2020-2021学年辽宁省葫芦岛市高三(上)期末数学试卷及参考答案详解
2020-2021学年辽宁省葫芦岛市高三（上）期末数学试卷
数学试题
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|1≤x＜4}，集合B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．?B．（1，2）C．[1，2）D．[1，4）
2．已知命题p：?x∈[﹣2，0]，x2+3x+2＞0，则￢p是（）
A．?x0∈[﹣2，0]，x02+3x0+2＜0
B．?x0∈[﹣2，0]，x02+3x0+2≤0
C．?x∈[﹣2，0]，x2+3x+2≤0
D．?x0∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），x02+3x0+2≤0
3．已知复数z＝4﹣3i，则|z2﹣4z|的值为（）
A．B．5C．15D．3
4．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（）
A．3B．6C．96D．192
5．已知⊙O：x2+y2＝8在A点处的切线与直线x﹣y﹣4＝0平行，则A点坐标为（）A．（2，﹣2）B．（﹣2，2）
C．（2，﹣2）或（﹣2，2）D．（2，2）
6．在6张奖券中，有一、二等奖各1张，其余4张无奖，将这6张奖券分配给3个人，每人2张，则不同获奖情况有（）
A．24种B．18种C．12种D．9种
7．若定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减且f（2）＝0，则满足xf（x+1）≥0的x取值范围是（）
A．[﹣3，1]B．[﹣3，0]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
8．f（x）＝cos x?ln（）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.）
9．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n?α，则m∥α
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
10．已知﹣1＜a＜0且b＞1，则下列不等式成立的是（）
A．log b（b﹣a）＞0
B．log b（b﹣a）＞log（b﹣a）
C．
D．log（﹣a）（1﹣）＜log（﹣a）（b﹣1）
11．如图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月底涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）
下列说法正确的是（）
A．2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%
B．2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%
C．2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%
D．2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点
12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有6个零点，下述结论正确的是（）
A．f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
B．f（x）在（0，2π）有且仅有3个极小值点
C．ω在
D．f（x）在单调递增
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t+（1﹣t）．若?＝0，则t＝．14．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判，在前3局中乙恰好当1次裁判的概率．
15．正三棱锥P﹣ABC侧棱长为，底面棱长为2，则三棱锥P﹣ABC内切球表面积是．
16．若F为双曲线M：﹣＝1的左焦点，过原点的直线l与双曲线M的左、右两支各交于A，B两点，则﹣的取值范围是．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．D在BC边上，AD＝CD＝2BD＝2．（1）若∠ACB＝，求△ABC的面积；
（2）求bc的取值范围．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．E是CC1的中点．
（1）求证：平面A1EB⊥平面A1ABB1；
（2）若AB＝BB1＝2，求DE与平面A1BE所成角的正弦值．
19．已知等差数列{a n}满足a3＝3，a8+a9＝28．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）等比数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝a2，再从①b3＝a2+a3+a4，②S3＝13，③b n+1＞b n这三个条件中选择两个作为已知条件，求{|a n b n|}的前n项和T n．
20．2020年，世界各地相继爆发新冠肺炎疫情，唯有我国将疫情防护做到令世界瞩目．然而，自2020年7月以来，我国多地先后在进品冷冻食品或包装上检验出新冠病毒呈阳性，此消息一出，很快引起了相关部门的高度重视，为了研究国内冷冻市场是否受到这些事件的影响，做了如下调查，将某商家2020年连续20天的营业额（单位：元）与2019年同期对比，结果如表表格．
