导数题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用

一.导数的概念

1..已知的值是（）

A. B. 2 C. D. －2

变式1：（）

A．－１Ｂ．－2C．－3D．1

变式2：（）

A．B．C．D．

导数各种题型方法总结

请同学们高度重视：

首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：

1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法

5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）

与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在

其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。

最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础

一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；

1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令得到两个根；

第二步：画两图或列表；

第三步：由图表可知；

其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）

第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；

（请同学们参看2010省统测2）

例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，

（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；

（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.

解:由函数得

（1）在区间上为“凸函数”，

则在区间[0,3]上恒成立

解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

解法二：分离变量法：

∵当时, 恒成立,

当时, 恒成立

等价于的最大值（）恒成立，

而（）是增函数，则

(2)∵当时在区间上都为“凸函数”

则等价于当时恒成立

变更主元法

再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问题）

例2：设函数

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.

（二次函数区间最值的例子）

解：（Ⅰ）

令得的单调递增区间为（a,3a）

令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）

∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.

（Ⅱ）由||≤a，得：对任意的恒成立①

则等价于这个二次函数的对称轴

（放缩法）

-2 2

3a

a a 3a

即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

上是增函数. （∴

于是，对任意，不等式①恒成立，等价于

又∴

点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系

第三种：构造函数求最值

题型特征：恒成立恒成立；从而转化为第一、二种题型

例3；已知函数图象上一点处的切线斜率为，

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，求的值域；

（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。

解：（Ⅰ）∴，解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减

又

∴的值域是

（Ⅲ）令

思路1：要使恒成立，只需，即分离变量

思路2：二次函数区间最值

二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型

解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给

区间是求的增或减区间的子集；

做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句

话的区别：前者是后者的子集

例4：已知，函数．

（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．

解：.

（Ⅰ）∵是偶函数，∴. 此时，，

令，解得：.

列表如下：

(－∞,－2) －2(－2,2) 2(2,+∞)

+ 0 －0 +

递增极大值递减极小值递增

可知：的极大值为，的极小值为.

（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，

∴，在给定区间R上恒成立判别式法

则解得：.

综上，的取值范围是.

例5、已知函数

（I）求的单调区间；

（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想

（I）

1、

当且仅当时取“=”号，单调递增。

2、

单调增区间：

单调增区间：

-1

a-1

（II ）当则是上述增区间的子集：

1、时，单调递增符合题意

2、，

综上，a的取值范围是[0，1]。

三、题型二：根的个数问题

题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题

解题步骤

第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；

第三步：解不等式（组）即可；

例6、已知函数，，且在区间上为增函数．

（1）求实数的取值范围；

（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．

解：（1）由题意∵在区间上为增函数，

∴在区间上恒成立（分离变量法）

即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为

（2）设，

令得或由（1）知，

①当时，，在R上递增，显然不合题意…

②当时，

，随的变化情况如下表：

—

↗极大值↘极小值↗

由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得

综上，所求的取值范围为

根的个数知道，部分根可求或已知。

例7、已知函数

（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；

（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。

解：（1）∵

的图像过原点，则，

又∵

是

的极值点，则

（2）设函数

的图像与函数的图像恒存在含

的三个不同交点，

等价于

有含

的三个根，即：

整理得：

即：恒有含

的三个不等实根

（计算难点来了：）

有含

的根，

则

必可分解为

，故用添项配凑法因式分解，

十字相乘法分解：

恒有含

的三个不等实根

等价于

有两个不等于-1的不等实根。

题2：切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例7、已知函数在点

处取得极小值－4，使其导数

的

的取值范围为

，求：（1）

的解析式；（2）若过点

可作曲线

的三条切线，求实数

的取值范

-1

围．

（1）由题意得：

∴在上；在上；在上

因此在处取得极小值

∴①，②，③

由①②③联立得：，∴

（2）设切点Q，

过

令，

求得：，方程有三个根。

需：

故：；因此所求实数的范围为：

题3：已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法

例8、

解：函数的定义域为（Ⅰ）当m＝4时，f (x)＝1

3x

3－

7

2x

2＋10x，

＝x2－7x＋10，令，解得或.

