2019海淀二模数学试卷及答案
M
O
C
B
A
海淀区九年级第二学期期末练习
数学2019.06学校姓名准考证号
考
生
须
知
1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作
答。
5. 考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
．．．
1．27
-的立方根是
A．3-B．3C．3±D．33-
2．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=80°，则∠BOM等于
A．140°B．120°
C．100° D．80°
3．科学家在海底下约4.8公里深处的沙岩中，发现了一种世界上最小的神
秘生物，它们的最小身长只有0.000 000 02米，甚至比已知的最小细菌
还要小．将0.000 000 02用科学记数法表示为
A．-7
210
?B．-8
210
?C．-9
210
?D．-10
210
?
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，若a c b
-<<，则实数c的值可能是A．
1
2
-B．0 C．1 D．
7
2
5．图1是矗立千年而不倒的应县木塔一角，它使用了六十
多种形态各异的斗栱（dǒu gǒng）．斗栱是中国古代匠师
们为减少立柱与横梁交接处的剪力而创造的一种独特的
结构，位于柱与梁之间，斗栱是由斗、升、栱、翘、昂组
成，图2是其中一个组成部件的三视图，则这个部件是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知a b >，则下列不等式一定成立的是
A ．55a b ->-
B ．55ac bc >
C ．55a b -<+
D ．55a b +>-
7．下面的统计图反映了2013-2018年中国城镇居民人均可支配收入与人均消费支出的
情况．
（数据来源：国家统计局）
根据统计图提供的信息，下列推断不合理．．．
的是 A ．2013-2018年，我国城镇居民人均可支配收入和人均消费支出均逐年增加 B ．2013-2018年，我国城镇居民人均可支配收入平均每年增长超过2400元 C ．从2015年起，我国城镇居民人均消费支出超过20000元
D ．2018年我国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的百分比超过70%
8．如图，小宇计划在甲、乙、丙、丁四个小区中挑选一个小区租住，附近有东西向的交通主干道a 和南北向的交通主干道b ，若他希望租住的小区到主干道a 和主干道b 的直线距离之和最小，则下图中符合他要求的小区是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
二、 填空题（本题共16分，每小题2分） 9．当_______x 时，代数式
2
x x
的值为0． 10．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，D 为BC 中点，若AD =
52
，AC =3，则AB 的长为 ．
11．如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 相交于点D ，连接AB ，OC ．若∠A =60°，∠ABC =20°，
则∠C 的度数为 . 12．如果4m n =+，那么代数式2+m n mn
n m m n ??-?
???
的值是___________． 13．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别为AB ，AC 的中点．若1APQ S =△，则PBCQ S 四边形=______．
（第11题图）
（第13题）
14．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．
下面有三个推断：
①在用频率估计概率时，用实验5000次时的频率0.3494一定比用实验4000次时的频率0.3500更准确；
②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的频率有更大的可能仍会在0.35附近摆动；
Q P C
B
A
D
C
B
A
③通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的． 其中正确的是___________．
15．按《航空障碍灯（MH/T6012-1999）》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为
45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯(Aviation Obstruction light)．中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光．在下图中你可以看到某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态的时间总和最长可达___________秒．
16．右图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉——明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，为四阶幻方（从1到16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线上4个数相加之和均为34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四阶幻方中，当数a ，b ，c ，d 有如图1的位置关系时，均有a +b =c +d =17．如图2，已知此幻方中的一些数，则x 的值为___________．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28
题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算： 0
4cos45(1)822?+-+-－
． 18．解不等式组：()48211032
x x x x -<-??
?+>?
?，
．
19．下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程．
已知：在△ABC 中，∠C =90°．
求作：△ABC 的中位线DE ，使点D 在AB 上，点E 在AC 上． 作法：如图，
① 分别以A ，C 为圆心，大于
1
2
AC 长为半径画弧，两弧交于P ，Q 两点； ② 作直线PQ ，与AB 交于点D ，与AC 交于点E ． 所以线段DE 就是所求作的中位线．
状态/秒
暗亮
图1 图2
根据小宇设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接P A，PC，QA，QC，DC，
∵P A=PC，QA=_________，
∴PQ是AC的垂直平分线（________）（填推理的依据）．
∴E为AC中点，AD=DC．
∴∠DAC=∠DCA，
又在Rt△ABC中，有∠BAC+∠ABC=90°，∠DCA+∠DCB=90°．
∴∠ABC=∠DCB（________）（填推理的依据）．
∴DB=DC．
∴AD=BD=DC．
∴D为AB中点．
∴DE是△ABC的中位线．
20．关于x的一元二次方程22
(21)10
x k x k
--+-=，其中0
k<．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）当1
k=-时，求该方程的根．
21．如图，在□ABCD中，∠BAD的角平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，连接DE．
（1）求证：DA=DF；
（2）若∠ADE=∠CDE=30°
，DE=求□ABCD的面积．
22．如图，AB是⊙O的直径，P A，PC与⊙O分别相切于点A，C，连接AC，BC，OP，AC 与OP相交于点D．
（1）求证：90
B CPO
∠+∠=?；
（2）连结BP，若AC＝12
5
，sin∠CPO＝
3
5
，求BP的长．
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双
曲线2
y x
=
的交点为M ，N ． （1）当点M 的横坐标为1时，求b 的值；
（2）若3MN AB ≤，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．
24．有这样一个问题：探究函数211
8y x x
=-的图象与性质．
小宇从课本上研究函数的活动中获得启发，对函数211
8y x x
=-的图象与性质进行了探
究．
下面是小宇的探究过程，请补充完整：
（1）函数211
8y x x
=-的自变量x 的取值范围是 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，完成以下作图步骤：
①画出函数2
14
y
x 和2
y x
的图象； ②在x 轴上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线l ，分别交函数2
14
y x 和2
y x
的图象于点M ，N ，记线段MN 的中点为G ；
③在x
轴正半轴上多次改变点P 的位置，用②的方法得到相应的点G ，把这些点
用平滑的曲线连接起来，得到函数211
8y x x
=-在y 轴右侧的图象．继续在x 轴
负半轴上多次改变点P 的位置，重复上述操作得到该函数在y 轴左侧的图象．
（3）结合函数211
8y x x
=-的图象， 发现：
①该函数图象在第二象限内存在最低点，该点的横坐标约为 （保留小数点后一位）；
②该函数还具有的性质为：_________________（一条即可）．
25．某学校共有六个年级，每个年级10个班，每个班约40名同学．该校食堂共有10个窗
口，中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在12岁（含12岁）到18岁（含18岁）之间，平均年龄约为15岁．
小天、小东和小云三位同学，为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况，各自进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了60名同学，将收集到的数据进行了整理．
小天从初一年级每个班随机抽取6名同学进行调查，绘制统计图表如下：
小东从全校每个班随机抽取1名同学进行调查，绘制统计图表如下：
小云在食堂门口，对用餐后的同学采取每隔10人抽取1人进行调查，绘制统计图表如下：
根据以上材料回答问题：
（1）写出图2中m 的值，并补全图2；
（2）小天、小东和小云三人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对
各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明其余同学调查的不足之处；
（3）为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为______窗
口尽量多的分配工作人员，理由为
_________________________________ __
．
26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2
23y ax ax =-+与直线l ：y kx b =+交于
A ，
B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上． （1）求点A 的坐标；
（2）若1a =-，求直线l 的解析式； （3）若31k -<<-，求a 的取值范围．
y
x
–1
–2–3–4
1
234–1–2–3–41
2
3
4
O
27．已知C 为线段AB 中点，ACM α∠=．Q 为线段BC 上一动点（不与点B 重合），点P
在射线CM 上，连接P A ，PQ ，记BQ kCP =． （1）若60α=?，1k =，
①如图1，当Q 为BC 中点时， 求PAC ∠的度数； ②直接写出P A 、PQ 的数量关系；
（2）如图2，当45α=?时．探究是否存在常数k ，使得②中的结论仍成立？若存在，
写出k 的值并证明；若不存在，请说明理由．
图1 图2
28．对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：若在图形M 上存在
一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得△ABC 是以BC 为斜边且BC =2的等腰直角三角形，则称图形M 与图形N 具有关系()M N ，φ．
（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x ，图形X 与图形Y 具有关系()X Y ，φ，
则点1(0P ，2
(11)P ，，3(22)P -，中可以是图形X 的是_____； （2）已知点()20P ，
，点()02Q ，，记线段PQ 为图形X ． ①当图形Y 为直线y x 时，判断图形X 与图形Y 是否既具有关系()X Y ，φ又具有关系()Y X ，φ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；
②当图形Y 为以(0)T t ，
T 时，
若图形X 与图形X 具有关系()X Y ，φ，求t 的取值范围．
海淀区九年级第二学期期末练习参考答案
数学2019．06一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．210．4 11．40 12．8
13．314．②③15．716．1
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28
题，每小题7分）
17．（本小题满分5分）
解：原式=
2
412222
（-）
=32．18．（本小题满分5分）
解：原不等式组为482(1)
10
3
2
x
x
x
x
，
．
①
②
解不等式①，得3
x．
解不等式②，得2
x．
∴原不等式组的解集为2
x．
19．（本小题满分5分）
（1）补全的图形如图所示：
（作等弧交于两点P,Q点1分，直线PQ 1分）
（2）QC
到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
等角的余角相等
20．（本小题满分5分）
解：（1）依题意可知，22(21)4(1)54k k k ?=---=-, ∵0k , ∴0．
∴方程有两个不相等的实数根. （2）当1k 时，方程为230x x ．
解得12
3,0x x ．
21．（本小题满分5分）
（1）证明：∵ 四边形ABCD 为平行四边形，
∴ AB ∥CD ． ∴ ∠BAF =∠F ． ∵AF 平分∠BAD ， ∴ ∠BAF =∠DAF ． ∴ ∠F =∠DAF ． ∴ AD =FD ．
（2）解： ∵∠ADE =∠CDE =30°，AD =FD ，
∴ DE ⊥AF ．
∵tan ∠ADE
＝AE DE =
，DE = ∴2AE =．
∴
2ABCD
ADE
S
S
AE DE ==?=
22．（本小题满分5分） （1）证明：连接OC ，如图.
∵ P A ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，
∴ OC ⊥PC ，OA ⊥P A ，∠APC =2∠CPO ． ∴ ∠OCP =∠OAP =90°．
∵ ∠AOC +∠APC +∠OCP +∠OAP =360°， ∴ ∠AOC +∠APC =180°． ∵ ∠AOC =2∠B ， ∴ 90B CPO ∠+∠=?．
（2）解： 连接BP ，如图．
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB =90°．
∴∠ABC+∠BAC =90°． ∵90ABC CPO ∠+∠=?， ∴ ∠BAC =∠CPO =∠APO . ∵AC ＝
125
，sin ∠BAC ＝35,
∴ 3AB =,3
2
OA =
． ∵3
2
OA =，sin ∠APO ＝35,
∴ 2AP =.
∴PB =
23．（本小题满分6分） 解：（1）∵点M 是双曲线2
y x
=上的点，且点M 的横坐标为1， ∴点M 的坐标为（1，2）．
∵点M 是直线y x b =+上的点，
∴1b =． （2）当1b 时，满足3MN AB ，
结合函数图像可得，b 的取值范围是1b ≤-或1b ≥．
24．（本小题满分6分） （1）0x ≠；
（2）
（3）① 1.6-；(在 1.9 1.3至--之间即可)
②该函数的其它性质：
当0x >时，y 随x 的增大而增大. （写出一条即可）
25．（本小题满分6分）
解：（1）15.0
（2）小东． 理由：小天调查的不足之处：仅对初一年级抽样，不能代表该学校学生总体的情况； 小云调查的不足之处：抽样学生的平均年龄为16岁，远高于全校学生的平
均年龄，不能代表该学校学生总体情况.
（3）6号和8号（或者只有8；或者5，6，8）．
理由：从小东的调查结果看，这几个窗口受到更多的同学的喜爱，应该适当增加这
几个窗口的工作人员.
注意：（2）（3）的答案不唯一
26．（本小题满分6分）
（1）∵ 抛物线C ：2
23y ax ax =-+与y 轴交于点A ，
∴ 点A 的坐标为（0，3）. （2）当1a =-时，抛物线C 为2
23y x x =-++.
∵ 抛物线C 与x 轴交于点B ，且点B 在x 轴的正半轴上，
∴ 点B 的坐标为（3，0）. ∵ 直线l ：y kx b =+过A ，B 两点，
∴ 330.b k b =??
+=?，
解得
1,
3.k b =-??=?
∴ 直线l 的解析式为3y x =-+. （3）如图，
当0a >时，
当3a =时，抛物线C 过点B （1，0），此时3k =-. 结合函数图象可得3a >. 当0a <时，
当1a =-时，抛物线C 过点B （3，0），此时1k =-. 结合函数图象可得1a <-.
综上所述，a 的取值范围是1a <-或3a >.
27．（本小题满分7分）
（1）①解：在CM上取点D，使得CD=CA，连接AD.
∵60
ACM
∠=?，
∴△ADC为等边三角形．
∴60
DAC
∠=?.
∵C为AB的中点，Q为BC的中点，
∴AC=BC=2BQ.
∵BQ=CP,
∴AC=BC=CD =2CP.
∴AP平分∠DAC.
∴∠P AC=∠P AD =30°.
②P A=PQ.
（2）
存在k=.
证明：过点P作PC的垂线交AC于点D.
∵45
ACM
∠=?，
∴∠PDC=∠PCD=45°.
∴PC=PD，∠PDA=∠PCQ=135°.
∵CD=
，BQ=，
∴CD= BQ.
∵AC=BC，
∴AD= CQ.
∴△P AD≌△PQC.∴P A=PQ. M
28．（本小题满分7分） （1）1P ； （2）① 是， 图1
如图1，在直线y x =上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A ，在到直线y x =距离为1的两条平行直线上. 这两条平行直线与PQ 分别交于1A ，2A 两点. 故图形X 与图形Y 满足(),X Y ?.
直线y x =与线段PQ 交于点M （1，1），过点
M 作MH ⊥y 轴于H ，与1A B
交于点N ，则11MA =，2
MN =
，可得1A （
12-，12
+）. 同理可求得 2A （12+
，12
-）. 如图2，在线段PQ 上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰
直角三角形的点A 在图中的两条线段上，这两条线段与直线y x =交于3A ，
4A 两点. 故图形X 与图形Y 满足(),Y
X ?.
同上可求得3A
（12-
，1
2-），4A （
12+，12
+）.
② 1t ≤≤-或25t ≤≤.