《时间数列》word版

第八章时间数列分析

学习目标

知识目标：

了解时间数列的概念、种类和编制原则；掌握时间数列水平指标、速度指标的计算方法和长期趋势、季节变动分析技术。

能力目标：

能够运用时间数列水平指标、速度指标描述客观现象的发展状态，通过时间数列分析，揭示客观事物发展的长期趋势和季节规律。

第一节时间数列分析概述

关键词：时间数列；时期数列；时点数列；相对数时间数列；平均数时间数列

一、时间数列的概念和作用

时间数列是将某一统计指标在不同时间上的数值按照时间先后顺序排列所形成的数列。如将我国2001至2006年的国内生产总值、人口等指标按照时间顺序排列，就形成了表8.1所示的时间数列。

①

间上相应的统计指标。

时间数列对于现象发展动态分析具有十分重要的意义，其主要作用可概括为以下几个方面：

第一，时间数列可以反映现象发展变化过程和历史情况；

第二，利用时间数列计算动态分析指标，可以反映现象发展变化的方向、速度、趋势和规律。

第三，利用时间数列对现象发展变化趋势与规律的分析，可以进行动态预测。

第四，将多个时间数列纳入同一模型中研究，可以揭示现象之间相互联系的程度及动态演变关系。

二、时间数列的种类

按时间数列指标表现形式的不同，可以把时间数列分为绝对数时间数列、相对数时间数列和平均数时间数列三种，其中，绝对数时间数列是最

①参见中国统计网，中文实名：统计中国统计国家统计局·统计公报。

基本的数列，相对数时间数列和平均数时间数列是派生数列。

(一)绝对数时间数列

当时间数列中的各项指标都是统计绝对数时，称为绝对数时间数列。它可以反映现象总量的发展变化过程和趋势。由于统计绝对数有时期数和时点数之分，所以，绝对数时间数列又分为时期数列和时点数列两种。

1 时期数列

当时间数列中的每项指标都是时期数时，称为时期数列。时期数列中每一个指标数值都是反映现象在一段时期内发展过程的总量或绝对水平。如表8.1中的国内生产总值就是时期数列。

时期数列具有三个显著特点：(1)指标数值通过连续登记的方式取得。

(2)指标数值大小与其所属时期长短有直接相关。一般来说，指标所属时期越长，指标值越大；反之，指标值越小。(3)数列中的指标可以直接相加。由于数列中的每项指标都是反映现象在一定时间内的累计总量，因而相加后可以表明现象在更长发展过程中的累计总量。例如，对以日产值编制的时间数列，可以进行每月一累计，编制成以月为时间单位的时间数列。

2 时点数列

当时间数列中的每项指标都是时点数时，称为时点数列。该数列中每项指标数值都是反映现象在某一时点（瞬间）的规模或水平。如表8.1中的我国年末人口时间数列就是时点数列。

与时期数列比较而言，时点数列也有三个特点：(1)时点数列中的指标数值是通过间断性调查登记取得的。(2)时点数列中各指标数值的大小，与间隔长短没有直接关系。这里“间隔”是指相邻两个时点之间的时间长度。数据的大小受事物本身增减变化的影响，而不受时点间隔长短的影响。(3)时点数列中各项指标数据不能直接相加。由于时点数列的各项数据都是事物在某一时点上所达到的水平，几个指标相加后会有大量的重复计算，无法表明现象的实际规模和水平。所以，相加后的数据没有任何实际意义。

(二)相对数时间数列

相对数时间数列是将反映某种现象数量对比关系的一系列相对数，按照时间的先后顺序排列所形成的时间数列。相对数时间数列可以反映现象之间相互联系关系变化过程和规律。表8.1中国内生产总值发展速度数列就是相对数时间数列。相对数时间数列是由两个绝对数时间数列对比计算而产生的。如国内生产总值发展速度时间数列就是由报告期和基期的国内生产总值两个时期数值对比而派生的。

(三)平均数时间数列

平均数时间数列是将反映某种现象一般水平的一系列统计平均数按时间先后顺序排列而形成的时间数列，用以反映事物一般水平的变化过

程和发展趋势。如表8.2中的某地农民人均生活费支出数列就是一个平均

表8.2 某地农民人均生活消费支出

年时间增长两倍（1741÷584.6=2.9781≈3）。

三、时间数列的编制原则

编制时间数列的目的，是要对客观现象进行动态对比分析，以认识现象的发展变化过程和规律性。这就要求时间数列中各项指标要具有可比性，而要做到可比，编制时间数列必须遵循一定的原则，这些原则可以概括为以下四个方面。

