多元统计分析期末试题
1
、填空题(20分)
1、 若X Q ~ N p (g ,(a =1,2,…n)且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布为X ~ N p (g^|。
2、 变量的类型按尺度划分有 _间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。
3、 判别分析是判别样品
所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有
—距离判别法_、Fisher 判别法、
Bayes 判别法、逐步判别法。
4、 Q 型聚类是指对_样品-进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。
5、 设样品X i =(X i1,X i2^ X ip )',(i =1,2，…n)，总体X~N p (」「)，对样品进行分类常用的距离有：
明氏距离d j (q)=(壬|Xy q i j i j
6、 因子分析中因子载荷系数a j 的统计意义是—第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。
7、 一元回归的数学模型是：y
曆x 童，多元回归的数学模型是
8、 对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、 典型相关分析是研究两组变量之间 相关关系的一种多元统计方法。
、计算题(60分)
'4 1 1、设三维随机向量X~N 3(?2)，其中送=1
3 e 0
独立？为什么?
解：因为cov(X 1,X 2^1，所以X 1与X 2不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵瓦=f 11
；12丨，(X 1,X 2/的协差矩阵为瓦
11
因为
—21 - 22
cov((X 1,X 2),X 3)=為12，而' 12 =0，所以(X 1, X 2)和X 3是不相关的，而正态分布不相关与相互独
立是等价的，所以(X 1,X 2)和X 3是独立的。
0，问X 1与X 2是否独立? 2>
(X 1,X 2)和X 3是否
2、设抽了五个样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是 1 ,2 ,4.5 ,6 ,8 。若样本间采用明氏距离,
2
试用最长距离法 对其进行分类，要求给出聚类图。
样品最短距离是1，故把乂
1
与乂2合并为一类，计算类与类之间距离（最长距离法）得距离阵
1.5，故把X 3与X 4合并为一类，计算类与类之间距离（最长距离法）得距离阵
3.5，故把｛X 3,X 4｝与
X 5合并为一类，计算类与类之间距离
（最长距离法）得距离
阵 D (3)=
{ x 1
, x 2}
“NX}
分类与聚类图（略）
0.45
0.35 , R 的特征值和单位化特征向量分别为
1.00」
人=1.96" =(0.63,0.59,0.51 f ;
T
2=
0.68,12 - -0.22,-0.49,0.84 ;
T
厂
{X 1,X 2} X 3
X 4 X 5
{X 1,X 2}
X 3 3.5 0
X 4
5 1.5 0 .X 5
7
3.5
2
°」
D
⑴
{X 「X 2} {X 3.X 4.X 5}
解：样品与样品之间的明氏距离为:
D （o ）
X 1 X 2
X 3 X 4 X 5
X 1
X 2 1 0
X 3 3.5 2.5 0
X 4 5
4 1.
5 0
X 5 7
6 3.5 2
f
{NX}
{X 1,X 2} 0 {X3N} X 5
”
D (2)=
{X 3,X 4) 5 0
X 5
7
3.5
J
"1.00 0.63 3、设变量X 1
,X 2
,X 3
的相关阵为R= 0.63 1.00 Q45
0.35 类与类的最短距离是
类与类的最短距离是
.64, —0.18 )
3
2、设抽了五个样品，每个样品只测了一个指标，它们分别是 1 ,2 ,4.5 ,6 ,8 。若样本间采用明氏距离,
4
(1) 取公共因子个数为 2,求因子载荷阵 A 。
(2)
计算变量共同度h i 2及公共因子F j 的方差贡献，并说明其统计意义。
‘0.63.T96 _ 0.22(068
'
解：因子载荷阵 A= 0.59*196 —0.491068
051^196
0.84U0丽
I
J
变量共同度：h 2 = (0.63.1.96)2 (-0.22.、0.68)2 =
h 2 =(0.59.1.96)2 (一0.49 0.68)2 = h 3 =(0.51、1.96)2
(0.84.0.68)2 =
公共因子F j 的方差贡献：
51 =(0.63,1.96)2 (0.59,1.96)2 (0.51 1.96)2 52 =(-0.22 0.68)2
(-0.49.0.68)2
(0.84.0.68)2
统计意义(略)
分的累积贡献率。
9 前两个主成分的累积贡献率
0.9 10
4
& =1的特征方程：
0 -2
0 X 2 =0，得特征向量u 3 = 0
2
0 -5 丿(X 3 j
1
2丿
F 1 =X 3
F 2 =X 2
4、设三元总体X 的协方差阵为
0 0"
3 0，从送出发，求总体主成分 0 6?
F 1, F 2, F 3， 并求前两个主成 解：特征方程 | E
| = 0，得特征根: =6,九2 =3,込-1
■5
0 <0
X 2 =0，得特征向量 U 1 = 0
‘2 0 0 丫捲］ 1
3
也=3的特征方程： 0 0 0 |x 2
=0，得特征向量u 2
—
1
<0 0 —3八X 3 丿
丿
0 3 0 0
0 0 =6的特征方程:
1