2019年2730280028502850287029102920294030303030
3030305031003110314031903250325032603290 2020年2710273027402760282028402840285028502850
2870294029602970298029903010302030303040（1）根据上述数据，对比商家两年的营业额，写出两个统计结论；
（2）若从两年营业额超过3000元的天中随机抽取3天作进一步分析，设抽到2020年的天数为X，列出X的分布列并求数学期望E（X）．
21．已知椭圆Q：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，P（，）为Q上的一点．（1）求椭圆Q的方程；
（2）设过点M（0，3）的动直线l与椭圆Q相交于A，B两点，A，B点关于原点的对称点分别为C，D点，当四边形ABDC的面积S最大时，求l的方程．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求（m+1）[f（x2）+f（x1）]的取值范围；
（3）令g（x）＝me x﹣x+lnm．若g（x）＞f（x）+恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A＝{x|1≤x＜4}，集合B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．?B．（1，2）C．[1，2）D．[1，4）
解：∵A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|0＜x＜2}，
∴A∩B＝[1，2）．
故选：C．
2．已知命题p：?x∈[﹣2，0]，x2+3x+2＞0，则￢p是（）
A．?x0∈[﹣2，0]，x02+3x0+2＜0
B．?x0∈[﹣2，0]，x02+3x0+2≤0
C．?x∈[﹣2，0]，x2+3x+2≤0
D．?x0∈（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），x02+3x0+2≤0
解：因为命题p：?x∈[﹣2，0]，x2+3x+2＞0，
则￢p：?x0∈[﹣2，0]，x02+3x0+2≤0．
故选：B．
3．已知复数z＝4﹣3i，则|z2﹣4z|的值为（）
A．B．5C．15D．3
解：∵复数z＝4﹣3i，
∴z2﹣4z＝（4﹣3i）2﹣4（4﹣3i）
＝16﹣24i+9i2﹣16+12i＝﹣9﹣12i，
则|z2﹣4z|＝＝15．
故选：C．
4．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（）
A．3B．6C．96D．192
解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{a n}，
则数列{a n}是以2为公比的等比数列，
则有S7＝＝（27﹣1）a1＝127a1＝381，
解得a1＝3，则a6＝a1q5＝3×25＝96，
则该塔从塔底数第二层灯的盏数为96．
故选：C．
5．已知⊙O：x2+y2＝8在A点处的切线与直线x﹣y﹣4＝0平行，则A点坐标为（）A．（2，﹣2）B．（﹣2，2）
C．（2，﹣2）或（﹣2，2）D．（2，2）
解：根据题意，可设与直线x﹣y﹣4＝0平行的直线方程为x﹣y+c＝0，则＝2．
故c＝4或﹣4（舍去）．
则所求的直线方程为x﹣y+4＝0．
联立方程组．
解得或，
所以A点坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．
故选：C．
6．在6张奖券中，有一、二等奖各1张，其余4张无奖，将这6张奖券分配给3个人，每人2张，则不同获奖情况有（）
A．24种B．18种C．12种D．9种
解：根据题意，分2种情况讨论：
①，把一、二等奖的奖券都分给同一人，其余人都得到2张无奖的奖券，有C31＝3种获
奖情况，
②，把一、二等奖的奖券各分给不同的人，有A32＝6种获奖情况，
则一共有3+6＝9种获奖情况，
故选：D．
7．若定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减且f（2）＝0，则满足xf（x+1）≥0的x取值范围是（）
A．[﹣3，1]B．[﹣3，0]∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣3]∪[0，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）
解：∵f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（2）＝0，∴f（﹣2）＝0，
∴由xf（x+1）≥0得，或，
∴或，解得x≥1或﹣3≤x≤0，
∴x的取值范围是：[﹣3，0]∪[1，+∞）．
故选：B．
8．f（x）＝cos x?ln（）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
解：由＞0得﹣1＜x＜1，
f（﹣x）＝cos（﹣x）?ln＝﹣cos x?ln＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，
当x＝时，ln＝ln3＞0，此时f（）＞0，排除B，
