广东省佛山市三水区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题
广东省佛山市三水区2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是一个空心圆柱体，其主视图是（）
A．B．C．D．
2．方程x2﹣5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）
A．1，5，6 B．1，﹣5，6 C．1，﹣5，﹣6 D．﹣1，5，6 3．下列各组图形中，一定相似的是（）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个正方形D．两个等腰三角形
4．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（）
A．矩形B．平行四边形C．菱形D．正方形
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝
5
13
，BC＝10，则AB等于（）
A．26 B．32 C．24 D．12
6．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，变形后的结果正确的是（）
A．（x＋10）2＝9 B．（x＋10）2＝16 C．（x＋5）2＝9 D．（x＋5）2＝16
7．已知反比例函数y＝4
x
，下列结论正确的是（）
A．图象在第二、四象限
B．当x＞0时，函数值y随x的增大而减小
C．图象经过点（﹣2，2）
D．图象与x轴的交点为（4，0）
8．在1，2，3三个数中任取两个组成一个两位数，则组成的两位数大于15的概率为（）
A．2
3
B．
1
3
C．
1
2
D．
3
4
9．如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC边上的点，连接DE，且DE∥BC，
点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是（）
A．BD AG
AB AF
=B．
AG DG
GF BF
=C．
DG GE
BF FC
=D．
GE AF
FC AG
=
10．如图①，在矩形ABCD中，AB＞AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．若两个相似三角形的面积比为9：25，则这两个相似三角形的周长比是_____．12．在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近，则袋子中红球约有_____个．
13．已知一元二次方程x2﹣4x＋c＝0无实数根，则c的取值范围是_____．
14．一个菱形的面积为20cm2，它的两条对角线长分别为ycm，xcm，则y与x之间的函数关系式为y＝_____．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，E、F分别为DB、BC的中点，若AB＝8，则EF＝_____．
16．△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且（tanA2＋|2cosB﹣1|＝0，则△ABC 的形状是_____．
17．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为BC，CD边的中点，连接AE，
BF交于点P，连接PD，则下述结论：①AE⊥BF；②tan∠DAP＝1
2
；③DA＝DP；④FD
＝FP中，一定成立的有_____．
三、解答题
18．计算：sin30°＋cos45°﹣tan30°?sin60°．
19．如图，在菱形ABCD中，过点D分别作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC于点F．求证：AE＝CF．
20．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA′B′；
（2）求△OA′B′的面积．
21．为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各自投放了一袋垃圾．
（1）小明投放的垃圾恰好是C类的概率是；
（2）求小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
22．三水大桥是一座横跨北江的特大桥梁，是一座独塔单索面斜拉桥．某无人机兴趣小
组为测量主塔顶端A距离水面的高度，在无人机上搭载了测角仪，飞行到C点悬空，测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为22°，已知观测C到主塔的水平距离（CD
的长）约为90米，求斜拉索顶端A点到水面B点的距离（AB的长）．，tan22°≈0.40，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，结果精确到0.1）
23．一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？
24．如图，在第一象限内有一点A（4，1），过点A作AB⊥x轴于B点，作AC⊥y轴
于C点，点N为线段AB上的一动点，过点N的反比例函数y＝n
x
交线段AC于M点，
连接OM，ON，MN．
（1）若点N为AB的中点，则n的值为；（2）求线段AN的长（用含n的代数式表示）；
（3）求△AMN的面积等于1
4
时n的值．
25．如图①，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作?AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动时间为t （单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，AQ＝AP；
（2）如图②，当t为何值时，?AQPD为矩形；
（3）当t为何值时，△PEQ是以PE为直角边的直角三角形．
参考答案
1．D
【分析】
找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
2．C
【分析】
方程整理为一般形式，找出所求即可．
【详解】
解：方程整理得：x2-5x-6=0，
则二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为-6．
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的一般形式，关于x的一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c为常数且a≠0）．
3．C
【分析】
根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．
【详解】
解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；
B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；
D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了相似图形的定义，比较简单，要从边与角两方面考虑．
4．A
【分析】
画出图形，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，
∵E ，F ，G ，H 是菱形各边的中点，
∴EF ∥BD ，FG ∥AC ，
∴EF ⊥FG ，
同理：FG ⊥HG ，GH ⊥EH ，HE ⊥EF ，
∴四边形EFGH 是矩形．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
5．A
【分析】
