A.0
B.1
C.2
D.3
10.设随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ,则=∞+),(x F (B).
A.0
B.)(x F X
C.)(y F Y
D.1
11.二维随机变量),(Y X 的分布律为
设)1,0,(},{====j i j Y i X P P ij ,则下列各式中错误．．
的是( D ). A.0100P P < B.1110P P < C.1100P P < D.0110P P < 12.设)5(~P X ,)5.0,16(~B Y ,则=--)22(Y X E (A).
A.0B.0.1C.2.0 D.1
13.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是(C).
A.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率
B.在0H 不成立的条件下,经检验0H 被接受的概率
C.在0H 成立的条件下,经检验0H 被拒绝的概率
D.在0H 成立的条件下,经检验0H 被接受的概率
14.设X 和Y 是方差存在的随机变量，若E (XY )=E (X )E (Y ),则(B) A 、D (XY )=D (X )D (Y )B 、D (X+Y )=D (X )+D (Y ) C 、X 和Y 相互独立D 、X 和Y 相互不独立 15.若X ～()t n 那么
2
1
X ～（B ） A 、(1,)F n ；B 、(,1)F n ；C 、2()n χ；D 、()t n
16.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，2σ的无偏估计
量是（B ）
A 、()211n i i X X n =-∑；
B 、()2111n i i X X n =--∑；
C 、2
1
1n i i X n =∑；D 、2X 17
、设随机变量X 的概率密度为2
(1)
2()x f x -
-=，则（B ） A 、X 服从指数分布B 、1EX =C 、0=DX D 、(0)0.5P X ≤=
18、设X 服从()
2N σ0，，则服从自由度为()1n -的t 分布的随机变量是（B ） A 、
nX S
B 、2nX S
D 19、设总体()2
,~σμN
X ，其中μ已知，2
σ
未知，123,,X X X 取自总体X 的一个样本，则下列
选项中不是统计量的是（B ） A 、
31（123X X X ++）B 、)(12322212X X X ++σ
C 、12X μ+
D 、123max{,,}X X X
20、设随机变量()1,0~N ξ分布，则(0)P ξ≤等于（C ）
A 、0
B 、0.8413
C 、0.5
D 、无法判断
21、已知随机变量()p n B ,~ξ，且3,2E D ξξ==，则,n p 的值分别为（D ） A 、112,4n p ==
B 、312,4n p ==
C 、29,3n p ==
D 、19,3
n p == 22.设321,,X X X 是来自总体X 的样本，EX=μ，则（D ）是参数μ的最有效估计。
（A ）3211213161?X X X ++=
μ
（B ）321252
5251?X X X ++=μ
（C ）3213214141?X X X ++=μ
（D ）3214313131?X X X ++=μ 23.已知随机变量ξ服从二项分布，且，
，44.14.2==E ξξD 则二项分布的参数p n ，的值为（B ） A 、6.04==p
n ，B 、4.06==p n ，
C 、3.08==p n ，
D 、1.024==p n ，
二．填空
1.设34{0,0},{0}{0}77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥=5
7
2.已知P (A )=0.4,P (B )=0.3,()0.6,()P A B P AB =则＝0.3；
3.~(),(1)(2),(0)X P X P X P X πλ=====且则2e -；
4.设
X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中的概率为0.4,则
2EX =18.4；
5.设随机变量
X 和Y 的方差分别为25和36，若相关系数为0.4，
则D(X －Y )＝37；
6.若
X 和Y 相互独立,且X ~N (1,4),Y ~N (0,3),则23X Y -~_N(2,43)__；
7.用（,X Y ）的联合分布函数(,)F x y 表示
{,}P a X b Y c ≤≤<=(,)(,){,}{,}F b c F a c P a X b Y c P X a Y c --<≤=+=<； 8.已知随机变量X 的均值12μ=，标准差3σ=，试用切比雪夫不等式估计：
{}618P X <<3
4≥；
9.设2
~(,)X N μσ，12,,
,n X X X 是样本，2
σ的矩估计量是21
1()n
i i X X n =-∑；
10.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),
Y X X X X =++-则当C =1
8
时CY ～2(2)χ
11、“A 、B 、C 三个事件中至少发生了两个”，可以表示为AB BC AC ++。 12、随机变量ξ的分布函数()F x 是事件{}x ξ≤的概率。
13、某校一次英语测验，及格率80%，则一个班（50人）中，不及格的人数X ～(50,0.2)B 分布，
EX =10DX =8。
14、设12n X X X ，，
，为总体X 的一个样本，若1
1n
i i X X n ==∑且EX μ=，2DX σ=，则
EX =___μ_，DX =___
2
n
σ___。
15、设随机变量X 的数学期望为EX
u =、方差2DX σ=，则由切比雪夫不等式有
{}2P X u σ-≥__1
4
≤
__。 16、“A 、B 、C 三个事件中恰好有一个发生”，可以表示为
ABC ABC ABC ++。
17、设X 服从参数为λ的泊松分布，且()()21===X P X P ，则λ=___2__。 18.设X 的期望和方差分别为μ和2
σ，则由切比雪夫不等式可估计)2(σμ<-X
P 34
≥
。 19.设n x x x ,,,21 是取自总体),(~2
σμN X 的一个样本，∑=--=n
i i X X n S 1
22
)(11为样本方差，则
~)1(2
2
σ
S n -2(1)n χ-
20.已知()A P =0.4,()B P =0.3，则当A 、B 互不相容时，()B A P =0.7,，()AB P =0。当A 、B 相互独立时，()B A P =0.58，()AB P =0.12。
三、计算题
1.设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===,求)(B A P U 与()P B A -.
