

运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性. （4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算. （5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题. 数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题. 3．注重数学的应用意识和创新意识的考查 数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决. 创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题. 二、考试内容及要求 数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）. 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C

2019年高考数学理科全国1卷19题-解析几何说题

2019年高考数学理科全国1卷19题说题 已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点分别为,A B ，与x 轴 的交点为P 。 （1）若||||4AF BF +=，求l 的方程. （2）若3AP PB =u u u r u u u r ，求||AB 【背景】本题是2019年高考数学理科全国1卷19题。对比往年的圆锥曲线大题，可见今年理科的圆锥曲线大题有降低难度、减少运算量的趋势。 【分析】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。解题的第一个关键是能通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系；第二个关键是要善用转化与化归思想：用抛物线的定义转 化||||4AF BF +=，用相似三角形或线性运算破译3AP PB =uuu r uu u r 。本题的第一问来自于教材， 稍高于教材，是2018年全国二卷圆锥曲线大题的改编题，第二问是个常规题型，在椭圆、双曲线及抛物线都出过很多类型题： 题源1：【2018年全国I 理8】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且 斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = （ ） A 。5 B 。6 C 。7 D 。8 题源2：【2018年全国Ⅱ卷理】设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =。 （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程。 【解法分析】 （1）设直线l ：3,2y x t = +1122(,),(,),A x y B x y 由抛物线定义得1252 x x +=； 联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于t 的方程，解方程求得结果； （2）设直线l ：2 ,3 x y m = +联立直线方程与抛物线方程，利用3AP PB =u u u r u u u r 可得123,y y =-结合韦达定理求出123,1y y ==-；根据弦长公式可求得结果. 【参考解法】

2019年高考数学试卷-(理科全国一卷)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )=2sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为

A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． 5 16 B． 11 32 C． 21 32 D． 11 16 7．已知非零向量a，b满足||2|| = a b，且() - a b⊥b，则a与b的夹角为 A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 8．如图是求 1 1 2 1 2 2 + + 的程序框图，图中空白框中应填入