当x＜1且x→1时，→+∞，则ln→+∞，则f（x）→+∞，排除D，
故选：A．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分.）
9．已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥n，n?α，则m∥α
B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
C．若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
解：对于A：若m∥n，n?α，m?α，则m∥α，故A错误；
对于B：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故B错误；
对于C：若α⊥β，m?α，α∩β＝n，m⊥n，根据面面垂直的性质，则m⊥β，故C正确；
对于D：若m⊥α，m∥n，n?β，根据线面垂直的判定，则α⊥β，故D正确．
故选：CD．
10．已知﹣1＜a＜0且b＞1，则下列不等式成立的是（）
A．log b（b﹣a）＞0
B．log b（b﹣a）＞log（b﹣a）
C．
D．log（﹣a）（1﹣）＜log（﹣a）（b﹣1）
解：∵已知﹣1＜a＜0且b＞1，∴b﹣a＞1，∴log b（b﹣a）＞0，故A正确；
由题意可得b﹣a＞b＞1，∴log b（b﹣a）＞log（b﹣a），故B正确；
由题意可得b＞1＞﹣a＞0，∴0＜＜1＜，
∴log b（﹣a）＜0，log（﹣a）＞0，∴log b（﹣a）＜log（﹣a），故C正确；
由于0＜﹣a＜1，1﹣∈（0，1），b﹣1＞0，
故1﹣与b﹣1的大小关系不确定，故D不正确，
故选：ABC．
11．如图为国家统计局网站发布的《2018年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格月底涨跌幅度的折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统
计周期和上一个统计周期之比）
下列说法正确的是（）
A．2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%
B．2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%
C．2018年2月CPI环比上涨0.6%，同比上涨1.4%
D．2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大1.9个百分点
解：对于A，2018年6月CPI环比下降0.1%，同比上涨1.9%，所以A正确；
对于B，2018年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨2.1%，所以B正确；
对于C，2018年2月CPI环比上涨1.2%，同比上涨2.9%，所以C错误；
对于D，2018年6月CPI同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点，所以D错误．
故选：AB．
12．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有6个零点，下述结论正确的是（）
A．f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点
B．f（x）在（0，2π）有且仅有3个极小值点
C．ω在
D．f（x）在单调递增
解：当0≤x≤2π时，0≤ωx≤2ωπ，≤ωx+≤2ωπ+，
设t＝ωx+，则≤t≤2ωπ+，
∵sin＝，
∴要使f（x）有且仅有6个零点，
则6π≤2ωπ+＜7π，
即≤2ω＜，即≤ω＜，故C正确，
由图象知，y＝sin t在≤t≤2ωπ+上至少有3个极大值点，有且仅有3个极小值点，则对应f（x）在（0，2π）上至少有3个极大值点，有且仅有3个极小值点，故A错误，B 正确，
当0＜x＜时，0＜ωx＜ω，＜ωx+≤ω+，
即＜t≤ω+，
∵≤ω＜，∴≤ω+＜，
∵＞，∴函数在＜t≤ω+上不一定单调递增，故D错误，
故正确的是BC，
故选：BC．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．已知两个单位向量，的夹角为60°，＝t+（1﹣t）．若?＝0，则t＝2．解：∵，，∴＝0，
∴t cos60°+1﹣t＝0，∴1＝0，解得t＝2．
故答案为2．
14．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判，在前3局中乙恰好当1次裁判的概率．
解：∵在前3局中乙恰好当1次裁判，
∴第一局乙丙比赛时乙胜，第二局乙甲比赛时甲胜，第三局甲乙比赛，丙当裁判，
∴在前3局中乙恰好当1次裁判的概率为：
P＝+＝．
故答案为：．
15．正三棱锥P﹣ABC侧棱长为，底面棱长为2，则三棱锥P﹣ABC内切球表面积是．
解：如图所示：设顶点P在底面ABC内的射影为O，连接AO，PO，
在正三角形ABC中，AO＝，
则在直角三角形APO中，OP＝，
三角形ABC的面积为S＝，
取AB的中点M，连接PM，则PM⊥AB，
则在直角三角形PAM中，PM＝，
所以三角形PAB的面积为S′＝，
设正三棱锥P﹣ABC的内切球半径为R，则由等体积法可得：
×OP×S＝3××R×S′+，即，
解得R＝，
所以内切球的表面积为4，
故答案为：．
16．若F为双曲线M：﹣＝1的左焦点，过原点的直线l与双曲线M的左、右两支各交于A，B两点，则﹣的取值范围是[﹣，0）．