令，解得

可知函数f(x)的单调递增区间为和（5，＋∞），单调递减区间为．

（Ⅱ）＝x2－(m＋3)x＋m＋6,

要使函数y＝f (x)在（1，＋∞）有两个极值点,＝x2－(m＋3)x＋m＋

6=0的根在（1，＋∞）

根分布问题：

1

则，解得m＞3

例9、已知函数，（1）求的单调区间；（2）令＝x4＋f（x）（x∈R）有且仅有3个极值点，求a的取值范围．

解：（1）

当时，令解得，令解得，

所以的递增区间为，递减区间为.

当时，同理可得的递增区间为，递减区间为.

（2）有且仅有3个极值点

=0有3个根，则或，

方程有两个非零实根，所以

或

而当或时可证函数有且仅有3个极值点

其它例题：

1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在上的函数在区间

上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）

令=0,得

+ 0 -

↗极大↘

因此必为最大值,∴因此，，

即，∴，∴

（Ⅱ）∵，∴等价于，

令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，

为此只需，即，

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].

2、（根分布与线性规划例子）

（1）已知函数

(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式；

(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.

解：(Ⅰ).由, 函数在时有极值 ,

∴

∵∴

又∵在处的切线与直线平行,

∴故

∴……………………. 7分

(Ⅱ) 解法一: 由及在取得极大值且在取得极小值, ∴即令, 则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得, , , , ,

同时DE为△ABC的中位线,

∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC 分别交于F、G, 则,

由得点F的横坐标为:

由得点G的横坐标为:

∴即

解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为:

综上,所求直线方程为:或 .…………….………….12分

(Ⅱ) 解法二: 由及在取得极大值且在取得极小值, ∴即令, 则

∴∴故点所在平面区域S为如图△ABC,

易得, , , , ,

同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为:

另一种情况由于直线BO方程为:, 设直线BO与AC交于H ,

由得直线L与AC交点为:

∵, ,

∴所求直线方程为:或

3、（根的个数问题）已知函数的图象如图所示。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线方程为，求函数f ( x )的解析式；

（Ⅲ）若方程有三个不同的根，求实数a的取值范围。

解：由题知：

（Ⅰ）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且= 0

得

（Ⅱ）依题意= – 3 且f ( 2 ) = 5

解得a = 1 , b = – 6

所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3

（Ⅲ）依题意f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )

= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由

= 0

b = – 9a ①

若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ②

由①②得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3

＜a ＜3

所以当

＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12分

4、（根的个数问题）已知函数

（1）若函数在处取得极值，且，求的值及

的单调区间；

（2）若，讨论曲线

与的交点个数．

解：（1）

………………………………………………………………………2分

令得

令得

∴

的单调递增区间为，

，单调递减区间为

…………5分 （2）由题

得

即

－

令……………………6分

令得或……………………………………………7分

当即时

此时，，，有一个交点；…………………………9分

当即时，

＋—

,

∴当即时,有一个交点；

当即时，有两个交点；

当时，，有一个交点．………………………13分

综上可知，当或时，有一个交点；

当时，有两个交点．…………………………………14分

5、（简单切线问题）已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为，函数

．

（Ⅰ）若函数在处有极值，求的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数的取值范围．

函数中任意性和存在性问题探究

高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究

一、相关结论：

结论1：；【如图一】

结论2：；【如图二】

结论3：；【如图三】

结论4：；【如图四】

结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】

【例题1】：已知两个函数;

(1)若对,都有成立，求实数的取值范围；

(2)若,使得成立，求实数的取值范围；

(3)若对,都有成立，求实数的取值范围；

解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。

；

当变化时，的变化情况列表如下：

-3 (-3,-

1)

-

1

(-

1,2)

2 (2,3

)

3

(x

)

+ 0 －0 +

h(x) k-

45 增函数极

大值

减函

数

极

小值

增函

数

k-

9

因为,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).

