内有0)(≥x f （或0)(≤x f ）
，则必有0≥A （或0≤A ）．
推广：设A x f x x =→)(lim 0
，0
lim ()x x g x B →=，如果A B <，则在0(,)U x δ
内，有
()()f x g x <；
反之，如果在0(,)U x δ
内有()()f x g x ≤，则必有A B ≤。
注意： 当x →∞时，保号性结论类似。 3、无穷小量与无穷大量：(146-149页) （1）无穷小量与无穷大量的概念及关系：
无穷小量：若0()
lim ()0x x x f x →→∞=，则称函数()f x 为0 ()x x x →→∞或时的无穷小量。
（无穷小量是函数有极限的特殊情形，即0()
lim ()0x x x f x →→∞=）
无穷大量：若0
()x x x →→∞或时，()f x 无限变大，则称()f x 为
0x x →()
x →∞或时的无穷大量。（无穷大量是函数没有极限的特殊情形；即
()
lim ()x x x f x →→∞=∞）
（2）值得注意的几个关系：
① 极限与无穷小量关系：
lim ()f x A =?()f x A α=+，
（其中α为无穷小，即lim 0α=）； ②在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大量，则
1()
f x 为无穷小量；
若()f x （()0f x ≠）为无穷小量，则
1()
f x 为无穷大量。
③若0()
lim ()x x x f x →→∞=∞，则称()f x 在0
0(,)U x δ（或x M >）内为无界函数。
即无穷大量必为无界函数，但无界函数不一定为无穷大量。
例如：()sin f x x x =在(,)-∞+∞为无界函数，但当x →∞时，()f x 不是无
穷大量。
（3）无穷小量的比较：设x →?时， ()0 , ()0x x αβ→→ 且 ()lim
()
x x c x αβ→?
=，
1）若0c ≠为常数，则称x →?时()x α与 ()x β为同阶无穷小； 特别的：当1c =时，则称x →?时()x α与 ()x β是等价无穷小，记作：
x →?时()()
x x αβ 。
2）若0c =，则称x →?时()x α是比 ()x β高阶的无穷小，记作
()(())x o x αβ= ；
3）若c =∞，则称x →?时()x α是比 ()x β低阶的无穷小。
（4）无穷小量的替换定理：
设x →?时，(), ()
,x x αβ11(), ()x x αβ都是无穷小量， 且1()()x x αα 1()()x x ββ ，极限11()lim
()
x x x αβ→?
存在，则()lim
()
x x x αβ→?
=11()lim
()
x x x αβ→?
。
例：2
22
01cos 12lim lim tan 2
x x x
x
x x →→-==；
2
13lim
lim
339
x x x
x x
x x →→==---
三、函数的连续性 1、连续的概念：（149-147页）
2定义： 函数()f x 的不连续点叫其间断点. 分类：设0x 为()f x 的间断点
（1）若0(0)f x -及0(0)f x +均存在，则0x 叫()f x 的第一类间断点，
若0(0)f x -=0(0)f x +（即0
lim ()x x f x →存在）0x 叫()f x 第一类可去间断点；
（2）若0(0)f x -及0(0)f x +有一个不存在，则0x 叫()f x 的第二类间断点. 3、连续函数的运算：（148页）
（1）四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数.
（2）反函数的连续性：若原函数单值、单调且连续，则其反函数也单值、
单调且连续.
（3）复合函数的连续性：两个连续函数所复合成的复合函数必连续. （4）初等函数的连续性：
结论 ：一切基本初等函数在其定义域均连续.
初等函数在其定义区间均连续.
4、闭区间上连续函数的性质: （148-149页） （1）有界性：设()f x 在[,]a b 上连在续，则()f x 在[,]a b 上有界.
（2）最值定理：设()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上必有最大值M 和
最小值m .
即
?12 , [,]
x x a b ∈，使得
[,
x a b ?∈，有
12()()()m f x f x f x M
=≤≤=.
（3）零点存在定理：设()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则 (,)c a b ?∈，
使得()0f c =.（函数值为零的点叫该函数的零点）
（4）介值定理：设()f x 在[,]a b 上连续，()()f a f b ≠，C 是介于() ()
f a f b 与之间的任何实数，则必 (,)a b ξ?∈，使得()f C ξ=.
