微积分笔记
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数: ??
?∈∈=2
1
)
()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1
(x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X 也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D
当x 1＜x 2时, 若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
奇函数：f(-x)=-f(x) 偶函数：f(-x)=f(x) 3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A y
n
n =∞
→lim
称数列{}n y 以常数A 为极限；或称数列{}n y 收敛于A. 定理: 若{}n y 的极限存在
?{}n y 必定有界.
2.函数的极限： ⑴当∞→x 时，
)
(x f 的极限：
A x f A x f A x f x x x =??
??
?
==∞→+∞
→-∞→)(lim )(lim
)(lim
⑵当
0x x →时，)
(x f 的极限：
A x f x x =→)(l i m
左极限：
A x f x x =-→)(lim 0
右极限：A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件： 定理：
A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量 1．
无穷大量：
+∞=)(l i m x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指： ,,,∞→+∞→-∞→x x x 000,,x x x x x x →→→+
-
2． 无穷小量：
0)(l i m =x f 称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim
0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f
4． 无穷小量的比较：
l i m ,0l i m ==βα
⑴若0lim
=α
β
,则称β是比α较高阶的无穷小量； ⑵若
c =α
β
lim
（c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量； ⑶若1lim
=α
β
，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若∞=α
β
lim
,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：；，2211~~βαβα
则：21
2
1
l i m
l i m ββαα=
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设：
n n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且： a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则：
a x n n =∞
→l i m
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点x 0的某个邻域内的一切点（点x 0除外） 有：)()()(x h x f x g ≤≤
且：A x h x g x x x x ==→→)(l i m )(l i m 0
则：
A x f x x =→)(l i m 0
㈣极限的运算规则 若：B
x v A x u ==)(lim ,)(lim
则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
②B A x v x u x v x u ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[
③B
A
x v x u x v x u =
=)(lim )(lim )()(lim
)0)((l i m ≠x v
推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±
)
(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=
②)(lim )](lim[x u c x u c ?=?
③n n x u x u )]([lim )](lim [=
㈤两个重要极限 1．1si n l i m
=→x
x
x 或
1)
()
(sin lim
)(=→x x x ???
2．
e x
x
x =+∞→)11(l i m
e x x
x =+→10
)
1(l i m
§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：
)(x f 在
0x 的邻域内有定义，
1o
0)]()([l i m l i m 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x
2o )()(l i m 00
x f x f x x =→
左连续：
)()(lim 00
x f x f x x =-
→ 右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在0x 处连续的充要条件：
定理：
)
()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==?=+-→→→
4. 函数在[]b a ,上连续：
)
(x f 在
[]b a ,上每一点都连续。
在端点a 和b 连续是指：
)()(l i m
a f x f a x =+
→左端点右连续；
)()(l i m b f x f b x =-
→ 右端点左连续。
a 0
b x 5. 函数的间断点： 若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况： 1o )(x f
在
0x 处无定义；
2o
)(l i m 0
x f x x →不存在；
3o
)(x f
在
0x 处有定义，且)(lim 0
x f x x →存在，
但
)
()(l i m
00
x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：
)(l i m
x f x x -
→和)(lim 0
x f x x +→都存在。
可去间断点：
)(lim 0
x f x x →存在，但
)()(l i m
00
x f x f x x ≠→，或)(x f 在0x 处无定义。
2o 第二类间断点：
特点：
)(l i m
x f x x -
→和)(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(l i m 0
x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：)(l i m
x f x x -
→和)(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1. 连续函数的四则运算：
设)()(l i m 00
x f x f x x =→，)()(l i m 00
x g x g x x =→
1o )()()]()([l i m 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)()()]()([l i m 000
x g x f x g x f x x ?=?→ 3o )()()()(l i m
000
x g x f x g x f x x =→ ??
? ??≠→0)(l i m 0x g x x
2. 复合函数的连续性：
)]([),(),
(x f y x u u f y ??===
)]([)(l i m
),
()(l i m 0)
(000
x f u f x x x u x x ????==→→
则：)]([)](l i m
[)]([l i m
00
x f x f x f x x x x ???==→→
3. 反函数的连续性：
)
(),
(),
(001
x f y x f
x x f y ===-
)()(l i m
)()(l i m
01
1
00
y f
y f
x f x f y y x x --→→=?=
㈢函数在],[b a 上连续的性质 1.最大值与最小值定理：
)(x f 在],[b a 上连续?)
