2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(四)
23.已知函数()32
23log 32
a f x x x x =
-+(0a >且1a ≠). (Ⅰ)若()f x 为定义域上的增函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)令a e =,设函数()()3
24ln 63
g x f x x x x =--+,且()()120g x g x +=,求
证:122x x +≥
24.已知函数2x
f x
e x ax .
(1)R x ∈时,证明:1->x e x
; (2)当2a 时,直线1y kx 和曲线y
f x 切于点,1A m n m ,求实数k 的值;
(3)当10<
25.已知函数ln a
f x
a x x
x
(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围;
(2)记f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ,若不等式2
12
1
2
f x f x x x 恒成
立,求实数的取值范围.
26.已知函数()1ln f x ax x =--(a ∈R ). (1)讨论函数()f x 极值点的个数,并说明理由;
(2)若1x ?>,()2xf x ax ax a <-+恒成立,求a 的最大整数值.
27.已知函数()()()()2
21,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈.
(1)求函数()()()h x f x g x =-的极值;
(2)当0a >时,若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立,求实数a 的取值范围.
28.设()y f x =是二次函数,方程()0f x =有两个相等的实根,且()22f x x '=+. (1)求()y f x =的表达式;
(2)若直线()01x t t =-<<,把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分,求t 的值.
29.已知函数()1
ln 2
f x x x =+(a ∈R ). (1)若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,3,求a 的值; (2)若()f x 在区间1,14??
???
上存在极值点,判断该极值点是极大值点还是极小值点,并求a 的取值范围;
(3)若当0x >时,()0f x >恒成立,求a 的取值范围.
30.已知函数ln f x x a ,,b g x
x a b R x
.
(1)若曲线y
f x 与曲线y
g x 在点1,1
f 处的切线方程相同,求实数,a b 的值;
(2)若()()x g x f ≥恒成立,求证:当2≠a 时,1≠b .
31.()2x
f x e ax =--,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.
(1)求函数()f x 的单调递增区间; (2)若k 为整数,1a =,且当0x >时,()11
k x
f x x -'<+恒成立,其中()f x '为()f x 的导函数,求k 的最大值.
32.已知f (x )=2x ln x ,g (x )=﹣x 2+ax ﹣3. (1)求函数f (x )的单调区间;
(2)若存在x ∈(0,+∞),使f (x )≤g (x )成立,求实数a 的取值范围.
33.已知数列{x n }按如下方式构成:x n ∈(0,1)(n ∈N *),函数f (x )=ln (x x
-+11)在点
(x n ,f (x n ))处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 (Ⅰ)证明:当x ∈(0,1)时,f (x )>2x (Ⅱ)证明:x n +1<x n 3
(Ⅲ)若x 1∈(0,a ),a ∈(0,1),求证:对任意的正整数m ,都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a <21?(3
1
)n ﹣2(n ∈N *)
34.已知函数f (x )= ?????∈--∈-]3,1[),1(55
]
1,0[,2x x f x x x
(Ⅰ)求f (
2
5
)及x ∈[2,3]时函数f (x )的解析式 (Ⅱ)若f (x )≤x
k
对任意x ∈(0,3]恒成立,求实数k 的最小值.
35.已知函数
1()(2)a f x a x x a -?
?=-- ?
??,其中0a ≠. (Ⅰ)若1a =,求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值. (Ⅱ)解关于x 的不等式()0f x >.
36.若实数x ,y ,m 满足
x m y m
-<-,则称x 比y 靠近m .
(Ⅰ)若1x +比x -靠近1-,求实数x 有取值范围.
(Ⅱ)(i )对0x >,比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0,并说明理由. (ii )已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+,证明:1232e n a a a a <.
37.已知函数
2
()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-(e 是自然对数的底数,a 为常数). (1)若函数1
()()()2
g x f x x f x '=-?,在区间[1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.
(2)当(e 2,1)a ∈-时,判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点,并说明理由.
38.已知函数()ln f x x x =. (1)求函数()f x 的极值点.
(2)设函数()()(1)g x f x a x =--,其中a ∈R ,求函数()g x 在[1,e]上的最小值.
39.已知函数
1
()ln 2f x x x
=-,(0,)x ∈+∞. (1)求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程. (2)求函数()f x 的单调递增区间.
