2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】 题型一 古典概型
例1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( ).
A.
15 B. 25 C. 8
25
D. 925
【答案】B
【解析】 可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊,从中随机选出2人的方法有:
(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),共有种选法,其中只有前4种是甲被选中,所以所求概率为
.故选B. 例2 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23
【解析】根据题意显然这是一个古典概型,其基本事件有:数1,数2,语; 数1,语,数2;数2,数1,语; 数2,语,数1;语,数2,数1; 语,数1,数2共有6种,其中2本数学书相邻的有4种,则其概率为:4
26
3
p ==. 【易错点】列举不全面或重复,就是不准确 【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.
1042
105
=
题型二 几何概型
例1 如图所示,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,
正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ).
A.
14 B. π8 C. 12 D. π4
【答案】B
【解析】不妨设正方形边长为a ,由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,所求概率为
8
22122
ππ=???
????a a .故选B.
例2 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ,则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________. 【答案】3
2
【解析】方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是2121244(32)0
20320
p p x x p x x p ??=--≥?
+=-?=->?
即
2
1,3
p <≤或2p ≥,又因为[0,5]p ∈,所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3U ,故所求的概率2(1)(52)23503
-+-=-,故填:32.
【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.
【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与x 轴负半轴有两个交点.
从而得到参
D
数p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可. 题型三 抽样与样本数据特征
例1 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,
300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ________件.
【答案】18
【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取60
300181000
?
=(件). 例2 已知样本数据1x ,2x ,???,n x 的均值5x =,则样本数据121x +,221x +,???,
21n x +的均值为 .
【答案】11
【解析】 因为样本数据,,???,的均值,又样本数据,,
,的和为()122n x x x n ++++L ,所以样本数据的均值为=11.
例3 某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计,发
现消费金额(单位:万元)都在区间[0.30.9],
内,其频率分布直方图如图所示. (1)直方图中的a = .
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.50.9],
内的购物者的人数为 .
【答案】3a = 人数为0.6100006000?=
1x 2x n x 5x =121x +221x +???21n x +21x
+/万元
a
【解析】 由频率分布直方图及频率和等于1,可得
0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ?+?+?+?+?+?=,解之得3a =.
于是消费金额在区间[]0.50.9,内频率为0.20.10.80.120.130.10.6?+?+?+?=, 所以消费金额在区间[]0.50.9,内的购物者的人数为0.6100006000?=.
例 4 某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[)160,180,[)180,200,
[)200,220,[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300分组的频率分布直方图如图
所示.
(1)求直方图中x 的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为[)220,240,[)240,260,[)260,280,[]280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户? 【答案】见解析
【解析】(1)由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++?=, 得0.0075x =.
/度
(2)由图可知,月平均用电量的众数是220240
2302
+=. 因为()0.0020.00950.011200.450.5++?=<,
又()0.0020.00950.0110.0125200.70.5+++?=>, 所以月平均用电量的中位数在[)220,240内.
设中位数为a ,由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++?+?-=, 得224a =,所以月平均用电量的中位数是224.
(3)月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025??=(户); 月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015??=(户); 月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010??=(户); 月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005??=(户). 抽取比例为
111
25151055
=+++,
所以从月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555
?=(户). 【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题
【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式;2牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小. 题型四 回归与分析
例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明
(2)建立关于的回归方程(系数精确到),预测年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据:,
.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 【答案】见解析
【
解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据得,,
,
,.
y
年生活垃圾无害化处理量年份代码t
y t y t 0.01201671
9.32i i y ==∑7
1
40.17i i i t y ==
∑0.55= 2.646≈()()
n
i
i
t t y y r --=
∑$$y a
bt =+$1
2
1
()()
()n
i
i i n
i
i t
t y y b t
t ==--=-∑∑$,
$=.a y bt
-$4t =()2
7
128i i t t =-=∑0.55=(
)()
7
77
1
1
1
40.1749.32 2.89i i i i i i i i t t y y t y t y ===--=-=-?=∑∑∑ 2.89
0.990.552 2.646
r ≈
≈??
因为与的相关系数近似为,说明与的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
(1)变量与的相关系数,
又,,
,
所以 ,故可用线性回归模型拟合变量与的关系.
(2),,所以, ,所以线性回归方程为. 当时,.因此,我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化处理亿吨.