(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。
x
2.有界定理：
)
(x
f在]
,
[b
a上连续?)
(x
f在]
,
[b
a上一定有界。
3.介值定理：
)
(x
f在]
,
[b
a上连续?在)
,
(b
a内至少存在一点ξ，使得：c
f=
)
(ξ，其中：M
c
m≤
≤
x
x
)
(x
f在]
,
[b
a上连续，且)
(a
f与)
(b
f异号
?在)
,
(b
a内至少存在一点ξ，使得：0
)
(=
ξ
f。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。
第二章一元函数微分学
§2.1 导数与微分
一、主要内容
㈠导数的概念
1．导数：
)
(x
f
y=在0
x
的某个邻域内有定义，
x
x
f
x
x
f
x
y
x
x?
-
?
+
=
?
?
→
?
→
?
)
(
)
(
l i m
l i m0
)
(
)
(
lim
0x
x
x
f
x
f
x
x-
-
=
→
)
(
0x
x
x
x dx
dy
x
f
y
=
=
=
'
=
'
2．左导数：
)
(
)
(
lim
)
(
0x
x
x
f
x
f
x
f
x
x-
-
=
'
-
→
-
右导数：0
00)
()(lim )(0
x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；
则：)(lim )(0
0x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(0
0x f x f x x '='+
→+） 3.函数可导的必要条件： 定理：
)(x f 在
0x 处可导?
)(x f 在
0x 处连续
4. 函数可导的充要条件： 定理：)(00
x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-
'='?，且存在。 5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f ' 6.导数的几何性质： y ?
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点
x ?
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0 ㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算：
1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '
?+?'='?)（
3o 2
v
v u v u v u '
?-?'=
'?
?
?
?? )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),
(x f y x u u f y ??===
dx
du
du dy dx dy ?=，或
)()]([})]([{x x f x f ???'?'='
☆注意})]([{'
x f ?与)]([x f ?'的区别：
})]([{'x f ?表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ?'表示复合函数对中间变量)(x ?求导。
4.高阶导数：
)
(),
(),
()
3(x f
x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
( ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在
x 的某个邻域内有定义，
)()(x o x x A y ?+??=?
其中：
)(x A 与x ?无关，)(x o ?是比x
?较高阶的无穷小量，
即：
0)
(lim
=??→?x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ?=)(
dx x A dy )(=
)0(→?x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ?
在
x 处可导，且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的微分dy 都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用
一、主要内容 ㈠中值定理 1.罗尔定理:
)(x f 满足条件:
.0)(,),().()(3;),(2],[10.0
.0.='???
???=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少在内可导在上连续；在
o
2.
a
b a f b f f b a b a b a --=
'?
???)
()()(),(),(2],[100
ξξ，使得：
在一点内至少存
在内可导；
在上连续
，在 ㈡罗必塔法则：（∞
∞
,00
型未定式） 定理：
)(x f 和)(x g 满足条件：
1
o ）
或）或∞=∞=→→(0
)(l i m (0)(l i m x g x f a
x a
x ；
2o 在点a 的某个邻域内可导，且
0)(≠'x g ；
3o
）（或∞=''∞→,)
()
(lim
)
(A x g x f a x
则：
）（或∞=''=
∞→∞→,)
()
(lim
)
()
(lim
)
()
(A x g x f x g x f a x a x
☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o 若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是
型或
∞∞型时，不可求导。
3o 应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。 4o 若
)(x f '和)(x g '还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
）
（或∞=''''=
''=
∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )
()
(lim
)
()
(lim
)
()
(lim
)
()
()
( 5o 若函数是
∞-∞∞?,0型可采用代数变
形，化成
或∞
∞型；若是00,0,1
∞∞
型可
采用对数或指数变形，化成0
0或∞∞
型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
),(),
(00y x M x f y =
切线方程：
))((000x x x f y y -'=-
法线方程：)0)((),
()
(1
0000≠'-'-=-x f x x x f y y
2． 曲线的单调性： ⑴
),(0
)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ?