40.设m ∈R ,函数f (x )=e x ﹣m (x +1)+41
m 2(其中e 为自然对数的底数)
(Ⅰ)若m =2,求函数f (x )的单调递增区间;
(Ⅱ)已知实数x 1,x 2满足x 1+x 2=1,对任意的m <0,不等式f (x 1)+f (0)>f (x 2)+
f (1)恒成立,求x 1的取值范围;
(Ⅲ)若函数f (x )有一个极小值点为x 0,求证f (x 0)>﹣3,(参考数据ln6≈1.79)
41.已知函数f (x )=x 2﹣x 3,g (x )=e x ﹣1(e 为自然对数的底数). (1)求证:当x ≥0时,g (x )≥x +
2
1x 2; (2)记使得kf (x )≤g (x )在区间[0,1]恒成立的最大实数k 为n 0,求证:n 0∈[4,6].
42.设函数32
11()(3)332
f x x ax a x =
++++,其中a R ∈,函数()f x 有两个极值点12,x x ,且101x ≤<.
(1)求实数a 的取值范围;
(2)设函数'
1()()()x f x a x x ?=--,当12x x x <<时,求证:|()|9x ?<.
43.已知
14)(2+-=
x t
x x f 的两个极值点为α,β,记A (α,f (α)),B (β,f (β))
(Ⅰ)若函数f (x )的零点为γ,证明:α+β=2γ. (Ⅱ) 设点 C (
m t -4,0),D (m t
+4
,0),是否存在实数t ,对任意m >0,四边形ACBD 均为平行四边形.若存在,求出实数t ;若不存在,请说明理由.
44.已知函数ln (),x
f x x
=
() (0)=>g x kx k ,函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,
,.a a b b a b ≥?=?
(Ⅰ)求()f x 的极值;
(Ⅱ)求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).
45.已知函数2
()2ln ,f x x a x a R =+∈.
(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求实数a 的值;
(Ⅱ)若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立,求实数a 的取值范围.
参考答案
23.(Ⅰ)()2
1
23ln f x x x x a
'=-+
, 由()f x 为增函数可得,()0f x '≥恒成立,则由
21230ln x x x a -+
≥321
23ln x x a
?-≥-?,设()3223m x x x =-,则 ()266m x x x '=-,若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知 ()m x 在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增,
所以()()min 11m x m ==-,所以1
1ln a
-≥-
, 当1a >时,易知a e ≤,当01a <<时,则
10ln a <,这与1
1ln a
≤
矛盾, 从而不能使()0f x '≥恒成立,所以1a e <≤. (Ⅱ)()322332g x x x =
-+32ln 4ln 63x x x x --+23
3ln 62
x x x =--+,因为()()120g x g x +=,
所以211133ln 62x x x -
-++22223
(3ln 6)02
x x x --+=,所以 221212123
()3ln()6()02
x x x x x x -+-++=, 212121
[()2]2
x x x x -+--1212ln()2+=0x x x x +(
), 212121
()+2
x x x x -+1212ln()2()0x x x x -++=, 所以212121
()+2()2
x x x x -
++1212ln()x x x x =-, 令12x x t =,()ln g t t t =-,()111t
g t t
t
-'=-=
,()g t 在()0,1上增,在()1,+∞上减, ()()11g t g ≤=-,所以212121
()2()12x x x x -+++≤-,整理得
21212()4()20x x x x +-+-≥,
解得122x x +≥122x x +≤(舍),所以122x x +≥
24.(1)记1x F x e x ,
∵'1x F x e ,
令'0F x 得0x , 当,0x ,'0F x ,F x 递减;当0,x ,'0F x ,F x 递增,
∴min
0F x F ,
10x F x
e x ,
得1x e x .
(2)切点为,A m n ,1m ,则
2
1222
m m
n km n e m m k e m ,∴2110m
m e m ,
∵1m ,∴10m e m 由(1)得0m .
所以1k
.
(3)由题意可得2
0x e x ax 恒成立,
所以2x
e x a
x
,
下求2x
e x G x
x
的最小值, 22
2
2
11
1
11
1
1'x
x
x
x e x x e x x e x G x
x x x ,
由(1)1x e x 知10x e x 且1x .
所以'0G x
,G x 递减,
∵1x ,∴1
1G x G e .
所以1a e .
25.(1)2
2
'0x ax a
f x x x .
由函数ln a
f x a x x
x
(a 为常数)有两个不同的极值点. 即方程2
0x ax a 有两个不相等的正实根.