【易错点】没有读懂题意,计算错误.
【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据. 题型五 独立性检验
例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表:
y t 0.99y t y t y t 7
777
()()
7i
i
i i i i
t t y y t y t y r ---?=
=
∑∑∑∑71
28i i t ==∑71
9.32i i y ==∑7
1
40.17i i i t y ==∑ 5.292==0.55=740.17289.32
0.997 5.2920.55
r ?-?=
≈??y t 4t =y =
7
1
17i i y =∑7
1
7
2
2
1
1
740.17749.32
7?0.1028
7i i
i i
i t y t y
b t
t ==-?-???===-∑∑1??9.320.1040.937
a
y bx =-=?-?≈?0.10.93y t =+9t =?0.190.93 1.83y
=?+=1.83
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性?() A.甲B.乙C.丙
D.丁
【答案】D
【解析】D因为r>0且丁最接近1,残差平方和最小,所以丁相关性最高
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相关性越强
【巩固训练】
题型一古典概型
1.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有个点的正方体玩具)先后抛掷次,则出现向上的点数之和小于的概率是.
【答案】
【解析】将先后两次点数记为,则基本事件共有(个),
其中点数之和大于等于有,共种,
则点数之和小于共有种,所以概率为.
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫
猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723
=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是().
A.1
12B.1
14
C.1
15
D.1
18
【答案】C 1,2,3,4,5,6
210
5
6
()
,x y6636
?=
10()()()()()()
4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,66
1030305 366
=
【解析】不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,共10个,随机选取两数有45(种)情况,其中两数相加和为30的有7和23,11和19,13和17,共3种情况,根据古典概型得
314515P =
=
.故选C .
3.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 【答案】56
P =
【解析】1只白球设为a ,1只红球设为b ,2只黄球设为c ,d , 则摸球的所有情况为(),a b ,(),a c ,(),a d ,(),b c ,(),b d ,(),c d ,共6件, 满足题意的事件为(),a b ,(),a c ,(),a d ,(),b c ,(),b d ,共5件,故概率为56
P =.
题型二 几何概型
1.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,学.小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ).
A .
B .
C .
D . 【答案】B
【解析】 如图所示,画出时间轴.
小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或
时,才能保证他等车的时间不超过分钟.
根据几何概型,所求概率.故选B . 13122334
A 8:208:30
7:30AB AC DB 1010101
402
P +=
=
2. 从区间随机抽取2n 个数,,…,,,,…,,构成n 个数对
,,…,
,其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的
圆周率的近似值为( ).
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】由题意得:在如图所示方格中,而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中,由几何概型概率计算公式知
,所以.故选C .
3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,
三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ,ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅰ,其余部分记为Ⅰ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅰ,Ⅰ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则 A .12p p = B .13p p = C .23p p = D .123p p p =+
【答案】A
【解析】概率为几何概型,总区域面积一定,只需比较Ⅰ,Ⅰ,Ⅰ区域面积即可.设直角三角形ABC 的三个角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,则区域Ⅰ的面积为11
2
S ab =,
[]0,11x 2x n x 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y π4n m
2n m
4m n
2m n
()()12i i x y i n =???,,,,π41m n
=4πm
n
=
区域Ⅰ的面积为222
211111111
πππ22222222S c b ab a ab ??????=++-= ? ?
???????, 区域Ⅰ的面积为2
2
231111111
πππ2222282
S c b ab a ab ????=+-=- ? ?
????. 显然12p p =.故选A .
题型三 抽样与样本的数据特征
1.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为 . 【答案】10
【解析】平均数()146587666
x =+++++=.
2.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的a =_________;
(Ⅰ)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.
【答案】3;6000
【解析】频率和等于1可得0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ?+?+?+?+?+?=, 解之得3a =.于是消费金额在区间[0.5,0.9]内频率为0.20.10.80.120.130.10.6?+?+?+?=,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为:0.6100006000?=,故应填3;6000. 3.我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.
为了了解居民用水情
x x x
况,通过抽样,获得了某年位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照, ,, 分成组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值;
(2)设该市有万居民,估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数,请说明理由;
(3)若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由. 【答案】见解析
【解析】(1)由频率分布直方图知,月均用水量在中的频率为,同理,在,,, ,,中的频率分别为,
, , , , .
由,解得.
