2018-2019学年陕西省宝鸡市渭滨区高一上学期期末考试数学试题

2018-2019学年陕西省宝鸡市渭滨区高一上学期期末考试

数学试题

★祝考试顺利★ 注意事项：

1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共50分）

1.满足条件{}{},,,,a b M a b c d ?=的所有集合M 的个数是() A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

【答案】D 【解析】 【分析】

由集合并集的运算，因为{}{},,,,a b M a b c d ?=，则集合M 中必含元素,c d ， 即集合M 的个数即集合{},a b 的子集个数. 【详解】解:由{}{},,,,a b M a b c d ?=,

则{},M c d ={},,M a c d =,或{},,M b c d =,或{},,,M a b c d =共4个, 故选D.

【点睛】本题考查了集合并集的运算，重点考查了集合的思想，属基础题.

2.某空间几何体的侧视图是三角形，则该几何体不可能是()

A. 四面体

B. 圆锥

C. 圆柱

D. 三棱柱

【答案】C 【解析】 【分析】

直接从几何体的三视图：正视图、侧视图、俯视图判断几何体的形状即可得解. 【详解】解：四面体、圆锥、三棱柱的侧视图可以为三角形， 圆柱的正视图为矩形， 故选C.

【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，重点考查了空间想象能力，属基础题.

3.点()P a b c ，，到坐标平面yoz 的距离是() A.

49

B. a

C. b

D. c

【答案】B 【解析】 【分析】

由点P 的空间直角坐标可得：点P 到坐标平面yoz 的距离是点P 横坐标的绝对值. 【详解】解：由题意可知点()P a b c ，，到坐标平面yoz 的距离是a ， 故选B.

【点睛】本题考查了空间直角坐标系，重点考查了空间想象能力，属基础题.

4.下图中，能表示函数()y f x 的图象的是()

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】 分析】

从映射角度定义函数可得，函数自变量与应变量之间的对应关系为“一对一”或“多对

一”，不能“一对多”，再逐一观察各图像即可.

【详解】解：由函数的定义可知，函数自变量与应变量之间的对应关系为“一对一”或“多对一”，不能“一对多”，

又选项A,B,C 存在一个变量对应两个函数值的情况，即A,B,C 错误，

选项D 中自变量与应变量之间的对应关系为“一对一”，即选项D 的图像可以表示函数， 故选D.

【点睛】本题考查了函数的定义，重点考查了函数自变量与应变量之间的对应关系，属基础题.

5.若函数2()22f x x ax =++在(3+)∞，

上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A.

3a =- B. 3a ≥- C. 3a >- D. 3a ≤-

【答案】B 【解析】 【分析】

由配方法求得函数的对称轴方程，再求得函数的单调区间，由函数()f x 在(3+)∞，上单调递增，则(3+)∞，

?(,)a -+∞，再结合集合的包含关系运算即可得解. 【详解】解：因为2

2

2

()22()2f x x ax x a a =++=++-， 即函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(,)a -∞-，

又函数()f x 在(3+)∞，

上单调递增，所以(3+)∞，?(,)a -+∞， 即3a -≤，即3a ≥-， 故选B.

【点睛】本题考查了二次函数的单调区间及集合的包含关系，重点考查了集合思想，属基础题.

6.若函数23log (0)()=

(0)x x f x x x >??≤?，则1

(())=2f f （）

A. -1

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】A

【分析】

结合分段函数解析式，判断各自变量所在的区间及所对应的解析式运算即可. 【详解】解：由分段函数解析式可得2

11

()log 122

f ==-， 又3

(1)(1)1f -=-=-，即1(())=2

f f 1-，

故选A.

【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了运算能力，属基础题.

7.下列命题中正确命题的个数是（）

①若直线a 与直线b 平行，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面；②平行于同一个平面的两条直线互相平行；③若,a b 是两条直线，αβ，是两个平面，且a α?，b β?，则,a b 是异面直线；④若直线恒过定点（1，0），则直线方程可设为(1)y k x =-. A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】A 【解析】 【分析】

对于①，直线a 平行于经过直线b 的所有平面或直线a 在经过直线b 的平面内； 对于②，两直线,a b 互相平行或相交或异面； 对于③，两直线,a b 互相平行或相交或异面； 对于④，需讨论直线斜率存在与不存在两种情况.