∴12
12
2
0040
x x a x x a a a ,∴4a .
(2)由(1)知12x x a ,12
x x a ,4a ,
∴2
1212
1212
12
12
ln x x f x f x a x x x x a
x x x x ,
所以ln a
a
恒成立. 令ln a
F a a
,4a . ∵2
ln 1
'0a F a a ,F a 递增, ∴ln 2
4
2
F a
F , ln 2
2.
26.(1)()f x 的定义域为()0,+∞,且()11
ax f x a x x
-'=-
=
. 当0a ≤时,()0f x '≤在()0,+∞上恒成立,函数()f x 在()0,+∞上单调递减. ∴()f x 在()0,+∞上没有极值点; 当0a >时,令()0f x '=得()1
0,x a
=∈+∞; 列表
所以当1
x a
=
时,()f x 取得极小值. 综上,当0a ≤时,()f x 在()0,+∞上没有极值点; 当0a >时,()f x 在()0,+∞上有一个极值点.
(2)对1x ?>,()2
xf x ax ax a <-+恒成立等价于ln 1
x x x
a x +<
-对1x ?>恒成立,
设函数()ln 1x x x g x x +=
-(1x >),则()()
2
ln 2
1x x g x x --'=-(1x >),
令函数()ln 2x x x =--?,则()1
1x x
'=-?(1x >), 当1x >时,()1
10x x
'=-
>?,所以()x ?在()1,+∞上是增函数, 又()31ln30=-,()42ln 40=->?,
所以存在()03,4x ∈,使得()00x =?,即()00g x '=,
且当()01,x x ∈时,()0x ,即()0g x <,故()g x 在()01,x 在上单调递减; 当()0,x x ∈+∞时,()0x >?,即()0g x >,故()g x 在()0,x +∞上单调递增; 所以当()1,x ∈+∞时,()g x 有最小值()000
00ln 1
x x x g x x +=
-,
由()00x =?得00ln 20x x --=,即00ln 2x x =-, 所以()()000
00021
x x x g x x x -+=
=-,
所以0a x <,又()03,4x ∈,所以实数a 的最大整数值为3.
27.(I )由题意得2
()(1)2ln(1)h x x a x =---,1x >,∴22[(1)]
'()1x a h x x --=-,
①当0a ≤时,则'()0h x >,此时()h x 无极值;
②当0a >时,令'()0h x <,则11x a <<+;令'()0h x >,则1x a >+; ∴()h x 在(1,1]a +上递减,在(1,)a ++∞上递增; ∴()h x 有极小值(1)(1ln )h a a a =-,无极大值;
(II )当0a >时,由(1)知,()h x 在(1,1]a 上递减,在(1,)a ++∞上递增,且有极小值(1)(1ln )h a a a =-.
①当a e >时,(1)(1ln )0h a a a =-<,∴(1)(1f a g a <+, 此时,不存在实数k ,m ,使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立; ②当0a e <≤时,(1)(1ln )0h a a a =-≥,
2()21f x x x =-+在1x a =+(2)y ax a a =-,
令()()(2)]u x f x ax a a =--,1x >,
则2()[(1)]0u x x a =-+≥,∴2(2)()ax a a f x -≤,
令()2(2)()v x ax a a g x =-+-=2(2)2ln(1)ax a a a x -+--,1x >, 则2[(1)]
'()a x a v x -+=
,令'()0v x <,则11x a <<+;令'()0v x >,则
1x a >+;
∴()(1)v x v a ≥+=(1ln )0a a -≥,∴()2(2)g x ax a a ≤-+, ∴()2(2)()g x ax a a f x ≤-+≤,
当2k a =,2m a a =--时,不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立, ∴0a e <≤符合题意. 由①,②得实数a 的取值范围为(0,]e . 28.
(I )设2
()(0)f x ax bx c a =++≠,则()2f x ax b '=+. 由已知()22f x x '=+,得1a =,2b =.2
()2f x x x c ∴=++.
又方程220x x c ++=有两个相等的实数根,
440c ∴?=-=,即1c =.故2()21f x x x =++;
(II )依题意,得
221
(21)(21)t
t
x x dx x x dx ---++=++?
?,
32320
1
1133t
t
x x x x x x ---????∴++=++ ? ???
??
,
整理,得3226610t t t -+-=,即3
2(1)10t -+=,
3
12t ∴=
29.