(2)由(1),位居民每人月均用水量不低于吨的频率为. 由以上样本的频率分布,可以估计全市万居民中月均用水量不低于吨的人数为.
(3)因为前组的频率之和为, 而前组的频率之和为,所以 由,解得. 题型四 回归与分析
1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
100[)0,0.5[)0.5,1???[)4,4.59a 30385%x x [)00.5,0.080.50.04?=[)0.5,1[)1.5,2[)22.5,[)33.5,[)3.54,[)44.5,0.080.200.260.060.040.020.04+0.08+0.50.200.260.50.060.040.021a a ?+++?+++=0.30a =10030.06+0.04+0.02=0.123033000000.1236000?=60.040.080.150.200.260.15=0.880.85----->50.04+0.08+0.150.200.26=0.730.85--< 2.5 3.x <…()0.3 2.50.850.73x ?-=- 2.9x =
根据上表可得回归直线方程???y
bx a =+ ,其中???0.76,b a y bx ==- ,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )
A .11.4万元
B .11.8万元
C .12.0万元
D .12.2万元 【答案】B
【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105
x ++++==(万元),
6.2
7.5
8.08.5
9.8
85
y ++++=
=(万元)
,故?80.76100.4a =-?=, 所以回归直线方程为?0.760.4y x =+.当社区一户收入为15万元,家庭年支出为 ?0.7615y =?+0.411.8=(万元).故选B .
2.为了研究某班学生的脚长x (单位:厘米)和身高y (单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关
系,设其回归直线方程为.已知,,.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为( ).
A .
B .
C .
D . 【答案】C 【解析】
,,所以,时,.
???y
bx a =+10
1
225i i x ==∑10
1
1600i i y ==∑?4b =16016316617022.5x =160y =$
160422.570a =-?=24x =42470166y =?+=
故选C .
3.某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )和年利润z (单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =???数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中
i w =8
1
18i i w w ==∑,
(1)根据散点图判断,y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;
(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系式为0.2z y x =-,根据(2)的结果回答下列问题:
(Ⅰ)年宣传费49x =时,年销售量及年利润的预报值是多少?
年宣传费/千元
(Ⅰ)年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?
附:对于一组数据()11,u v ()22,u v ,???,(),n n u v ,其回归直线v u αβ=+的斜率和
截距的最小二乘估计分别为()()
()
1
2
1
?n
i
i i n
i
i u
u v v u
u β
==--=-∑∑,??v u α
β=-. 【答案】见解析
【解析】(1
)由散点图变化情况可知选择y c =+较为适宜.
(2)由题意知()()
()
8
1
8
2
1
108.8
681.6
i
i
i i
i w w y y d w w ==--=
=
=-∑∑
.又y c =+一定过点(),y ω,
所以c y d ω=-=56368 6.8100.6-?=, 所以y 与x
的回归方程为100.6y =+
(3)(Ⅰ)由(2)知,当49x =
时,()100.668576.6t y =+=, 0.2576.649z =?-=66.32(千元)
, 所以当年宣传费为49x =时,年销售量为()576.6t ,利润预估为66.32千元. (Ⅰ)由(2
)知,(0.20.2100.6z y x x =-=+-=
x +20.12=
)
2
26.8 6.820.12-
++
6.8时,年利润的预估值最大,
即26.846.24x ==(千元). 题型五 独立性检验
1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H :“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算的K 2≈3.918,则下列表述中正确的是( )
A .有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B .若有人未使用该血清,那么他一年中有95℅的可能性得感冒
C .这种血清预防感冒的有效率为95℅
D .这种血清预防感冒的有效率为5℅ 【答案】A
【解析】由题可知,在假设H 成立情况下,
)841.3(2
≥K P 的概率约为0.05,即在犯错的概率不错过0.05的前提下认为“血清起预防感冒的作用”,即有95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95℅是我们判断H 不成立的概率量度而非预测血清与感冒的几率的量度,故B 错误.C ,D 也犯有B 中的错误.故选A 2.观察下面频率等高条形图,其中两个分类变量x y ,之间关系最强的是( )
A .
B .
C .
D . 【答案】D
【解析】在频率等高条形图中,
a a
b +与c
c d
+相差很大时,我们认为两个分类变量有关系,四个选项中,即等高的条形图中12,x x 所占比例相差越大,则分类变量,x y 关系越强,故选D .