(一)时间长度应当一致

时间长度一致对于时期数列而言，就是要求数列中各项指标所属的时期长短应当一致。对于时点数列而言，就是要求数列各指标间的间隔时间长短应尽可能一致。一般情况下，都应遵循一致性原则，但在特殊情况下也可编制时期或间隔不等的时间数列。

(二)总体范围应当一致

时间数列中各项指标所属的总体范围必须一致。这里所谓总体范围主要指地区的行政区划范围或部门的隶属关系范围。如果总体范围前后发生了的变化，那么，数列中的数据就不能前后直接比较，必须经过调整统一后才能进行比较分析。

(三)指标内容应当一致

时间数列中的每项指标都反映着某一特定的现象内容，在一个时间数列中，每项指标的涵义和内容必须严格一致，否则，它就无法反映特定现象的发展趋势和规律。如果用一个前后指标性质不一致的时间数列进行动态对比分析，就会形成错误的结论。

(四)计算方法应当一致

由于同一种统计指标的计算方法、计算价格和计量单位有多种，为了使数列中各项指标具有可比性，在同一个时间数列中的所有指标应采用同一的计算方法、计算价格、计量单位。例如，年平均人数的计算可以用年初和年末人数进行简单平均求得，也可用年初和各个月末人数进行序时平均求得。如果编制年平均人数时间数列，各年平均人数的计算，只能根据研究目的要求选用其中的一种方法。

第二节时间数列水平指标分析

关键词：发展水平；增长量；平均发展水平

时间数列描述了现象的发展过程和结果，但它还不能直接反映现象各期的增减数量、变动速度和规律性，为深刻揭示现象的这些特征，需计算一系列的动态分析指标，如发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量、发展速度、平均发展速度、增长速度、平均增长速度等。其中前四种称为动态分析的水平指标，后四种称为动态分析的速度指标。

一、发展水平和增长量

(一)发展水平

发展水平是时间数列中各具体时间条件下的数值，反映事物的发展变化在一定时期内或时点上所达到的水平。发展水平是计算其它所有动态分析指标的基础，用符号a 表示。

发展水平可以表现为统计绝对数，称为绝对水平；也可以表现为统计相对数，称为相对水平；还可以表现为统计平均数，称为平均水平。 根据发展水平在时间数列中的位置不同，发展水平有最初水平、中间水平和最末水平三种。在同一个时间数列中，最早出现的发展水平称为最初水平，用符号0a 表示；最晚出现的发展水平称为最末水平，用符号n a 表示；其余所有中间时间的发展水平称为中间水平，用符号1a ,2a ,…,1-n a 表示。

在对时间数列中的发展水平进行比较分析时，通常将要分析研究的那个时期的发展水平称为报告期水平，将作为比较基础时期的发展水平称为基期水平。

(二)增长量

时间数列中不同时间的发展水平之差称为增长量。若报告期水平与基期水平之差为正数，则表明现象发展呈增长(正增长)状态，若报告期水平与基期水平之差为负数，则表明现象发展呈下降(负增长)状态。

由于基期的选择不同，增长量有逐期增长量和累计增长量两种。逐期增长量是报告期水平与前一期水平之差，表明现象逐期增长的数量大小。累计增长量是报告期水平与历史上某一固定基期的水平之差，表明现象经过较长一段时间发展的总增长数量。