(1)对()f x 求导,得()1122f x x
x
'=+-
. 因此()1122
a
f '=
+.又()11f a =+, 所以,曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程为()()11122a y a x ??
-+=+- ??
?. 将2x =,3y =代入,得()13122
a
a -+=+.解得1a =. (2)()f x 的定义域为()0,+∞.
(
)112f x x
'=+
-
212x x +=.
设()f x 的一个极值点为m
,则210m +=
,即a =
-所以(
)f x '=
=.
当()0,x m ∈时,()0f x '<;当(),x m ∈+∞时,()0f x '>. 因此()f x 在()0,m 上为减函数,在(),m +∞上为增函数. 所以m 是()f x 的唯一的极值点,且为极小值点. 由题设可知1,14m ??∈ ???
.
因为函数a =
-1,14??
???
上为减函数,
a -<<11a -<<. 所以a 的取值范围是()1,1-.
(3)当0x >时,()0f x >
恒成立,则1
ln 02
x x +>恒成立,
即1
ln x x
a ->0x ?>恒成立.
设(
)1ln x x g x -=(
)11ln x x
g x --'=.
设()1
1ln 2
h x x x =--
(0x >),显然()h x 在()0,+∞上为减函数. 又()10h =,则当01x <<时,()()10h x h >=,从而()0g x '>; 当1x >时,()()10h x h <=,从而()0g x '<. 所以()g x 在()0,1上是增函数,在()1,+∞上是减函数.
所以()()max 11g x g ==-,所以1a >-,即a 的取值范围为()1,-+∞. 30.
(1)由1
'f x
x ,2
'1b
g x x . 得
'1'11
1
f g f g ,解得3a
,2b .
(2)证明:设ln b
h x f x g x x a
x x
, 则2
22
1'10b x x b
h x
x x x x , ①当0b 时,'0h x ,函数h x 在0,
上单调递增,
不满足f x
g x 恒成立.
②当0b 时,令20x x b ,由140b ,
得11402
b x ,或1
1402
b x
(舍去),
设01142b
x ,知函数y h x 在00,x 上单调递减,在0,x 上单调递增,
故0
min
0h x
h x ,即0
ln 0b x a
x x ,得000
ln b a
x x x .
又由2000x x b ,得200b x x ,
所以2200
000000
ln 1ln b a b
x x x x x x x x ,
令2
1ln t x x x x ,2
211
1
21
'21
x x x x t x
x x
x
x
.
当0,1x 时,'0t x ,函数t x 单调慈善 当1,
x
时,'0t x ,函数t x 单调递增;
所以min
1
1t x t ,1a b 即1b a ,
故当2a 时,得1b .
31.
(1)()x
f x e a '=-,x R ∈
若0a ≤,则()0f x '>恒成立,所以()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增 若0a >,当()ln ,x a ∈+∞时,()0f x '>,()f x 在()ln ,a +∞上单调递增 (2)由于1a =,所以
()11
k x
f x x -'+()()11x k x e x --<+,当0x >时,
10x e ->
故()()
11x k x e x --<+11x x k x e +?<
+-,令()1
1
x x g x x e +=+-(0x >) 则()()
2
1
11x x
xe g x e
-+'=
+=
-()
()
2
21x x x
e e x e
---
函数()2x f x e x =--在()0,+∞上单调递增,而()10h <,()20h >, 所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点. 故()g x '在()0,+∞上存在唯一的零点. 设此零点为0x ,则()01,2x ∈.
当()00,x x ∈时,()0g x '<,当()0,x x ∈+∞时,()0g x '>; 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()0g x ,由于()00g x '=,可得0
02x e x =+
所以()()0012,3g x x =+∈,所以整数k 的最大值为2. 32.
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)问题等价于a≥(2ln x+x+)min ,记h (x )=2ln x+x+,x ∈(0,+∞),根据函数的单调性判断即可.
【解答】解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f′(x )=2(ln x+1), 令f′(x )=0,得x=,当x ∈时,f′(x )<0,当x ∈时,f′(x )>0, 所以f (x )在
上单调递减;在
上单调递增.
(2)存在x ∈(0,+∞),使f (x )≤g (x )成立, 即2xln x≤﹣x 2+ax ﹣3在x ∈(0,+∞)能成立, 等价于a≥2ln x+x+在x ∈(0,+∞)能成立, 等价于a≥(2ln x+x+)min .
记h (x )=2ln x+x+,x ∈(0,+∞), 则h′(x )=+1﹣
=
=
.