解：)()()()(AB P B P A P B A P -+=U
7.04.01.1)|()(1.1=-=-=A B P A P ,
()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.
2.有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5
份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份,求先抽到的一份是女生表的概率p .
解：记i H ={报名表是第i 个地区考生}(3,2,1=i ),j A ={第j 次抽到的报名表是男生}(2,1=j ),
由题意知
31)(=
i H P (3,2,1=i ),10
3)(11=H A P , 157)(21=H A P ,25
5
)(31=H A P ,
由全概率公式,知
9029
5115710331)()()(3
1
11=??? ??++===∑=i i i H A P H P A P p .
3.设随机变量X 的分布函数为????
???≥<≤<≤--<=,3,
1,31,8.0,11,4.0,1,
0)(x x x x x F 试求:(1)X 的分布
律;(2)}1|2{≠解：(1)X 的所有可能取值为3 ,1 ,1-,
}1{-=X P =1)(-F )01(---F =4.004.0=-, }1{=X P =)1(F )01(--F =4.04.08.0=-,
}3{=X P =)3(F )03(--F =2.08.01=-,
从而X 的分布律为
(2)3
)1((}1|2{=≠==
≠4.一大批种子,良种占%20,从中任选5000粒.试计算其良种率与%20之差小于
%1的概率.9616.0)77.1(=Φ.
解：设X 表示在任选5000粒种子中良种粒数,则)(~p n B X ，,其中5000=n ,2.0=p ,则
800)1()(1000)(=-===p np X D np X E ，,
由棣莫夫-拉普拉斯中心极限定理得,良种率与%20之差小于%1的概率为
9616.0)77.1()800
50(
)800
50800
1000(
=Φ=Φ≈<
-=X P .
5.假设甲、乙两厂生产同样的灯泡,且其寿命),(~211σμN X ,),(~2
2
2σμN Y .已知它们寿命的标准差分别为84小时和96小时,现从两厂生产的灯泡中各取60
只,测得平均寿命甲厂为1295小时,乙厂为1230小时,能否认为两厂生产的灯泡寿命无显着差异(0.05α=)?975.0)96.1(=Φ． 解：建立假设210:μμ=H ,211:μμ≠
H .
在0H 为真时,统计量~(0, 1)X Y
U
N =
.
对于给定的显着性水平0.05α
=,查标准正态分布表,可得 1.960.025==u u α,从而拒绝域为
1.96||>u .
又由1295=x
,1230=y ,841=σ,962=σ,0621
==n n ,得
|| 3.95 1.96u =
=>,
故应拒绝0H ,即认为此制造厂家的说法不可靠.
6.设二维随机变量
,(Y X 的联合分布律为
证明:X 和
Y 相互独立.
证：由联合分布律可求得X 和Y 的边缘分布律分别为
和
直接验证可知对任何3,2,1,=j i ,有 成立,所以X 和Y
相互独立.
7.设随机变量X 的分布律为
求:(1)常数a ;(2)}21{≤X
P ;(3)}2
3
1{≤≤X P ;(4)分布函数)(x F . 解：(1)由12131=++a ,得61
=a ;
(2)31
}0{}21{===≤X P X P ;
(3)6
1
}1{}231{====≤≤a X P X P ;
(4)由于X 的所有可能取值为2,1,0故应分情况讨论:
当0当10<≤
x 时,
}{)(x X P x F ≤=}0{==X P 3
1=
; 当21<≤
x 时,
}{)(x X P x F ≤=}1{}0{=+==X P X P 2
1=
; 当2≥x 时,
}{)(x X P x F ≤=}1{}0{=+==X P X P 1}2{==+X P .