),(0
)(b a x x f ∈≤'内单调减少；在),()(b a x f ?
⑵
),(0
)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ?
),(0
)(b a x x f ∈<'内严格单调减少在),(b a ?
3.函数的极值：
⑴极值的定义：
设)(x f 在
),(b a 内有定义，0
x 是),(b a 内的一点；若对于
x 的某个邻域内的任意点
x x ≠，都有：
)]
()()[()(00x f x f x f x f ≤≥或则称
)
(0x f 是
)
(x f 的一个极大值（或极小值），称
x 为
)
(x f 的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
)()(.2)()(.100000=??
??
'x f x f x f x f 存在。存在极值
x 称为
)
(x f 的驻点
⑶极值存在的充分条件：
定理一：
是极值点。
是极值；
时变号。过不存在；或处连续；
在000000000)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ?
??
?
??''=' 当x 渐增通过0x 时，)(x f 由（+）变（-）；则
)
(0
x f 为极大值；
当
x 渐增通过0x
时，
)(x f 由（-）变（+）；则)(0x f 为极小值。
定理二：
是极值点。是极值；存在。；
0000
00)()(.20)(.1x x f x f x f ??
??''='
若0)(0<''
x f ，则)
(0x f 为极大值； 若
0)(0>''
x f ，则
)
(0x f 为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若()b a x x f ,,0)(∈>''；则
)(x f 在
),(b a 内是上凹的
（或凹的），（∪）；
⑵若
()b a x x f ,,0)(∈<''；则)(x f 在),(b a 内是下凹的（或凸的），（∩）；
⑶()的拐点。为称时变号。过，
)()(,)(.20)(.1000000x f x f x x x f x f ???
?''=''
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
的水平渐近线是或若)()(l i m
)(l i m
x f A y A x f A x f x x =?
???
??==+∞
→-∞→
⑵铅直渐近线：
的铅直渐近线。是或若)()(l i m )(l i m x f C x x f x f C x C
x =??????∞=∞=+-→→
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：D x x F x f ∈),(),(
若：
)()(x f x F =' 则称)(x F 是)(x f 的一个原函数，
并称
C
x F +)(是
)(x f 的所有原函数,其中C 是任意常数。
2．不定积分： 函数
)(x f 的所有原函数的全体，称为函数)(x f 的不定积分；记作：
?
+=C
x F dx x f )()(其中：
)(x f 称为被积函数；
dx x f )(称为被积表达式；
x 称为积分变量。
3. 不定积分的性质： ⑴ []
)()(x f dx
x f ='?
或：
[]
dx x f dx x f d
)()(=?
⑵ C x f dx x f +='?
)()( 或：
C x f x df +=
?)()(
⑶
?+++dx x f x f x f
n )]()()([21
?
?
?
+
++
=
dx x f dx x f dx x f n )()()(21
—分项积分法 ⑷
?
?=dx x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)
4.基本积分公式： ㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
?
'dx
x x f )()]([???
?
=)()]([x d x f ??凑微元
C
t F dt t f x t +==?
?
=)()()
(?令
C
x F x t +=?
=)]([)
(??回代
常用的凑微元函数有： 1
o
)(1
)(1b ax d a
ax d a dx +==
)0,(≠a b a 为常数，
2o
)()
1(1
1111b ax d m a dx m dx x m m m
++=+=++为常数）（m
3
o
)(1
)(b ae d a
e d dx e x x x +=
=
)1,0(),(ln 1
≠>=
a a a d a
dx a x x
4
o
)(ln 1
x d dx x
=
5o )(sin cos )
(cos sin x d xdx x d dx =-=
)(c o t c s c )
(t a n s e c 22x d x d x x d x d x -==
6o
)(arccos )(arcsin 112
x d x d dx x
-==-
)c o t ()(a r c t a n 11
2
x a r c d x d dx x
-==+
2.第二换元法：
?
?
?
==)()]([)()
(t d t f dx
x f t x ???令
?+=
'=C t F d x t f t )()]([)(??
C
x F x t +=-=?
-)]([1)
(1
??