3.淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg )的频率分布直方图如图所示.
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件:旧养殖法的箱产量低于50kg , 新养殖法的箱产量不低于50kg ,估计A 的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ .
频率
频率组距
箱产量/kg
新养殖法
旧养殖法
箱产量/kg
【答案】见解析
【解析】(1)记:“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B ,“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C ,由题图并以频率作为概率得
()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?0.62=,
()0.06850.04650.01050.0085
P C =?+?+?+?0.66=,()()()0.4092P A P B P C ==.
(2)
由计算可得2
K 的观测值为()2
2
2006266383415.70510010096104
k
??-?=
=???,因为15.705 6.635>,所以
()2 6.6350.001P K ≈≥,从而有99%以上的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)150.2÷=,()0.10.0040.0200.0440.032-++=,80.0320.06817÷=,8
5 2.3517
?≈,50 2.3552.35+=,所以中位数为52.35.
导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.
2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅰ,文1)已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2 ,n ∈A },则A ∩B =( ). A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ={x |x =n 2 ,n ∈A }={1,4,9,16}, ∴A ∩B ={1,4}. 2.(2013课标全国Ⅰ,文2) 2 12i 1i +(-)=( ). A. B .11+ i 2 - C . D . 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=1 1+i 2 -. 3.(2013课标全国Ⅰ,文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ). A .12 B .13 C .14 D .16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为 13 . 4.(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b -(a >0,b >0) C 的渐近线方程 为( ). A . B . C .1 2 y x =± D . 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵2e = 2c a =,即2254 c a =.
高考数学考点解析及分值分布 1.集合与简易逻辑。分值在5~10分左右(一道或两道选择题),考查的重点是抽象思维能力,主要考查集合与集合的运算关系,将加强对集合的计算与化简的考查,并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2.函数与导数,函数是高中数学的主要内容,它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起,是中学数学全部内容的主线。在高考中,至少三个小题一个大题,分值在30分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容,其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型,文科以三次(或四次)函数为命题载体,理科以生成性函数(对数函数、指数函数及分式函数)为命题载体,以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件,与不等式、数列综合成题,是解答题试题的主要特点。 3.不等式;一般不会单独命题,会在其他题型中“隐蔽”出现,分值一般在10左右。不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中,不等式重点考五种题型:解不等式(组);证明不等式;比较大小;不等式的应用;不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查,如含参量不等式的解法(确定取值范围)、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4.数列:数列是高中数学的重要内容,又是初等数学与高等数学的重要衔接点,所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位.题量一般是一个小题一个大题,有时还有一个与其它知识的综合题。分值在20分左右,文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主;理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。数列是特殊的函数,而不等式是深刻认识函数与数列的工具,三者综合的求解题与求证题是对
第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型 题型一 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂,高中阶段一般不涉及),其实质是:当动直线或动圆变化时,这些直线或圆相交于一点,即这些直线或圆绕着定点在转动.这类问题的求解一般可分为以下三步: 一选:选择变量,定点问题中的定点,随某一个量的变化而固定,可选择这个量为变量(有时可选择两个变量,如点的坐标、斜率、截距等,然后利用其他辅助条件消去其中之一). 二求:求出定点所满足的方程,即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程. 三定点:对上述方程进行必要的化简,即可得到定点坐标. [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右焦点F (3,0),长半轴 的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ,N ,若点B 在以线段MN 为直径的圆上,证明直线l 过定点,并求出该定点的坐标. [解] (1)由题意得,c =3,a b =2,a 2=b 2+ c 2, ∴a =2,b =1, ∴椭圆C 的标准方程为x 24 +y 2 =1. (2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠1),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 联立,得? ???? y =kx +m ,x 2+4y 2=4,消去y 可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2-4=0. ∴Δ=16(4k 2+1-m 2)>0,x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-4 4k 2+1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上, ∴BM ―→·BN ―→ =0. ∵BM ―→·BN ―→=(x 1,kx 1+m -1)·(x 2,kx 2+m -1)=(k 2+1)x 1x 2+k (m -1)(x 1+x 2)+(m -1)2 =0, ∴(k 2+1) 4m 2-44k 2 +1+k (m -1)-8km 4k 2+1 +(m -1)2=0, 整理,得5m 2-2m -3=0, 解得m =-3 5 或m =1(舍去).
