九年级数学一元二次方程带答案

九年级数学一元二次方

程带答案

Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

第二章

一元二次方程

第1讲 一元二次方程概念及解法

【知识要点】 一. 知识结构网络

二、一元二次方程的四种解法

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02≥=b b x 或()b a x =+2

的形式的方程求解。当0≥b 时，可两边开平方求

得方程的解；当0

2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2）计算ac b 42-的值并判别其符号；（3）若

042

≥-ac b ，则利用公式a

ac

b b x 242-±-=求方程的解，若042<-a

c b ，则方

程无实数解。 【典型例题】

（1）67302x x --=（用因式分解法） 解：0)32)(13(=-+x x （2）1432+=x x （用公式法） 解：01432=--x x

（3）030222=--x x （用配方法）

解：152

2

2=-

x x 【经典练习】 一、直接开方法

（1）()()x x +=-11222 （2）b a x =+2)( 二、配方法注：

（1）223002x x --= （2）3412x x =+ 二、公式法

1. 用求根公式法解下列方程

()12202x x +-=；

解：

()228102y y +-=；

解：

()3231

8

02x x -+

=；

解：

()43212y y -=； 解：

()525102x x +-=；

解：

()625302x x ++=；

解：

()734502x x -+=；

解：(7)方程无实数根；

()82432202x x +-=；

解：

()...90020030352x x -=；

解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，

解：。

三、因式分解

1. 用因式分解法解下列各方程：

（1）x 2－5x －24＝0；

解：

；

（2）12x 2＋x －6＝0； 解：

；

（3）x 2－4x －165＝0

解：

；

（4）2x 2－23x ＋56＝0；

解：8，2

7

，0)8)(72(21==

=--x x x x ； （5）924164122

x x x ++=+； 解：

（6）33332

()()x x -=-；

解：

（7）x x 2

3260-+

+=()

解：

；

（8）()x x --+=-251062

；

解： (x －2)2－5(x －2)＋6＝0，(x －2－2)(x －2－3)＝0，x 1＝4，x 2＝5； （9）t(t ＋3)＝28；

解：（9）t 2＋3t －28＝0，(t ＋7)(t －4)＝0，t 1＝－7，t 2＝4； （10）(x ＋1)(x ＋3)＝15。

解：x 2＋4x ＋3＝15，(x ＋6)(x －2)＝0，x 1＝－6，x 2＝2 2. 用因式分解法解下列方程：

（1）(y －1)2＋2y(y －1)＝0；

解：

；

（2）(3x ＋2)2＝4(x －3)2；

解： 0)]3(2)23)][(3(2

)23[(=--+-++x x x x （3）9(2x ＋3)2－4(2x －5)2＝0；

解：[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0，

（4）(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0。

解：[(2y ＋1)＋1][(2y ＋1)＋2]＝0，

三、综合练习

1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ）

A. 7x 2－x －1＝0

B. 9x 2＝4(3x －1)

C. x x 2

7150++=

D.

3222

102x x -+= 2. 若a ，b ，c 互不相等，则方程(a 2＋b ＋c 2)x 2＋2(a ＋b ＋c)x ＋3＝0（ C ）

A. 有两个相等的实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 没有实数根

D. 根的情况不确定 解析: 因为△＝4(a ＋b ＋c)2－12(a 2＋b 2＋c 2) ＝4(－2a 2－2b 2－2c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc) ＝－4[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＜0

3. 若方程m x m x 222310--+=()的两个实根的倒数和是S ，求：S 的取值范围。

分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根，0≥?，求出m 的取值范围，再用S 的代数式表示m ，借助m 的取值范围就可求出S 的取值范围。 解：设方程的两个实根为2

212

21211

，3

2，则，m

x x m

m x x x x =

-=+

∵方程有两个实根 3≠且2

3

∴--

≤S S 。 4. 已知关于x 的方程x 2＋(2m ＋1)x ＋(m －2)2＝0。m 取什么值时， （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程没有实数根

解析:△＝(2m ＋1)2－4(m －2)2＝5(4m －3)。 （1）当，即

时，原方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根； （3）当

时，原方程没有实数根。

5. 已知关于x 的方程x k x k k 2221210-+++-=() ①

（1）求证：对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。 （2）如果a 是关于y 的方程y x x k y x k x k 2121220-+-+--=()()() ②的根，其中x x 12，为方程①的两个实数根。

