多元统计分析第九章聚类分析

聚类分析

引言

俗话说：“物以聚类，人以群分”，在现实世界中存在着大量的分类问题。例如，生物可以分成动物和植物，动物又可分为脊椎动物和无脊椎动物等；人按年龄可分为少年、青年、中年、老年，对少年的身体形态、身体素质及生理功能的各项指标进行测试，据此对少年又可进行分类；在环境科学中，我们可以对按大气污染的轻重分成几类区域；在经济学中，根据人均国民收入、人均工农业产值和人均消费水平等多项指标对世界上所有国家的经济发展状况进行分类；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标可以将其分为一等品，二等品等。

研究事物分类问题的基本方法有两种：一是判别分析，二是聚类分析。若已知总体的类别数目及各类的特征，要对类别未知的个体正确地归属其中某一类，这时需要用判别分析法。若事先对总体到底有几种类型无从知晓，则要想知道观测到的个体的具体的分类情况，这时就需要用聚类分析法。

聚类分析的基本思想：首先定义能度量样品（或变量）间相似程度（亲疏关系）的统计量，在此基础上求出各样品（或变量）间相似程度的度量值；然后按相似程度的大小，把样品（或变量）逐一归类，关系密切的聚集到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到所有的样品（或变量）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统；最后根据整个分类系统画出一副分群图，称之为亲疏关系谱系图。

聚类分析给人们提供了丰富多彩的分类方法，大致可归为：

⑴系统聚类法：首先，将n 个样品看成n 类，然后将性质最接近的两类合并成一个新类，得到1 n 类，合并后重新计算新类与其它类的距离与相近性测度。这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止，并且类的过程可用一张谱系聚类图描述。

⑵动态聚类法（调优法）：首先对n 个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则进行调整，直到分类合理为止。

⑶有序样品聚类法（最优分割法）：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、

三类，一直分割到所需的K类为止。这种方法适用于有序样品的分类问题，故称为有序样品聚类法．

⑷模糊聚类法：该方法多用于定性变量的分类．利用模糊集理论来处理分类问题，它对经济领域中具有模糊特征的两态数据和多态数据具有明显的分类效果．

⑸图论聚类法：利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题，创造了独具风格的方法．

⑹聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题，在多元统计分析中，可用来作预报的方法很多，如回归分析或判别分析．但对一些异常数据，如气象中的灾害性天气的预报，使用回归分析或判别分析处理的效果都不好，而聚类预报弥补了这一不足，这是一个值得重视的方法。本书主要介绍⑴～⑷

聚类分析不仅可以对样品进行分类，也可以对变量进行分类。对样品的分类称为Q型聚类分析，对变量进行分类称为R型聚类分析。

聚类分析的历史还很短，它的方法很粗糙，理论上还不完善，但由于能解决许多实际问题，所以很受人们重视，同回归分析、判别分析一起被称为多元分析的三大实用分析方法。

聚类统计量

在对样品（或变量）进行分类时，样品（或变量）之间的相似性是如何度量的呢？这一节中，我们介绍三种相似性度量—距离、匹配系数和相似系数。距离和匹配系数常用来度量样品之间的相似性，相似系数常用来变量之间的相似性。样品之间的距离和相似系数有着各种不同的定义，而这些定义与变量的类型有着非常密切的关系。通常变量按取值的不同可以分为：

1.定量变量：变量用连续的量来表示，例如长度、重量、速度、人口等，又称为间隔尺度变量。

2.定性变量：并不是数量上有变化，而只是性质上有差异。定性变量还可以再分为：

⑴有序尺度变量：变量不是用明确的数量表示，而是用等级表示，例如某产品分为一

等品、二等品、三等品等，文化程度分为文盲、小学、中学、大学等。

⑵名义尺度变量：变量用一些类表示，这些类之间既无等级关系，也无数量关系，例

如性别分为男、女，职业分为工人、教师、干部、农民等。

下面我们主要讨论具有定量变量的样品聚类分析，描述样品间的亲疏程度最常用的是距离。

9.2.1距离

1. 数据矩阵

设ij x 为第i 个样品的第j 个指标，数据矩阵如下表 表9.1 数据矩阵

在上表中，每个样品有p 个变量，故每个样品都可以看成是p R 中的一个点，n 个样品就是p R 中的n 个点。在p

R 中需定义某种距离，第i 个样品与第j 个样品之间的距离记为ij d ，在聚类过程中，相距较近的点倾向于归为一类，相距较远的点应归属不同的类。所定义的距离ij d 一般应满足如下四个条件：

⑴0≥ij d ，对一切j i ,;且0),(=j i x x d 当且仅当j i x x = ⑵ji ij d d =，对一切j i ,； ⑶kj ik ij d d d +≤，对一切k j i ,, 2．定量变量的常用的距离

对于定量变量，常用的距离有以下几种： ⑴闵科夫斯基（Minkowski ）距离 q

p

k q jk ik

ij x x

q d 1

1

][

)(∑=-=

这里q 为某一自然数。闵科夫斯基距离有以下三种特殊形式：

1） 当1=q 时，∑=-=

p

k jk ik

ij x x

d 1

)1(称为绝对值距离，常被形象地称为“城市街区”距离；

2） 当2=q 时，2

11

2

][

)2(∑=-=p

k jk ik

ij x x

d ，称为欧氏距离，这是聚类分析中最常用的距离；

3）当∞=q 时，jk ik p

k ij x x d -=∞≤≤1m ax )(,称为切比雪夫距离。

)(q d ij 在实际中用得很多，但是有一些缺点，一方面距离的大小与各指标的观测单位有关，另一方面它没

有考虑指标间的相关性。

当各指标的测量值相差悬殊时，应先对数据标准化，然后用标准化后的数据计算距离；最常用的标准化处理是：

令 j

j

ij ij

s x x x -=

*

其中∑==n i ij j x n x 11为第j 个变量的样本均值，∑=--=n

i j ij j x x n s 1

2)(11为第j 个变量的样本方差。 ⑵兰氏（Lance 和Williams ）距离

当0>ij x （;,,2,1n i = p j ,,2,1 =）时，第i 个样品与第j 个样品间的兰氏距离为

∑

=+-=p

k jk

ik jk ik ij x x x x L d 1

)(

这个距离与各变量的单位无关，但没有考虑指标间的相关性。 ⑶马氏距离（Mahalanobis ）距离 第i 个样品与第j 个样品间的马氏距离为 )()'()(1j i j i ij x x S x x M d --=

-

其中)',,,(21ip i i i x x x x =,),,(21jp j j j x x x x =,S 为样品协方差矩阵。

使用马氏距离的好处是考虑到了各变量之间的相关性，并且与各变量的单位无关；但马氏距离有一个很大的缺陷，就是S 难确定。由于聚类是一个动态过程，故S 随聚类过程而变化，那么同样的两个样品之间的距离可能也会随之而变化，这不符和聚类的基本要求。因此，在实际聚类分析中，马氏距离不是理想的距离。