从而
=)(x F ?????????≥<≤<≤<.
212121
103
1
00x x x x ，，，，，，，
8.某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X :3.25,3.27,3.24,3.26,3.24，
假设镍含量的测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(01.0=α)?6041.4)4(005.0=t
解：检验假设25.3:00==μμH ,25.3:01=≠μμH .
当0H 成立时,
统计量~(1)X T t n =-.
又05.0=α
时,查表得6041.4)4(005.0=t .于是0H 的拒绝域为
),6041.4()6041.4,(+∞--∞= W .
经计算252.3=x
,00017.02=s ,且5=n .于是
W n s x t ?=-=-=345.05
/00017.025.3252.30μ,
所以接受0H ,即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.
9.设有三只外形完全相同的盒子，甲盒中有14个黑球，6个白球，乙盒中有5个黑
球，25个白球，丙盒中有8个黑球42个白球，现在从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球；问（1）求取到黑球的概率；（2）若取到的是黑球，它恰好是从乙盒来的概率是多少？
解：设B 表示黑球，i A 表示从第i 个盒子取球（i=1,2,3）则 显然，123,,A A A 构成样本空间的一个划分，
1）
112212()()(|)()(|)()(|)
171114770.342231036325225
P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=?+?+?==
（2）222()(|)1/18
(|)0.1623()77225
P A P B A P A B P B =
==
10.设随机变量X
的密度函数为11()0,else x f x -<<=?
求:(1)常数A;(2)1
{||};2
P X <(3)分布函数F (x )；（4）(),()E X D X ；
解：（1
）1
101()2sin |f x dx Aarc x A π+∞-∞
-====?
?
(2)11
21211
()()23P X f x dx -<===??
(3)0,111()sin ,1121,1x F x arc x x x π
≤-???
=+-<
（4）()0EX xf x dx +∞-∞
==?
11.某电站供应10000户居民用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，若每
户用电0.2千瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95%的概率保证居民用电。).).((950651=Φ
解：设ξ表示用电的用户数，需要至少有k 千瓦发电量，则).,(~9010000b ξ
，
90010901000090009010000=??==?=..,.ξξD E ，
由中心极限定理得：95020..≥?
??
?
??≤
k P ξ， 即95090090005900
9000.≥?
??
?
?
?-≤
-k P ξ
即需要供应1809.9（或1810）千瓦的电才能保证供应。
12.设二维连续型随机变量(X ,Y )的联合概率密度为：
求：（1）常数c ；（2）求边缘密度函数(),()X Y f x f y ；（3）X 与Y 是否独立
解：（1）211
1
41(,)3
x
c f x y dxdy dx cdy -=
==
???? 3
4
c ?=
-------------------3分 （2）212
33(1),11
(),44
0,x X dy x x f x else ?=--<
? （3）(,)()()X Y f x y f x f y ≠?不独立
13.为了在正常条件下检验一种杂交作物的两种处理方案，在同一地块随机选择8
块地段。在各试验地段，按二种方案种植作物，这8块地段的单位面积产量是：一号方案：86,87,56,93,84,93,75,79；二号方案：80,79,58,91,77,82,74,66
假设这二种方案的产量均服从正态分布，问：（1）这二种方案的方差有无明显差异？（2）这二种方案的均值有无明显差异？（α均取0.05）。
0.025(7,7) 4.99F =；0.025(8,8) 4.43F =；()0.02514 2.1448t =；()0.02516 2.1199t =
解：在05.0=α
下检验：
设两种产量分别为,x y ，且设22
1122~(,),~(,)x N y N μσμσ (1)先在05.0=α
下检验：
22
22012112
:,
:H H σσσσ=≠； 取检验统计量为：2
122
s F s =，
则拒绝域为：1212122(1,1)(1,1)C F F n n F F n n αα-
??
=≤--≥--????
或
已知128,0.05n n α===，经计算得：
22211
2
22145.6964
81.625,75.875,145.6964,102.125, 1.4266102.125
s x y s s F s =======---4分
0.025(7,7) 4.99,F =0.9750.025(7,7)1(7,7)0.002F F ==，
由于检验统计量的观察值1.4266没有落在拒绝域中,故接受原假设H 0,即可以认为两个总体的方差没有显着差异； (1)再在05.0=α
下检验：
取检验统计量为：x y t =，其中22
2
112212(1)(1)2w n s n s s n n -+-=+-；
则拒绝域为：122||(2)C
t t n n α??