推论：闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值. 四、计算极限的常用方法：（类型：0
0，
∞∞
，0?∞，∞-∞，0∞，1∞，00 等等）
★（1）观察法：例如：lim
n →∞
=；2
2
2232lim
lim 33x x x x
x →∞
→∞
-??
=-=- ???
；lim 0 (1)n
n q q →∞
=<。
★（2）四则运算法则：若A x f =)(lim ，B x g =)(lim ，则
i ）B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
ii ）AB x g x f x g x f ==)(lim )(lim )]()(lim[ 推广：lim ()lim ()kf x k f x kA ==（k 常数），
[]lim ()lim ()n
n
n
f x f x A
==（n 自然数）
iii ）)0()
(lim )(lim )
()(lim
≠=
=
B B
A x g x f x g x f
★ （3）两个重要极限公式： 1sin lim
=→x
x x ，e
x
x
x =+
∞
→)
11(lim 或 1
lim (1)x x x e →+=
★（4）利用函数的连续性：若()f x 在点0x 处连续，则)()(lim 00
x f x f x x =→．
★（5）利用无穷小量的性质： 在同一自变量的变化过程中，
i ）有限个无穷小量的代数和与乘积仍是无穷小量； ii ）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量； iii ）无穷小量与有极限的变量之积仍是无穷小量； iv ）若 ()αα不恒为零为无穷小量，则1
α
为无穷大量．
v ）无穷小量的等价代换：
当0x →时：sin
x x
， tan x x ，
arcsin x x
，arctan x x ，ln(1)x x + ，
1x
e x
- ，1ln x
a x a -
1
x n
， x cos 1-
2
2
x
．
★（7）极限存在的充要条件：
A x f x x =→)(lim 0
? 00(0)(0)f x f x A -=+=
lim ()x f x A →∞
=?
lim ()lim ()x x f x f x A →-∞
→+∞
==
★ （8）洛必达法则（00
或
∞∞
）：
若0
0 ()
()
lim ()lim ()0x x x x x x f x g x →→→∞→∞==（或∞）， ()
()lim
()
x a
x f x g x →→∞''存在（或为∞），则
()
()
()()lim lim
()
()
x a x a x x f x f x g x g x →→→∞→∞'='
第12章一元函数微分学[内容提要]
一、导数与微分：
1、导数概念：(156-159页)
（2）导数的几何意义： 0
0d ()d x x y k f x x
='=
=切线，
曲线)(x f y =在点M )(00y x ，处的切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程： 0001()()()
y f x x x f x -=-
-'
（3）可导与连续的关系：
定理：若函数)(x f y =在点0x 处可导 ，则函数在该点必连续. 注意： 可导?连续，但连续却不一定可导. 2、导数的运算：
（1）基本导数公式（共16个）（159-161页）
（2）求导法则（160-165页）
（3）、高阶导数的公式及法则：
()
()
ln x
n n x
n a
a
a λλλ=
特例： x n x e e =)()(
)2
sin()
(sin )
(π
?
+=n x x n ， )2
cos()
(cos )
(π
?
+=n x x n ，
[]1
()
(1)
(1)!
ln(1)(1)
n n n
n x x ---+=
+， ()
()
1
1!(1)
n n n
n n a
ax b ax b +??
=- ?
+??
+
[]
()
()
()()
n n Cu x Cu
x =，（C 为常数）
[]
()
()
()
()()()()
n n n u x v x u x v
x ±=±
3、微分概念: (165-166页)
（1）微分的定义： 设函数)(x f y =在0(,)U x δ内有定义，00(,)x x U x δ+?∈且
)()(00x f x x f y -?+=?()A x o x =??+?
其中A 是不依赖于x ?的常数，而()o x ?是比x ?高阶的无穷小量，则称)(x f y =在点x 处可微， 其中A x ??称为)(x f y =在点x 处的微分，记作dy 或()df x ，即
dy A x =?? 或 dy A dx =?．
（2）可微与可导的关系：
定理 函数)(x f y =在点x 处可微?)(x f y =在点x 处可导．且 ()A f x '=，
d ()y f x dx '=?（注意：可微?