导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-???>? ?<--? 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立,
1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列; (2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式. 2.(本小题满分12分) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S
4.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n. 5.已知数列{a n}满足,,n∈N×. (1)令b n=a n+1﹣a n,证明:{b n}是等比数列; (2)求{a n}的通项公式.
1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14 3 n n a a -= . 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a . 所以{}n a 是首项为1,公比为4 3 的等比数列. 7分 (2)解:因为14 ()3 n n a -=, 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114 ()3 n n n b b -+-=. 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b =1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n , (2≥n ), 当n=1时也满足,所以1)3 4 (31-=-n n b . 2.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++
2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 (08年)如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ,AB DC ∥,PAD △是等边三角形,已知28BD AD ==,245AB DC == (Ⅰ)设M 是PC 上的一点,证明:平面MBD ⊥平面PAD ; (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积. (09年)如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB 11111 (10年)(本小题满分12分) 在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形,MA ⊥平面ABCD ,//PD MA ,E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点,且2AD PD MA ==. (I )求证:平面EFG ⊥平面PDC ; (II )求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. (11年)(本小题满分12分) 如图,在四棱台 1111 ABCD A B C D -中, 1D D ABCD ⊥平面,底面 ABCD 是平行四边形, 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= (Ⅰ)证明:1AA BD ⊥; (Ⅱ)证明:11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1
(12年) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点, 求证:DM ∥平面BEC . (13年)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P —ABCD 中,AB ⊥AC , AB ⊥PA ,AB ∥CD ,AB=2CD ,E ,F ,G , M ,N 分别为PB ,AB ,BC ,PD ,PC 的中点。 (Ⅰ)求证,CE ∥平面PAD; (Ⅱ)求证,平面EFG ⊥平面EMN 。 (14年)(本小题满分12分) 如图,四棱锥P ABCD -中,,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 (Ⅰ)求证:BEF AP 平面// (Ⅱ)求证:PAC BE 平面⊥ P A C D E
第一章集合与常用逻辑用语 第一节集合 题型1-1 集合的基本概念 题型1-2 集合间的基本关系 题型1-3 集合的运算 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 题型1-4 四种命题及关系 题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型1-7 判断命题的真假 题型1-8 含有一个量词的命题的否定 题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围 第二章函数 第一节映射与函数 题型2-1 映射与函数的概念 题型2-2 同一函数的判断 题型2-3 函数解析式的求法 第二节函数的定义域与值域(最值) 题型2-4 函数定义域的求解 题型2-5 函数定义域的应用 题型2-6 函数值域的求解 第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断 题型2-8 函数单调性(区间)的判 断 题型2-9 函数周期性的判断 题型2-10 函数性质的综合应用 第四节二次函数 题型2-11 二次函数、一元二次方程、 二次不等式的关系 题型2-12 二次方程的实根分布及 条件 题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题 第五节指数与指数函数 题型2-14 指数运算及指数方程、指 数不等式 题型2-15 指数函数的图象及性质 题型2-16 指数函数中恒成立问题 第六节对数与对数函数 题型2-17 对数运算及对数方程、对 数不等式 题型2-18 对数函数的图象与性质 题型2-19 对数函数中恒成立问题 第七节幂函数 题型2-20 求幂函数的定义域 题型2-21 幂函数性质的综合应用 第八节函数的图象 题型2-22 判断函数的图象 题型2-23 函数图象的应用 第九节函数与方程 题型2-24 求函数的零点或零点所 在区间 题型2-25 利用函数的零点确定参 数的取值范围 题型2-26 方程根的个数与函数零 点的存在性问题 第十节函数综合 题型2-27 函数与数列的综合 题型2-28 函数与不等式的综合 题型2-29 函数中的信息题 第三章导数与定积分 第一节导数的概念与运算 题型3-1 导数的定义 题型3-2 求函数的导数 第二节导数的应用 题型3-3 利用原函数与导函数的关 系判断图像 题型3-4 利用导数求函数的单调性 和单调区间 题型3-5 函数的极值与最值的求解 题型3-6 已知函数在区间上单调或 不单调,求参数的取值范围 题型3-7 讨论含参函数的单调区间 题型3-8 利用导数研究函数图象的
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页,满分150分。 考生注意: 1.答卷前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B .A I B =? C .A U B 3|2x x ? ?=?? ? D .A U B=R 2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,x n 的平均数 B .x 1,x 2,…,x n 的标准差 C .x 1,x 2,…,x n 的最大值 D .x 1,x 2,…,x n 的中位数 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A .i(1+i)2 B .i 2(1-i) C .(1+i)2 D .i(1+i) 4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .1 4 B . π8 C . 12 D .π 4
2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=,
所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=.