=≥+-????
；()0.02514 2.1448t = 经计算得：11.1315w s =，0.025|| 1.0331 2.1448(14)t t =<= 故接受H 0
,即认为两个总体的均值没有显着差异- 14.已知(),()P A a P B b ==，()0.7P A B a -=，其中0ab ≠且0.3b a >，求：()P(A )P A B B ++和。
解
()()()0.7P A B P B P A B b a +=+-=+，
()()()()P A B P A AB P A P AB ∴-=-=-，
()0.3P AB a ∴=，
15.某公司从甲、乙、丙三地收购某种药材，数量（株）之比为7:3:5，甲、乙、丙三地药材中优等品率分别为21%，24%，18%，若从该公司收购的药材中任取一株，如果取到的药材是优等品，求它恰好是从乙地收购来的概率是多少？
解设123,,A A A 分别表示甲，乙，丙地药材，B 表示优等品，
则根据贝叶斯公式有
16.设连续型随机变量X 的概率密度函数?
??<<--=其它,01
1),1()(2x x a x f ，求：⑴常
数α；⑵1
()2
P X ≥；⑶X 的分布函数()F x ；⑷期望EX ，方差DX 。
解（1）
123111()(1)()113f x dx x dx x x αα+∞
-∞
-=-=-=-?
?，∴3
4
α=
（2）1
212
135
()(1)2
432
P X x dx -≥=
-=
?
（3）301311()()114
3211
x F x x x x x <-?
??
=-+
-≤
（4）1
213
()(1)04
EX xf x dx x x dx +∞
-∞
-=
=-=?
?
（奇函数且积分区间对称） 17.某车间有同型号的机床200部,每部机器开动的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产?()95.065.1=Φ
解设X 表示某一时刻机器开动的台数,则X 服从)7.0,200(B ，设电厂至少要供应x 个单位的电能,则由题意,有
95.015≥????
??
≤x X P .
由棣莫弗-拉普拉斯定理,有
95.04214015
≥????
?
?
??-Φ≈x . 65.142
14015
≥-x ，25.22601569.150=?≥x . 故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
18.设总体X 的密度函数为：()()101
0x x f x θ
θ?+<<=?
?
其它
，n X X X ,,,21 是来自总体X 的样
本，求参数θ的矩估计和最大似然估计。
解(1)EX=21＋＋θθ=∑=n
1
i i X n 1
∴ θ的矩估计^
1
121
1n
i i X n θ==
--
∑，
(2)L(θ)=∏=+n
i i n
X 1
)
1(θθ
∴lnL(θ)=nln )1(+θ+∑=n
1
i i
lnX θ
∴ θ的极大似然估计1ln 111
^
--
=∑=n
i i X n θ
19.某医院从2009年的新生儿中随机抽出20个,测得其平均体重为3160克.样本标准差为300克,而根据2008年资料,新生儿平均体重为3140克,问2009年与2008年新生儿体重均值有无显着差异?(设体重服从正态分布,取09.2)19(,05.0025.0==t α), 解设
X 为2009年新生儿的体重,则由题意可设),(~2σμN X ,本题是要求在显着性水平
05.0=α下检验假设:
0100:,
:μμμμ≠=H H (其中31400=μ)
由于2
σ未知,故采用t 检验,取检验统计量为n
s x t /0
μ-=
,拒绝域为)}1(|{|2-≥=n t t C α.
已知,300,3160,20===s x n 所以
)19(09.211519
19
/30031403160||025.0t t =<<=-=
， 故接受0H ,即在显着性水平0.05下认为2009年新生儿的平均体重与2008年的没有显着差异.
20.若事件,A B 相互独立，且()0.4P A =，()0.6P A B +=，求(),()P B P AB .
解()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-
21.某厂有4条流水线生产同一批产品，产品分别占总量的15%，20%，30%，35%，且四条流水线中，不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02，现从中任取一件，求取到不合格品是第一条流水线生产的概率是多少？
解设i A ={第i 条流水线生产的产品}，1,2,3,4i =，B ={取到不合格品}， 则由贝叶斯公式有，
22.设连续型随机变量X 的概率密度函数为????
?≤≤=其他,
01
0,)(x x k x f ，求：⑴常数k ；
⑵P(4
1≥x )；⑶X 的分布函数()F x ；⑷期望、方差,EX DX 。
解（1
）
1
()1f x dx +∞
-∞
==?