⑷斜交空间距离

第i 个样品与第j 个样品间的斜交空间距离定义为

∑∑==*

--=p k p

l kl jl il jk ik

ij r x x x x

p

d 12

11

2

]))((1[

其中kl r 是变量k x 与变量l x 间的相关系数。当p 个变量互不相关时，p

d d ij ij

)2(=*，即斜交空间距离退化为欧氏

距离（除相差一个常数倍外）。

以上几种距离的定义均要求样品的变量是定量变量，如果使用的是定性变量，则有相应的定义距离的方法。 3．定性变量的距离

下例只是对名义尺度变量的一种距离定义。

例9.1.1 某高校举办一个培训班，从学员的资料中得到这样6个变量：性别（1x ）取值为男和女；外语语种（2x ）取值为英、日和俄；专业（3x ）取值为统计、会计和金融；职业（4x ）取值为教师和非教师；居住处（5x ）取值为校内和校外；学历（6x ）取值为本科和本科以下。

现有两名学员：

=1x （男，英，统计，非教师，校外，本科）ˊ =2x (女，英，金融，教师，校外，本科以下)ˊ

这两名学员的第二个变量都取值“英”，称为配合的，第一个变量一个取值为“男”，另一个取值为“女”，称为不配合的。一般地，若记配合的变量数为1m ，不配合的变量数为2m ，则它们之间的距离可定义为

2

12

12m m m d +=

按此定义本例中1x 与2x 之间的距离为

3

2。 当样品的变量为定性变量时，通常采用匹配系数作为聚类统计量。

9.2.2．匹配系数

定义9.2.1 第i 个样品与第j 个样品的匹配系数定义为 ∑==

p

k k

ij Z

S 1

，其中

jk

ik jk

ik k x x x x Z ≠=??

?=当当,

0,1

显然匹配系数越大，说明两样品越相似。

例9.2.1 对购买家具的顾客作聚类分析。有以下三个变量： 1x ：喜欢的式样，老式记为1，新式记为2；

2x ：喜欢的图案，素式记为1，格子式记为2，花式记为3；

3x ：喜欢的颜色，蓝色记为1，黄色记为2，红色记为3，绿色记为4。 下面列出

表9.2 四位顾客（样品）的观测值

解 各样品为名义尺度变量，其取值仅代表不同状况、类别，无大小次序关系，故采用匹配系数作为聚类统计量，由定义得

311111=++=S ，100112=++=S ，101013=++=S ，000014=++=S

322=S ，023=S ，101024=++=S 333=S ，234=S ，3

44=S

注：⑴对j i ,?，ij S 为非负整数；

⑵ij S 越大，表明样品越相似；按ij S 由大到小，可将样品逐步聚类。

⑶上述匹配系数的计算没有考虑到各个变量取值个数的多寡而一视同仁。在上例中， 式样1x 只取两个值1和2，图案2x 取三个值（1,2,3），颜色3x 取四个值(1,2,3,4). 故 {}1}1{}1{321=>=>=x P x P x P 即 }{}{}{332211j i j i j i x x P x x P x x P =>=>=

这样，ij S 的大小主要由1x 控制，而2x 与3x 的作用不适当地被削弱了。为了解决 这一问题，引进对指标加权的匹配系数： ∑==

p

k k k

ij x v

S 1

其中k v 是指标k x 的权数，等于k x 可能取值的个数。 对上例，求得各加权匹配系数为：

911=S ，204031212=?+?+?=S ，3013013=+?+=S ，014=S ，

922=S ，023=S ，3013024=+?+=S ， 933=S ，614031234=?+?+?=S ，944=S .

聚类分析方法不仅用来对样品进行分类，而且可用来对变量进行分类。在对变量进行分类时，常常采用相似系数来度量变量之间的相似性。

9.2.3相似系数

设ij c 表示i x 与j x 的相似系数，它一般应满足如下三个条件： ⑴1≤ij c ，对一切j i ,；

⑵1±=ij c ，当且仅当存在常数a 和b ，使得b ax x j i +=； ⑶ji ij c c =，对一切j i ,.

最常用的相似系数有以下两种： 1. 夹角余弦

变量i x 与j x 的夹角余弦定义为

2

11

2

1

21]

[)1(∑∑∑===?=

n

k kj n k ki n

k kj

ki

ij x x x x

c

它是n R 中变量i x 的观测向量'

21),,,(ni i i x x x 与变量j x 的观测向量'21),,,(nj j j x x x 之间夹角ij θ的余弦

函数，即ij ij c θcos )1(=.

2. 相关系数

变量i x 与j x 的相关系数为

∑∑∑===-?---=

n k n

k j kj i ki n

k j kj i ki

ij x x x x x x x x

c 1

2

1

1

22

1

]}

)([])({[)

)(()2(

其中∑==

n

k ki

i x

x 1

，∑==

n

k kj

j x

x 1

注：⑴)2(ij c 实际上是将数据标准化后的交角余弦。

⑵变量之间的这种相似性度量，在一些应用中要看相似系数的大小，而在另一些应用中要看相似系数绝对值的大小。相似系数（或其绝对值）越大，认为变量之间相似程度就越高；反之，则越低。 ⑶聚类时，比较相似的变量倾向于归为一类，不太相似的变量归属不同的类。 ⑷变量之间常借助于相似系数来定义距离，如令 2

2

1ij ij c d -=

⑸一般来说，同一批数据采用不同的相似性度量，会得到不同的分析结果。在进行聚类分析时，应根据实际情况选取合适的相似性度量，如在经济变量分析中，常用相关系数来描述变量间的相似程度。

系统聚类法

基本思想

首先将n 个样品各自作为一类，并规定样品之间的距离和类与类之间的距离，然后将

距离最近的两类合并成一个新类，计算新类与其它类的距离；重复进行两个最近类的合并，每次减少一类，直至所有的样品合并成一类。

系统聚类的方法

设ij d 表示样品i 与样品j 之间的距离， ,,21G G 表示类，KL D 表示K G 与L G 的距离。 ⑴最短距离法 1）最短距离 定义

},min{L K ij KL G j G i d D ∈∈=

即类与类之间的距离KL D 为两类最近样品间的距离。 由METHOD=SIN 指示SAS 执行

2）最短距离法 步骤如下：

①规定样品之间的距离，计算n 个样品的距离矩阵)0(D ，它是一个对称矩阵。

②选择)0(D 中的最小元素，设为KL D ，则将K G 与L G 合并成一个新类，记为M G ，即},{L K M G G G =;在)0(D 中划去K G 与L G 所对应的两行与两列。

③加入由新类M G 与剩下的未聚合的各类之间的距离所组成的一行和一列，计算新类M G 与任一类J G 之间距离的递推公式为

},min{J M ij MJ G j G i d D ∈∈=

}},min{},,min{min{J L ij J M ij G j G i d G j G i d ∈∈∈∈= }

,min{LJ KJ D D =

其余行列上的距离值不变，这样就得到了新的距离矩阵，记作)1(D 。

④对)1(D 重复上述对)0(D 的两步得)2(D ，如此下去直至所有元素合并成一类为止。

如果某一步)(m D 中的最小元素不止一个，则称此现象为结，对应这些最小元素的类可以任选一对合并或同时合并。

⑵最长距离法 1）最长距离 定义

},max{L K ij KL G j G i d D ∈∈=

即类与类之间的距离KL D 为两类最远样品间的距离. 由METHOD=COM 指示SAS 执行。

2)最长距离法

最长距离法与最短距离法的步骤类似，当某类K G 与L G 合并成一个新类M G ，M G 与任一类J G 的距离为

=MJ D },m ax {LJ KJ D D =

⑶中间距离法

最短距离法与最长距离法均取极端值，而对有些问题，比如要反映工资、收入、生活 水平、价格等总体水平，取其中间值更能反映实际。

当某类K G 与L G 合并成一个新类M G ，计算M G 与任一类J G 的距离，其递推公式为 2

222

121KL

LJ KJ MJ D D D D β++= 其中L K J ,,04

1

≠≤≤-

β 常取4

1

-

=β，这时MJ D 正好是以KJ D 、LJ D 、KL D 为边的三角形中KL D 边上的中线. ⑷ 类平均法 类平均法有两种定义：

一种定义方法是把类与类之间的距离定义为所有样品对之间的平均距离，即定义K G 和L G 之间的距离为 ∑∈∈=

L

K G j G i ij

L

K KL d

n n D ,1

其中K n 和L n 分别为类K G 和L G 的样品个数，ij d 为 K G 中样品i 与L G 中样品j 之间的距离. 用METHOD=AVE 指示SAS 执行