高考数学考点解析及分值 分布 Prepared on 22 November 2020
高考数学考点解析1.集合与简易逻辑: 10-18分 主要章节:必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》 选修1-1(文)2-1(理)《常用逻辑用语》 考查的重点是抽象思维能力,主要考查集合与集合的运算关系,将加强对集合的计算与化简的考查,并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2.函数与导数: 30分+ 主要章节:必修1第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》 必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》 选修1-1(文)2-1(理)《圆锥曲线与方程》、《导数》 选修4-4《极坐标方程》《参数方程》 函数是高中数学的主要内容,它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起,是中学数学全部内容的主线。以指数函数、对数函数、复合函数为载体,结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)、反函数生成考题,作为选择题、填空题考查的主要内容,其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合的解答题,以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件,结合不等式、数列综合成题,也是解答题拉分关键。
3.不等式:5-12分 主要章节:必修5第三章《不等式》 选修4-5全书 一般不会单独命题,会在其他题型中“隐蔽”出现,不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中,不等式重点考五种题型:解不等式(组);证明不等式;比较大小;不等式的应用;不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查,如含参量不等式的解法(确定取值范围)、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4.数列:20-28分 主要章节:必修5第二章《数列》 数列是高中数学的重要内容,是初等数学与高等数学的重要衔接点,所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位.题量一般是一个小题一个大题,另外一个与其它知识的综合题。文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主;理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。证明题以考“错位相减法”比较多。 5.三角函数: 18-25分 主要章节:必修4第一章《三角函数》、第三章《三角恒等变换》必修5第一章《解三角形》
高考数学考点解析 1.集合与简易逻辑:10-18分 主要章节:必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》 选修1-1(文)2-1(理)《常用逻辑用语》考查的重点是抽象思维能力,主要考查集合与集合的运算关系,将加强对集合的计算与化简的考查,并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2.函数与导数:30分+ 主要章节:必修1第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》 必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》 选修1-1(文)2-1(理)《圆锥曲线与方程》、《导数》 选修4-4《极坐标方程》《参数方程》 函数是高中数学的主要内容,它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起,是中学数学全部内容的主线。以指数函数、对数函数、复合函数为载体,结合图象的变换(平移、伸缩、对称变换)、四性问题(单调性、奇偶性、周期性、对称性)、反函数生成考题,作为选择题、填空题考查的主要内容,其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合的解答题,以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件,结合不等式、数列综合
成题,也是解答题拉分关键。 3.不等式:5-12分 主要章节:必修5第三章《不等式》 选修4-5全书 一般不会单独命题,会在其他题型中“隐蔽”出现,不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中,不等式重点考五种题型:解不等式(组);证明不等式;比较大小;不等式的应用;不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查,如含参量不等式的解法(确定取值范围)、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4.数列:20-28分 主要章节:必修5第二章《数列》 数列是高中数学的重要内容,是初等数学与高等数学的重要衔接点,所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位.题量一般是一个小题一个大题,另外一个与其它知识的综合题。文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主;理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。证明题以考“错位相减法”比较多。
2019年高考文科数学真题及答案全国卷I 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.(2019课标全国Ⅰ, 文2) 2 12i 1i +(-) =( ). A . 11i 2-- B .11+i 2- C .11+i 2 D .11i 2- 2.(2019课标全国Ⅰ, 文1)已知集合A ={1,2,3,4}, B ={x |x =n 2 , n ∈A }, 则A ∩B =( ). A .{1,4} B .{2,3} C .{9,16} D .{1,2} 3.(2019课标全国Ⅰ, 文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数, 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ). A .12 B .13 C .14 D .16 4.(2019课标全国Ⅰ, 文4)已知双曲线C :22 22=1x y a b -(a >0, b >0) 的离心率为 2 , 则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x 5.(2019课标全国Ⅰ, 文5)已知命题p :?x ∈R,2x <3x ;命题q :?x ∈R , x 3 =1-x 2 , 则下列命题中为真命题的是( ). A .p ∧q B .?p ∧q C .p ∧?q D .?p ∧?q 6.(2019课标全国Ⅰ, 文6)设首项为1, 公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n , 则( ). A .Sn =2an -1 B .Sn =3an -2 C .Sn =4-3an D .Sn =3-2an 7.(2019课标全国Ⅰ, 文7)执行下面的程序框图, 如果输入的t ∈[-1,3], 则输出的s 属于( ). A .[-3,4] B .[-5,2] C .[-4,3] D .[-2,5] 8.(2019课标全国Ⅰ, 文8)O 为坐标原点, F 为抛物线C :y 2 =的 焦点, P 为C 上一点, 若|PF | =, 则△POF 的面积为( ). A .2 B . ..4 9.(2019课标全国Ⅰ, 文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π, π]的图像大致为( ).