时间数列中，各逐期增长量之和等于相应的累计增长量。

二、平均发展水平

将时间数列中各个发展水平加以平均而得到的平均数称为平均发展水平，用以反映现象在一段时间内发展变化所达到的一般水平。平均发展水平又称序时平均数或动态平均数。

平均发展水平可以根据任何一种时间数列计算，但从计算方法上讲，根据绝对数时间数列计算平均发展水平是最基本的方法。

(一)根据绝对数时间数列计算平均发展水平

绝对数时间数列有时期数列和时点数列之分，其平均发展水平的计算方法是不同的。

1 时期数列平均发展水平的计算

根据时期数列计算平均发展水平，一般直接采用简单算术平均法计算，即将观察期内的各时期数据相加，再除以相应的时期数。用公式表示为：

n

a n a a a a n ∑=+++=...21 上式中：a 表示平均发展水平，n a a a ,,,21 表示各时期的发展水平，n

表示时期项数(发展水平的个数)。

例8.1 根据表8.1的资料，计算我国2001年至2006年平均每年国内生

产总值。

解： 6

209407182321159878135823120333109655+++++=∑=n a a 152902.836

917417==（亿元） 即我国2001年至2006年平均每年国内生产总值为152902.83亿元。

2 时点数列平均发展水平的计算

时点数列有连续时点数列和间断时点数列两种，而每一种又各有两种表现形式，计算时要区别对待。

(1)由连续时点数列计算平均发展水平

连续时点数列是将逐日登记的资料按照时间先后顺序排列而形成的时间数列。总的来说，根据连续时点数列计算平均发展水平就是将各个时点的数据相加再除以时点数，采用算术平均法计算。如果数据未分组则采用简单算术平均法（见例8.2），如果数据已分组采用加权算术平均法（见例

8.3）。

例8.2 某企业四月上旬每天的职工人数如表8.3的所示，要求计算该企业四月上旬每天的平均职工人数。

10

272272266258258262262250250250+++++++++==∑n a a =260（人）

例8.3 某企业7月份的产品库存量如表8.4所示，要求计算该企业7月份平均库存量。

)(5031

155064867653456846653746吨==++++?+?+?+?+?=∑∑=f af a (2)由间断时点数列计算平均发展水平

间断时点数列指的是间隔一段时间对现象在某一时点上所表现的状况进行一次性登记，并将登记数据按照时间先后顺序排列所形成的时间数列。

在实际统计工作中，要统计每一个时点上数字显然是一项相当繁杂的工作，为方便起见，通常只能每隔一定的时间统计一次，时点一般定在期初或期末（如月初、月末、年初、年末等），这样每次统计间隔相等；或者是仅当现象的数量发生变动时进行统计，这样每次统计间隔就不相等。下面，我们分别介绍间隔相等与间隔不等的时间数列平均发展水平的计算。

①等间隔时点数列的平均发展水平

计算等间隔时点数列的平均发展水平分两个步骤，首先计算各个间隔期内的平均水平，然后再将各间隔期平均水平进行平均，求得全数列平均发展水平。其计算公式为：

1

2 (221)

3221-++++++=-n a a a a a a a n n 1

2 (2)

1321-+++++=-n a a a a a n

n 上述公式表明，等间隔时点数列的平均发展水平是“数列指标之和，首尾两项各半，项数减1去除”，故又称为“首末折半法”。

例8.4 我国1996—2003年期间的年末人口数如表8.5所示，试求我国1996-2003年间的平均人口数。

1

2 (2)

1321-+++++=-n a a a a a a n

n 1

821292271284531276271267431257861247611236262122389-+++++++= =126114.86（万人）

即我国1996年至2003年平均每年人口数为126114.86万人。

②不等间隔时点数列的平均发展水平

计算不等间隔时点数列的平均发展水平时，要先求出各间隔期内的平均水平，然后用各间隔期的时间长度作权数，对各间隔期的平均水平进行加权平均求得全数列的平均发展水平。公式为：

n n n n f f f f a a f a a f a a a +++++++++=-...)2(...)2()2(211221110

∑∑==-+=n i i

n i i i i f f a a 1

1

1)2( 上述公式通常称为“加权序时平均法”。

例8.5 某商场2006年某商品库存资料如表8.6所示，要求计算该商场的年均库存量。

解：∑∑==-+=n i i

n i i i i f

f a a a 111)2

( 3

3423)210001600(3)21600900(4)2900600(2)26001500(+++?++?++?++?+= =1062.5（件）

即该商场2006年该商品年均库存量1062.5件。

(二)根据相对数时间数列计算平均发展水平

根据相对数时间数列计算序时平均数时，不能用相对数时间数列的各个指标数值直接相加除以项数来求得，而应先分别计算出构成相对数时间数列分子和分母的两个绝对数列的序时平均数，然后将这两个序时平均数相除求得序时平均数。

若设相对数时间数列的各项指标为i i i c b a /=，则相对数时间数列平均发展水平的计算公式为：

c b a /=

计算时，应先分析对比的分子和分母是时期数列还是时点数，以及是哪一种时点数，然后再按照前面所述的相应公式计算。具体有三种情形：

（1）分子和分母均为时期数时，其计算公式为：

∑∑∑∑=÷==c

b n

c n b c b a 例8.6 某企业某产品产量计划及完成情况如表8.7所示，要求计算第一季度该产品产量计划平均完成程度。

%9.105059.1700500400714560420或=++++==∑

∑c b a 即该企业第一季度产量计划平均完成程度为105.9%

（2）分子和分母均为时点数列，其计算公式则有：

2

...22 (2)

