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三角形的边与角的认识

三角形三大专题

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三角形的边与角的认识

三角形的边与角的认识

题型一:整数边三角形

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1、边长都是整数的三角形,称为整数边三角形.

2、若三角形三边的长为a ,b ,c 且a b c ≤≤,则

⑴ 三角形的最小的边a 满足:03

a b c

a ++<≤,当且仅当a

b

c ==时,等号成立;

⑵ 三角形的最大的边c 满足:32

a b c a b c

c ++++<

≤,当且仅当a b c ==时,等号成立.

方程(特别是不定方程)和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具.运用这一工具时,枚举法(树状图)则是常用的方法,但要注意对求得的结果进行检验.

例题精讲

【引例】 已知等腰三角形的周长是8,边长是整数,则腰长是多少?

典题精练

【例1】 ⑴若三角形的周长为60,求最大边的范围.

⑵设m 、n 、p 均为自然数,且m n p ≤≤,15m n p ++=,试问以m 、n 、p 为边长

的三角形共有多少个?

【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数,且a b c <<,若7b =,则有 个满足题意的

三角形.

⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数,且a b c <≤,若7b =,则有 个满足题意的三角形.

⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数,且a b c ≤≤,若7b =,则有 个满足题意的三角形.

题型二:多边形及其内、外角和

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多边形及其内、外角和 (一)多边形及其内角和

1.多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线

内角:A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角:α∠

对角线:连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线.如BD .

n 边形对角线条数:

(3)

2

n n -条

② 凸、凹多边形:多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧,叫做凸多边形;反之叫做凹多边形.(如图)

图(a )为凸多边形

图(b )为凹多边形

a )

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(b )

③ 正多边形:各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形 (如图正六边形) AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D

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E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠

2.多边形内角和:n 边形内角和等于(2)180n -?°

① 多边形内角和公式推理方法一:

过n 边形一个顶点,连对角线,可以得(3)n -条对角线,并且将n 边形分成

(2)n -个三角形,这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和.

将n 边形分成()2n -个三角形

② 多边形内角和公式推理方法二:

在n 边形边上取一点与各顶点相连,得(1)n -个三角形,n 边形内角和等于这

(1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角,即 (1)180180(2)180n n -?-=-?°°°

将n 边形分成()1n -个三角形

F

E

D

C

B A

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A

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B

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C

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D ③ 多边形内角和公式推理方法三:

在n 边形内部取一点O 与n 边形各顶点相连,得n 个三角形:ABO △、BCO △、

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CDO △……,这n 个三角形所有内角之和为

123456180BOA BOC COD n ∠+∠+∠+∠

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+∠+∠+∠+∠+∠+=?° 故()1231803602180n n ∠+∠+∠+=?-=-?°°°

取多边形内一点,连结各顶点,将n 边形分成n 个三角形. (二)多边形外角和 1.多边形外角和等于360° 如图:180

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1α∠=-∠°,1802β∠=-∠°,1803r ∠=-∠°,…… 所以r αβ∠+∠+∠+1801180=-∠+∠-°°21803∠+-∠°+…… 等式右边共有n 个180°相加,123∠+∠+∠+代表n 边形的内角和, 整理得180(2)180n n ?--?°°,即r αβ∠+∠+∠+360=°

多边形外角和恒等于360?. 2.多边形边数与内外角和关系

①多边形内角和与边数相关:边数增加,内角和增加,边数减少,内角和减少;

每增加一条边,内角和增加180°,反过来也成立. ②多边形外角和恒等于360°,与边数多少无关.

③多边形最多有三个内角为锐角,最少没有锐角(如矩形);多边形的外角中最多有三个钝角。 ④在运用多边形的内角和公式与外角的性质求值时,常与方程思想相结合,运用方程思想是解决本节问题的常用方法.

⑤在解决多边形的内角和问题时,通常转化为与三角形相关的角来解决. 三角形是一种基本图形,是研究复杂图形的基础,同时注意转化思想在数学中的应用.