2020文科高考考前集训:解答题限时练1.(2019河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f(x)=sin 2x-cos2x-. (1)求f(x)的最小正周期; (2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值. (n≥2). 2.已知数列{a n}中,a1=1,其前n项的和为S n,且满足a n= - (1)求证:数列是等差数列; (2)证明:当n≥2时,S1+S2+S3+…+S n<. 3. 如图,四边形ABCD是菱形,AF⊥BD,AF∥CE且AF=2CE. (1)求证:平面ACEF⊥平面BDE; (2)已知在线段BF上有一点P,满足AP∥DE,求的值.
4.已知函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2. (1)讨论函数f(x)极值点的个数; (2)若对?x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围. 5.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点 D在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1. (1)求椭圆C的方程. (2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由. 6.(2019四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线 上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点. (1)求抛物线C的方程; (2)证明:直线l恒过定点; (3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.
高考数学概率大题专项题型 一.解答题 1.某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上 午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. (1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率; (2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布表与数学期望E (X). 2.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没 猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (I)“星队”至少猜对3个成语的概率; (II)“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX. 3.某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别 为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望. 4.某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. (Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率; (Ⅱ)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望. 5.集成电路E由3个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的 概率分别降为,,,且每个电子元件能否正常工作相互独立,若三个电子元件中至少 有2个正常工作,则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E所需费用为100元.(Ⅰ)求集成电路E需要维修的概率; (Ⅱ)若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需的
16.(本题满分12分) 在ABC ?中,已知45A =,4cos 5 B =. (Ⅰ)求sin C 的值; (Ⅱ)若10,BC =求ABC ?的面积. 17.(本题满分12分) 某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: (Ⅰ)补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值; (Ⅱ)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率. 19.(本题满分14分) 如图,已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形,AB BC ⊥,//AB CD ,E ,F 分别是棱BC ,11 B C 上的动点,且1//EF CC ,11CD DD ==,2,3AB BC ==. (Ⅰ)证明:无论点E 怎样运动, 四边形1EFD D 都为矩形; (Ⅱ)当1EC =时, 求几何体1A EFD D -的体积. 第19题图
12乙图4 2 44 31 15 207 9 8 10 11甲D C 1 A 1 B 1 C B A 16. (本小题满分12分) 已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值; (2) 若θ 为锐角,且83 f πθ?? += ? ? ?,求tan 2θ的值. 17. (本小题满分12分) 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品,称其重 量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数据,获得重量数据的茎叶图如图4. (1) 根据样品数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差,并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定; (2) 若从乙车间6件样品中随机抽取两件,求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率. 18. (本小题满分14分) 如图5,在三棱柱111-ABC A B C 中,侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A AB ==,3BC =. (1)求证:1//AB 平面1BC D ; (2) 求四棱锥11-B AA C D 的体积.
高考文科数学大题专项训练(一) 1.(本小题满分12分) 已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且5 3cos ,2==B a . (1) 若4=b , 求A sin 的值; (2) 若△ABC 的面积,4=?ABC S 求c b ,的值. 2. (本小题满分12分) 已知1 sin 0,,tan 23?? =∈= ???πααβ. (1) 求tan α的值; (2) 求()tan 2+αβ的值.