小结：①对于闭区间I，不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]min>k, x∈I.

②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max ≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.

（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.

由（1）可知[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞).

(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].

由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120－k.

仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=－21.

由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).

说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.

从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成

立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..

二、相关类型题：

〈一〉、型；

形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.

例1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.

解：，∴；即；

当时，不等式显然成立，∴a∈R.

当时，由得：，而

.∴.又∵，∴，综上得a的范围是。〈二〉、型

例2 已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____.

解∵对任意x∈R，不等式恒成立，

∴分别是的最小值和最大值.

对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.

又函数的周期为4，∴的最小值为2.

〈三〉、.型

例3：(2005湖北)在这四个函数中，当时，使

恒成立的函数的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函数的性

质，画草图即知符合题意；

〈四〉、.型

例4 已知函数定义域为，，若，时，都有，若对所有，恒成立，求实数取值范围.

解：任取，则，由已知，又，∴f，即在上为增函数.

∵，∴，恒有；

∴要使对所有，恒成立，即要恒成立，故恒成立，令，只须且，

解得或或。

评注：形如不等式或恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.

〈五〉、.型：

例5：已知，，若当时，)恒成立，求实数t的取值范围.

解：在恒成立，即在恒成立在上的最大值小于或等于零.

令，，∵

∴，即在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值.

∴，即。

〈六〉、型

例6：已知函数，若对任意，都有，求的范围.

解：因为对任意的，都有成立，

∴，∵，令得x＞3或x＜-1；得

；∴在为增函数，在为减函数.

∵，∴.∴，∴。

〈七〉、（为常数）型；

例7 ：已知函数，则对任意（）都有

恒成立，当且仅当=____，=____时取等号.

解：因为恒成立，

由，易求得，，∴。

例8 ：已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和；(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.

(1)证明|；

(2)证明：对任意，都有.

证明 (1)略；

(2)由条件(2)知，

不妨设，由(3)知，

又∵

；∴

〈八〉、型

例9：已知函数，对于时总有成立，求实数的范围.

解由，得，

当时，，∵，

∴，∴

评注由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率

的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，可以解决形如|或(m＞0)型的不等式恒成立问题.

考前寄语：

①先易后难,先熟后生；

②一慢一快：审题要慢,做题要快；

③不能小题难做,小题大做,而要小题小做,小题巧做；

④我易人易我不大意,我难人难我不畏难；

⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对；

⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争不失分；

⑦对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目,力争高上水平,有时“放弃”是一种策略.

最全导数解答题方法归纳总结

导数解答题归纳总结 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围． 解析 （Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a （Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有 0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2 <-++a a a ，解得15-<<-a 20.（2009北京文）（本小题共14分） 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切，求,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能 力． （Ⅰ）()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切， ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? （Ⅱ）∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时，()' 0f x >，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增， 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时，由()' 0f x x a =?=± ， 当() ,x a ∈-∞-时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增， 当(),x a a ∈-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当(),x a ∈+∞时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增，

导数各类题型方法总结(含答案)

导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=

高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.

高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ） （2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、 （提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3） 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的 关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围． （答案 , 0） 题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。 （答案： 3, 2a ） ）三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1）

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

导数题型方法总结绝对经典

第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1．求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 ★已知函数ax x a x x f 2)2(2 131)(23++-=（a>0）,求函数的单调区间 )2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a x a x x f ln )2(2)(+-- =（a>0）求函数的单调区间 2 2 2) )(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-=' ★★★例3已知函数()()22 21 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 ! 解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()() 1 2)1(222+-+='x x a x f ,由 ()'0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定 ()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 (1)当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ? ? -∞- ??? ，(),a +∞内为减函数， 在区间1,a a ?? - ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ； 函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （1） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞-a 内为增函数，在区间 )1,(a a -为减函数。故函数()f x 在11 x a =-处取得极小值 21f a a ?? -=- ??? ；函数 ()f x 在 2x a =处取得极大值()1f a =。