?，∴3
2
k =
（2
）14
17()4
8
P X ≥=
=?
（3）()???
?
???≥<≤<=1
110002
3x x x x x F （4
）1
033()25
EX xf x dx +∞
-∞
=
==?
?
23.设二维随机向量（X ，Y ）的概率分布为
，Y 解（1∴ X 与Y 不独立。
（2）3.0)0,1()1,1()(===+===>Y X P Y X P Y X P
（3）4
1
4.01.0)1()1,1()11(===-===
=-=X P Y X P X Y P
（4）
24.某单位有120个电话分机，每个分机有5%的时间使用外线，假设各分机使用外线与否是相互独立的，试用中心极限定理计算，使用外线的分机的个数ξ在6至12个之间的概率。 Φ（2.5）=0.9938。
解ξ ～B （120，0.05）∴7.5,
6==npq np
=0.9938-0.5=0.4938
25.设总体X 的密度函数为：??
?
?
?≤≤=-其他
,
0,
10,),(1
x x x f θθθ,其中0>θ
为未知参数，
n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计。
解(1)1
),()(1
+=
==
??∞
∞
-θθθθθ
dx x dx x xf X E ,
令X =+1θθ
,解得θ矩估计量为2
1????
?
?
?-=X
X θ. (2)设n x x x ,,,21 是相应于n X X X ,,,21 的样本，则似然函数为 当n i x i ,,2,1,10 =≤≤时,0)(>θL ,并且
令
02ln 2ln 1=+=∑=θ
θθn
i i x n
d L d , 解得θ的极大似然估计量为
2
12
ln ???
????=∑=n
i i X n θ
.
26.某种电子元件的寿命X 服从正态分布()2
N μσ，
，其中2
μσ，均未知，现测得16只元件的寿
命的样本平均值241.5x
=，样本均方差98.73s =。问是否有理由认为元件的平均寿命大于240。
（0.01α
=，()0.0115 1.34t =）
解由题设X 服从()2
N
μσ，，且2
μσ
，未知
0240H μ≤：，1240H μ>：
由于μ未知，选择T 检验法
当
0H 成立时，有X T =服从()1t n -
又由0.01α
=，()0.0115 1.34t =
而由已知，241.5x =，98.73s =
则
t =
0.061 1.34=<
故接受0H ，拒绝1H ，即认为元件的平均寿命不大于240。
27.对一架飞机进行三次快速独立实验，命中率为0.6，而飞机中一弹、中二弹、中三弹被击落的概率分别为0.2，0.6，1.0，求射击三次后飞机被击落的概率。 0.5328
29.设随机向量（X,Y ）的联合分布律为： XY-112 -1α0.050.1
00.10.050.1 10.20.10.2
若X,Y 相互独立，求（1）α；（2）X,Y 的边际分布律；（3）X+Y 的分布律；（4）()Y X E ?。 （1）1.0=α
（2）
X-101 P0.250.250.5 Y-112 P0.40.20.4 (3)
X+Y-2-10123
P0.10.10.250.150.20.2
(4)0.15
30.设122212221A ?? ?
= ? ???
，求正交矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.
解21
22
2
1
2(1)(5)2
2
1
E A λλλλλλ----=---=+----
A 的特征值为1231, 5.λλλ==-= 对121λλ==-，求解()0E A x --=
故对应的特征向量为：12(1,1,0),(1,0,1)T T αα=-=- 正交化 单位化
1212121,1,0),1,1,2)T T ββεεββ=
=-=
=--. 对35λ=，求解(5)0E A x -=
特征向量为3(1,1,1),T α=
单位化333,T αεα=
=
令123(,,),0P εεε????==?
????
1115P AP --??
??=-??
????
.
31．设三阶实对称矩阵
A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值。若
T T T )3,2,1(,)1,1,2(,)0,1,1(321--===ααα都是A 的属于6的特征向量 （1）求A 的另一个特征值和对应的特征向量；
（2）求矩阵A 。
解：（1）
0=A 得03=λ
设另一个特征向量为T
x x x ),,(321=α
（2）1
1
110111121000060006110111121--????
? ??-????? ??????? ??-=Λ=P
P A =???
?
? ??--422242
22
4 32．设A 为三阶实对称矩阵，且满足022
=-+E A A
已知向量
????? ??=0101α,????
?
??=1012α,
是A 对应特征值1=λ
的特征向量，求n A ，其中n 为自然数。
解:0)2)((=+-E A E A ，特征值=λ1、1、－2，
2-=λ，特征向量T )1,0,1(-=α，所以
.
