江苏省无锡市天一中学届高三4月月考试卷数学
江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=B A ▲ ．2．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m = ▲ ．
3．若命题“R x ?∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围
▲ ．
4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为
▲ ．
5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段
长度2倍”的概率为 ▲ ．
6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b +
=，则角A 的大小为 ▲ ．
7．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )?(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 ▲ ．
8．已知双曲线C:22
221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率
为 ▲ ．
9．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22, 则正整数k = ▲ ．
10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11D ACB 的体积为 ▲ ．
11．曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ，则实数a = ▲ ．
12．已知函数22log (1),0,
()2,0.x x f x x x x +>?=?--≤? 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m
的取值范围是 ▲ ．
13．当210≤
≤x 时，2
1|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ?三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果m b =)(*N m ∈，则符合条件的三角形共有 ▲ 个（结果用m 表示）．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分14分) 设函数()f x =·a b ，其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，
x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24?? ???
，．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）求()f x 在[0，2
π]上的单调增区间． 16．(本小题满分14分) 如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，正方形
（2012/4/23）
ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是,AE DF 的交点.
（1）求证：//GH 平面CDE ；
（2）求证：BD ⊥平面CDE ．
17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm 的半圆形（O 为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD ，其中点A 、B 在直径上，点C 、D 在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD 的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD 卷成一个以AD 为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．
18．(本小题满分16分) 已知圆C ：034222=+-++y x y x ；
（1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线方程；
（2）从圆C 外一点),(11y x P 向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的P 点的坐标．
19．(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,21n n n a a n a +==+． （1）求证：数列11n a ??-?
???为等比数列；(2) 记12111n n S a a a =++，若100n S <，求最大正整数n ．
（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
20．(本小题满分16分) 已知二次函数)(x g 对任意实数x 都满足)1()(x g x g -=，)(x g 的最小值为89-且1)1(-=g ．令8
9ln )21()(+++=x m x g x f （0,>∈x R m ）． （1）求)(x g 的表达式；
（2）若0>?x 使0)(≤x f 成立，求实数m 的取值范围；
（3）设e m ≤<1，x m x f x H )1()()(+-=，
证明：对?1x 、],1[2m x ∈，恒有1|)()(|21<-x H x H ．
江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考（数学）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．设集合}02{},012{2<-=<-+=x x B x x x A ，则=B A
（2,3） ．2．如果复数2
()(1)m i mi ++是实数，则实数m = －1 ．
3．若命题“R x ?∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围 (1,3)- ．
4．某算法的程序框图如图，若输入4,2,6a b c ===，则输出的结果为
6 ．
5．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段
长度2倍”的概率为 23
． 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若tan 21tan A c B b +
=，则角A 的大小为 3π ． 7．已知|a |=3，|b |=4，(a +b )?(a +3b )=33，则a 与b 的夹角为 120? ． 8．已知双曲线C:22221(0,0)x
y a b a b
-=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率
为 12+ ．
9．已知数列{}n a 的前n 项和S n =n 2—7n, 且满足16＜a k +a k +1＜22, 则正整数k = 8 ．
10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11D ACB 的体积为
31 ． 11．曲线13++=ax x y 的一条切线方程为12+=x y ，则实数a = 2 ．
12．已知函数22log (1),0,
()2,0.
x x f x x x x +>?=?--≤? 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m
的取值范围是 (0,1) ．
13．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值为 1322
a -≤≤ ． 14．已知ABC ?三边a ，
b ，
c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果m b =)(*N m ∈，则符
合条件的三角形共有 2
)1(+m m 个（结果用m 表示）． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．(本小题满分14分) 设函数()f x =·a b ，其中向量(,cos 2)m x =a ，(1sin 2,1)x =+b ，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24?? ???
，．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 的最小正周
期
；（3）求()f x 在[0，2
π]上的单调增区间． 解：（1）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x =?=++， ………………3分 ∵图象经过点π24?? ???，
， ∴πππ1sin cos 2422f m ????=++=
? ?????，解得1m =． ………………5分 （2）当1m =时，π()1sin 2cos 22214f x x x x ??=++=++ ??
?， ………………7分 ∴22
T ππ=
= ………………9分 （3）]2,0[π∈x ,],0[2π∈x ,∴]45,4[42πππ∈+x ………………11分 由2424π
π
π
≤+≤x ,得
80π
≤≤x ………………13分
∴()f x 在[0，2π]上的单调增区间为]8
,0[π. ………………14分 16．(本小题满分14分) 如图，平行四边形ABCD 中，CD BD ⊥，
正方形ADEF 所在的平面和平面ABCD 垂直，H 是BE 的中点，G 是
,AE DF 的交点.
（1）求证：//GH 平面CDE ；
（2）求证：BD ⊥平面CDE ．
证明：⑴G 是,AE DF 的交点，∴G 是AE 中点，又H 是BE 的中点，
∴EAB ?中，AB GH //， ------------------------3分
CD AB //，∴//GH CD ，
又∵,CD CDE GH CDE ??平面平面
∴//GH 平面CDE
-----------------------7分
⑵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，
∵AD ED ⊥，ED ADEF ?平面
∴ED ⊥平面ABCD ， --------------------10分 ∴BD ED ⊥，
又∵CD BD ⊥，CD ED D ?=
∴CDE BD 平面 ----------------------14分
17．（本小题满分14分）如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩
形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上。
（1）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；
（2）若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形形罐子体积最大？并求最大体积．
18．(本小题满分16分) 已知圆C ：03422
2=+-++y x y x ；
（1）若圆C 的切线在x 轴，y 轴上的截距相等，求此切线方程；