导数题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用 一.导数的概念 1..已知的值是（） A. B. 2 C. D. －2 变式1：（） A．－１Ｂ．－2C．－3D．1 变式2：（） A．B．C．D． 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值. 解:由函数得 （1）在区间上为“凸函数”， 则在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于

导数各种题型方法总结

导数各种题型方法总结
请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2 变更主元；3 根分布；4 判别式法 5、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次， 分析每种题型的本质， 你会发现大部分都在解决 “不等式恒成立问题” 以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。b5E2RGbCAP 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f ' ( x) ? 0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元） ；
（请同学们参看 2012 省统测 2） 例 1： 设函数 y ? f ( x) 在区间 D 上的导数为 f ?( x ) ， f ?( x ) 在区间 D 上的导数为 g ( x) ， 若在区间 D 上，
g ( x) ? 0 恒 成 立 ， 则 称 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数 ” ，已知实数 m 是常数，
f ( x) ?
x 4 mx3 3x 2 ? ? p1EanqFDPw 12 6 2 （1）若 y ? f ( x) 在区间 ? 0,3? 上为“凸函数” ，求 m 的取值范围；
（2）若对满足 m ? 2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x ) 在区间 ? a, b ? 上都为“凸函数” ，求 b ? a 的最大
值.
x 4 mx3 3x 2 x3 mx 2 ? ? ? ? 3x 解:由函数 f ( x) ? 得 f ?( x) ? 12 6 2 3 2 ? g ( x) ? x2 ? mx ? 3
（1）
y ? f ( x) 在区间 ?0,3? 上为“凸函数” ，
2
则 ? g ( x) ? x ? mx ? 3 ? 0 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax ( x) ? 0
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导数各类题型方法总结(绝对经典)

第一章 导数及其应用 一， 导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()() 0000 3,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，

2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0 g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =- （03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立

导数各类题型方法总结

导数题型总结（解析版） 题型一: 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数” ，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =--得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--（1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，

帮你总结导数题型(共12类)

导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a=

《导数及其应用》经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结 一、知识网络结构 题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用 例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0 (2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++L ，求(0)f '. 考点二 导数的几何意义的应用 例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.

题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状 例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二 求函数的单调区间及逆向应用 例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间） 例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间） 练习：求函数x a x x f +=)(的单调区间。 例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用） 练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。

2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。 3. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2-x+1在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。 总结：已知函数)(x f y =在),(b a 上的单调性，求参数的取值范围方法： 1、利用集合间的包含关系 2、转化为恒成立问题（即0)(0)(/ / ≤≥x f x f 或）（分离参数） 3、利用二次方程根的分布（数形结合） 例4 求证x x 1，证明x>ln(1＋x)． 题型三 函数的极值与最值 考点一 利用导数求函数的极值。 例1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x ＋14x ；(2)f(x)＝ln x ＋1 x .（不含参函数求极值） 例2 设a>0，求函数f(x)＝x 2＋ a x (x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极值）

导数各类题型方法总结(绝对经典)

第一章导数及其应用一，导数的概念 1..已知 的值是（） A. B. 2 C. D. －2 变式1： （） A．－１Ｂ．－2 C．－3 D．1 变式2： （） A． B． C． D．

导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：

第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数 在区间D上的导数为 ， 在区间D上的导数为 ，若在区间D上， 恒成立，则称函数 在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数， （1）若 在区间 上为“凸函数”，求m的取值范围； （2）若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间

上都为“凸函数”，求 的最大值. 解:由函数 得 （1） 在区间 上为“凸函数”， 则 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 解法二：分离变量法： ∵ 当

导数常见题型方法总结

导数题型总结 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立， 则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-= 例2：设函数),10(323 1)(223 R b a b x a ax x x f ∈<<+-+- = （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值； （Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()2 2 ()433f x x ax a x a x a '=-+-=--- 01a <