可导）
（3）微分的几何意义
)(x f y =在0x 处的微分0d ()y f x dx
'=?的几何意义是：dy PQ =（切线M T 的
增量）．
0()tan f x α
'=（切线M T 的斜率）．
（4）微分的基本公式和四则运算法则（162-163页） 基本公式：()()df x f x dx '= 或 dy y dx '=（略）
微分的四则运算法则： d[()]d ()Cu x C u x =（C 为常数）
d[()()]d ()d ()u x v x u x v x ±=±
d[()()]()d ()()d ()
u x v x u x v x u x v x =?+?
2
()()d ()()d ()
d[
]()
()
u x v x u x u x v x v x v x ?-?=
(()0)v x ≠
()()df u f u du
'=（一阶微分形式的不变性）
二、中值定理与导数应用： 1、中值定理：（167-168页）
2、洛必达法则：计算极限0
,
, 0, , 1, 0∞
∞?∞∞-∞∞
∞
，00（168-171页）.
3、函数的单调性与极值（171-175页）：
注意：由定义知：极值概念是局部性的，最值概念是整体性的。
设函数)(x f 在0(,)U x δ内有定义，若0
0(,)x U x δ?∈，恒有)()(0x f x f <（或
)()(0x f x f >），则称)(0x f 为函数)(x f 的极大值（或极小值）．
设函数)(x f 的定义域为I ，若x I ?∈，恒有0()()f x f x ≤（或
0()()f x f x ≥
），则称)(0x f 为函数)(x f 的最大值（或最小值）．
4、函数的凹凸性和拐点：（175-176页）
定义： 如果连续曲线总位于其切线的之上（下），则称此曲是凹（凸）的．
凹凸性的判定法：设在区间I 上()f x ''存在， （1）若0)(>''x f ，则曲线()y f x =是凹的（12
12()()
()22x x f x f x f ++<）； （2）若0)(<''x f ，则曲线()y f x =是凸的（12
12()()
(
)2
2
x x f x f x f ++>
）．
拐点：连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点00(,())x f x ，称为该曲线的拐点 6、曲线的渐近线：（177页）
定义：无限延伸的曲线如若与某直线的距离无限趋于0，则称此直线为该曲线的
渐近线．
（1）水平渐近线
若 ()lim ()x f x A →±∞
=（常数），称y A =是曲线)(x f y = 的水平渐近线．
（2）铅直渐近线
若000 ()()
lim ()x x
x x x x f x +
-→→→=∞，称0x x =是曲线)(x f y =的垂直渐近线．
第13章 一元函数积分学
[内容提要]
一、不定积分（187-196页） 1．原函数与不定积分的概念：
原函数的定义 ：若[()]()F x c f x '+=；则()F x c +叫()f x 的全体原函数。 不定积分的定义：()()f x dx F x c =+? 2．不定积分的性质：
()()kf x dx k f x dx =??
（0
k ≠为常数）；
[]()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???；
()()f x dx f x '
??=??? 或 ()()d f x dx f x dx ??=??
?；
()()F x dx F x C '=+? 或 ()()dF x F x C =+?；
3．牢记基本积分公式（牢记13个）：
1
11
k k x dx x
C
k +=
++?（1k ≠-常数）
特例 du u C =+?
1
ln
dx x C x =+?
1
(01)
ln x
x
a dx a C a a a
=
+>≠? ，
x x e dx e C =+?
sin cos xdx x C =-+?
cos sin xdx x C =+? 2
2
1
sec tan cos xdx dx x C
x =
=+?? 22
1
csc cot sin
xdx dx x C
x
=
=-+??
sec tan sec x xdx x C ?=+? csc cot csc x xdx x C =-+?
arcsin arccos x C x C
=+=-+?
2
1
arctan arc cot 1dx x C x C
x
=+=-++?
4．不定积分的积分法
1、定积分的概念: （196-197页）
定义 ：0
1
()lim
()n
b i i
a
i f x dx f x λξ→==?∑
?