【详解】解：对于①若直线a 与直线b 平行，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面或直线

a 在经过直线

b 的平面内；

对于②平行于同一个平面的两条直线互相平行或相交或异面；

对于③若,a b 是两条直线，αβ，是两个平面，且a α?，b β?，则,a b 互相平行或相交或异面；

对于④若直线恒过定点（1，0），则当直线斜率存在时，直线方程可设为(1)y k x =-， 直线斜率不存在时，直线方程可为1x =， 即命题①②③④均为假命题，

【点睛】本题考查了空间线线关系、线面关系及直线的点斜式方程，重点考查了空间想象能力，属基础题.

8.已知方程2840x x -+=的两个根为12,x x ，则2122log log x x +=（） A. 1 B. 2

C. 3

D. 4

【答案】B 【解析】 【分析】

由根与系数的关系可得124x x =，再结合对数的运算2122212log log log x x x x +=， 再代入运算即可得解.

【详解】解：因为方程2840x x -+=的两个根为12,x x ， 由韦达定理可得124x x =，

又21222122log log log log 42x x x x +===， 故选B.

【点睛】本题考查了韦达定理及对数的运算，重点考查了根与系数的关系，属基础题.

9.在三棱锥S ABC -中，三个侧面两两互相垂直，侧面,,SAB SAC SBC ???的面积分别为1,1,2，则此三棱锥的外接球的表面积为（） A. 8π B. 9π

C. 10π

D. 12π

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据题意得出侧棱,,SA SB SC 两两垂直，再根据三角形面积公式，解方程组得

1,2,2SA SB SC ===，进而算出以,,SA SB SC 为长、宽、高的长方体的对角线长为3，

从而得到三棱锥外接球半径为

3

2

，最后用球的表面积公式，可得此三棱锥外接球表面积.

【详解】解：由题意得侧棱,,SA SB SC 两两垂直，设,,SA x SB y SC z ===， 则因为,,SAB SAC SBC ???都是以S 为顶点的直角三角形，又,,SAB SAC SBC ???的面

积分别为1,1,2，则224xy xz yz =??=??=?，解得122x y z =??

=??=?

，

则以,,SA SB SC

3=， 则三棱锥外接球直径为3，则此三棱锥的外接球的表面积为2

3

4()92

ππ?=， 故选B.

【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积的求法，重点考查了三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球直径与以三条侧棱为长、宽、高的长方体的体对角线长的关系，属基础题.

10.设点(3,1)A -，(2,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是()

A. 1k 3或1k ≤-

B. 11k -≤≤

C. 1k >或1k <-

D.

11k -<<

【答案】A 【解析】 【分析】

由直线l 过(1,1)P 且与线段AB 相交，则可转化为点,A B 在直线异侧或在直线上， 从而可得(32)(23)0k k k k +--+-≤，再由二次不等式的解法即可得解. 【详解】解：由题意可设直线方程为1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=， 由直线l 与线段AB 相交，则点,A B 在直线l 的异侧或在直线上，

由点与直线的位置关系可得(32)(23)0k k k k +--+-≤即(1)(1)0k k +-≥， 解得1k 3或1k ≤-， 故选A.

【点睛】本题考查了点与直线的位置关系及二次不等式的解法，重点考查了运算能力，属基础题.

二、填空题（每小题5分，共20分）

11.已知(,)x y 在映射f 下的对应元素是(2,2)x y x y +-，则(1

2)，在映射f 下的对应元素是________.

【答案】(53)-，

【解析】 【分析】

在确定的对应关系下，只需令1,2x y ==代入运算即可.

【详解】解：由(,)x y 在映射f 下的对应元素是(2,2)x y x y +-，

则(1

2)，在映射f 下的对应元素是(122,122)+?-?，即为(5,3)-， 故答案为(53)-，

. 【点睛】本题考查了映射的象与原象的相互运算，重点考查了对应关系，属基础题.

12.已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()2x f x =，则(2)f -=________. 【答案】4- 【解析】 【分析】

由函数()y f x =是奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立，再将求(2)f -的问题转化为求

(2)f 即可.