典题精练

【例3】 ⑴ 下列平面图形 不具有稳定性.(黑点表示连接点)

⑵ 如果四边形四条边依次为2、4、7、x ,则x 的取值范围是( )

A .27x <<

B .213x <<

C .013x <<

D .113x <<

⑶ 科技馆为某机器人编制一段程序,如果机器人在平地上

按照图示中的步骤行走,那么该机器人所走的总路程为

( )

A .6米

B .8米

C .12米

D .不确定

(西城抽样测试)

⑷m边形的一个顶点有7条对角线,n边形没有对角线,

k边形对角线条数等于边数,则m n k

++=.

【例4】⑴若一个多边形的内角和等于720,则这个多边形的边数是()

A.5 B.6 C.7 D.8

(北京中考)

⑵若一个正多边形的一个外角是40?,则这个正多边形的边数是()

A.10 B.9 C.8 D.6

(北京中考)

⑶一个多边形内角和是外角和的4倍,那么这是()边形.

A.10 B.22 C.15 D.8

(人大附中期中)

⑷如果一个五边形的4个内角都是100?,则第5个内角的度数是.

⑸一个凸多边形的每一个内角都等于140?,那么,从这个多边形的一个顶点出发的对

角线的条数是.

【例5】⑴一个凸n边形,除一个内角外,其余1

n-个内角的和是2400?,则n的值为.

⑵如图,试求A ABP C D PEF F

∠+∠+∠+∠+∠+∠的值.

题型三:镶嵌

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1.镶嵌含义:用一种或多种平面图形拼在一起,形成完整的,没有缝隙的平面,这种拼图方式称为镶嵌或密铺.

设正多边形边数为n,所以每一个内角等于(2)180

n

n

-?°

,镶嵌时用m块,即

(2)180

n

m

n

-?

?

°

360 =°,故

4

2

2 m

n

=+

-

2.多边形内角的度数与镶嵌的关系

①用同一种正多边形镶嵌时,要求这种正多边形的每个内角都能够整除360°.

②拼接在同一个点的各个角的和等于360°

③任意三角形、任意四边形一定可以镶嵌.P

F

E

D

C B

A

3.

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用多边形不重叠无缝隙地把平面的一部分完全覆盖.在做镶嵌问题时经常要和不定方程结合.典题精练

【例6】⑴幼儿园的小朋友们打算选择一种形状、大小都相同的多边形塑胶板铺活动室的地面,为了保证铺地时既无缝隙又不重叠,请你告诉他们下面形状的塑胶板可以选择的是

()

①三角形②四边形③正五边形④正六边形⑤正八边形

A.③④⑤B.①②④C.①④D.①③④⑤

⑵如果用一种正多边形作平面镶嵌,而且每一个正多边形的每一个顶点周围都有六个

正多边形,则该正多边形的边数为()

A.3B.4C.5D.6

【例7】我们常用各种多边形地砖铺砌成美丽的图案,也就是说,使用给定的某些多边形,能够拼成一个平面图形,既不留一丝空白,又不互相重叠,这在几何里叫作平面密铺(镶

嵌).我们知道,当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360?时,就能够拼成

一个平面图形,某校研究性学习小组研究平面密铺的问题,其中在探究用两种边长相等

的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法:

如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺,可得60120360

x y

??+??=?,化简26

x y

+=.因为x、y都是正整数,所以只有当2

x=,2

y=或4

x=,1

y=时上式才成立,即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无

缝隙、不重叠的平面图形,如图①、图②、图③.

⑴请你仿照上面的方法研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的

情形,并按图④中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图(只

要画出一种图形即可)

⑵如果用形状、大小相同的如图方格纸中的三角形,能进行平面密铺吗?若能,请在

方格纸中画出密铺的设计图.

复习巩固

1

图图23

图图4

60°

60°

60°

60°

60°

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60°

5