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生；
数三概率论与数理统计教学大纲
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
概率论与数理统计公式整理超全免费版
第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
概率论与数理统计心得体会
概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <
我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?
概率论与数理统计教学大纲(48学时)
概率论与数理统计课程教学大纲（48学时） 撰写人：陈贤伟编写日期：2019 年8月 一、课程基本信息 1.课程名称：概率论与数理统计 2.课程代码： 3.学分/学时：3/48 4.开课学期：4 5.授课对象：本科生 6.课程类别：必修课 / 通识教育课 7.适用专业：软件技术 8.先修课程/后续课程：高等数学、线性代数/各专业课程 9.开课单位：公共基础课教学部 10.课程负责人： 11.审核人： 二、课程简介（包含课程性质、目的、任务和内容） 概率论与数理统计是描述“随机现象”并研究其数量规律的一门数学学科。通过本课程的教学，使学生掌握概率的定义和计算，能用随机变量概率分布及数字特征研究“随机现象”的规律，了解数理统计的基本理论与思想，并掌握常用的包括点估计、区间估计和假设检验等基本统计推断方法。该课程的系统学习，可以培养学生提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力，并为学习后继课程打下一定的基础。 本课程主要介绍随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。 体现在能基于随机数学及统计推断的基本理论和方法对实验现象和数据进行分析、解释，并能对工程领域内涉及到的复杂工程问题进行数学建模和分析，且通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。 三、教学内容、基本要求及学时分配 1．随机事件及其概率（8学时） 理解随机事件的概念；了解样本空间的概念；掌握事件之间的关系和运算。理解概率的定义；掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握概率的加法公式、乘法公式；了解全概率公式、贝叶斯公式；理解事件的独立性概念。掌握应用事件独立性进行简单概率计算。理解伯努利试验；掌握二项分布的应用和计算。 2.随机变量及其分布（6学时） 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质；掌握应用概率分布计算简单事件概率的方法，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布和应用，掌握求简单随机变量函数的概率分布的方法。 3．多维随机变量及其分布（7学时）
《概率论与数理统计》课后习题答案
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点 数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -.
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第二章随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数 一、随机变量 随机试验的结果是事件，就“事件”这一概念而言，它是定性的。要定量地研究随机现象，事件的数量化是一个基本前提。很自然的想法是，既然试验的所有可能的结果是知道的，我们就可以对每一个结果赋予一个相应的值，在结果(本事件)数值之间建立起一定的对应关系，从而对一个随机试验进行定量的描述。 例2-1 将一枚硬币掷一次，观察出现正面H、反面T的情况。这一试验有两个结果：“出现H”或“出现T”。为了便于研究，我们将每一个结果用一个实数来代表。比如，用数“1”代表“出现H”，用数“0”代表“出现T”。这样，当我们讨论试验结果时，就可以简单地说成结果是1或0。建立这种数量化的关系，实际上就相当于引入一个变量X，对于试验的两个结果，将X的值分别规定为1或0。如果与样本空间 { } {H,T}联系起来，那么，对于样本空间的不同元素，变量X可以取不同的值。因此，X是定义在样本空间上的函数，具体地说是 1,当 H X X( ) 0,当 T 由于试验结果的出现是随机的，因而X(ω)的取值也是随机的，为此我们称 X( )X(ω)为随机变量。 例2-2 在一批灯泡中任意取一只，测试它的寿命。这一试验的结果（寿命）本身就是用数值描述的。我们以X记灯泡的寿命，它的取值由试验的结果所确定，随着试验结果的不同而取不同的值，X是定义在样本空间 {t|t 0}上的函数 X X(t) t,t 因此X也是一个随机变量。一般地有 定义2-1 设 为一个随机试验的样本空间，如果对于 中的每一个元素 ，都有一个实数X( )与之相对应，则称X为随机变量。 一旦定义了随机变量X后，就可以用它来描述事件。通常，对于任意实数集合L,X在 L上的取值，记为{X L}，它表示事件{ |X( ) L}，即 。 {X L} { |X( ) L} 例2-3 将一枚硬币掷三次，观察出现正、反面的情况。设X为“正面出现”的次数，则X是一个随机变量。显然，X的取值为0，1，2，3。X的取值与样本点之间的对应关系如表2-1所示。 表2-1 表2-1
《概率论与数理统计》袁荫棠_课后答案__概率论第一章
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8.掷3枚硬币,求出现3个正面的概率. 解:设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23,有利于A 的基本事件数n A =1,即A 为一基本事件, 则.125.0812 1)(3====n n A P A 9.10把钥匙中有3把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率. 解:设事件A ={能打开门},则为不能打开门 A 基本事件总数,有利于的基本事件数,210C n =A 27C n A =467.0157910212167)(21027==××?××==C C A P 因此,.533.0467.01(1)(=?=?=A P A P 10.一部四卷的文集随便放在书架上,问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?解:设A ={能打开门},基本事件总数,2412344=×××==P n 有利于A 的基本事件数为,2=A n 因此,.0833.012 1)(===n n A P A 11.100个产品中有3个次品,任取5个,求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解:设A i 为取到i 个次品,i =0,1,2,3, 基本事件总数,有利于A i 的基本事件数为5100C n =3,2,1,0,5973==?i C C n i i i 则w w w .k h d a w .c o m 课后答案网