在Rt ABC ?中，90C ∠=?，由5sin 13
A =
和10BC =，可求出AB ． 【详解】
解：在Rt ABC ?中，90C ∠=?，
5sin 13BC A AB
==，10BC =， 131026sin 5BC AB A ∴==?=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的意义是正确判断的前提．
6．D
【分析】
先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上25，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【详解】
解：∵x 2+10x+9=0，
∴x 2+10x=-9，
∴x 2+10x+25=16，
∴（x+5）2=16．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
7．B
【分析】
直接利用反比例函数的性质进而分析得出答案．
【详解】
解：A 、反比例函数4y x
=，图象在第一、三象限，故此选项错误，不符合题意； B 、反比例函数4y x
=，当0x >时y 随着x 的增大而减小，故此选项正确，符合题意； C 、反比例函数4y x
=，图象经过点(2,2)--，故此选项错误，不符合题意； D 、反比例函数4y x
=
与x 轴没有交点，故此选项错误，不符合题意；
【点睛】
此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
8．A
【分析】
画出树状图得出所有情况，组成的两位数大于15的有4种情况，再由概率公式求解即可．【详解】
解：画树状图如图：
共有6种等可能的情况，其中组成的两位数大于15的有4种情况，
∴组成的两位数大于15的的概率为42 63 =，
故选：A．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法与概率公式，正确画出树状图是解题的关键．9．C
【分析】
根据平行线分线段成比例定理即可判断；
【详解】
解：//
DE BC，
∴BD FG
AB AF
=，
DG AG GE
BF AF FC
==
∴DG GE BF FC
=，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
10．D
当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB与BC的积为24；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为10，得到AB 与BC的和为10，构造关于AB的一元二方程可求解．
【详解】
解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为6．
∴1
2
AB·
1
2
BC=6，即AB?BC=24．
当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为10，
∴AB+BC=10．
则BC=10-AB，代入AB?BC=24，得AB2-10AB+24=0，解得AB=4或6，
因为AB＞BC，所以AB=6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
11．3：5
【分析】
利用相似三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵两个相似三角形的面积比为9：25，
∴两个相似三角形的相似比为3：5，
∴这两个相似三角形的周长比为3：5．
故答案为：3：5．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．
【分析】
根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】
解：设袋中红球有x 个， 根据题意，得：0.83
x x =+， 解得：12x =，
经检验：12x =是分式方程的解，
所以袋中红球有12个，
故答案为：12．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
13．c ＞4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解不等式即可．
【详解】
解：∵一元二次方程x 2-4x+c=0无实数根，
∴（-4）2-4c ＜0，
解得，c ＞4，
故答案为：c ＞4．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握当△＜0时，方程没有实数根是解题的关键．
14．40x
【分析】 根据菱形面积12=
?对角线的积可列出关系式． 【详解】
解：由题意得：1202
xy =，可得40y x =， 故答案为
40x
． 【点睛】 本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．
15．2
【分析】
根据直角三角形的性质求出CD ，再根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD 是斜边AB 上的中线，8AB =，
118422
CD AB ∴==?=， E 、F 分别为DB 、BC 的中点，
EF ∴是BCD ?的中位线，
114222
EF CD ∴==?=， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．等边三角形
【分析】
直接利用非负数的性质结合特殊角的三角函数值得出各角度数，即可得出答案．
【详解】
解：2(tan |2cos 1|0A B +-=，
tan 0A ∴=，2cos 10B -=，
则tan A =1cos 2
B =， 故60A ∠=?，60B ∠=?，
则60C ∠=°，即ABC 的形状是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值以及非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 17．①③
【分析】
连接AF ，根据正方形的性质和已知条件证明Rt ABE Rt BCF ???，进而可以判断①；结合①证明A 、P 、F 、D 四点共圆，根据圆周角定理可以判断③，根据锐角三角函数可以判断②，根据DA DP =，只有当DA AP =时，FD FP =，进而可以判断④．
【详解】
解：连接AF ， E ，F 分别是正方形ABCD 边BC ，CD 的中点，
CF BE ∴=，2AD DF
=， 在ABE ?和BCF ?中，
AB BC ABE C BE CF =??∠=∠??=?
，
Rt ABE Rt BCF(SAS)∴???，
BAE CBF ∴∠=∠，
又90BAE BEA ∠+∠=?，
90CBF BEA ∴∠+∠=?，
90BPE APF ∴∠=∠=?，
AE BF ∴⊥，故①正确；
90APF ∠=?，
180ADF APF ∴∠+∠=?，
A ∴、P 、F 、D 四点共圆，
AFD DPA ∴∠=∠，DAF DPF ∠=∠，
90DAB APF ∠=∠=?，BAE DAF ∠=∠，
DAP DPA ∴∠=∠，
DA DP ∴=，故③正确；
DAP DPA AFD ∠=∠=∠，
tan tan 2AD DAP AFD DF
∴∠=∠==，故②错误； DA DP =，只有当DA AP =时，FD FP =，故④不一定正确．
故①③．
故答案为：①③．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
18．2
【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】
解：30453060sin cos tan sin ?+?-???
=12232
+-?