；
几何意义：()b
a
f x dx ? = 曲边梯形面积的代数和，
特别的：b
a
dx b a =-?；
函数()f x 在[,]a b 上可积的必要条件：()f x 在闭区间[,]a b 上有界； 函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件：()f x 在闭区间[,]a b 上连续。
2、定积分的性质:（197-198页）
规定 : ()() ,
()0 ,()()b
a
a b b a
b
a a
a
f x dx f x dx f x dx f x dx f t dt =-==
????
?
线性性质: ①[()()]()()b
b
b a a
a
f x
g x dx f x dx g x dx ±=
±
??
?
②()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =??（k 为常数）
可加性 : ()()()b
c b a a
c
f x dx f x dx f x dx =
+
??
?
不等式性: ①若[,] , ()() , ()0b
a
a b f x g x f x dx ≥≥?如果在上有则
②若[,] , ()() , ()()b
b a
a
x a b f x g x f x dx g x dx ?∈≤≤
??
有则
③
()()b a a
b
f x dx f x dx
≤
?
?
（a b <）
积分中值定理: 若()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点ξ∈[,]a b ，使得
()()()() ()()b b a
a
f x dx f x dx f b a f f x b a
ξξ=-=
=-?
?
或
3、变上限定积分 (变上限函数) :（199页） 定义 ： 设()f x 在[,]a b 上连续，称函数 ()()x a
x f t dt φ=
?
为变上限定积分，它
是上限变量x 函数, 定义域为[,]a b 。
性质： ▲()x φ为可导函数， ()()()x
a d x f t dt f x dx φ??'==?
????； ▲若 () ()()g x a
x f t dt φ=
?
，则()
() ()()[()]()g x a
d
x f t dt f g x g x dx
φ''=
=?
4、定积分的计算：（199-204页）
5（1）设)
(x f y =
在区间],[b a 上连续，由曲线)
(x f y =
，a x =，b x =及x 轴围成的
曲边梯形的面积为 ： () b a
A f x d x
=?
（2）由曲线)
(x f y =
，a x =，b x =及x 轴围成的曲边梯形（图1）绕x 轴旋转
一周所得的旋转体体积为： 2
π()d b a
V f x x =?．
图1
例题分析： 例1、2
212lim
sin
2
x x x x
→∞
+=+（C ）
。 A ．0 B ．2 C ．4 D ．∞2
例2、设2() , ()(1())f x x h x f g x ==+，其中()g x 可导，且(1)(1)1g h ''==，则(1)g = （B ）。
A ．2-
B ．1
2
- C ．0 D ．2
例3、设函数()g x 导数连续，其图像在原点与曲线ln(12)y x =+相切。若
()
, 0(), 0g x x f x x
a x ?≠?
=??=?
在原点可导，则a =（ D ）。
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
例4、若,,,a b c d 成等比数列，则函数3
2
13
y ax bx cx d
=
+++（ D ）
A ．有极大值，无极小值
B ．无极大值，而有极小值
C ．有极大值，也有极小值
D ．无极大值，也无极小值
例5、若连续周期函数()y f x =（不恒为常数），对任意x 恒有
641
3
()()14x x f t dt f t dt +--+
=?
?
