2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练
（ （
2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 平面向量的基本定理
例 1 给出下列命题：
（1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量；
（2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ；
（3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形；
（4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是
．
【答案】（1）（2）（3）（4）
【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小
两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一
定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0
时， a 与 b 可以共线可以不共线
【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D
四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。 【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略：
（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，
三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．
（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等
变形手段在线性运算中同样适用．
（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；
②寻找相应的三角形或多边形；
③运用法则找关系；
④化简结果．
1
（ （
例 2 已知 a = (1,2) , b = (2 x, -3) 且 a ∥ b ,则 x =
．
【答案】 -
3
4
【解析】根据 a ∥ b 有 x y - x y = 0 ,可知1 ? (-3) - 2 ? 2 x = 0 ,得 x = -
1 2
2 1
3
4
【易错点】 1）经典错解错在把向量平行的充要条件记成了 x 1x 2 - y 1 y 2 = 0 ． 2）a || b ? x 1 y 2 - x 2 y 1 = 0 ，
不是 x 1 x 2 - y 1 y 2 = 0 ，可以记为 “斜乘相减等于零 ”． a ^ b ?
x 1x
2
y y =0 1 2
，可以记为
“竖乘相加等于 零”．这两个公式是向量运算里经常要用到的，大家要区分并记牢．
【思维点拨】
1．平面向量的概念辨析题的解题方法
准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分
利用反例进行否定也是行之有效的方法．
2．几个重要结论
（1）向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；
（2）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；
（3）向量平行与起点的位置无关．
题型二 平面向量的线性运算
例 1 在 ABCD 中，错误的式子是（
）
A ． AD - A
B = BD
B ． AD - AB = DB
C ． AB + BC = AC
D ． AD + AB = AC
【答案】D ．
【解析】根据平行四边形法则知，错误的为 B ．在向量的加法运算中，第一个向量的终点和第二个向量的
起点相同时，可得第一个向量的起点指向第二个的终点，如 AB + BC = AC ，在向量的减法运算中，两向
量的起点相同，则由第二个向量的终点指向第一个的起点，如 AD - AB = BD ，对于 D 选项，利用平行四
边形法则结合图像可得 AD + AB = AC ．
【易错点】使用向量的加法三角形法则时，两向量必须首尾相接，使用向量的减法三角形法则时，两向量
必须起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点。
【思维点拨】1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数
量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程（组）思想的应用．
【解析】 a 在 e 上的投影为 a cos ?a, e ? = a a ? e （ （ 3
．
题型三 平面向量的数量积及其应用
例 1 已知 a = 4, e 为单位向量，当 a, e 的夹角为
2π
3
时， a 在 e 上的投影为（ ）
A ． 2
【答案】 B ．
B ． - 2
C ． 2 3
D ． - 2 3
a e =
a ? e
e = 4
?1? cos 2π 3 = -2 ,所以选择 B ．
【易错点】（1）对 a 在 b 上的投影的概念和公式理解不透彻． 2） a 在 b 上的投影为 | a |
cos < a, b > ，由于
| a |? 0, 1 ? cos a, b >? 1 ，所以a 在 b 上的投影可以是正数，也可以是负数，也可以是零．有的同学把 a
在 b 上的投影和射影混淆了，一个线段在另外一个线段上的射影是一个非负数．
【思维点拨】1．对两向量夹角的理解
（1）两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过
移动，使其起点相同，再观察夹角．
（2）两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为 0，共线且反向时，其夹角为 π．
（3）在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
2．向量运算与数量运算的区别
（1）若 a ，b ∈R ，且 a · b ＝0，则有 a ＝0 或 b ＝0，但 a·b ＝0 却不能得出 a ＝0 或 b ＝0．
（2）若 a ，b ，c ∈R ，且 a ≠0，则由 ab ＝ac 可得 b ＝c ，但由 a·b ＝a·c 及 a ≠0 却不能推出 b ＝c ．
（3）若 a ，b ，c ∈R ，则 a （bc ）＝（ab ）c （结合律）成立，但对于向量 a ，b ，c ，而（a·b ）· c 与 a ·（b·c ）
一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
（4）若 a ，b ∈R ，则|a · b |＝|a |·|b |，但对于向量 a ，b ，却有|a·b |≤|a ||b |，等号当且仅当 a ∥b 时成立．
例 2 已知向量 a, b 满足： a + 2b 与
π
【答案】
3
．
5 4
a -
b 垂直，且 | a |= 1, | b |= 1 ，则 a 与b 的夹角为 ．
【解析】由已知得（ a + 2b ）．
5 4
a -
b ）=0，故 a ? b = 1 a ? b 1
，则 cos < a ? b >= ＝ ，又因为 < a ? b >∈ [0, π ] ， 2 a ? b 2
故 a 与 b 的夹角为 π
3
【易错点】（1）经典错解错在对向量的夹角的范围没有记清．（2）两个向量的夹角q的范围是q?[0,p]，
不是q?[0,2p]，所以本题只有一个答案．
【思维点拨】
1．求两非零向量的夹角时要注意：
（1）向量的数量积不满足结合律；
（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．
【巩固训练】
题型一平面向量的基本定理
1．给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．
②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC．
又∵A，B，C，D是不共线的四点，
∴四边形ABCD是平行四边形．
反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC且AB与DC方向相同，因此AB＝DC．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
2．设a
为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与0
a
平行且|a|＝1，则a＝a0．上述命题中，假命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
解之得 t ＝ ．
故存在实数 t ＝ 使 C ，D ，E 三点在一条直线上．
?
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与
a 0 平行，则 a 与 a 0 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上
所述，假命题的个数是 3．
3．已知 a ，b 不共线， O A ＝a ， OB ＝b ， OC ＝c ， O D ＝d ， O B ＝e ，设 t ∈R ，如果 3a ＝c,2b ＝d ，e ＝ t （a ＋b ），是否存在实数 t 使 C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理 由．
【答案】见解析
【解析】解：由题设知， C D ＝d －c ＝2b －3a ， CE ＝e －c ＝（t －3）a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上 的充要条件是存在实数 k ，使得 C E ＝k CD ，即（t －3）a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，
整理得（t －3＋3k ）a ＝（2k －t ）b ．
??t －3＋3k ＝0， 因为 a ，b 不共线，所以有?
?t －2k ＝0，
6
5
6
5
4．下列说法正确的是
A ．向量 A
B 与向量 CD 是共线向量，则点 A, B, C, D 必在同一条直线上
B ．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C ．长度相等的向量叫做相等向量
D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
【答案】D
【解析】对于 A ，若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 AB ∥CD 或点 A ,B ,C ,D 在同一条直线上，故 A
错误；对于 B ，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相
反，故 B 错误；对于 C ，长度相等的向量不一定是相等向量，还需要方向相同，故 C 错误；对于 D ，相等
向量是大小相等、方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故 D 正确.故选 D ．
5．已知 e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则 a 与 b 共线的条件是（ ）
A ．λ＝0
B ．e 2＝0
C ．e 1∥e 2
D ．e 1∥e 2 或 λ＝0
5
【解析】∵AB·BC＝1，且AB＝2，∴1＝|AB||BC|cos（π－B），∴|BC|cos B＝－△．在ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即9＝4＋BC2－2×2×?－2?．∴BC＝3．
【解析】选D。若e1与e2共线，则e2＝λ′e1.因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b.若e1与e2不共线，设a＝μb，则
e
1
＋λe
2
＝μ·2e
1
，因此λ＝0,1－2μ＝0.
题型二平面向量的线性运算
1．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝（4,3），PQ＝（1,5），则BC
等于（）
A．（－2,7）B．（－6,21）C．（2，－7）D．（6，－21）
【答案】B
【解析】BC＝3PC＝3（2PQ－PA）＝6PQ－3PA＝（6,30）－（12,9）＝（－6,21）．
2△
．在ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝（）
A．3B．7C．22D．23
【答案】A
1
2
?1?
3．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：
①AB+CD=BC+DA，②AC+BD=BC+AD，③AC-BD=DC+AB．
其中正确的有
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【解析】①AB+CD=BC+DA的等价式是AB-DA=BC-CD，左边=AB+AD，右边=BC+DC，不一定相等；
②AC+BD=BC+AD的等价式是AC-AD=BC-BD，左边=右边=DC，故正确；
③AC-BD=DC+AB的等价式是AC-AB=BD+DC，左边=右边=BC，故正确.
所以正确的有2个，故选B．
A．AD=-
1
33B．
AD=-
C．AD=
1
55D．
AD=
()
?
a c
b c|
4．设D△为ABC所在平面内一点，BC=4CD，则（）
4
AB+AC
15
AB+AC
44
【答案】B
4
AB+AC
41
AB-AC
33
【解析】AD=AB+BD=AB+
5515
BC=AB+AC-AB=-AB+AC,故选B．
4444
5．已知A(-2,4)，B(3,-1)，C(-3,-4)，设AB=a，BC=b，CA=c.
（1）求3a+b-3c；
（2）求满足a=m b+n c的实数m，n.
【解析】（1）由已知得a=(5,-5)，b=(-6,-3)，c=(1,8)，
则3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
（2）∵m b+n c=(-6m+n,-3m+8n)，
∴
?-6m+n=5
?-3m+8n=-5
?m=n=-1.
题型三平面向量的数量积及其应用
1．对于非零向量a,b，下列命题正确的是（）
A．a?b=0?a=0或b=0
C．a⊥b?a?b=(a?b)2
【答案】C．
B．a//b?a在b上的投影是|a|
D．a?c=b?c?a=b
【解析】对于选项A,a?b0?|a||b|cos a,b>=0?a0或b=0，或
p
2,故A错误；对于B，a在b上的投影是|a|cos q=?|a|，所以B错误．对于D，→?→=→?→∴a||c|cosα=|b||c|cosα不能
7
5· n 2＋4＝ ∴n ＝6 或 n ＝－ （舍）．∴b ＝（－2,6）．
∴λb · a －|a |2＝0．∴λ＝ ＝ ＝ ．
∴c ＝ b ＝（－1,3）．
2 2 |
推出 a
b ; 所以 D 错误，排除法选 C ．故选 C ．
2．已知 a ＝（1,2），b ＝（－2，n ），a 与 b 的夹角是 45°．
（1）求 b ；
（2）若 c 与 b 同向，且 a 与 c －a 垂直，求 c ．
【答案】见解析
【解析】解：（1）∵a · b ＝2n －2，|a |＝ 5，|b |＝ n 2＋4，
∴cos 45°＝ 2n －2 2 2 ，
∴3n 2－16n －12＝0（n >1）．
2
3
（2）由（1）知，a · b ＝10，|a |2＝5．
又∵c 与 b 同向，故可设 c ＝λb （λ>0）．
∵（c －a ）· a ＝0，
|a |2 5 1
b · a 10 2
1
2
3．设向量 a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝ 3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝（ ）
A ．2
B ．2 3
C ．4
D ．4 3
【答案】B
【解析】由 a ·(a －b )＝0，可得 a · b ＝a 2＝1，由|a －b |＝ 3，可得(a －b )2＝3，即 a 2－2a · b ＋b 2＝3，解得 b 2
＝4.故(2a ＋b )2＝4a 2＋4a · b ＋b 2＝12，故|2a ＋b |＝2 3.
4．质点受到平面上的三个力 F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F 1，F 2 成 60°角，且 F 1，
F 2 的大小分别为 2 和 4，则 F 3 的大小为（
） A ．2 7 B ．2 5 C ．2 D ．6
【答案】A
【解析】由已知条件 F 1＋F 2＋F 3＝0，则 F 3＝－F 1－F 2，F 3＝F 1＋F 2＋2|F 1||F 2|cos
60°＝28，因此，F 3|＝2 7.