=
11222+-
=2
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 19．见解析
【分析】
先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ???，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，
AD CD ∴=，A C ∠=∠，
DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，
90AED CFD ∴∠=∠=?，
在ADE ?和CDF ?中，
AED CFD A C
AD CD ∠=∠??∠=∠??=?
， ()ADE CDF AAS ∴???，
AE CF ∴=．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）10
【分析】
（1）根据原点O 为位似中心，将OAB ?放大到原来的2倍后得到△OA B ''，即可在第一象限内画出△OA B ''；
（2）根据网格利用割补法即可求△OA B ''的面积．
【详解】
解：（1）如图，△OA B ''即为所求；
（2）△OA B ''的面积为：1114624242610222
?-??-??-??=． 【点睛】
本题考查了作图-位似变换，解决本题的关键是掌握位似图形的性质．
21．（1）
14；（2）14
【分析】 （1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是C 类的概率；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】
解：（1）∵垃圾要按A ，B ，C ，D 四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是C 类的概率为：
14， 故答案为：14
； （2）画树状图如图所示：
由图可知，共有16种可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为
41164
=． 【点睛】
此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键． 22．87.9米
【分析】
在Rt ACD ?和Rt BCD ?中，根据锐角三角函数定义求出AD 、BD ，即可求出AB ．
【详解】
解：由题意得，在ABC ?中，90CD =米，30ACD ∠=?，22BCD ∠=?，CD AB ⊥，
在Rt ACD ?中，tan 90AD CD ACD =?∠==)， 在Rt BCD ?中，tan 900.4036BD CD BCD =?∠≈?=（米)，
3687.9AB AD DB ∴=+=≈（米)，
答：斜拉索顶端A 点到水面B 点的距离AB 约为87.9米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的意义等知识；掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
23．（1）288元；（2）4元
【分析】
（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可
多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量为20+4=24（件）；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】
解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，
则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量12+4=16（件），
利润为：18×
16=288， ∴平均每天盈利288元；
（2）设每件商品降价x 元时，该商品每天的销售利润为320元，
由题意得：（20-x ）（12+2x ）=320，
整理得：x 2-14x+40=0，
∴（x-4）（x-10）=0，
∴x 1=4，x 2=10，
∵每件盈利不少于15元，
∴x 2=10应舍去．
答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．
24．（1）2；（2）14
n -
；（3）4【分析】
（1）根据点A 的坐标和点N 为AB 的中点得到点N 的坐标，可得n 值；
（2）将点N 的横坐标代入反比例函数表达式，得到纵坐标，即BN 的长，再根据AB 得到AN ；
（3）分别表示出AN 和AM 的长，表示出△AMN 的面积，令其为
14，解方程即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵A （4，1），AB ⊥x 轴于点B ，交n y x
=
于点N ， ∴x A =x B =x N =4，AB=1，
又∵点N 为AB 中点， ∴BN=
12AB=12，即y N =12
， ∴n=x N ×y N =4×12=2， 故n=2；
（2）由（1）可知：x A =x B =x N =4，
∵点N 在n y x
=上， ∴y N =4
N n n x =， ∴AN=AB-BN=14
n -
， 故线段AN 的长为14n -； （3）由（2）可知：AN=14
n -， ∵点A （4，1），AC ⊥y 轴，交n y x =
于点M ， ∴y A =y M =1，AC=x N =4，
则x M =M
n y =n ，即CM=x M =n ， ∴AM=AC-CM=4-n ，
∵AC ⊥y 轴，AB ⊥x 轴，
∴四边形OBAC 为矩形，
∴∠A=90°，
∴S △AMN =12
AN AM ??
=()11424n n ??-?- ???
=2128n n -+，
又△AMN 的面积等于
14， ∴21
1284
n n -+=，
解得：4n =，
又AN=14n -
＞0， ∴n ＜4，
∴4n =-
故n 的值为4
【点睛】
本题考查了反比例函数综合，矩形的判定和性质，一元二次方程，解题的关键是利用反比例函数图像上的点坐标表示出相应线段的长度．
25．（1）
52s ；（2）209s ；（3）2513s 或259s 【分析】
（1）先由勾股定理求出10AB =，再由题意得102AP AB BP t =-=-，2AQ t =，则1022t t -=，解得5()2t s =即可；
（2）证AQP ACB ??∽，得AQ AP AC AB
=，解得20()9t s =即可； （3）分两种情况：①⊥DQ AP 时，四边形AQPD 为菱形，则5AE t =-，再证EAQ CAB ??∽，得AE AQ AC AB =，解得25()13
t s =； ②当EP PQ ⊥时，证PAQ CAB ??∽，得
AP AQ AC AB =，解得259
t =即可． 【详解】
解：（1）在Rt ABC ?中，由勾股定理得：10AB ==， 点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运