解：双曲线M：﹣＝1的a＝3，b＝4，c＝＝＝5，
设|AF|＝m，|FB|＝n，F'为双曲线的右焦点，
连接BF'，AF'，由对称性可得四边形AFBF'为平行四边形，
可得|BF'|＝|AF|＝m，可得n﹣m＝2a＝6，n＝m+6，且m≥c﹣a＝2，
则﹣＝﹣＝﹣，
设f（m）＝﹣，（m≥2）
f′（m）＝﹣+＝＝＝，
所以当2≤m＜3时，f′（m）＜0，f（m）单调递减，
当m＞3时，f′（m）＞0，f（m）单调递增，
所以当m＝3时，f（m）min＝f（3）＝﹣，
当m→+∞时，f（m）→0，
当m＝2时，f（2）＝﹣＝﹣，
所以﹣的取值范围为[﹣，0）．
故答案为：[﹣，0）．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．D在BC边上，AD＝CD＝2BD＝2．（1）若∠ACB＝，求△ABC的面积；
（2）求bc的取值范围．
解：（1）由余弦定理，可得AD2＝CD2+AC2﹣2CD?AC cos∠ACB，
所以4＝4+AC2﹣2AC，解得AC＝2，
所以S
＝×AC×BC sin＝．
△ABC
（2）在△ABD中，c2＝BD2+AD2﹣2BD?AD cosθ＝5﹣4cosθ，
在△ACD中，b2＝CD2+AD2﹣2CD?AD cos（π﹣θ）＝8+8cosθ，
所以2c2+b2＝18≥2＝2bc，
所以0＜bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，
故bc的取值范围是（0，]．
18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．E是CC1的中点．
（1）求证：平面A1EB⊥平面A1ABB1；
（2）若AB＝BB1＝2，求DE与平面A1BE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：分别取AB，A1B中点为M，N连接EM，MN，NC，
则MN AA1，∵CE AA1，CE MN，
∴四边形NMCE为平行四边形，则EN∥CM，
在△ABC是等边三角形中，CM⊥AB，
直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1⊥CM，AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，∴CM⊥平面ABB1A1，EN⊥平面ABB1A1，
EN?平面A1BE，∴平面A1BE⊥平面ABB1A1．
（2）解：因为△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
取B1C1中点为F，连接DF，则DF∥CC1，DF平面ABC，
以D为原点，分别以建立如图所示空间坐标系D﹣xyz．由已知AB＝BB1＝2，
得D（0，0，0），A（，0，0），A1（，0，2），E（0，﹣1，1），B（0，1，0）则＝（，﹣1，2），＝（0，﹣2，1），＝（0，﹣1，1），
设平面A1BE的法向量为＝（x，y，z），
由，取z＝2，则x＝﹣，y＝1，∴n＝（﹣，1，2），
∴cos＜，＞＝＝，
设A1D与平面ADC1所成角为θ，
则故A1D与平面ADC1所成角的正弦值sinθ＝|cos＜，＞|＝．
19．已知等差数列{a n}满足a3＝3，a8+a9＝28．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）等比数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝a2，再从①b3＝a2+a3+a4，②S3＝13，③b n+1＞b n这三个条件中选择两个作为已知条件，求{|a n b n|}的前n项和T n．
解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，
则，
解得，
∴a n＝﹣1+2×（n﹣1）＝2n﹣3，n∈N*，
（2）由（1），可得b1＝a2＝1，
方案一：选择条件①②
设等比数列{b n}的公比为q，
则b3＝a2+a3+a4＝1+3+5＝9，
S3＝b1+b2+b3＝13，
∴，
解得q＝3，
∴b n＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*，
方案二：选择条件①③
设等比数列{b n}的公比为q，
则b3＝a2+a3+a4＝1+3+5＝9，
∴q2＝＝9，
∵b n+1＞b n，∴q＞0，
∴q＝3，
∴b n＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*，
方案三：选择条件②③
设等比数列{b n}的公比为q，
则S3＝b1+b2+b3＝1+q+q2＝13，
即q2+q﹣12＝0，
解得q＝﹣4，或q＝3，
∵b n+1＞b n，∴q＞0，
∴q＝3，
∴b n＝1?3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*，
∴a n b n＝（2n﹣3）?3n﹣1，
∴T n＝|a1b1|+|a2b2|+|a3b3|+…+|a n b n|＝1×1+1×3+3×32+…+（2n﹣3）?3n﹣1，3T n＝1×3+1×32+…+（2n﹣5）?3n﹣1+（2n﹣3）?3n，
两式相减，可得﹣2T n＝1+2×32+…+2?3n﹣1﹣（2n﹣3）?3n
＝1+2×（32+33+……+3n﹣1）﹣（2n﹣3）?3n
＝1+2×﹣（2n﹣3）?3n
＝﹣2（n﹣2）?3n﹣8，
∴T n＝（n﹣2）?3n+4．