导数知识点各种题型归纳方法总结

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【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第3页共22页◎【导数基础知识及各种题型归纳方法总结】第4页共22页

值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如 1 () f x x x =+的极大值为2-，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值?f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与最值的应用（不等式恒成立问题，讨论方程的根的个数问题） 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数（看正负）原函数（看升降增减） '() f x的符号() f x单调性 '() f x与x轴的交点且交点两侧异号() f x极值 '() f x的增减性() f x的每一点的切线斜率的变化趋势（() f x的图象的增减幅度） '() f x增() f x的每一点的切线斜率增大（() f x的图象的变化幅度快） '() f x减() f x的每一点的切线斜率减小（() f x的图象的变化幅度慢） 【题型针对训练】 1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x）在定义域R单调递增，求a的取值围； （3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？ 若存在，求出a的值；若不存在，说明理由. 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0， 若x= 3 2时，y=f(x）有极值. （1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值. （请你欣赏）3.当0 > x，证明不等式x x x x < + < + ) 1 ln( 1 . 证明： x x x x f + - + = 1 )1 ln( ) (，x x x g- + =)1 ln( ) (，则 2 ) 1( ) ( x x x f + = '， 当0 > x时。)(x f ∴在() +∞ ,0是增函数，)0( ) (f x f> ∴，即0 1 ) 1 ln(> + - + x x x， 又 x x x g + - = ' 1 ) (，当0 > x时，0 ) (< 'x g，)(x g ∴在() +∞ ,0是减函数，)0( ) (g x g< ∴，即0 ) 1 ln(< - +x x，因此，当0 > x时，不等式x x x x < + < + ) 1 ln( 1 成立. 点评：由题意构造出两个函数 x x x x f + - + = 1 )1 ln( ) (，x x x g- + =)1 ln( ) (. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键. （请你欣赏）4、已知函数32 f(x)ax bx(c3a2b)x d (a0) =++--+>的图象如图所示。（Ⅰ）求c d 、的值； （Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y110 +-=， 求函数f ( x )的解析式； （Ⅲ）若 x5, =方程f(x)8a =有三个不同的根，数a的取值围。 解：由题知：2 f(x)3ax2bx+c-3a-2b '=+ （Ⅰ）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1 f'= 0 得 3 32c320 d a b a b = ? ? ++--= ? ? ? ? ? = = 3 c d （Ⅱ）依题意()2 f'= – 3 且f ( 2 ) = 5 124323 846435 a b a b a b a b +--=- ? ? +--+= ? 解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x3– 6x2 + 9x + 3 （Ⅲ）依题意f ( x ) = ax3 + bx2– ( 3a + 2b )x + 3 ( a＞0 ) ()x f'= 3ax2 + 2bx– 3a– 2b Word 资料

最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》

最精最全的《函数与导数解题方法知识点技巧总结》 1.高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）： 曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 对于可导函数()f x ，不等式()f x ' 0>0<（）的解是函数()f x 的递增（减）区间。 函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）. 若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。 （若()f x ' 为二次函数且I=R ， 则有0?>）。 若函数f(x)在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。 若x I " ()f x 0>恒成立，则m in ()f x 0>; 若x I ?∈()f x 0<恒成立，则m ax ()f x 0< 若 0x I ?∈使得 0()f x 0>，则m ax ()f x 0>.;若0x I ?∈使得 0()f x 0<，则m in ()f x 0 <. 设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ?∈D ()f x >()g x 恒成立，则有 []min ()()0f x g x ->. （10）若对11 x I ?∈、 22 x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对 11 x I ?∈， 22 x I ?∈ ， 使得 12()() f x g x >, 则 min min ()()f x g x >. 若对 11 x I ?∈， 22 x I ?∈,使得 12()() f x g x <,则 m ax m ax ()()f x g x <. （11） 已知()f x 在区间1I 上的值域为A,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对11x I ?∈,22 x I ?∈使得1()f x =2()g x 成 立，则A B ?。 （12） 若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x ' =有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13） 证题中常用的不等式: