七年级培优题
1、如图,在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ,AC ,那么这两条对角线的夹角等于 度。
2.。.
221x x x ++-+-的最小值是_______
3、已知0132
=+-x x , 则
=++1
32
42
x x x 。 4,一个长方体的长、宽、高分别为9cm, 6cm, 5cm ,先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体,再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体,最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体,那么经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3.
5、如图,三角形ABC 的面积为1,BD ∶DC=2∶1,E 为AC 的中点,AD 与BE 相交于P ,那四边形PDCE 的面
积为 。
6、如图,已知梯形ABCD ,AD ∥BC ,∠B+∠C=90°,EF=10,E ,F 分别是AD ,BC 的中点,则BC -AD =________
7、如图,正方形ABCD 的边长为1,P 为AB 上的点,
Q 为AD 上的点,且△APQ 的周长为2, 则∠PCQ=_______
8、在长方形内画一些直线,已知边上有三块面积分别为13,35,49,图中的数据表示所在的小块面积,
则图中的阴影部分的面积为 。 9、如图,设O 是等边三角形ABC 内一点,
已知∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以 OA ,OB ,OC 为边所构成的三角形的各内 角的度数分别为 。 10、已知a 、b 、c 都不等于零,且c c b b a a m
||||||++=
,|
|abc abc
n =,那么n m +=_______ 11如果a 、b 、c 满足a +2b +3c =12,且a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ,则代数式a +b 2+c 3=_______
12.如图,在长方形ABCD 中,已知AD=12、AB=5、BD=AC=13,P 是AD 上任意一点,PE ⊥BD 、PF ⊥AC ,那么PE+PF=_______ 【提示 长方形的对角线相等且互相平分】 13.在⊿ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,AB+BD=DC ,求证 ∠B=2∠C
(10)
(6)
C
D
C
14、已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .
(1)直接写出线段EG 与CG 的数量关系; (2)将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o,如图2所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG . 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?
15、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF . 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是
BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
D
图1
D 图2 图3 D
16、已知Rt ABC △中,90AC BC C D ==?,∠,为AB 边的中点,90EDF ∠=°,
EDF ∠绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F . 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时(如图1),易证1
2
DEF CEF ABC S S S +=
△△△.
当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.
17、在ABC △中,2120AB BC ABC ==∠=,°,
将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△,交AC 于点E ,11A C 分别交
AC BC 、于D F 、两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段1EA 与FC 有怎样的数量关系?并证明你的结论;
A
D
B
E
C
F 1A
1C
A
D
B
E
C
F 1A
1C
A
D
F
C G
B
图1
A
D
F
C G B 图2
A
D
F
C G
B
图3
A E
C F
B D 图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E 图2
F
(2)如图2,当α30=°时,试判断四边形1BC DA 的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求ED 的长.
18、点C 为线段AB 上一点,△ACM, △CBN 都是等边三角形,线段AN,MC 交于点E ,BM,CN 交于点F 。求证: (1)AN=MB.
(2)△CEF 为等边三角形。
(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立?(只回答不证明),
(4)AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化,(只回答不证明)。
19、直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠.
(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF
AF -(填“>”,“<”或“=”号);
②如图2,若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ;
(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明.
A
B
A
B
A
B
C E F D
D
A
B
C
E F A
D
F
C E
B
图1
图2
图3