【详解】解：因为函数()y f x =是奇函数， 所以()()f x f x -=-， 又当0x >时，()2x f x =， 所以2

(2)(2)24f f -=-=-=-， 故答案为-4.

【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求函数值，重点考查了函数的性质，属基础题.

13.已知圆22:5O x y +=,则圆O 在点(2,1)A -处的切线的方程为________. 【答案】250x y -+= 【解析】 【分析】

先求出直线OA 的斜率，再由直线OA 与圆在点(2,1)A -处的切线垂直，从而求得切线的斜率，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由题意有101202

OA

k -==--- ，则以(2,1)A -为切点的切线的斜率为1

212

-=- ，

由直线的点斜式方程可得圆O 在点(2,1)A -处的切线的方程为12(2)y x -=+， 即250x y -+=， 故答案为250x y -+=.

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，重点考查了直线的点斜式方程，属基础题.

14.已知两点(1,3)A --,(3,)B a ,以线段AB 为直径的圆经过原点,则该圆的标准方程为____________.

【答案】2

2

(1)(2)5x y -++= 【解析】 【分析】

由以线段AB 为直径的圆经过原点,则可得0OA OB ?=u u u r u u u r

,

求得参数a 的值，然后由中点坐标公式求所求圆的圆心，用两点距离公式求所求圆的直径， 再运算即可.

【详解】解：由题意有(1,3)OA =--u u u r ,(3,)OB a =u u u r

，

又以线段AB 为直径的圆经过原点,

则0OA OB ?=u u u r u u u r

,

则(1)3(3)0a -?+-?=，解得1a =-，

即(3,1)B -， 则AB

的

中点坐标为1331

(

,)22

-+--，即为(1,2)-， 又AB ==

即该圆的标准方程为2

2

(1)(2)5x y -++=， 故答案为2

2

(1)(2)5x y -++=.

【点睛】本题考查了圆的性质及以两定点为直径的圆的方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

三、解答题（每小题10分，共50分）

15.计算:

(1)1

10

23218(2)(9.6)()0.1427

-----+

(2) 273log 16log 8

【答案】（1）99（2）49

【解析】 【分析】

（1）由指数幂的运算性质()m n

mn

a a

=运算可得解；

（2）由指数的运算当0;0a b >>时，log log n m

a a m

b b n

=

，再运算即可得解. 【详解】解：（1）110

23218(2)(9.6)()0.1427

-----+

=1

1

23

223132[()]1[()][(10)]23

-----+ =

33

110022

--+ =99，

（2）273log 16log 8

=343

3

3334

log 2

log 433log 29l 2o 2g ==. 【点睛】本题考查了指数幂的运算及对数的运算，重点考查了指数幂、对数的运算性质，属基础题.

16.

已知集合{

}

02A x =<<，{}2log ,B y y x x A ==∈.

(1)求A B I ； (2)若()2,

x f x x x A B =+∈?，求函数()f x 的值域.

【答案】（1）{}

=02A B x x ?<<（2）(1

6)， 【解析】 【分析】

（1）由根式不等式的解法可求集合{}

04A x x =<<， 由对数函数值域的求法可得{}

2B y y =<，则可得A B I ；

（2）由复合函数的增减性可得()2,x

f x x =+(0,2)x ∈为增函数，再由函数单调性求值域

即可.

【详解】解:(1)∵集合{

}

{}02=04A x x x =<

<<，

∴{}{}

2log ,=2B y y x x A y y ==∈<， ∴{}

=02A B x x ?<<．

(2)由(1)得{}

=02A B x x ?<<，()=2x

f x x +在(0,2)上是增函数，

又(0)1f =，(2)6f =，

故函数()f x 的值域为(1

6)，． 【点睛】本题考查了根式不等式的解法、对数函数值域的求法及利用函数单调性求值域，重点考查了函数的性质，属基础题.

17.已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(1)f x f x -

=+.

(1)若(0)0f =，求()f x 的解析式；

(2)若方程()0f x =有两个实数根12,x x ，且满足101x <<，212x <<，求实数c 的取值范围.