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,
所以当x=1时,h(x)取最小值为4,故a≥4.
33.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;数列与函数的综合.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性求出f(x)>2x即可;
(Ⅱ)求出函数f(x)的导数,求出曲线方程,得到x n+1=ln(﹣1)+x n,从而证出结论即可;
(Ⅲ)得到b k=<a=b k﹣1<b k﹣2<…<b0,问题转化为b0<,根据(Ⅱ)证出即可.
【解答】证明:(Ⅰ)设g(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)﹣2x,
则g′(x)=,
故x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)在(0,1)递增,
∴g(x)>g(0)=0,即f(x)>2x;
(Ⅱ)由f′(x)=+=,
故曲线在点(x n,f(x n))处的切线方程是:y=(x﹣x n)+f(x n),
令y=0,则x n+1=x n+f(x n)(﹣1),
则x n+1=ln(﹣1)+x n,
由(Ⅰ)及﹣1<0得:x n+1<(2x n)?(﹣1)+x n=x n3;
(Ⅲ)令=b k,(k=0,1,2,…,m),
∵x n+k<,且a∈(0,1),x n∈(0,1),
∴log a x n+k>log a,
从而b k=<a=b k﹣1<b k﹣2<…<b0,
∴log a+log a+…+log a
=b0+b1+…+b m<b0(1+++)=b0(1﹣)<b0,
要证log a+log a+…+log a<?()n﹣2(n∈N*),
只需b0<,
即证b0<?a<?x n<,
由(Ⅱ)以及x1∈(0,a)得:x n<<<…<<,
故原结论成立.
34.
【考点】函数恒成立问题;分段函数的应用.
【分析】(Ⅰ)由函数f(x)=可求f()的值,由
x∈[2,3]?x﹣2∈[0,1],可求得此时函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)依题意,分x∈(0,1]、x∈(1,2]、x∈(2,3]三类讨论,利用导数由f(x)≤对任意x∈(0,3]恒成立,即可求得实数k的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)f()=﹣f()=f()=×=.
当x∈[2,3]时,x﹣2∈[0,1],所以f(x)= [(x﹣2)﹣(x﹣2)2]=(x﹣2)(3﹣x).
(Ⅱ)①当x∈(0,1]时,f(x)=x﹣x2,
则对任意x∈(0,1],x﹣x2≤恒成立?k≥(x2﹣x3)max,
令h(x)=x2﹣x3,则h′(x)=2x﹣3x2,令h′(x)=0,可得x=,
当x∈(0,)时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;
当x∈(,1)时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减,
∴h(x)max=h()=;
②当x ∈(1,2]时,x ﹣1∈(0,1],所以f (x )=﹣ [(x ﹣1)﹣(x ﹣1)2]≤恒成立
?k≥
(x 3﹣3x 2+2x ),x ∈(1,2].
令t (x )=x 3﹣3x 2+2x ,x ∈(1,2].则t′(x )=3x 2﹣6x+2=3(x ﹣1)2﹣1, 当x ∈(1,1+
)时,t (x )单调递减,当x ∈(1+
,2]时,t (x )单调递增,
t (x )max =t (2)=0,
∴k≥0(当且仅当x=2时取“=”);
③当x ∈(2,3]时,x ﹣2∈[0,1],令x ﹣2=t ∈(0,1], 则k≥(t+2)(t ﹣t 2)=g (t ),在t ∈(0,1]恒成立.
g′(t )=﹣(3t 2+2t ﹣2)=0可得,存在t 0∈[,1],函数在t=t 0时取得最大值. 而t 0∈[,1]时,h (t )﹣g (t )=(t 2﹣t 3)+(t+2)(t 2﹣t )=t (1﹣t )(2t ﹣1)>0,
所以,h (t )max >g (t )max , 当k≥
时,k≥h (t )max >g (t )max 成立,
综上所述,k≥0,即k min =0. 35.见解析
(Ⅰ)1a =,2()(2)(1)1f x x x x =-=--,()22f x x '=-, ∴
x
(0,1) 1 (1,3) ()f x ' -
+
()f x
↓ 极小 ↑
∴min (1)1f f ==-, max max[(3),(0)]f f f =,
而(3)3(0)f f =>, ∴max 3f =. (Ⅱ)0a >时, 1(2)0a x x a -??--> ??
?,
∵1120a a a a
-+-
=>,