1

2...212...221212121n

n n n b b b a a a n b b b n a a a c b a ++++++=-+++-+++== 例8.7 某地区2001年至2005年从业人数如表8.8所示，求该地区2001年至2005年间第三产业从业人员占全部从业人员数的平均比重。

%53.2526995769600 (68850679472671992186791837517901168512154562)

...22...22121=+++++++=++++++=n n b b b a a a a 。 即该地区2001年至2005年间第三产业从业人员平均比重为25.53%。

（3）分子和分母为不同性质的数列，即一个为时期数列，另一个为时点数列时，应根据数列性质选用适当的方法，先分别计算出分子数列和分母数列的序时平均数，然后再将两个序时平均数对比以求得相对数时间数列的序时平均数。

(三)根据平均数时间数列计算平均发展水平

由于平均数时间数列有静态数列和动态数列两种。静态平均数时间数列是由总体标志总量时间数列和总体单位总数时间数列的对应项相对比而形成的时间数列。其计算平均发展水平的方法与相对数时间数列平均发展水平的计算方法一样，先分别对分子数列和分母数列计算平均数，再将两个动态平均数对比计算平均数时间数列的平均发展水平。

动态平均数时间数列是由各时期的平均发展水平按时间顺序排列而形成的时间数列。若间隔期相等，采用简单算术平均数方法计算动态平均数时间数列的平均发展水平；若间隔期不等，则要以间隔期长度为权数，采用加权算术平均数方法计算动态平均数时间数列的平均发展水平。

例8.8 某企业某年上半年商品流转资料如表8.9所示，试求该企业上半年各月平均流转次数。 )(27.26/)140110125120100100(6/)294264250240300230(次=++++++++++==b

a c 。

第三节 时间数列速度指标分析

关键词：平均增长量；环比发展速度；定基发展速度；增长速度；平均增长速度

一、平均增长量

平均增长量用来说明现象在一段时期内平均每期增加或减少的绝对数量。其计算公式为：

1

-==发展水平项数累计增长量逐期增长量项数逐期增长量之和平均增长量 二、发展速度

发展速度是现象在两个不同时期发展水平的比值，用以表明现象发展变化的相对程度。其基本计算公式为：

%100?=基期水平

报告期水平发展速度。 显然，发展速度就是动态相对数，它通常用百分数表示。发展速度的取值可以大于100%、等于100%或小于100%，但不会是负值。

由于基期的确定方法不同，发展速度有两种，即环比发展速度和定基发展速度。

环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，用以反映现象逐期发展的程度。用公式表示为：

,1

-=i i a a 环比发展速度 n i ,,3,2,1 =。 式中，i a 为报告期水平，1-i a 为报告期前一期水平。

定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平(通常是最初水平)之比，用以反映现象在较长一段时期内总的发展程度，又称“总速度”，用符号R 表示。其计算公式为：

,0

a a R i =定基发展速度 n i ,,3,2,1 =。 式中，i a 为报告期水平，0a 为最初水平，这里以最初水平为固定基期水平。

例8.9 根据表8.1资料，计算我国2001至2006年国内生产总值的环比发展速度和定基发展速度。

解：2002年的环比发展速度＝120333/109655=1.0974或109.74％ 2005年的环比发展速度＝182321/159878=1.1404或114.04％ 2006年的定基发展速度＝209407/109655=1.9097或190.97％。 其余各年的环比发展速度和定基发展速度计算方法相同，不再赘述，各项指标计算结果见表8.1所示。

定基发展速度与环比发展速度之间存在如下关系：

1.环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度（总速度）

2．相邻两期定基发展速度之商（后一定基速度除以前一定基速度），等于后一期的环比发展速度。

另外，在实际工作中，为了消除季节变动的影响，还常计算年距发展速度，用以说明本期发展水平与上年同期发展水平相比所达到的相对程度。计算公式如下：

去年同期发展水平

本年本期发展水平年距发展速度=。 三、增长速度

增长速度是增长量与基期水平的比值，用以反映现象报告期水平比基期