【答案】（1）2

()2f x x x =-（2）(0)1，

【解析】 【分析】

（1）由二次函数满足(1)(1)f x f x -=+，可得函数图像关于直线1x =对称，

则12

b

-

=，再结合(0)0f =求解即可. （2）由二次方程区间根问题，将方程问题转化为函数问题，再列不等式组(0)0(1)0(2)0f f f >??

?

求解

即可.

【详解】解:(1)因为二次函数满足(1)(1)f x f x -=+，

则函数的对称轴为1x =，即12

b

-

=，所以2b =-； 又因为(0)0f =，所以0c =， 所以2

()2f x x x =-.

(2)由(1)知2

()2f x x x c =-+，

因为方程()0f x =有两个实数根12,x x ，且101x <<，212x <<，

所以(0)0(1)0(2)0f f f >???，即0120440c c c >??

-+?

，解得01c <<，

所以实数c 的取值范围为(0)1，

. 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法及二次函数区间根问题，重点考查了函数与方程的相互转化，属中档题.

18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB =,060BAD ∠=，面PAD ⊥面ABCD ,PAD ?为等边三角形，O 为AD

中点．

(1)求证：AD ⊥平面POB ；

(2)若E 是PC 的中点，求三棱锥P EDB -的体积． 【答案】（1）详见解析（2）1

2

【解析】 【分析】

（1）由AD PO ⊥，AD BO ⊥结合线面垂直的判定即可得证； （2）由E 是PC 的中点，所以1

2

P EDB P BCD V V --=

，则将求三棱锥P EDB -的体积转化为求三棱锥P CDB -的体积，再由条件即可得解. 【详解】(1)证：因为O 为等边PAD ?中边AD 的中点， 所以AD PO ⊥,

又因为在菱形ABCD 中，060BAD ∠=， 所以ABD ?为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以AD BO ⊥,而PO BO O I =, 所以AD ⊥平面POB .

(2)解：由(1)知AD PO ⊥，面PAD ⊥面ABCD ,所以PO ⊥底面ABCD ，

因为等边PAD ?的边长为2

，所以PO =易知BCD ?为边长为2的等边三角形， 所以三棱锥P BCD -

的体积为：21213P BCD V -==, 因为E 是PC 的中点，所以1122

P EDB P BCD V V --==， 所以三棱锥P EDB -的体积为

12

． 【点睛】本题考查了线面垂直的判定及三棱锥体积的求法，重点考查了空间想象能力及运算能力，属中档题.

19.已知圆心在坐标原点的圆O 经过圆22(3)(3)10x y -+-=与圆22(2)(2)20x y +++=的交点，A 、B 是圆O 与y 轴的交点，P 为直线y =4上的动点，P A 、PB 与圆O 的另一个交点分别为M 、N .

(1)求圆O 的

方程；

(2)求证：直线MN 过定点.

【答案】（1）2

2

4x y +=（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）联立两圆的方程，求解方程组即可得两圆的交点坐标为(2,0)和(0,2)， 又所求圆的圆心为坐标原点，则可得圆的方程为2

2

4x y +=，

（2）联立直线与圆的方程，可得交点坐标分别为222828(,)44t t M t t --++，

2

2224722(,)3636

t t N t t -++， 再由点斜式求直线方程为2

1218t y x t

-=+，即可得证.

【详解】(1)解：由2222

(3)(3)10(2)(2)20x y x y ?-+-=?+++=?

解得：20x y =??=?或0

2x y =??=?，

即两圆的交点坐标为(2,0)和(0,2)， 又因为圆O 的圆心为坐标原点， 所以圆O 的方程为2

2

4x y +=.

(2)证：不妨设A (0,2)、B (0,-2)、P (t ,4)， 则直线PA 的直线方程为22y x t =

+，直线PB 的直线方程为6

2y x t

=-， 由224

2

2

x y y x t ?+=??=+??得222828(,)44t t M t t --++，同理可得22224722(,)3636t t N t t -++， 直线MN 的斜率为22222

2

272228

123642488364t t t t t k t t t t t ----++==+++， 直线MN 的的方程为：2222

12828

()844

t t t y x t t t --=++++， 化简得：2

1218t y x t

-=+，

所以直线MN 过定点(0,1).

【点睛】本题考查了圆的方程的求法、直线与圆的交点的求法及直线的点斜式方程，重点考查了运算能力，属中档题.