当某类K G 与L G 合并成一个新类M G ，计算M G 与任一类J G 的距离，其递推公式为 ∑∈∈=j

M G j G i ij

J

M MJ d

n n D ,1

)(1

,,∑∑∈∈∈∈+=

J L J K G j G i ij G j G i ij J M d d n n LJ M

L KJ M K D n n

D n n +=

另一种定义方法是定义类与类之间的平方距离为样品对之间平方距离的平均值，即 2

22

LJ M

L KJ M K MJ D n n D n n D +=

在上面的递推公式中，KJ D 没有被反映出来，为此可可将该公式进一步推广为

2

222

))(

1(KL LJ M

L KJ M K MJ D D n n D n n D ββ++-= 其中1<β，称这种系统聚类法为可变类平均法。 用METHOD=FLE 指示SAS 执行

⑸重心法

类与类之间的距离定义为它们的重心之间的欧氏距离．设K G 和L G 的重心分别为

K x 和L x ，则K G 与L G 之间的平方距离为

)()'(2

2

L K L K x x

KL x x x x d D L

K

--==

这种系统聚类法称为重心法，

它的递推公式为

2

2222

KL M

L K LJ M L KJ M K MJ D n n n D n n D n n D -+=

重心法在处理异常值方面比其他系统聚类法更稳健，但是在别的方面一般不如类平均法或离差平方和法的效果好。

由METHOD=CEN 指标SAS 执行．

⑹密度估计法(density method)

这种方法包括两步，第一步定义一种新的距离*d ；第二步基于*d ，采用最短距离法．由METHOD=DEN 指示SAS 执行。

*d 的估计有：

1）k 最近邻估计法：令)(x r k 表示点x 到第k 个最近观测值的距离，其中k 由k =选项指定，考虑以x 为中心，以)(x r k 为半径的闭球，在点x 的密度估计)(x f 为球内观测数被球体积除所得的商，*d 定义为

??

?

??∞≤+=其他

))

x (r ),x (r (max )x ,x (d ))

x (f 1)x (f 1(21)x ,x (*d j k i k j i j i j i ．

2） 一致核估计法：令r 为选择项R =确定的值，考虑一个中心在x ，半径为r 的闭球，在x 点的密度)(x f 的估计值为球内观测数被球体积去除所得的商，*d 定义为

???

??∞

≤+=其他

r

)x ,x (d ))

x (f 1)x (f 1(21)x ,x (*d j i j i j i

3）Wong 混合法． ⑺离差平方和法

类中各样品到类重心的平方欧氏距离之和称为（类内）离差平方和法． 设类K G 和L G 合并成新类M G ，则K G 、L G 和M G 的离差平方和法分别是 )()'(K i G i K i

K x x x x

W K

--=∑∈

)()'(L i G i L i

L x x x x

W L

--=∑∈ )()'(M i G i M i

M x x x x

W M

--=

∑∈

它们反映了各自类内样品的分散程度．如果K G 和L G 这两类相距较近，则合并后所增加的离差平方和法

L K M W W W --应较小；否则，应较大.

所以我们定义K G 和L G 之间的平方距离

L K M KL W W W D --=2

这种系统聚类法称为离差平方和法或Ｗard 方法.

离差平方和法类间距离与两类的样品数有较大关系，两个大的类倾向于有较大的距离，

因而不易合并，这往往符合我们对聚类的实际要求．离差平方和法在许多场合下优于重心法，是比较好的一种系统聚类法，但它对异常值很敏感．

由METHOD=WARD 指示SAS 执行． 系统聚类的SAS 程序

系统聚类可用CLUSTER 过程实施，用前述十一种方法对数据集中的观测进行系统聚类，其输入数据可以是数值型的坐标值，也可以是距离值。还可用TREE 过程画谱系图，PRC TREE CLUSTER 过程主要包括以下几个语句：PROC CLUSTER 语句、VAR 语句、ID 语句。

⑴PROC CLUSTER 语句一般形式是：PROC CLUSTER 选择项1选择项2……。PROC CLUSTER 语句中的选择项可以是以下几种：

1）数据集选项DATA 一…，用以指明过程分析的数据集；

2）OUTTREE=命名一个输出数据集，该数据集供TREE 过程用来画谱系图 3）聚类方法选项METHOD=可以是前面的十一种方法中的任一种．

⑵VAR 语句一般形式是：VAR 变量1 变量2……；VAR 语句用来列出聚类分析中所使 用的变量

⑶ID 语句一般形式是：ID 变量；ID 语句用的变量用以区分聚类过程打印输出和 OUTTREE 数据集中的观测

TREE 过程只有一条语句： PROC TREE DATA=数据集；它根据数据集华谱系图。

proc tree data =tree1;

⑷COPY 语句一般形式是：COPY 变量。COPY 语句用来把列出的变量从输入数据集复制到OUTTREE 数据集中。 例9.3.2 对于北京地区1 9 5 1～1 9 6 1年11年的冬季1 2月、1月和2月三个月的气温（数据见）进行聚类分析。共采用五种聚类方法：类平均法、重心法、密度估计法、最小距离法和Ward 法。 （1）类平均法可采用以下SAS 程序． ’

data temperat;

input year Dec Jan Feb; cards ;

1951 1.0 -2.7 -4.3

1952 -5.3 -5.9 -3.5

1953 -2.0 -3.4 -0.8

1954 -5.7 -4.7 -1.1

1955 -0.9 -3.8 -3.1

1956 -5.7 -5.3 -5.9

1957 -2.1 -5.0 -1.6

1958 0.6 -4.3 -0.2

1959 -1.7 -5.7 2.0

1960 -3.6 -3.6 1.3

1961 -3.0 -3.1 -0.8

;

proc cluster data=temperat method=average;

var Dec Jan Feb;

id year;

run;

该程序第一步建立名为temperat的数据集，此数据集包括1 9 51-1 9 6 1年的资料。紧接着的proc cluster 语句调用cluster过程用来对数据集temperat进行聚类,method=average表示采用类平均法,outtree=tree1指示电脑将聚类结果存入tree1数据集。语句var Dec Jan Feb表明对Dec，Jan，Feb三个月的平均温度进行聚类分析。id year；表明用年区分聚类的观测．