求：代数式()11411

2a a a a a a

-++-÷·的值。

分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成0122=--y y ，再利用根的定义得到

122+=a a ，将代数式化简后，把122+=a a 整体代入即可求出代数式的

值。

（1）证明：

∵08484484)12(4)1(42222>=+--++=-+-+=?k k k k k k k ∴对于任意实数k ，方程①总有两个不相等的实数根。 （2）解：∵21，x x 是方程①的两个实数根 ∴方程②012为2=--y y

∵a 是方程②的根，∴0122=--a a

注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。

6. 已知关于x 的一元二次方程ax ax c 220++=的两个实数根之差的平方为m

（1）试分别判断当a c a c ==-==1322，与，时，m ≥4是否成立，并说明理由； （2）若对于任意一个非零的实数a ，m ≥4总成立，求实数c 及m 的值。 解：（1）时，3，1当-==c a 原方程化为3，1，则032212-===-+x x x x ∴416)]3(1[2>=--=m 即4≥m 成立 当2，2=

=c a 时，原方程化为02422=+

+x x

由02×2×442>-=?，可设方程的两根分别为21，x x 则2

2

，22121=

-=+x x x x ∴42244)()(21221221<-=-+=-=x x x x x x m 即4≥m 不成立

（2）设原方程两个实数根是21，x x 则a

c x x x x =

-=+2121，2 ∵对于任意一个非零的实数a ，都有444≥-

a

c

第2讲 根的判别式

【知识要点】 1.根的判别式：

关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠ 当?>0时，方程有两个不相等的实根 当?=0时，方程有两个相等的实根 当?<0时，方程无实根 【典型例题】

1. a ，b ，c 是三角形的三条边，

求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根

分析：此题需证出△＜0。已知条件中a ，b ，c 是三角形的三边，所以有a ＞0，b ＞0，c ＞0。还应注意有一个隐含关系“任意两边之和大于第三边”，“任意两边之差小于第三边”。

证明：因为△＝(b 2＋c 2－a 2)2－4b 2c 2

＝[(b 2＋c 2－a 2)＋2bc][(b 2＋c 2－a 2)－2bc] ＝[(b ＋c)2－a 2][(b －c)2－a 2]

＝(b ＋c ＋a)(b ＋c －a)(b －c ＋a)(b －c －a)。

(要判断这个乘积是不是负的，应审查每个因式的正、负) 因为b ＋c ＞a ，即b ＋c －a ＞0，

同理b －c ＋a ＞0，又c ＋a ＞b ，即b －c －a ＜0。

又a ＋b ＋c ＞0，所以△＝(b ＋c ＋a)(b ＋c －a)(b －c ＋a)(b －c －a)＜0。 所以，原方程没有实数根。 【经典习题】

c b a c

a bx x c a x 、、那么以有两个相等的实数根，的一元二次方程关于04

)(.12=-+

++为三边长的三角形是（ ） A. 以a 为斜边的直角三角形 B. 以c 为斜边的直角三角形 C. 以b 为底边的等腰三角形 D. 以c 为底边的等腰三角形

2. 已知关于x 的一元二次方程x k x k 22

114

10-++

+=() （1）k 取什么值时，方程有两个实数根。（2）如果方程的两个实数根x x 12，满足

||x x 12=，求k 的值。

解：（1）032)14

1

(4)]1([22≥-=+-+-=?k k k

解得2

3当∴，23≥≥

k k 时，方程有两个实数根 （2）∵21||x x =，分两种情况

①当211时，得0x x x =≥，∴方程有两个相等的实数根。

②当0∴，

时，得02112=+-=

∴，矛盾2

3

知)1(，由

1≥-=k k 3. 已知方程x k x k 222120+++-=()的两根的平方和为11，求k 的值。 解：设方程的两根为21，x x

则有2，)

12(22121-=+-=+k x x k x x ∴，舍去0时，3当?=k 。 ∴1=k

注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。 4．含有绝对值的一元二次方程

（1）. 方程x|x|－8|x|－4＝0的实数根的个数是（ ） A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

解： 显然x ＝0不是方程的根。 当x ＜0时，x ｜x ｜－8｜x ｜－4＜0。

∴x ＜0的任何实数不可能是方程的根。 当x ＞0时，方程为x 2－8x －4＝0。

此方程两根之积为－4＜0，可见两根为一正一负。又因x ＞0， 故负根舍去。所以方程只有一个实数根。应选A 。 （2）. 求方程x 2－|2x －1|－4＝0的实数根。 解：令012=-x 得2