3.(本小题满分12分) 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm ),获得身高数据的茎叶图如图所示。 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率。 4. (本小题满分14分)直棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是直角梯形, ,2222 BAD ADC AB AD CD π ∠=∠==== (Ⅰ)求证:11AC BB C C ⊥平面 (Ⅱ)在11A B 上是否存一点P ,使得DP 与平面 1BCB 与平面1ACB 都平行?证明你的结论.
5.(本小题满分12分) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者。现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组:第1组[)20,25,第2组[)25,30,第3组[)30,35,第4组[)35,40,第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示. (1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动,应 从第3,4,5组各抽取多少名志愿者? (2)在(1)的条件下,该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验, 求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
各省市高考数学试题的题型及知识点分布情况 统计 为帮助一线老师及广大高三生提升应对新课程高考的能力,新课改高考命题研究专家根据最新的高考信息及多年备考经验,从学科特点、命题趋势等方面对今年高考备考方向进行全方位指导。这里分享湖北省武昌实验中学王先东老师关于2019年高考数学复习的建议给大家,王先东老师给考生提出6条复习建议。【数学】 梳理基础知识强化习题训练 湖北省武昌实验中学王先东 根据近三年全国各地高考试题的题型及知识点分布情况统计,有如下共同特点:应用题类型主要考查知识点:排列与组合;概率统计;算法初步;线性规划;三角与不等式;函数与导数。 三角函数类型主要考查知识点:两角和与差的正弦、余弦公式;同角关系;正余弦定理;三角函数图象与性质;向量与三角综合,三角形的面积。涉及的方法主要有:数形结合,合一变形;等价转换等。 立体几何类型主要知识点:三视图与几何体表面积,体积的计算;线面关系;线面角;线线角,二面角;点到面之距。特别是立体几何与几何概型,代数最值结合的题,知识交汇,巧妙设计,应加以重视。 数列类型主要考查知识点:等差等比数列的通项公式;求和公式;最值问题;涉及的方法有:累加、累乘法、构造法、错位相减法等。 圆锥曲线类型主要考查知识点:圆锥曲线的定义;性质(离心率、渐近线、焦半径、准线);直线与椭圆,圆与椭圆,圆与抛物线;定点,定值,最值等。几何证明、极坐标参数方程、不等式选考类型主要考查知识:圆的切割线定理,相交弦定理;直角三角形射影定理。 函数与导数类型主要考查知识点:几种类型函数的求导公式;函数的单调性;极值与最值;构造函数利用导数证明不等式;数形结合思想等。 复习建议 1.梳理知识,构建数学的知识体系:理解定义、定理、公式、法则等产生的背景及互相联系;在理解的基础上清晰记忆基本知识。 2.专题化训练,提炼数学的基本思想方法:题组化训练的优势及弊端;题组化训练的选题。 3.回归基础,提高分析问题的能力:求解一个题目要用到哪些基础知识和技能;利用某一个基础知识或者技能解决问题的可操作办法是什么。 要练说,得练看。看与说是统一的,看不准就难以说得好。练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 4.优化计算举例:观察分析,优化计算;活用思维,减少计算;逆向思维,化繁为简。 5.优化计算训练方法:计算准确无误;树立优化计算的意识;掌握优化计算的策略;针对每类题型通过专项训练提高计算能力。
2017年普通高等学校招生全国统一考试1卷 文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={}|2x x <,B ={}|320x x ->,则 A .A B =3|2x x ? ??? ? B .A B =? C .A B 3|2x x ??=< ???? D .A B=R 2.为评估一种农作物的种植效果,选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量(单位:kg )分别为x 1,x 2,…,x n ,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A .x 1,x 2,…,x n 的平均数 B .x 1,x 2,…,x n 的标准差 C .x 1,x 2,…,x n 的最大值 D .x 1,x 2,…,x n 的中位数 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 A .i(1+i)2 B .i 2(1-i) C .(1+i)2 D .i(1+i) 4.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( ) A . 14 B . π8 C .12 D .π 4 5.已知F 是双曲线C :x 2 -2 3 y =1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为( ) A .13 B .1 2 C .2 3 D .3 2 6.如图,在下列四个正方体中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,Q 为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是 7.设x ,y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤?? -≥??≥? 则z =x +y 的最大值为 A .0 B .1 C .2 D .3 8..函数sin21cos x y x =-的部分图像大致为( )