类平均法的输出如下

Average Linkage Cluster Analysis

Eigenvalues of the Covariance Matrix

Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

1 6.72019 1.90639 0.54468

2 0.54468

2 4.81380 4.00998 0.390167 0.93485

3 0.80382 . 0.065151 1.00000

Root-Mean-Square Total-Sample Standard Deviation = 2.027956

Root-Mean-Square Distance Between Observations = 4.967458

Number Frequency Normalized

of of New RMS

Clusters ------Clusters Joined------ Cluster Distance Tie

10 1953 1961 2 0.210174

9 CL10 1957 3 0.409358

8 1951 1955 2 0.503678

7 1952 1956 2 0.504482

6 CL9 1960 4 0.577050

5 1958 1959 2 0.699969

4 CL6 1954

5 0.712379

3 CL

4 CL

5 7 0.834187

2 CL8 CL

3 9 1.046039

1 CL

2 CL7 11 1.254241

上表（表头Cluster History）给出了用类平均法聚类的结过程，每行指出新聚类的年份．各行为：

1）分成十类

{53 61}成一类，其余各自成一类

2）分成九类

{53 61 57}成一类，其余各自成一类

3）分成八类

{53 61 57}，{51 55}各为一类，其余各自成一类

4）分成七类

{53 61 57}，{51 55}，{52 56}各为一类，其余各自成一类

5）分成六类

{53 61 57 60}，{51 55}，{52 56}各为一类，其余各自成一类

6）分成五类

{53 57 60 61}，{51 55}，{52 56}，{58 59}，{54}．

7）分成四类

{53 54 57 60 61}，{51 55}，{52 56}，{58 59}．

8）分成三类

{53 54 57 58 59 60 61}，{51 55}，{52 56}．

9）分成二类

{51 53 54 55 57 58 59 60 61}，{52 56}．

分成四类的结果很有意义，我们看到若用类平均法分成四类为{53 54 57 60 61}，{51 55}，{52 56}，{58 59}．

第一类都是在1 2月、1月温度较低，在2月份转暖．第二类是1 9 5 1年和1 9 5 5年，都是1 2月份暖而1月、2月变冷型．第三类1 9 5 2年和1 9 5 6年，1 2月、1月、2月相对都较冷，平均气温变化不大．第

四类1 9 5 8年1 9 5 9年则1月份平均气温最低而1 2月、2月相对高

(2)使用重心法，可采用程序

proc cluster data=temperat method=centroid;

var Dec Jan Feb;

id year;

run;

得到的输出是

Centroid Hierarchical Cluster Analysis

Eigenvalues of the Covariance Matrix

Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

1 6.72019 1.90639 0.54468

2 0.54468

2 4.81380 4.00998 0.390167 0.93485

3 0.80382 . 0.065151 1.00000

Root-Mean-Square Total-Sample Standard Deviation = 2.027956

Root-Mean-Square Distance Between Observations = 4.967458

Number Frequency Normalized of of New Centroid

Clusters ------Clusters Joined------ Cluster Distance Tie

10 1953 1961 2 0.210174

9 CL10 1957 3 0.395640

8 1951 1955 2 0.503678

7 1952 1956 2 0.504482

6 CL9 1960 4 0.539296

5 CL

6 1954 5 0.649108

4 1958 1959 2 0.699969

3 CL5 CL

4 7 0.661098

2 CL8 CL

3 9 0.899558

1 CL

2 CL7 11 1.087754

上表（表头Cluster History）给出了用类平均法聚类的过程，每行指出新聚类的年份．各行为：

1)分成十类

{53 61}成一类，其余各自成一类、

2)分成九类

{53 61 57}成一类，其余各自成一类

3)分成八类

{53 61 57}，{51 55}各为一类，其余各自成一类

4)分成七类

{53 61 57}，{51 55}，{52 56}各为一类，其余各自成一类

5)分成六类

{53 61 57 60}，{51 55}，{52 56}各为一类，其余各自成一类

6)分成五类

{53 61 57 60 54}，{51 55}，{52 56}各为一类，其余各自成一类

7)分成四类

{53 61 57 60 54}，{51 55}，{52 56}，{58，59}各为一类

8)分成三类

{53 61 57 60 54 58 59}，{51 55}，{52 56} 各为一类，

9)分成二类

{53 61 57 60 54 58 59 51 55}，{52 56} 各为一类

10)分成一类：

所有年份为一类

⑶使用密度法可用程序

proc cluster data=temperat method=density k=3;

var Dec Jan Feb;

id year;

run;

得到的输出是

Density Linkage Cluster Analysis

Eigenvalues of the Covariance Matrix

Eigenvalue Difference Proportion Cumulative

1 6.72019 1.90639 0.54468

2 0.54468

2 4.81380 4.00998 0.390167 0.93485

3 0.80382 . 0.065151 1.00000

K = 3

Root-Mean-Square Total-Sample Standard Deviation = 2.027956

Normalized Maximum Density Number Frequency Normalized in Each Cluster

of of New Fusion

Clusters ------Clusters Joined------ Cluster Density Lesser Greater Tie

10 1953 1961 2 67.6663 51.1331 100.0000 9 CL10 1957 3 67.1343 50.5280 100.0000 8 CL9 1960 4 47.3132 30.9871 100.0000 7 CL8 1955 5 42.5310 36.7194 100.0000 6 CL7 1958 6 31.8196 18.9199 100.0000 5 CL6 1954 7 27.0097 18.3518 100.0000 4 CL5 1952 8 22.4193 28.8032 100.0000 3 CL4 1959 9 18.9815 13.6810 100.0000 2 CL3 1951 10 11.2800 6.6635 100.0000 1 CL2 1956 11 8.6379 5.0808 100.0000

One modal cluster has been formed.

上表（表头Cluster History）给出了用类平均法聚类的结过程，每行指出新聚类的年份．各行为：

1)分成十类

{53 61}成一类，其余各自成一类、

2)分成九类

{53 61 57}成一类，其余各自成一类

3)分成八类

{53 61 57 60}为一类，其余各自成一类

4)分成七类

{53 61 57 60 55}为一类，其余各自成一类

5)分成六类

{53 61 57 60 55 58}为一类，其余各自成一类

6)分成五类

多元统计分析期末复习试题

第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章：

二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . )' ,...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='= )' )((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ) ,(~∑μP N X μ ∑ p X X X ,,,21

特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 μ ) ,(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ) () 1(,,n X X X )' ,,,(21p X X X )' )(() () (1 X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μ X ) 1 , (~∑n N X P μ) ,1(∑-n W p X X

多元统计分析实例汇总

多元统计分析实例 院系:商学院 学号: 姓名:

多元统计分析实例 本文收集了2012年31个省市自治区的农林牧渔和相关农业数据,通过对对收集的数据进行比较分析对31个省市自治区进行分类.选取了6个指标农业产值,林业产值.牧业总产值,渔业总产值,农村居民家庭拥有生产性固定资产原值,农村居民家庭经营耕地面积. 数据如下表: 一.聚类法

设定4个群聚,采用了系统聚类法.下表为spss分析之后的结果.

