2019届中考数学一轮复习讲义第07讲整式方程(组)及应用
2019 届中考数学一轮复习讲义
考点七：整式方程（组）及应用
聚焦考点☆ 温习理解
一、一元一次方程的概念
1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 的整式方程叫做一元一次方程，其中方程ax b 0（x为未知数， a 0）叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x 的系数，b是常数项。
二. 一元二次方程
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
ax2bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中
2
ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项。三、一元二次
方程的解法
1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如
（x a）2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a b，
x a b，当b<0 时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛
的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a22ab b2(a b)2，把公式中的a 看做未知数x，并用x
代替，则有x22bx b2(x b)2。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2bx c 0(a 0) 的求根公式：
b b24a
c 2
x (b24ac 0)
2a
4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
四、二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1 的整式方程叫做二元一次方程.
2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组两个(或两个以上)二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法
( 1 ) 代入法 ( 2) 加减法
6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1 的整式方程。
7、三元一次方程组由三个(或三个以上)一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。名师点睛☆ 典例分类
考点典例一、一元一次方程
【例 1】（2018 湖北荆门中考模拟） 解方程： 4x 3 2（x 1）．
1
【答案】 x= .
2
考点：解一元一次方程 .
点睛】按照步骤去括号，移项，合并同类项，系数化为 1 解方程即可 举一反三】
1
1. （2018 浙江温州一模 ）解方程 3
答案】 C
解析】 等式的两边同时乘以公分母 6 后去分母． 解：在原方程的两边同时乘以 6，得 2-3（x-1）=6； 故选 C ．
2.若代数式 x ﹣5与 2x ﹣1的值相等，则 x 的值是 ．
【答案】﹣ 4． 【解析】
试题分析：根据题意得： x ﹣5=2x ﹣ 1，解得： x=﹣ 4，故答案为：﹣ 4． 考点：解一元一次方程．
考点典例二、一元一次方程的应用
【例 2】（2017 广东深圳二模 ）中国 CBA 篮球常规赛比赛中， 每场比赛都要分出胜负， 每队胜 1场得 2 分，
负 1 场得 1 分，今年某队在全部 38 场比赛中最少得到 70 分，那么这个队今年胜的场次是（ ）
x1
2
1，去分母正确的是（
A. 1 x 1 1
B. 2 3x 3 1
C. 2 3x 3 6
D. 2 3x 1 6
A. 6 场
B. 31 场
C. 32 场
D. 35 场
答案】C
【解析】设胜了x 场，由题意得：
2x+（38﹣x）=70，
解得x=32．
答：这个队今年胜的场次是32 场．
故选C
【点晴】要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系，本题根据“全部38 场比赛中最少得到70 分”，等量关系：列出方程解答即可.
【举一反三】
1.（2018 年河北中考模拟）闽北某村原有林地120公顷，旱地60 公顷，为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%，设把x 公顷旱地改造为林地，则可列方程为（）A ．60﹣x=20% （120+x）B．60+x=20%×120
C．180﹣x=20%（60+x）D．60﹣x=20%×120
【答案】A ．
【解析】
试题分析：设把x 公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：60﹣x=20% （120+x）．故选A ．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．
2. （2017 新疆乌鲁木齐第13 题）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20 00 ，则这件衣服的进价是元．
【答案】100.
【解析】
试题解析：设进价是x 元，则（1+20% ）x=200×0.6，
解得：x=100 ．
则这件衬衣的进价是100 元．
考点：一元一次方程的应用．
考点典例三、一元二次方程
【例3】解方程：
（1）2（x+1）2=8；
（2）x2+2x+1=8 （配方法）；
3）2x2﹣3x﹣1=0 （公式法）；
4）64（3y ﹣2） 2=9（ 2y ﹣ 3）2 5）（x ﹣1）2﹣4（ x ﹣ 1） +4=0．
57 y 1 ， y 2 ；（4） x 1=x 2=3．
1
6 2 18
试题解析：（ 1） 2（x+1 ）2
=8，
x+1 ） 2=4， x+1= ±2， x=﹣1±2，
∴x
1=1，x 2=﹣ 3；
2） x 2+2x+1=8 ，
x+1 ） 2=8， x+1= 2 2 ，
∴ x
1=-1+
2 2 ， x 2=-1- 2 2 ；
3）2x 2
﹣3x ﹣1=0， a=2 ， b= ﹣ 3， c= ﹣ 1，
△=（﹣ 3） 2
﹣ 4×2×（﹣ 1）=17>0，
（ 3） 17 3 17 x= = ， 2 2 4 3 17 3 17 ∴ x 1=
， x 2= ；
4）64（3y ﹣2） 2=9（ 2y ﹣ 3）2， 64（3y ﹣2） 2﹣9（2y ﹣3）2=0，
答案】（1）x 1=1，x 2=﹣3；（2）x 1 1 2 2 ，
x
2
1 2 2 ；（ 3） x
1
3+ 7
4
x
2
3
4 7 ；（ 4） 4
[8（3y ﹣2）+3（2y ﹣3）][8（3y ﹣2）﹣3（2y ﹣3）]=0， 30y ﹣25）（18y ﹣7）=0，
[（x ﹣1）﹣2]2=0，
x ﹣3） 2=0，
∴x ﹣3=0，
得 x
1=x 2=3 ．
【点睛】解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点 灵活选用合适的方法．观察方程的特征，选择适当的方法解方程即可 . 【举一反三】
1.