反代
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换： 1o
0,,
>=t n t x n 为偶数时(当被积函数中有
n
x 时)
2o 2
0),
cos (,sin π
≤
≤==t x a x t a x 或 (当被积函数中有
2
2x a -时)
3o
)0(,0),cot (,tan 2
2
π
π
≤<<≤==t t t a x t a x 或
(当被积函数中有22x a +时)
4o
)0(,0),
csc (,sec 2
2
π
π
≤
<<
≤==t t t a x t a x 或
(当被积函数中有22a x -时)
㈢分部积分法： 1. 分部积分公式：
?
?
?
?
???'-
?='?-
?=v d x
u v u dx v u vdu
v u udv
2.分部积分法主要针对的类型： ⑴?
?
xdx x P xdx x P cos )(,
sin )(
⑵?
dx e x P x )(
⑶?xdx x P ln )(
⑷?
?
xdx x P xdx x P arccos )(,
arcsin )(
?
?xdx arc x P xdx x P cot )(,
arctan )(
⑸
?
?
bxdx
e bxdx e ax ax cos ,
sin
其中：
n
n n a x a x a x P +++=- 110)( （多项式）
3.选u 规律：
⑴在三角函数乘多项式中，令
u
x P =)(，其余记作dv;简称“三多选多”。
⑵在指数函数乘多项式中，令u x P =)(，其余记作dv;简称“指多选多”。 ⑶在多项式乘对数函数中，令
u x =ln ，其余记作dv;简称“多对选对”。
⑷在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为u ，其余记作dv;简称“多反选反”。 ⑸在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为u ，其余记作dv;简称“指三任选”。 ㈣简单有理函数积分：
1. 有理函数：)()()(x Q x P x f = 其中 )()(x Q x P 和是多项式。
2. 简单有理函数：
⑴2
1)()(,
1)()(x x P x f x
x P x f +=
+= ⑵)
)(()()(b x a x x P x f ++=
⑶b
a x x P x f ++=
2
)()()(
§3.2定积分 f(x)
一． 主要内容
（一）.重要概念与性质
1. 定积分的定义： O a x 1 x 2 x i-1 ξi x i x n-1 b x
b
a
n
i i n x f dx x f )()(1
0lim =∞
→→?=
?
∑
ξ定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。 定积分的几何意义：是介于x 轴，曲线y=f(x), 直线x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。 x 轴上方的面积取正号， y
x 轴下方的面积取负号。 + +
a 0 -
b x 2. 定积分存在定理：
[]b a x x f y ,)
(∈=设：
若：f(x)满足下列条件之一:
[][],)(.2;
,)(.1上有有限个在连续，b a x f b a x x f
∈[][]上可积。
在则：上单调有界在b a x f b a x f ,)(;,)(.3
若积分存在，则积分值与以下因素无关：
[][][]
上任意选取。
可以在的选取无关，即与点可以任意划分上的划分无关，即与在即与积分变量形式无关，i i i i b
a
b
a
x x b a b a dt t f dx x f ,13;
,,2;
)()(1-?
?
=
ξξ 有关。
与区间积分值仅与被积函数],[)(b a x f
3.
牛顿——莱布尼兹公式：
[])
()()
()(,)()(a F b F x F dx x f b a x f x F b
a
b
a -==?则：上的任意一个原函数：在是连续函数若*牛顿——莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。 4.
原函数存在定理：
[][]
)
())(()(],[)()(,,
)()(,,)(x f dt t f x b a x f x b a x dt t f x b a x x f x
a
x
a
='='∈=
∈?
?
???且：上的一个原函数，
在是则：连续，若
5. 定积分的性质：
上可积，则在设],[)(),(b a x g x f
?
?
=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()(1
?
?
-=a
b
b
a dx x f dx x f )()(2
[]0
)(4
)()()()(3=±
=
±?
?
?
?dx x f dx
x g dx x f dx x g x f a a
b
a
b
a
b
a
)()()()(5b c a dx x f dx x f x f b
c
c
a
b
a <<+
=
?
?
?
a b dx b
a
-=?
16
y
b x
x g a ?