成立，则()f x 的周期为（ C ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
例6、设曲线:(1)L y x x =-，该曲线在(0,0)O 和(1,0)A 的切线相交于B 点。若该
两切线与L 所围区域的面积为1S ，L 与x 轴所围区域的面积为2S ，则（ C ）。
A ．12S S =
B ．122S S =
C ．1
212
S
S =
D ．1
232
S
S =
多元函数微分学知识点梳理
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4 3 与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线 y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3 2 ． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ； （3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】 （1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3 2 列出关于a 、c 的方程组求解即可； （2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可； （3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到 22x x x x Q P F E ++=，22 y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
一元函数微分学教案
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0'x f x f ， 则在),0(+∞内有（ ） （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 答C 3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ） （A ）必要条件。 (B) 充分条件。 （C ）充要条件。 （D ）既非必要，又非充分条件。 答B 4．设n 是曲线x x x y arctan 2 2 2 -=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D 5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈?≤x x x f ，则0=x 必是
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
多元函数微分学及应用(隐函数反函数)
习题课：多元函数求偏导，多元函数微分的应用 多元复合函数、隐函数的求导法 (1) 多元复合函数 设二元函数),(v u f z =在点),(00v u 处偏导数连续，二元函数),(),,(y x v v y x u u ==在点 ),(00y x 处偏导数连续, 并且),(),,(000000y x v v y x u u ==, 则复合函数 )),(),,((y x v y x u f z = 在点),(00y x 处可微，且 ()()()() x y x v v v u f x y x u u v u f x z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00??()()()() y y x v v v u f y y x u u v u f y z y x ?????+?????= 00000000) ,(,,,,00?? 多元函数微分形式的不变性：设),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===，均为连续可微， 则将z 看成y x ,的函数，有 dy y z dx x z dz ??+??= 计算 y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??,，代人， dv v f du u f dy y v dx x v v f dy y u dx x u u f dy y v v f y u u f dx x v v f x u u f dy y z dx x z dz ??+??= ???? ????+????+???? ????+????=???? ??????+????+??? ??????+????=??+??= 我们将dv v f du u f dy y z dx x z dz ??+??=??+??= 叫做微分形式不变性。 例1 设??? ??=x y xy f x z , 3 ，求y z x z ????,。
二次函数提高难题练习及答案二
5. （ 2014?珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH． （1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标； （3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E 两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．
12．（2014?舟山，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线y=x2上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交x轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED 的面积为S． （1）当m=时，求S的值． （2）求S关于m（m≠2）的函数解析式． （3）①若S=时，求的值； ②当m＞2时，设=k，猜想k与m的数量关系并证明．
13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为 A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C． （1）直接写出A、D、C三点的坐标； （2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标； （3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16.（2014?武汉，第25题12分）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点． （1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标； （2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．
一元函数微积分学内容提要
第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，
多元函数微分学及其应用
第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。
二次函数最经典综合提高题
周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3一元函数微分学练习题(答案)
一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质）
人教版九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 暑假提高训练(含答案)
人教版 2020-2021学年 九年级数学上册 22.3 实际问题与二次函数 暑假提高训练（含答案） 一、选择题（本大题共8道小题） 1. 某种服装的销售利润y (万元)与销售数量x (万件)之间满足函数解析式y ＝－2x 2 ＋4x ＋5，则利润的( ) A ．最大值为5万元 B ．最大值为7万元 C ．最小值为5万元 D ．最小值为7万元 2. 某企业生产季节性产品，当产品无利润时，企业自动停产，经过调研，它一年 中每月获得的利润y (万元)和月份n 之间满足函数关系式y ＝－n 2＋12n －11，则企业停产的月份为( ) A ．1月和11月 B ．1月、11月和12月 C ．1月 D ．1月至11月 3. 某商品进货单价为 90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商 品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为( ) A ．130元/个 B ．120元/个 C ．110元/个 D ．100元/个 4. 某公园草坪的防护栏是由 100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每 段防护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( ) A ．50 m B ．100 m C ．160 m D ．200 m 5. 如图，铅球运动员掷铅球的高度 y (m)与水平距离x (m)之间的函数解析式是y ＝ －112x 2＋23x ＋5 3，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )
A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10 m 6. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不 同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图①所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( ) A ．y ＝26 675x 2 B ．y ＝－26 675x 2 C ．y ＝131350 x 2 D ．y ＝－ 131350 x 2 7. 一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线 运动，当球运动的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m ，在如图 (示意图)所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是( ) A ．此抛物线的解析式是y ＝－1 5x 2＋3.5 B ．篮圈中心的坐标是(4，3.05) C ．此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D ．篮球出手时离地面的高度是2 m
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 0x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小， 这时底直径与高的比是多少？
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞ ∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算：
基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法
多元函数微分学习题
第五部分 多元函数微分学（1） [选择题] 容易题1—36，中等题37—87，难题88—99。 1．设有直线? ??=+--=+++031020 123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L ( ) (A) 平行于π。 (B) 在上π。(C) 垂直于π。 (D) 与π斜交。 答：C 2．二元函数??? ??=≠+=)0,0(),(, 0)0,0(),(,),(22y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处 ( ) (A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C 3．设函数),(),,(y x v v y x u u ==由方程组? ??+=+=2 2v u y v u x 确定，则当v u ≠时，=??x u ( ) (A) v u x - (B) v u v -- (C) v u u -- (D) v u y - 答：B 4．设),(y x f 是一二元函数，),(00y x 是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若),(y x f 在点),(00y x 连续，则),(y x f 在点),(00y x 可导。 (B) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 (C) 若),(y x f 在点),(00y x 的两个偏导数都存在，则),(y x f 在点),(00y x 可微。 (D) 若),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 连续。 答：D 5．函数2223),,(z y x z y x f +++=在点)2,1,1(-处的梯度是( ) (A) )32,31, 31(- (B) )32,31,31(2- (C) )92,91,91(- (D) )9 2 ,91,91(2- 答：A
《数学分析》多元函数微分学
第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图
二、本章重点及难点 本章需要重点掌握以下几个方面容： ● 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数 与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式. ● 隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换. ● 几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线. ● 极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法. 三、本章的基本知识要点 (一)平面点集与多元函数 1.任意一点A 与任意点集E 的关系. 1) 点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?，则称点A 是点集E 的点。 2) 外点. 若存在点A 的某邻域()U A ，使得()U A E ?=?，则称点A 是点集E 的外点。 3) 界点（边界点）. 若在点A 的任何邻域既含有属于E 得的点，又含有不属于E 的点，则称点A 是点集E 的界点。 4) 聚点. 若在点A 的任何空心邻域()o U A 部都含有E 中的点，则称点A 是点集E 的 聚点。 5) 孤立点. 若点A E ∈，但不是E 的聚点，则称点A 是点集E 的孤立点。 2. 几种特殊的平面点集. 1) 开集. 若平面点集E 所属的每一点都是E 的点，则称E 为开集。 2）闭集. 若平面点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集。 3) 开域. 若非空开集E 具有连通性，即E 中任意两点之间都可用一条完全含于E 得有限折线相连接，则称E 为开域。 4）闭域. 开域连同其边界所成的点集称为闭域。 5）区域. 开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。 3.2 R 上的完备性定理. 1) 点列收敛定义：设{}2 n P R ?为平面点列，2 0P R ∈为一固定点。若对任给的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有()0,n P U P ε∈，则称点列{}n P 收敛于点0P ，记作 0lim n n P P →∞ = 或 ()0,n P P n →→∞.
《高等数学》(上)一元函数微分学复习题
《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
2020年初三数学二次函数经典练习全集
1.一跳水运动员从米高台上跳下，他的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系为h=-5(t-2)(t+1),你能帮助该运动员计算一下他跳起来后多长时间达到最大高度？最大高度是多 少米？ 2．篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2 )与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 3.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式． 4.求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值-3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6. 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x 轴相切． (1)求二次函数的解析式； (2)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而增大； (3)当x 在什么范围时，y 随x 的增大而减小． 7.已知122 12 ++-=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2 ＋k 形式； (2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象； (5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0； (6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积． 8．在长20cm ，宽15cm 的矩形木板的四角上各锯掉一个边长为xcm 的正方形，写出余下木 板的面积y(cm 2 )与正方形边长x(cm)之间的函数关系，并注明自变量的取值范围． 9．已知二次函数y=4x 2 ＋5x ＋1，求当y=0时的x 的值． 10．已知二次函数y=x 2 -kx-15，当x=5时，y=0，求k ． 12．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 中，当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；当x=2时，y=-4，试求a 、b 、c 的值． 13.有一个半径为R 的圆的内接等腰梯形，其下底是圆的直径． (1)写出周长y 与腰长x 的函数关系及自变量x 的范围； (2)腰长为何值时周长最大，最大值是多少？ 14.二次函数的图象经过()()()4,2,4,0,0,4--C B A 三点： ① 求这个函数的解析式 ② 求函数图顶点的坐标 ③ 求抛物线与坐标轴的交点围成的三角形的面积。 15．如图，抛物线y=x 2 +bx+c 与x 轴的负半轴相交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴相交于C 点，与双曲线y= x 6 的一个交点是(1，m)，且OA=OC.求抛物线的解析式． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式； (2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由； (3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似． 17、水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.