（2018 年河南中考模拟） 一元二次方程 x 2
﹣6x ﹣5=0 配方后可变形为（
）
2 2 2 2
A ．（ x ﹣ 3） 2=14
B ．（ x ﹣ 3）2=4
C ．（ x+3 ）2=14
D ．（ x+3）2=4
【答案】 C. 【解析】
试题分析： x 2
﹣ 6x ﹣ 5=0，把方程的常数项移到右边得， x 2
﹣ 6x=5，方程两边都加上 32
得， x 2
﹣
6x+9=5+9， 所以（ x ﹣3） 2=14，故答案选 C.
考点：解一元二次方程 .
2 一元二次方程
根的情况是（ ）
A. 无实数根
B. 有一个正根，一个负根
C. 有两个正根，且都小于 3
D. 有两个正根，且有一根大于 3
【来源】山东省泰安市 2018 年中考数学试题 答案】 D
【解析】 分析：直接整理原方程，进而解方程得出 x 的值． 详解：（ x+1）（ x ﹣ 3） =2x ﹣5
整理得： x 2
﹣2x ﹣ 3=2x ﹣5，则 x 2
﹣4x+2=0，（ x ﹣ 2） 2
=2 ，解得： x 1=2+ >3，x 2=2﹣ ，故有两个正 根，且有一根大于 3．
故选 D ．
点睛：本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键．
57 解得， y 1=65 ，y 2=17
8
[来源 :Z|xx|https://www.sodocs.net/doc/5015742024.html,]
5）（x ﹣1）2
﹣4（ x ﹣ 1） +4=0，
考点典例四、一元二次方程的应用
【例4】某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（）
A. 2%
B. 4.4%
C. 20%
D. 44%
【来源】四川省宜宾市2018 年中考数学试题
【答案】C 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【举一反三】
1. （2018?罗平县一模）某商店从厂家以每件18元购进一批商品出售，若每件售价为 a 元，则可售出（320 ﹣10a）件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的25%，若商店要想获得400 元利润，则售价应定
为每件多少元？需售出这种商品多少件？
【答案】每件商品的售价应定为22 元，需要卖出这种商品100 件．
试题分析：可根据关键语“若每件售价a 元，则每件盈利（a﹣18）元，则可卖出（320﹣10a）件”，根据每件的盈利×销售的件数=获利，即可列出方程求解．
试题解析：设每件商品的售价定为a 元，
则（a﹣18）（320﹣10a）=400，
整理得a2﹣50a+616=0，
=22 ，a2=28
∴ a1
∵18（1+25%）=22.5，而28>22.5
∴a=22．
卖出商品的件数为320﹣10×22=100 ．
答：每件商品的售价应定为22 元，需要卖出这种商品100 件．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题时可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
2.（2018 甘肃庆阳中考模拟）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是）
A．（32-2x）（20-x）=570 B ．32x+2 ×20x=32 ×20-570
C．（32-x）（20-x）=32×20-570 D．32x+2 ×20x-2x 2=570 【答案】A ．
【解析】
试题解析：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x ）（20-x）=570，
故选A ．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
考点典例五、二元一次方程组
【例5】对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b= ，例如4◆ 3，因为4>3．所以4◆3= =5．若x，y 满足方程组，则x◆y= ____________________ .
【来源】山东省德州市2018 年中考数学试题【答案】60
【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
详解：由题意可知：，
解得：
x< y，∴原式=5× 12=60．
故答案为：60 ．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新
定义运算法则，本题属于基础题型．
【举一反三】
xy5①
1. ( 2018?静安区一模)解方程组：．
(x y)2 2(x y) 3 0②
x1 x2 2
答案】
y1 y2 3
点睛：本题考查二元二次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，把二元二次方程组转化为二
元一次方程组．
2. 若关于x、y 的二元一次方程组的解是，则关于a、b 的二元一次方程组
的解是
来源】山东省滨州市2018 年中考数学试题
答案】
解析】分析：利用关于x、y 的二元一次方程组的解是可得m、n 的数值，代入关于a、b 的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．
详解：∵关于x、y 的二元一次方程组的解是
∴将解代入方程组
可得m=﹣1，n=2
∴关于a、b 的二元一次方程组整理为：
解得：
点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．
考点典例六、二元一次方程组的应用
【例 6】中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：
“今有牛五，羊二，值金十
两.牛二，羊五，值金八两。问牛羊各值金几何？ ”译文：今有牛 5头，羊 2头，共值金 10 两，牛 2头，羊
5
头，共值金 8 两 .问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金
两、 两，依题意，可列出方程为
来源】 江西省 2018 年中等学校招生考试数学试题 答案】
点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是关键 举一反三】
8 个人，小房间每间住 6 个人，一共 480 个学生刚好住满，设
大房
间有 个，小房间有 个 .下列方程正确的是
答案】
可.
详解】大房间有 个，小房间有 个， 由题意得： ，
1. 某旅店一共 70 个房间，大房间每间住 A. B. C. D.
来源】广东省深圳市 2018 年中考数学试题 解析】 分析】大房间有 个，小房间有 个， 根据等量关系：大小共 70 个房间，共住 480人，列方程组即
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系列出方程组是解此类问题的关键
2. 夏季来临，某超市试销 、 两种型号的风扇，两周内共销售 30台，销售收入 5300 元， 型风扇每台 200
元， 型风扇每台 150 元，问 、 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 型风扇销售了 台， 型风扇销 售了 台，则根据题意列出方程组为（ ）
A. B. C. D.
【来源】 山东省泰安市 2018 年中考数学试题
【答案】 C 点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题的关键．
课时作业 ☆ 能力提升
一．选择题
1．（2018 年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一） 出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（
A. 27 B . 51
C. 65
D. 72
【答案】 D
【解析】试题解析：设第一个数为 x ，则第二个数为 x+7 ，第三个数为 x+14 故三个数的和为 当 时， 当 x=10 时， 当 x=2 时，
）在如图所示的 2018 年 1 月的月历表中，任
意框
2. 学校八年级师生共 466人准备参加社会实践活动， 现已预备了 49座和 37座两种客车共 10 辆，刚好坐
满．设
49 座客车 x 辆， 37座客车 y 辆，根据题意可列出方程组（ ）
【答案】 A
点睛 : 考查了由实际问题抽象出二元一次方程组， 根据实际问题中的条件列方程组时， 要注意抓住题目中的 一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组
3. ．欧几里得的《原本》记载，形如 的方程的图解法是：画
，再在斜边 上截取
.则该方程的一个正根是（
）
来源】 2018 年浙江省舟山市中考数学试题
答案】 B
解析】【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出 AB 的长，进而求得 AD 的长,即可发 现结论 .
A. B. C.
来源】浙江省温州市 2018 年中考数学试卷 ，使
B. 的长
C. 的长
D. 的长 A. 的长
点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键
4.已知一元二次方程x2+kx-3=0 有一个根为1，则k 的值为（）
A. -2
B. 2
C. -4
D. 4
【来源】江苏省盐城市2018 年中考数学试题
【答案】B
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义，把把x=1 代入方程得关于k 的一次方程1-3+k=0 ，然后解一次方程即可．
详解：把x=1 代入方程得1+k-3=0 ，解得k=2 ．
故选：B ．
点睛：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解
5. （云南曲靖）方程2x－y＝1 和2x＋y＝7 的公共解是（）
x0 x 0 x 1 x 2
A. {
B. {
C. {
D. {
y1 y7 y 5 y 3
答案】D
解析】
[来源学科网 ZXXK]
试题分析：此题要求公共解，实质上是解二元一次方程组
解：
2x y 1①，{2x y 7②
①+②得：4x=8 ，
2x y 1 { 2x y 7
x=2，
把 x=2 代入②得： y=3 ，
x ∴{ y
故选： D ．
考点：解二元一次方程组．
答案】 C
【解析】 解方程组得 C. 二．填空题
7. （2018 江苏无锡中考模拟）某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利 售，可获利 ____ %。 【答案】 40
【解析】设按标价打七折出售，设可获利 x ，再设成本为 a 元，根据题意，得
，
解得： x=0.4=40% ，
即按标价打七折出售，可获利 40%； 故答案是 40。
8. 我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来
量竿，却比竿子短一托 .如果 1托为 5 尺，那么索长为 ________ 尺，竿子长为 _________ 尺． 【来源】 2018 年浙江省绍兴市中考数学试卷解析 答案】 20 15
6.（ 2018 湖北咸宁期末 ） 三元一次方程组
的解为（
[ 来源 学 科 网
]
A. B. C.
D.