Rescaled Distance Cluster Combine C A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+ 内蒙 5 -+ 吉林 7 -+ 云南 25 -+-+ 江西 14 -+ +-+ 陕西 27 -+-+ | 新疆 31 -+ +-+ 安徽 12 -+-+ | | 广西 20 -+ +-+ +-------+ 辽宁 6 ---+ | | 浙江 11 -+-----+ | 福建 13 -+ | 重庆 22 -+ +---------------------------------+ 贵州 24 -+ | | 山西 4 -+---+ | | 甘肃 28 -+ | | | 北京 1 -+ | | | 青海 29 -+ +---------+ | 天津 2 -+ | | 上海 9 -+ | | 宁夏 30 -+---+ | 西藏 26 -+ | 海南 21 -+ | 河北 3 ---+-----+ | 四川 23 ---+ | | 黑龙江 8 -+-+ +-------------+ | 湖南 18 -+ +---+ | | | 湖北 17 -+-+ +-+ +-------------------------+ 广东 19 -+ | | 江苏 10 -------+ | 山东 15 -----------+-----------+ 河南 16 -----------+

多元统计分析期末试卷

一、（本大题共2小题，每题5分，共10分） 1、设),(~3∑μN X ，其中???? ? ?????=∑-==221231111,)'1,3,2(,)',,(321μX X X X ，试求32123X X X +-的分布。 2、设三个总体321,G G G 和的分布分别为：)1,3()2,0(),5.0,2(222N N N 和。试按马氏距离判别准则判别x =2.5应判归哪一类？ 二、（本题10分）设'1233(,,)~(,)X X X X N μ=∑，其中 )10(11 1 ,)',,(321<

三、（本题10分）已知5个样品的观测值为：1，4，5，7，11.试用按类平均法对5个样品进行分类。 四、（本题10分）设有两个正态总体21G G 和，已知(m=2) ? ? ? ???=∑=∑??????=??????=32121218,2520,151021)1()1(μμ ，先验概率21q q =，而,10)12(=L 75)21(=L 。试问按贝叶斯判别准则样品?? ? ???=??????=2015,2020)2() 1(X X 各应判归哪一类？

五、（本题10分）假定人体尺寸有这样的一般规律：身高（1X ），胸围（2X ）和上半臂围（3X ）的平均尺寸比例是6：4：1。假定),,1()(n X =αα为来自总体)',,(321X X X X =的随机样本，并设),(~3∑μN X 。试利用下表中数据来检验其身高、胸围和上半臂围这三个尺寸是否符合这一规律。（94.6)4,2(,05.005.0==F α）

多元统计分析方法

多元统计分析方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

多元统计分析概述 目录 一、引言 (3) 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 (3) 1.多元统计分析方法的研究对象 (3) 2.多元统计分析方法的主要内容 (3) 三、各种多元统计分析方法 (3) 1.回归分析 (3) 2.判别分析 (6) 3.聚类分析 (8) 4.主成分分析 (10) 5.因子分析 (10) 6. 对应分析方法 (11) 7. 典型相关分析 (11) 四、多元统计分析方法的一般步骤 (12) 五、多元统计分析方法在各个自然领域中的应用 (12) 六、总结 (13) 参考文献 (14) 谢辞 (15)

一、引言 统计分布是用来刻画随机变量特征及规律的重要手段，是进行统计分布的基础和提高。多元统计分析方法则是建立在多元统计分布基础上的一类处理多元统计数据方法的总称，是统计学中的具有丰富理论成果和众多应用方法的重要分支。在本文中，我们将对多元统计分析方法做一个大体的描述，并通过一部分实例来进一步了解多元统计分析方法的具体实现过程。 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 （一）多元统计分析方法的研究对象 由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些变量又是随机变量，所以要讨论多个随机变量的统计规律性。多元统计分析就是讨论多个随机变量理论和统计方法的总称。其内容包括一元统计学中某些方法的直接推广，也包括多个随即便量特有的一些问题，多元统计分析是一类范围很广的理论和方法。 现实生活中，受多个随机变量共同作用和影响的现象大量存在。统计分析中，有两种方法可同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和研究。一种方法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个随机变量，分别进行研究。但是，这样处理忽略了变量之间可能存在的相关性，因此，一般丢失的信息太多，分析的结果不能客观全面的反映整个问题，而且往往也不容易取得好的研究结论。另一种方法是同时对多个随机变量进行研究分析，此即多元统计方法。通过对多个随即便量观测数据的分析，来研究随机变量总的特征、规律以及随机变量之间的相互

多元统计分析期末试题及答案.doc

22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ???

统计学--统计学-——典型案例、问题和思想

经济管理类“十二五”规划教材统计学 -基于典型案例、问题和思想 主讲林海明

第一章绪论 【引言】我们从如下9个重要事例，说明统计学有什么用。 事例1：二次世界大战中，最激烈的空战是英国抗击德国的空战，英军为了提高战斗力，急需找到英军战机空战中的危险区域加固钢板，统计学家瓦尔德用统计学

方法找到了危险区域，英军用钢板加固了这些危险区域，使英军取得了空战的胜利。 事例2：上世纪20-30年代，为了找到中国革命的主力军和道路，政治家毛泽东悟出了统计学的频数方法，用此找到了中国革命的主力军是农民，中国革命的道路是农村包围城市。由此不屈不饶的奋斗，由弱变强，建立了独立自主的中华人民共和国，他还发现了“没有调查，就没有发

言权”的科学论断。 事例3：1998年，美国博耶研究型大学本科生教育委员会发表了题为《重建本科生教育：美国研究型大学发展蓝图》的报告，该报告指出：为了培养科学、技术、学术、政治和富于创造性的领袖，研究型大学必须“植根于一种深刻的、永久性的核心：探索、调查和发现”。这说明了统计学中调查的重要性。

事例4：在居民收入贫富差距的测度方面,美国统计学家洛仑兹（1907）、意大利经济学家基尼（1922）找到了统计学的洛仑兹曲线、基尼系数，由此给出了居民收入贫富差距的划分结果，为政府改进居民收入贫富不均的问题提供了政策依据。 事例5：二战后产品质量差的日本，以田口玄一为代表的质量管理学者用统计学方法找到了3σ质量管理原则，用其大幅提

高了企业的产品质量，其产品畅销海内外，日本因此成为当时的第二经济强国。该学科现已发展到了6σ质量管理原则。 事例6：在第二次世界大战的苏联卫国战争中，专家们用英国统计学家费歇尔（1 925）的最大似然法、无偏性，帮助苏军破解了德军坦克产量的军事秘密，由此苏军组织了充足的军事力量并联合盟军，打败了德军的疯狂进攻并占领了柏林。

多元统计分析案例分析.docx

精品资料 一、对我国30个省市自治区农村居民生活水平作聚类分析 1、指标选择及数据：为了全面分析我国农村居民的生活状况，主要考虑从收入、消费、就业等几个方面对农村居民的生活状况进行考察。因此选取以下指标：农村产品价格指数、农村住宅投资、农村居民消费水平、农村居民消费支出、农村居民家庭人均纯收入、耕地面积及农村就业人数。现从２０１０年的调查资料中

２、将数据进行标准化变换：

３、用Ｋ－均值聚类法对样本进行分类如下：

分四类的情况下，最终分类结果如下： 第一类：北京、上海、浙江。 第二类：天津、、辽宁、、福建、甘肃、江苏、广东。 第三类：浙江、河北、内蒙古、吉林、黑龙江、安徽、山东、河南、湖北、四川、云南。 第四类：山西、青海、宁夏、新疆、重庆、贵州、陕西、湖南、广西、江西、。从分类结果上看，根据２０１０年的调查数据，第一类地区的农民生活水平较高，第二类属于中等水平，第三类、第四类属于较低水平。 二、判别分析 针对以上分类结果进行判别分析。其中将新疆作作为待判样本。判别结果如下:

**. 错误分类的案例 从上可知，只有一个地区判别组和原组不同，回代率为96%。 下面对新疆进行判别： 已知判别函数系数和组质心处函数如下： 判别函数分别为：Y1=0.18x1 +0.493x2 + 0.087x3 + 1.004x4 + 0.381x5 -0.041x6 -0.631x7 Y2=0.398x1+0.687x2 + 0.362x3 + 0.094x4 -0.282x5 + 1.019x6 -0.742x7 Y3=0.394x1-0.197x2 + 0.243x3-0.817x4 + 0.565x5-0.235x6 + 0.802x7 将西藏的指标数据代入函数得：Y1=-1.08671 Y2=-0.62213 Y3=-0.84188 计算Y值与不同类别均值之间的距离分别为：D1=138.5182756 D2=12.11433124 D3=7.027544292 D4=2.869979346 经过判别，D4最小，所以新疆应归于第四类，这与实际情况也比较相符。 三，因子分析： 分析数据在上表的基础上去掉两个耕地面积和农村固定资产投资两个指标。经spss软件分析结果如下:

多元统计分析复习整理

一、聚类分析的基本思想： 我们认为，所研究的样品或指标之间存在着程度不同的相似性。根据一批样品的多个观测指标，具体找出一些能够度量样品或指标之间的相似程度的统计量，以这些统计量为划分类型的依据，把一些相似程度较大的样品聚合为一类，把另一些彼此之间相似程度较大的样品又聚合到另外一类。把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统。最后，用分群图把所有的样品间的亲疏关系表示出来。 二、聚类分析的方法 系统聚类法、模糊聚类法、K-均值法、有序样品的聚类、分解法、加入法 三、系统聚类法的种类 最短距离法、最长距离法、重心法、类平均法、离差平方和法 四、判别分析的基本思想 判别分析用来解决被解释变量是非度量变量的情形，预测和解释影响一个对象所属类别。识别一个个体所属类别的情况下有着广泛的应用 判别分析将对象进行分析，通过人们选择的解释变量来预测或者解释每个对象的所属类别。 五、判别分析的假设条件 判别分析的假设条件之一是每一个判别变量不能是其他判别变量的线性组合；判别分析的假设之二是各组变量的协方差矩阵相等。判别分析最简单和最常用的形式是采用线性判别函数。判别分析的假设之三是各判别变量之间具有多元正态分布，即每个变量对于所有其他变量的固定值有正态分布。当违背该假设时，计算的概率将非常的不准确。 六、判别分析的方法 距离判别法、Bayes判别法、Fisher判别法、逐步判别法

七、距离判别法的判别准则 设有两个总体1G 和2G ，x 是一个p 维样品，若能定义样品到总体1G 和2G 的距离d （x ，1G ）和d （x ，2G ），则用如下规则进行判别：若样品x 到总体1G 的距离小于到总体2G 的距离，则认为样品x 属于总体1G ，反之，则认为样品x 属于总体样品x 属于总体2G ，若样品x 到总体1G 和2G 的距离相等，则让它待判。 八、Fisher 判别的思想 Fisher 判别的思想是投影，将k 组p 维数据投影到某一个方向，使的它们的投影与组之间尽可能地分开。 九、Bayes 判别的思想 Bayes 统计的思想是：假定对研究的对象已有一定的认识，常用先验概率分布来描述这种认识，然后我们取得一个样本，用样本来修正已有的认识，得到后验概率分布，各种统计推断都通过后验概率分布来进行。将Bayes 统计的思想用于判别分析，就得到Bayes 判别。 十、判别分析的方法和步骤 1.判别分析的对象 2.判别分析的研究设计 3.判别分析的假定 4.估计判别模型和评估整体拟合 5.结果的解释 6.结果的验证 十一、提取主成分的原则 1.累计方差贡献率大于85%， 2.特征根大于1 ，3碎石图特征根的变化趋势。 十二、因子分析的步骤 1.根据研究问题选取原始变量。 2.对原始变量进行标准化并求其相关阵，分析变量之间的相关性。 3.求解初始公共因子及因子载荷矩阵。 4.因子旋转。 5.因子得分。 6.根据因子得分值进行进一步分析。

多元统计分析自己写

多元统计分析有哪些应用? 比较 关系 预测 分类 评价 各种应用对应的多元统计分析方法 比较：多元方差分析 关系：回归模型 预测：回归模型 分类：聚类分析与判别分析、回归模型 评价：主成分分析与因子分析 ?多元回归、logisitic回归、Cox回归、Poisson回归 多元统计分析方法主要内容 多元T检验、多元方差分析 ?Hotelling T2 ?multivariate analysis of variance (MANOV A) 多元线性回归(multivariate linear regression) logistic回归(logistic regression) Cox比例风险模型(Cox model) Poisson回归(Poisson regression) 聚类分析(cluster analysis) 判别分析(discriminant analysis) 主成分分析和因子分析 生存分析 本课程的要求 上机做练习，分析实际资料 学会看文献，判断统计分析的应用是否正确 统计软件SAS，或Stata, SPSS10.01 考试： 理论占30%，实验占70% 二、多元统计分析的基本概念 研究因素从广义的角度看，所有可以测量的变量都可以成为研究因素，比如：年 龄、性别、文化程度、人体的各种生物学特征和生理生化指标环境因素、心理因素等。狭义来看，研究因素是指可能与研究目的有关的影响因素 多元统计分析对多变量样本的要求 ①分布：多元正态分布、相互独立、多元方差齐 ②样本含量 目前尚没有多元分析的样本含量估计方法，一般认为样本含量应超过研究因素5-10倍以上即可。 数值变量→分类成有序分类变量 哑变量的数量=K-1（K为分类数）

多元统计分析重点归纳.归纳.docx

多元统计分析重点宿舍版 第一讲：多元统计方法及应用；多元统计方法分类（按变量、模型、因变量等） 多元统计分析应用 选择题：①数据或结构性简化运用的方法有：多元回归分析，聚类分析，主成分分析，因子分析 ②分类和组合运用的方法有：判别分析，聚类分析，主成分分析 ③变量之间的相关关系运用的方法有：多元回归，主成分分析，因子分析， ④预测与决策运用的方法有：多元回归，判别分析，聚类分析 ⑤横贯数据：{因果模型(因变量数)：多元回归，判别分析相依模型(变量测度)：因子分析，聚类分析 多元统计分析方法 选择题：①多元统计方法的分类：1）按测量数据的来源分为：横贯数据（同一时间不同案例的观测数据），纵观数据（同样案例在不同时间的多次观测数据） 2）按变量的测度等级（数据类型）分为：类别（非测量型）变量，数值型（测量型）变量 3）按分析模型的属性分为：因果模型，相依模型 4）按模型中因变量的数量分为：单因变量模型，多因变量模型，多层因果模型 第二讲：计算均值、协差阵、相关阵；相互独立性 第三讲：主成分定义、应用及基本思想，主成分性质，主成分分析步骤 主成分定义：何谓主成分分析 就是将原来的多个指标（变量）线性组合成几个新的相互无关的综合指标（主成分），并使新的综合指标尽可能多地反映原来的指标信息。 主成分分析的应用 ：（1）数据的压缩、结构的简化；（2）样品的综合评价，排序 主成分分析概述——思想：①（1）把给定的一组变量X1,X2,…XP ,通过线性变换，转换为一组不相关的变量Y1，Y2，…YP 。（2）在这种变换中，保持变量的总方差（X1，X2，…Xp 的方差之和）不变，同时，使Y1具有最大方差，称为第一主成分；Y2具有次大方差，称为第二主成分。依次类推，原来有P 个变量，就可以转换出P 个主