1=x 显然2

1

=x 不是方程的解 当2

1

>

x 时，方程是04)12(2=---x x 即1或3，解得0322-===--x x x x x ＝－1舍去，∴x ＝3

当2

1

即，0522=-+x x 解得6±1-=x

61+-=x 舍去，∴61--=x

故方程的实数根是61，321--==x x 。

5．a ，b ，c ，d 为有理数，先规定一种新的运算：

bc ad c d

a b -=，那么

x x 45

2)1(-=18时，x= 。

6. 已知21,x x 是方程01942=--x x 的两根，求代数式135231++x x 的值。

7.（广东广州，19，10分）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等

的实数根，求4

)2(222

-+-b a ab 的值。

【分析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝240b a -=，可得出a 、b 之间的

关系，然后将4)2(222

-+-b a ab 化简后，用含b 的代数式表示a ，即可求出这个分式的

值．

【答案】解：∵)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根， ∴⊿＝240b ac -=，即240b a -=．

∵22

2

2222222244444)2(a

ab b a a ab b a a ab b a ab =+-=-++-=-+- ∵0a ≠，∴42

22==

a b a ab

8.（四川乐山中考）若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根

βα、．

（1） 求实数k 的取值范围； （2） 设k

t β

α+=

，求t 的最小值．

（3） 解：（1）∵一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根

βα、，

（4） ∴0≥?， ………………………………………………………………

………2分

（5） 即0)12(4)2(422≥---k k ， （6） 解得

2-≤k ．……………………………………………………………………4分

（7） （3）由根与系数的关系得：

k k 24)]2(2[-=---=+βα， ………………… 6分

（8） ∴24

24-=-=

+=

k

k k k

t β

α， …………………………………………7分

（9） ∵2-≤k ，∴024

2<-≤-k

， （10）∴224

4-<-≤

-k

，

（11）即t 的最小值为－

4． ………………………………………………………10分

9.（ 四川绵阳中考）已知关于x 的一元二次方程x 2 = 2（1－m ）x －m 2 的两实数根为x 1，x 2．

（1）求m 的取值范围；

（2）设y = x 1 + x 2，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值． 【答案】（1）将原方程整理为 x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0． ∵ 原方程有两个实数根，

∴ △= [ 2（m －1）2－4m 2 =－8m + 4≥0，得 m ≤2

1．

（2） ∵ x 1，x 2为x 2 + 2（m －1）x + m 2 = 0的两根，

∴ y = x 1 + x 2 =－2m + 2，且m ≤2

1．

因而y 随m 的增大而减小，故当m =2

1时，取得极小值1．

10.（ 湖北孝感中考）关于x 的一元二次方程1201x p x x 有两实数根=-+-、.2x （1）求p 的取值范围；（4分）

（2）若p x x x x 求,9)]1(2)][1(2[2211=-+-+的值.（6分） 【答案】解：（1）由题意得：

.0)1(4)1(2≥---=?p

…………2分 解得：4

5≤

p

…………4分

（2）由9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x 得，

.9)2)(2(2

22211=-+-+x x x x

…………6分 .9)1(,9)12)(12(2=+=-+-+∴p p p 即

…………8分 .4,2-==∴p p 或

…………9分

.4,4

5

-=∴≤

p p p 的值为所求 …………10分

说明：1．可利用,1,12121x x x x -==+得

121x x -=代入原求值式中求解；

11.（山东淄博中考）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ．

（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；

（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数

x

m

y =

的图象上，求满足条件的m 的最小值． 【答案】解: （1）由题意得△＝()[]()1443222

--?---k k k ≥0 化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5．

（2）将1代入方程，整理得2660k k -+=，解这个方程得 13k =23k =（3）设方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，

根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得21241x x k k =--， 那么()52142

2--=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5

12.（广东茂名中考）已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．

【答案】解：（1）0436)(14)6(42222>+=-??--=-k k ac b ，·················2分

因此方程有两个不相等的实数根．·································3分 （2）

12661

b x x a -+=-

=-=，·····································4分

又

12214x x +=，

解方程组：1212

6,214,x x x x +=+=??? 解得：218.2,

x x ==-???·····················5分

方法一：将21-=x 代入原方程得：0)2(6)2(22=--?--k ，················6分

解得：4±=k ．·················································7分

方法二：将21x x 和代入12c

x x a

=，得：1822k -=?-，······················6分

解得：4±=k ．·················································7分

第3讲 根与系数的关系

【知识要点】 1. 根与系数关系

关于x 的一元二次方程ax bx c a 200++=()≠ 当

?≥+=-=01212时，有，x x b a x x c

a

推论1：如果方程的两个实数根是，，那么x px q x x x x p x x q 21212120++=+=-=,. 推论2：以为根的一元二次方程（二次项系数为）是：x x x x x x x x 122121210,()-++= 【典型例题】

1. 已知方程2++=x xm 2

30

的两个实根中，其中一个是另一个的2倍，求m 的值。 解：设方程的一个根为x ，另一根2x

由根系关系知：x x x x m +=-<>

=<>

?