00006.098 33512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(5100297335100 39723225100 49711510059700=××==××?××××××××====××= ×××××?××××××××====×××=×××××××?××××××××=×===××××=××××××××===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12.N 个产品中有N 1个次品,从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ),求其中有k (k ≤n )个次品的概率.解:设A k 为有k 个次品的概率,k =0,1,2,…,n ,基本事件总数,有利于事件A k 的基本事件数,k =0,1,2,…,n ,n N C m =k n N N k N k C C m ??=11因此,n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11?===??13.一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,计算任取3个球恰为一红,一白,一黑的概率.解:设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数,有利于A 的基本事件数为, 310C n =121315C C C n A =则25.04 12358910321)(310121315==×××××××===C C C C n n A P A 14.两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解:设A 为前两个邮筒没有信的事件,B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数,1644=×=n 有利于A 的基本事件数,422=×=A n 有利于B 的基本事件数, 632=×=B n 则25.041164)(====n n A P A .375.083166)(====n n B P B w w w .k h d a w .c o m 课后答案网
概率论与数理统计知识点汇总(详细)
概率论与数理统计知识点汇总(详细)
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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ）， 称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计试题及答案 (1)
《概率论与数理统计》考试试题A 卷（120分钟） 一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1、设事件A 和B 的概率为12 (),()23 P A P B = = 则()P AB 可能为（ ） A 、 0; B 、 1; C 、 0.6; D 、 6 1 。 2、 从1、2、 3、 4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（ ） A 、 12; B 、 225; C 、 425 ; D 、以上都不对。 3、投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ） A 、 518; B 、 13; C 、 1 2 ; D 、以上都不对。 4、某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e +=+，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ） A 、 0.1; B 、 0.5; C 、 0.25; D 、以上都不对。 5、一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） A 、 2.5; B 、 3.5; C 、 3.8; D 、以上都不对。 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = 2、设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =__ ___ 3、随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2 ()E ξ=__ ____ 4、甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为____ ___ 5、设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22 a f x x x =++，a 为常数， 则P (ξ≥0)=___ ___
概率论与数理统计课程教学大纲#
《概率论与数理统计》课程教案大纲 <2002年制定 2004年修订） 课程编号： 英文名：Probability Theory and Mathematical Statistics 课程类别：学科基础课 前置课：高等数学 后置课：计量经济学、抽样调查、实验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论 学分：5学分 课时：85课时 修读对象：统计学专业学生 主讲教师：杨益民等 选定教材：盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001年<第三版） 课程概述： 本课程是统计学专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。因为其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙，也是经济类各专业研究生招生测试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对实验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。 教案目的： 通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量<如0－1分布、二项分布、泊松概率论与数理统计知识点汇总(免费超详细版)