20．2020年，世界各地相继爆发新冠肺炎疫情，唯有我国将疫情防护做到令世界瞩目．然而，自2020年7月以来，我国多地先后在进品冷冻食品或包装上检验出新冠病毒呈阳性，此消息一出，很快引起了相关部门的高度重视，为了研究国内冷冻市场是否受到这些事件的影响，做了如下调查，将某商家2020年连续20天的营业额（单位：元）与2019年同期对比，结果如表表格．
2019年2730280028502850287029102920294030303030
3030305031003110314031903250325032603290 2020年2710273027402760282028402840285028502850
2870294029602970298029903010302030303040（1）根据上述数据，对比商家两年的营业额，写出两个统计结论；
（2）若从两年营业额超过3000元的天中随机抽取3天作进一步分析，设抽到2020年的天数为X，列出X的分布列并求数学期望E（X）．
解：（1）由表格可以得到如下结论：
①2019年该店营业额的平均数3030元大于今年该店营业额的平均数2890元．
②2020年该店营业额较去年该店营业额更集中．（或去年该店营业额较今年该店营业额更
分散）
③2019年该店营业额的中位数3030元，2020年该店营业额的中位数2860元．
④2019年该店营业额的众数3030元，2020年该店营业额的众数2850元．
（2）由图表可知，两年营业额超过3000元的共有16天，其中2019年有12天，2020年有4天．
由题意得X可能的取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
于是，X的概率分布列如下：
X0123
P
故X的均值E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．
21．已知椭圆Q：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，P（，）为Q上的一点．（1）求椭圆Q的方程；
（2）设过点M（0，3）的动直线l与椭圆Q相交于A，B两点，A，B点关于原点的对称点分别为C，D点，当四边形ABDC的面积S最大时，求l的方程．
解：（1）根据题意得：，
解得a＝3，b＝2，c＝．
所以椭圆Q的方程为：．
（2）由题意，设直线l的方程为y＝kx+3，代入Q得（9k2+4）x2+54kx+45＝0，
当△＝（54k）2﹣4（9k2+4）×45＞0，即k2＞时，直线l与椭圆Q相交，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，
所以S＝4S△AOB＝4××|OM||x1﹣x2|＝6，
＝6＝，
设t＝＞0，S＝＝≤12 当且仅当t＝，即t＝3时等号成立．
此时k＝±，四边形ABDC的面积最大，
直线l的方程为：y＝±x+3．
22．已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求（m+1）[f（x2）+f（x1）]的取值范围；
（3）令g（x）＝me x﹣x+lnm．若g（x）＞f（x）+恒成立，求m的取值范围．
解：（1）由f（x）＝lnx﹣x﹣，得f'（x）＝﹣（x＞0），△＝1+4m，
①若m≤﹣，则△≤0，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②若m＞﹣，则△＞0，令f'（x）＝0，设两根为x1＝，x2＝，
（i）若＜1，即﹣＜m＜0，则x1＞0，x2＞0，
x∈（0，），f'（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈（，），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（，+∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减；
（ii）若≥1，即m≥0，则x1≤0，x2＞0，
x∈（0，），f'（x）＞0，f（x）单调递增；
x∈（，+∞），f'（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当m≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当﹣＜m＜0时，f（x）在（0，）和（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增；
当m≥0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）由（1）知x1，x2，且x1＜x2是﹣x2+x+m＝0的两个不等的正实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣m，且﹣＜m＜0，
设t＝（m+1）[f（x2）+f（x1）]＝（m+1）[（lnx2﹣x2﹣）+（lnx1﹣x1﹣）]＝（m+1）ln（﹣m），
t'＝ln（﹣m）+，t''＝＜0，t'单调递减，
∴当m＝﹣时，t'＝ln﹣3＜0，t单调递减，∴t＜ln，
∴t的范围是（﹣∞，ln）．
（3）恒成立，即me x+lnm﹣lnx＞0恒成立，
令F（x）＝me x+lnm﹣lnx，则，易知F′（x）为增函数，
∴存在x＝x0使得F'（x0）＝0，∴，
即，∴lnm+x0＝﹣lnx0，
∴原式＝，即，
∵，当且仅当x0＝1时取等号，
∴﹣2lnm＜2，lnm＞﹣1，∴．
∴m的取值范围为．