多元统计分析期末复习试题

第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ

Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X

数学建模多元统计分析

实验报告 一、实验名称 多元统计分析作业题。 二、实验目的 （一）了解并掌握主成分分析与因子分析的基本原理和简单解法。 （二）学会使用matlab编写程序进行因子分析，求得特征值、特征向量、载荷矩阵等值。（三）学会使用排序、元胞数组、图像表示最后的结果，使结果更加直观。 三、实验内容与要求

四、实验原理与步骤 （一）第一题： 1、实验原理： 因子分析简介： (1) 1.1 基本因子分析模型 设p维总体x=(x1,x2,....,xp)'的均值为u=(u1,u2,....,u3)'，因子分析的一般模型为 x1=u1+a11f1+a12f2+........+a1mfm+ε 1 x2=u2+a21f1+a22f2+........+a2mfm+ε 2 ......... xp=up+ap1f1+fp2f2+..........+apmfm+εp 其中，f1,f2,.....,fm为m个公共因子；εi是变量xi(i=1,2,.....,p)所独有的特殊因子，他们都是不可观测的隐变量。称aij(i=1,2,.....,p;j=1,2,.....,m)为变量xi的公共因子fi上的载荷，它反映了公共因子对变量的重要程度，对解释公共因子具有重要的作用。上式可以写为矩阵形式 x=u+Af+ε

其中A=(aij)pxm 称为因子载荷矩阵；f=(f1,f2,....,fm)'为公共因子向量；ε=(ε1,ε2,.....εp)称为特殊因子向量 (2) 1.2 共性方差与特殊方差 xi的方差var(xi)由两部分组成，一个是公共因子对xi方差的贡献，称为共性方差；一个是特殊因子对xi方差的贡献，称为特殊方差。每个原始变量的方差都被分成了共性方差和特殊方差两部分。 (3) 1.3 因子旋转 因子分析的主要目的是对公共因子给出符合实际意义的合理解释，解释的依据就是因子载荷阵的个列元素的取值。当因子载荷阵某一列上各元素的绝对值差距较大时，并且绝对值大的元素较少时，则该公共因子就易于解释，反之，公共因子的解释就比较困难。此时可以考虑对因子和因子载荷进行旋转（例如正交旋转），使得旋转后的因子载荷阵的各列元素的绝对值尽可能量两极分化，这样就使得因子的解释变得容易。 因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两种，这里只介绍一种普遍使用的正交旋转法：最大方差旋转。这种旋转方法的目的是使因子载荷阵每列上的各元素的绝对值（或平方值）尽可能地向两极分化，即少数元素的绝对值（或平方值）取尽可能大的值，而其他元素尽量接近于0. (4) 1.4 因子得分 在对公共因子做出合理解释后，有时还需要求出各观测所对应的各个公共因子的得分，就比如我们知道某个女孩是一个美女，可能很多人更关心该给她的脸蛋、身材等各打多少分，常用的求因子得分的方法有加权最小二乘法和回归法。 注意：因子载荷矩阵和得分矩阵的区别： 因子载荷矩阵是各个原始变量的因子表达式的系数，表达提取的公因子对原始变量的影响程度。因子得分矩阵表示各项指标变量与提取的公因子之间的关系，在某一公因子上得分高，表明该指标与该公因子之间关系越密切。简单说，通过因子载荷矩阵可以得到原始指标变量的线性组合，如X1=a11*F1+a12*F2+a13*F3,其中X1为指标变量1，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子；通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合，如F1=a11*X1+a21*X2+a31*X3，字母代表的意义同上。 (5) 1.5 因子分析中的Heywood（海伍德）现象 如果x的各个分量都已经标准化了，则其方差=1。即共性方差与特殊方差的和为1。也就是说共性方差与特殊方差均大于0，并且小于1。但在实际进行参数估计的时候，共性方差

多元统计分析期末试题

一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p =∑αμα 且相互独立，则样本均值向量X 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,('21n i X X X X ip i i i ==，总体),(~∑μp N X ，对样品进行分类常用的距离有：明氏距 离，马氏距离2 ()ij d M =)()(1j i j i x x x x -∑'--，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是：εββ++=x y 10，多元回归的数学模型是： εββββ++++=p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3∑μN X ，其中??? ? ? ??=∑200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21'X X 和3X 是否 独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21=X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵??? ? ??∑∑ ∑∑=∑22211211 ，),(21'X X 的协差矩阵为11∑因为12321),),cov((∑='X X X ，而012=∑，所以),(21'X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以),(21'X X 和3X 是独立的。

(整理)基于SPSS的多元统计分析三种算法的实例研究.

基于SPSS的多元统计分析三种算法的实例研究 摘要 本文主要应用多元统计中的多元回归分析模型、因子分析模型、判别分析模型解决三个有关经济方面的问题，从而能更深的理解多元统计分析这门课程，并熟悉SPSS软件的一些基本操作。 关键词：多元回归分析，因子分析，判别分析，SPSS

第一章 多元线性回归分析 1.1 研究背景 消费是宏观经济必不可少的环节，完善的消费模型可以为宏观调控提供重要的依据。根据不同的理论可以建立不同的消费函数模型，而国内的许多学者研究的主要是消费支出与收入的单变量之间的函数关系，由于忽略了对消费支出有显著影响的变量，其所建立的方程必与实际有较大的偏离。本文综合考察影响消费的主要因素，如收入水平、价格、恩格尔系数、居住面积等，采用进入逐步、向前、向后、删除、岭回归方法，对消费支出的多元线性回归模型进行研究，找出能较准确描述客观实际结果的最优模型。 1.2 问题提出与描述、数据收集 按照经济学理论，决定居民消费支出变动的因素主要有收入水平、居民消费意愿、消费环境等。为了符合我国经济发展的不平衡性的现状，本文主要研究农村居民的消费支出模型。文中取因变量Y 为农村居民年人均生活消费支出（单位：元），自变量为农村居民人均纯收入X 1（单位：元）、商品零售价格定基指数X 2（1978年的为100）、消费价格定基指数X 3（1978年的为100）、家庭恩格尔系数X 4（%）、人均住宅建筑面积X 5（单位：m 2）。本文取1900年至2009年的数据（数据来源：中华人民共和国国家统计局网公布的1996至2010年中国统计年鉴）列于附录的表一中。 1.3 模型建立 1.3.1 理论背景 多元线性回归模型如下： εββββ+++++=p p X X X Y ...... 22110 Y 表示因变量，X i （i=1，…，p ）表示自变量，ε表示随机误差项。 对于n 组观测值，其方程组形式为 εβ+=X Y 即

多元统计分析第九章聚类分析

聚类分析 引言 俗话说：“物以聚类，人以群分”，在现实世界中存在着大量的分类问题。例如，生物可以分成动物和植物，动物又可分为脊椎动物和无脊椎动物等；人按年龄可分为少年、青年、中年、老年，对少年的身体形态、身体素质及生理功能的各项指标进行测试，据此对少年又可进行分类；在环境科学中，我们可以对按大气污染的轻重分成几类区域；在经济学中，根据人均国民收入、人均工农业产值和人均消费水平等多项指标对世界上所有国家的经济发展状况进行分类；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标可以将其分为一等品，二等品等。 研究事物分类问题的基本方法有两种：一是判别分析，二是聚类分析。若已知总体的类别数目及各类的特征，要对类别未知的个体正确地归属其中某一类，这时需要用判别分析法。若事先对总体到底有几种类型无从知晓，则要想知道观测到的个体的具体的分类情况，这时就需要用聚类分析法。 聚类分析的基本思想：首先定义能度量样品（或变量）间相似程度（亲疏关系）的统计量，在此基础上求出各样品（或变量）间相似程度的度量值；然后按相似程度的大小，把样品（或变量）逐一归类，关系密切的聚集到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到所有的样品（或变量）都聚合完毕，把不同的类型一一划分出来，形成一个由小到大的分类系统；最后根据整个分类系统画出一副分群图，称之为亲疏关系谱系图。 聚类分析给人们提供了丰富多彩的分类方法，大致可归为： ⑴系统聚类法：首先，将n 个样品看成n 类，然后将性质最接近的两类合并成一个新类，得到1 n 类，合并后重新计算新类与其它类的距离与相近性测度。这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止，并且类的过程可用一张谱系聚类图描述。 ⑵动态聚类法（调优法）：首先对n 个对象初步分类，然后根据分类的损失函数尽可能小的原则进行调整，直到分类合理为止。 ⑶有序样品聚类法（最优分割法）：开始将所有样品看成一类，然后根据某种最优准则将它们分割为二类、

多元统计分析期末试题

1 、填空题(20分) 1、 若X Q ~ N p (g ,(a =1,2,…n)且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布为X ~ N p (g^|。 2、 变量的类型按尺度划分有 _间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、 判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有 —距离判别法_、Fisher 判别法、 Bayes 判别法、逐步判别法。 4、 Q 型聚类是指对_样品-进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、 设样品X i =(X i1,X i2^ X ip )',(i =1,2，…n)，总体X~N p (」「)，对样品进行分类常用的距离有： 明氏距离d j (q)=(壬|Xy q i j i j 6、 因子分析中因子载荷系数a j 的统计意义是—第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、 一元回归的数学模型是：y 曆x 童，多元回归的数学模型是 8、 对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、 典型相关分析是研究两组变量之间 相关关系的一种多元统计方法。 、计算题(60分) '4 1 1、设三维随机向量X~N 3(?2)，其中送=1 3 e 0 独立？为什么? 解：因为cov(X 1,X 2^1，所以X 1与X 2不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵瓦=f 11 ；12丨，(X 1,X 2/的协差矩阵为瓦 11 因为 —21 - 22 cov((X 1,X 2),X 3)=為12，而' 12 =0，所以(X 1, X 2)和X 3是不相关的，而正态分布不相关与相互独 立是等价的，所以(X 1,X 2)和X 3是独立的。 0，问X 1与X 2是否独立? 2> (X 1,X 2)和X 3是否

生物统计学 第九章 多元统计分析

第九章多元统计分析简介 多元统计分析主要研究多个变量之间的关系以及具有这些变量的个体之间的关系。无论是自然科学还是社会科学，无论是理论研究还是应用决策，多元统计分析都有较广泛的应用。近年来，随着计算机的普及和广泛应用，多元统计分析的应用越来越广泛，越来越深入。生物学研究中，有许多问题要考虑样本与样本之间的关系、性状与性状之间的关系，也要考虑样本与性状之间的关系，为了能够正确处理这些错综复杂的关系，就需要借助于多元统计分析方法来解决这些问题。 从应用的观点看，多元统计分析就是要研究多个变量之间的关系，但哪些问题才是多元统计的内容，并无严格的界限。一般认为，典型的多元统计分析主要可以归结为两类问题：第一类是决定某一样本的归属问题：根据某样品的多个性状（特征）判定其所属的总体。如判别分析、聚类分析即属于此类内容。第二类问题是设法降低变量维数，同时将变量变为独立变量，以便更好地说明多变量之间的关系。主成分分析、因子分析和典型相关分析均属于此类问题。此外，多因素方差分析、多元回归与多元相关分析和时间序列分析，均是研究一个变量和多个变量之间的关系的，也是多元统计分析的内容。 第一节聚类分析(Cluster Analysis) 聚类分析是研究分类问题的一种多元统计方法，聚类分析方法比较粗糙，但由于这种方法能解决许多实际问题，应用比较方便，因此越来越受到人们的重视。近年来聚类分析发展较快，内容也越来越多。常见的有系统聚类、模糊聚类、灰色聚类、信息聚类、图论聚类、动态聚类、最优分割、概率聚类等方法，本节重点介绍系统聚类法。 系统聚类法是目前应用较多的聚类分析方法，这种聚类方法从一批样本的多个观测指标(变量)中，找出能度量样本之间相似程度的统计数，构成一个相似矩阵，在此基础上计算出样本(或变量)之间或样本组合之间的相似程度或距离，按相似程度或距离大小将样本(或变量)逐一归类，关系密切的归类聚集到一个小分类单位，关系疏远的聚集到一个大的分类单位，直到把所有样本(或变量)都聚集完毕，形成一个亲疏关系谱系图，直观地显示分类对象的差异和联系。 第二节判别分析(Discriminant Analysis) 判别分析是多元统计分析中较为成熟的一类分类方法，它是根据两个或多个总体的观测结果，按照一定的判别准则和相应的判别函数，来判断某一样本属于哪一类总体。判别分析的内容很多，常见的有距离判别、贝叶斯判别、费歇判别、逐步判别、序贯判别等方法。 第三节主成分分析（Principal components analysis）

应用多元统计分析习题解答聚类分析

应用多元统计分析习题 解答聚类分析 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

第五章 聚类分析 5.1 判别分析和聚类分析有何区别？ 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 5.2 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？ 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()( )p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为

（1）绝对距离（1q =） （2）欧氏距离（2q =） （3）切比雪夫距离（q =∞） （二）马氏距离 （三）兰氏距离 对变量的相似性，我们更多地要了解变量的变化趋势或变化方向，因此用相关性进行衡量。 将变量看作p 维空间的向量，一般用 （一）夹角余弦 （二）相关系数 5.4 在进行系统聚类时，不同类间距离计算方法有何区别？选择距离公式应遵循哪些原则？ 答： 设d ij 表示样品X i 与X j 之间距离，用D ij 表示类G i 与G j 之间的距离。 （1）. 最短距离法 （2）最长距离法 （3）中间距离法 2 2222 121pq kq kp kr D D D D β++=

典型相关分析及其应用实例

摘要 典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用. 本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性. 【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用

ABSTRACT The Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis. This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life. 【Key words】Canonical Correlation Analysis，Sample canonical correlation，Character，Practical applications