概率论与数理统计知识点汇总(免费超详细版)
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《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P
概率论与数理统计教学大纲
《概率论与数理统计》教学大纲 编写人：刘雅妹审核：全焕 一、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律的数学学科，是高等学校本科各专业的一门重要的基础理论课。本课程的任务是使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决、处理实际不确定问题的基本技能和基本素质，它是为培养我国现代建设所需要的高质量、高素质专门人才服务的。 二、教学基本要求 本课程按要求不同，分深入理解、牢固掌握、熟练应用，其中概念、理论用“理解”、“了解”表述其要求的强弱，方法运算用“会”或“了解”一词表述。 〈一〉、随机事件与概率 ⒈理解随机实验，样本空间和随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。 ⒉理解概率的定义，掌握概率的基本性质，能计算古典概型和几何概型的概率，能用概率的基本性质计算随机事件的概率。 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式。
⒋理解全概率公式和贝叶斯公式，能计算较复杂随机事件的概率。 ⒌理解事件的独立性概念，能应用事件的独立性进行概率计算。 6.理解随机实验的独立性概念，掌握n重贝努里实验中有关随机事件的概率计算。 〈二〉、一维随机变量及其概率分布 ⒈理解一维随机变量及其概率分布的概念. 2.理解随机变量分布函数的概念,了解分布函数的性质,会计算与随机变量有关的事件的概率. 3.理解离散型随机变量及概率分布的概念.掌握0-1分布、二项分布、泊松分布及其它们的应用。 4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其它们的应用。 5.会求简单的随机变量的函数的分布。 〈三〉、二维随机变量及其分布 ⒈了解二维（多维）随机变量的概念。 ⒉了解二维随机变的联合分布函数及其性质；了解二维离散型随机变的联合概率分布及其性质；了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数及其性质，并会用这些性质计算有关事件的概率。 3．掌握二维离散型与二维连续型随机变量的边缘分布的计算，了解条件分布及其计算。 4．理解随机变量独立性的概念，掌握运用随机变量独立性进行概率计算。
《概率论与数理统计》课程自学指导书要点
《概率论与数理统计》课程自学指导书 前言 . . 《概率论与数理统计》是城市规划专业和地理信息系统专业的专业必修课。《概率统计》教材系统阐述了概率论和数理统计的基本内容、理论和应用方法。概率统计是研究随机现象客观规律的数学学科，它的应用非常广泛，并具有独特的思维和方法。通过概率论的学习能使学生了解概率与数理统计的基本概念和基本理论，初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。通过本课程的学习，能够为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。其内容可分为三大部分。第一部分概率论部分，包括第一、二、三、四、五章。作为基础知识，为读者提供了必要的理论基础。第二部分数理统计部分，包括第六、七、八、九章，主要讲述参数估计和假设检验，并介绍了方差分析和回归分析。第三部分随机过程部分，主要讨论了平稳随机过程，还介绍了马尔可夫过程。 本指导书是作为函授学员在集中授课后，指导自学而编制的。内容较为简明扼要。主要是为了让学员能够抓住要领，掌握重点，理解难点，从而达到能够融会贯通、灵活掌握概率统计的基本概念、基本理论从而解决实际问题的目的。 本指导书的主要参考书目： １．景泰等编。概率论与数理统计.上海科学技术文献出版社,1991. ２．玉麟主编。概率论与数理统计.复旦大学出版社，1995。 ３．大茵，陈永华编。概率论与数理统计。浙江大学出版社.1996 本课程的考核内容以教学大纲为依据，注重基本概念、基本理论的掌握和应用的考核。主要考核方式为笔试。 第一章概率论的基本概念 一、内容概述# 本章介绍了概率论的基本概念：随机试验、样本空间、随机事件、频率与概率，讨论研究等可能概型问题、条件概率及独立性问题。 二、教学目的要求# （1）理解并掌握概率论的基本概念。 （2）理解掌握等可能概型问题。 （3）理解并掌握条件概率。 （4）了解独立性。 三、重、难点内容解析# 1．随机试验,样本空间,概率的概念。 自然界和社会经济生活中存在许多随机现象,我们通过随机试验研究随机现象的统计规律.随机试验的研究采用集合的方法,因而引入样本空间、随机事件和概率的概念。需要掌握事件的运算关系、概率的定义及性质。 2.等可能概型（古典概型）。 掌握古典概型的特点及计算公式：P(A)= k/n。掌握超几何分布的概率公式。 3.条件概率。 掌握条件概率的定义、公式，乘法定理，全概率公式，贝叶斯公式
概率论与数理统计知识点总结(详细)
《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件 (2) §4等可能概型（古典概型） (3) §5．条件概率 (4) §6．独立性 (4) 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量 (5) §2离散性随机变量及其分布律 (5) §3随机变量的分布函数 (6) §4连续性随机变量及其概率密度 (6) §5随机变量的函数的分布 (7) 第三章多维随机变量 (7) §1二维随机变量 (7) §2边缘分布 (8) §3条件分布 (8) §4相互独立的随机变量 (9) §5两个随机变量的函数的分布 (9) 第四章随机变量的数字特征 (10) §1．数学期望 (10) §2方差 (11)
§3协方差及相关系数 (11) 第五章 大数定律与中心极限定理 (13) §1． 大数定律 ...................................................................................... 13 §2中心极限定理 . (13) 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=??