80%，若按标价打七折出
【点评】考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系 .
9. （2018 年湖北省黄冈市黄州区路口中学数学中考模拟试题 （一） ） “国十条 ”等楼市新政的出台， 使
得房地产 市场交易量和楼市房价都一味呈现止涨观望的态势．若某一商人在新政的出台前进货价便宜 8%，而现售价
保持不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前的 x%增加到（ x+10）%，x 等于 _____ 答案】 15
∴x 等于 15．
10. __________________________________________________________________________ 一
个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x 2
-10x+21=0 的根，则三角形的周长为 ______________
来源】 湖北省黄冈市 2018 年中考数学试题 答案】 16
解析】 分析：首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 详解：解方程 x 2
-10x+21=0 得 x 1=3、 x 2=7， ∵ 3＜第三边的边长＜ 9， ∴第三边的边长为 7．
∴这个三角形的周长是 3+6+7=16 ．
故答案为： 16． 点睛：本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已 知的两边的差，而小于两边的和．
11. （2018 年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一） ）若关于 x 的分式方程 =2 的解为负数，则 k
的取值范围为 ____ ． 答案】 k <3且 k≠1
【解析】试题解析：设进货价钱为
解得 Y 115%X ，
代入
YX
x%，
x 15，
X ，售价为 Y ，由题意可得，
Y 92%X Y X 92%X
x 10 % x% ，
12.（2017江苏镇江卷）若m 是方程的一个根，则的值为___________________________________ 【来源】江苏省扬州市2018 年中考数学试题
【答案】2018
【解析】分析：根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
详解：由题意可知：2m2-3m-1=0 ，
∴ 2m 2-3m=1
∴原式=3（2m2-3m ）+2015=2018
故答案为：2018 点睛：本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．三．解答题
13.（2018 湖北随州中考模拟）解方程：3（x－5）＝7x－1
【答案】x 7
2
【解析】
试题分析：方程去括号，移项合并，把x 系数化为1，即可求出解．试题解析：
3（x－5）＝7x－1
3x-15=7x-1
3x-7x=-1+15
-4x=14
7
x=
2
14.解方程组：
来源】江苏省宿迁市2018 年中考数学试卷
【答案】原方程组的解为【解析】【分析】利用代入法进行求解即可得.
【详解】，
由①得：x=-2y ③
将③代入②得：3（-2y ）+4y=6 ，
解得：y=-3 ，
将y=-3 代入③得：x=6 ，
∴原方程组的解为. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.
15.（天津市和平区汇文中学2018 年九年级数学中考夯基卷）陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500 元，现在还余418 元．”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了．”
（1）王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；
（2）陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本．但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10 元的整数，笔记本的单价可能为多少元？
【答案】（1）详见解析；（2）笔记本的单价可能2元或6元．
∵在此题中不能是小数，
∴王老师说他肯定搞错了；
（2）设单价为8.0 元的课外书为本，设笔记本的单价为元，依题意得：
解得：
即：∴ 应为45 本或46 本．
当=45 本时，=1500﹣[8 ×45+12+418]=2 ，
当=46 本时，=1500﹣[8 ×46+12+418]=6 ，
即：笔记本的单价可能2 元或6 元．
某村在推进美丽乡村活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调査．获取信息如下：
如果购买红色地砖4000 块，蓝色地砖6000块，需付款86000 元；如果购买红色地砖10000 块，蓝色地砖3500 块，需付款99000 元．
（1）红色地砖与蓝色地砖的单价各多少元？
（2）经过测算，需要购置地砖12000 块，其中蓝色地砖的数量不少于红色地砖的一半，并且不超过6000 块，如何购买付款最少？请说明理由．
【来源】江苏省连云港市2018 年中考数学试题
【答案】（1）红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元；（2）购买蓝色地砖5000 块，红色地砖7000块，费用最少，最少费用为89800 元．
（2）设购置蓝色地砖x块，则购置红色地砖（12000-x）块，所需的总费用为y 元，
由题意可得：x≥ （12000-x ），
解得：x≥4000，
又x≤ 6000，
所以蓝砖块数x 的取值范围：4000≤x≤600，0 点睛：此题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的