?

???

??232

1222·

解得：x m =-

=?

????121

2. 已知方程37302

x x -+=的两根x x x x 1212、()>不解方程，求x x 12+和x x 1222-的

值。

解：由题设条件x x x x 12

12731+==?

????

【经典习题】 一. 选择题。

1. 已知x =-3是关于x 的一元二次方程()k x kx -++=12302的一个根，则k 与另一根分别为（ ） A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D.

1，-2

2. 已知方程()()

34102

x m xm ++++=的两根互为相反数，则m 的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 1 D. -1

3. 若方程x x k 20

++=有两负根，则k 的取值范围是（ ） A. k >0 B. k <0 C. k <

1

4

D. 014

<≤

k 4. 若方程x p x q 2

++=的两根中，只有一个是0，那么（ ） A. p q ==0 B. p q ≠=00， C. p q =≠00，

D. 不能确定

5. 方程x p x p 2

2

14

0-+-=的大根与小根之差等于（ ）

A. ±1

B. 212p -

C. 1

D. 212p -

6. 以

-+--15215

2

，

为根的，且二次项系数为1的一元二次方程是（ ） A. x x 2

10

++=

B. x x 2

10

+-= C. x x 2

10

-+=

D. x x 2

10

--= 二. 填空题。

7. 关于x 的一元二次方程()

x m x m 22

210+++=的两根互为倒数，则m ＝________。 8. 已知一元二次方程a x b x c 20

++=两根比2：3，则a ，b ，c 之间的关系是______。 9. 已知方程()x mx m m 21

340-++=的两根x x 12、，且()()x x 12

229--=，则m = ________。

10. 已知αβ、是方程2--=x x 2

520的两根，不解方程可得：αβ22+=________，

1

1

3

3

αβ+

=________，αβ-=________。

11. 已知

()()

αβαβ2

2

13112+=--=，，则以αβ、为根的一元二次方程是______ ________________________。 三. 解答题。

12. 已知方程23702

x x -+=的两根αβ、，求作以αβαβ++22、为两根的方程。 13. 设x x 12、是方程()

x m x m 22

210-++=的两个实根，且两实根的倒数和等于3，试求m 的值。 【试题答案】 一. 选择题。 1. A

2. B

3. D

4. B

5. C

6. B

二. 填空题。

7. ()[]214011211222

m m m m m m +-≥=??????≥-=±????

??= 8. 设x t x t 12

23==，，则 9. ()()()x x m x x m m x x 121212134229

+==+--=???

?

??

?

?=m 5或m =-3

m =5时，原方程△＜0，故舍去，m =-3

10. αβαβ+==-?

????521

11. ()()(

)αβαβαβαβαβ2222131121312+=--=??????+=-++=??

??? 由此αβαβαβ22131+=+=-???

?=αβ6或αβ=-2

∴+==???αβαβ56或αβαβ+=-=-???

32

所求方程x x 2560-+=或x x 2

320

+-= 三. 解答题。

12. 解：由题意αβαβ+==?

????

??32

72

即()()()

αβαβαβ+++=+=2239

2

故所求方程是x x 292

80-+=，即291602

x x -+=

13. 解：()[]?=-+-≥<>+=+<>=<>+=<>

???

??

??

??21401212311342212122

12

m m x x m x x m x x 由<>+≥1410：m

由<>+=431212

：x x x x m 21

3

=-不符合题意，m ≥-14舍去

第4讲 一元二次方程的应用

【知识要点】

1. 列一元二次方程解实际问题的步骤：

（1） 设：设好未知数，根据实际问题，可直接设未知数，也可间接设未知数，不要漏

泄单位。

（2） 列：根据题意，利用所蕴含的相等关系列出一元二次方程，注意等号两边的单位

要一致。

（3） 解：解所列的一元二次方程。

（4） 验：检验所列方程的解是否符合实际问题情境，将不符合题意的方程的解舍去。 （5） 答：根据题意，写出答案。 【典型例题】

1. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg ，出油率为50%（即每100kg 花生可加工成花生油50kg ），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg ，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的1

2

，求：新品种花生亩产量的增长率。

解：设新品种花生亩产量的增长率为x ，

则有132)2

1

1(·%50·)1(200

=++x x 解得2.3，2.021-==x x （不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。

注：对于增长率问题，解这类问题的公式是b x a n =+)1(，其中，a 是原来的量，x 是平均增长率，n 是增长的次数，b 为增长的量。