多元函数微积分学
第六章 多元函数微积分学 §6.1空间解析几何 习题 6-1 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限: (2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2); (2,3,1); (3,3,5); (1,2,3).E F G H ------ 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置: (2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D --- 3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标. 4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程. 5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？ 6. 指出下列方程组所表示的曲面 222(1)4x y z ++=； 7.指出下列方程组所表示的曲线: 22225(1)3 x y z x ?++=?=?； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=； 2 2(5)1916x y +=； 2 2 (6)125 y x -=； (7)0y -=；
2 (8)430y y -+=； 2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=. §6.2 多元函数的基本概念 习题 6-2 1.设22,y f x y x y x ? ?+=- ?? ?，求(,)f x y . 2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+. 3.求下列各函数的定义域: 2 (1)ln(21)z y x =-+ ; (2)z = 22(3)z = ; (4)z = ; (5)ln()z y x =- ; (6)u =4.求下列各极限 : 10 (1)y x y →→ (,)(0,0)(2) lim x y →; 22() (3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞ +; 222200 (4)lim x y x y x y →→+ ; 00(5)x y →→;22222200 1cos() (6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在: 2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 1 00 (2)lim(1)x y x y xy +→→+ ; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性: 222(1)(,)2y x f x y y x +=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.
二次函数的提高培优训练
二次函数的提高培优训练 【例题精讲】 一、关于二次函数的图像 '（X _ 1）2 _ l（x<3） 例题1、（2011-随州）已知函数,若使y=k成立的x值恰好有三个, （X-5）2-1（X>3） 则k的值为（） X2（X<2） 【变式练习】（2012-贵港）若直线y=m （m为常数）与函数y=G 的图象恒有三个不同的 一（尤 > 2） lx 交点，则常数m的取值国是_______ o 例题2、（2012>）如同，二次函数y=ax-+bx+c的图象过（?1, 1）、（2.?1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（） A. 当x=0时，y的值大于1 B.当x=3时，y的值小于0 C.当x=d时，y的值大于】 D. y的最大值小于0 【变式练习】（2012?）如图，二次函数的图象经过（?2, -1） , （1, 1）两点，则下列关于此二次函数的说确的是（） A. y的最大值小于0 B,当x=0时，y的值大于1 C.当x=?l时，y的值大于1 D.当x=?3时，y的值小于0
例题4、（2010?）设。、b是常数，且b>0,抛物线y=ox斗bx+S?5o-6为下图中四个图象之一，则。 抛物线y=ox：+bx+c （a>0）的对称轴是直线x=l,且A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 2、（2010?新疆）抛物线y=?x=+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值国是___________ . 【课堂练习】 K （2011 ?威海）二次函数y=x2x?3的图象如图所示.当yvO时，自变量x的取值国是（） A. -1 3 D. xv.3 或XA3 2、（2010?潍坊）已知函数所顼与函数y：=-lx + 3的图象大致如图.若y,）如图所示，是二次函数y=ax--bx+2的大致图象，则函数y=-ax+b的图象不经过（） 二、关于二次函数的性质 例题K （2012>）给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是扼物线的切线.有下列命题： 1 ' 1 . ①直线y=o是抛物线y=-x-的切线；②直线x=-2与抱物线汽丁尸相切于点（2】）； 4 4 1 2 1 o ③直线疗x+b与抛物^y=-x-相切，则相切于点（2, 1）; ④若直y=kx-2与抛物线y=-x^ 4 4 相切，则实数k=>/2其中正确命题的是（） A.①②④ B.①③ C.②③ D.①③④ . k1 例题2、（2012>）已知二次函数y=ox=+bx+l, —次函数y=k （x-1）?—,若它们的图象对于任息的 4 非零实数k都只有一个公共点，则。，b的值分别为（） A. 0=1, b=2 B. a=l, b=-2 C. a=-l, b=2 D. a=-l, b=-2 【变式练习】（2012?）如变式练习2图，抛物线y『Q （x+2）七3与疗;（x?3）"交于点A （1, 3）, 2 过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B, C.则以下结论： ①无论X取何值，次的值总是正数；②0=1;③当x=0时，”/广4;④2AB=3AC;其中正确结论是（） A.①② B.②③ C.③④ D.①④