≤)((则[]上的最小值和最大值。
在分别为其中估值定理：b a x f M m a b M dx x f a b m b
a
,)(,)
()()(8-≤≤
-?
y y
m
0 b 9a a
-：（二）定积分的计算： 1. 换元积分
)(],[)(t x b a x x f ?=∈，连续，设
[],,)(βα?∈'t t 连续，若
,
)(,)(,
)(b a b a t t ==β?α??βα变到单调地从时，变到从且当
[]dt
t t f
dx x f b
a )()()(??β
α
'?=
?
?则：
2. 分部积分
?
?
-
?=b
a
b a
b
a
v d u v
u u d v
3. 广义积分
?
?
?
+∞
∞
-+∞∞
-+=0
)()()(dx x f dx x f dx x f
4.
定积分的导数公式
)())(1x f dt t f x
a
x =
'?
（ [])()(])([2)
(x x f dt t f x x a
???'?=
'?
[][])()()()(])([31
12
2)
()
(21x x f
x x f dt t f x x x ??????'?-'?=
'?
(三)定积分的应用
1. 平面图形的面积:
)(,,,
0)(1b a b x a x x f y <==>=由
与x 轴所围成的图形的面积 y f(x)
?
=
b
a
dx
x f s )(
(),
(),(221g f x g y x f y >==由
[]dx
x g x f s b x a x b
a
?-
=
==)()(,所围成的图形的面积
与
)(),
(),
(321?φ?φ>==y x y x 由
[]
dy y y s d y c y d
c ?-=
==)()(,?φ所围成的图形的面积与
：求平面图形面积的步骤.4
①.
求出曲线的交点，画出草图；
②. 确定积分变量，由交点确定积分上下限； ③. 应用公式写出积分式，并进行计算。 2.
旋转体的体积
b x a x x f y ==>=,,0)(1与曲线及x 轴所围图形绕x 轴旋转所
得旋转体的体积： dx x f
V b
a
x )(2
?
=π
0 a
y x >=
,0)(2与由曲线φ得旋转体的体积： dy
y V d
c
y )(2?
=φπ
第四章 多元函数微积分初步 §4.1 偏导数与全微分
一. 主要内容： ㈠. 多元函数的概念
2. 二元函数的定义：
D y x y x f z ∈=),(),( )(f D 定义域：
3. 二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线） ㈡. 二元函数的极限和连续：
1. 极限定义：设z=f(x,y)满足条件：
的某个领域内有定义。在点),(100y x 可除外）（点),(00y x
A y x f y y x x =→→),(lim
20
。极限存在，且等于在则称A y x y x f z ),(),(00=
2.
连续定义：设z=f(x,y)满足条件：
的某个领域内有定义。在点),(100y x
),(),(lim
2000
y x f y x f y y x x =
→→
处连续。在则称),(),(00y x y x f z =
㈢.偏导数：
点在定义),(),,(:00y x y x f
x
y x f y x x f y x f x x
?-?+='→?)
,(),(lim ),(00000
00
y
y x f y y x f y x f y y
?-?+='→?),(),(lim ),(00000
00
的偏导数。
处对在分别为函数y x y x y x f y x f y x f y x ,),(),(),(),,(000000''
处的偏导数记为：
内任意点在),(),(y x D y x f z =
x x
z x
z
x y x f y x f '=??=??='),(),(
y y
z y
z
y y x f y x f '=??=??='),(),(
㈣.全微分：
1.定义：z=f(x,y)
),(),(y x f y y x x f z -?+?+=?若
)(ρo y B x A +?+?=
）是比（无关，、与、其中，ρo y x B A ??
较高阶的无穷小
量。22y x ?+?=ρ
y B x A y x df dz ?+?==),(:则),(y x f z =是 在点(x,y)处的全微分。
3.
全微分与偏导数的关系
.),(),(),,(D y x y x f y x f y x ∈''连续，定理：若
处可微且在点则：),(),(y x y x f z =
dy y x f dx y x f dz y x
),(),('+'=
㈤.复全函数的偏导数：
1.),(),,(),,(y x v v y x u u v u f z ===设：
[]),(),,(y x v y x u f z
=∴
x
v
v z x u u z x z ?????+?????=??则：
y
v
v z y u u z y z ???
??+?????=?? 2.
)(),(),,(x v v x u u v u f y ===设
)](),([x v x u f y =∴
㈥.隐含数的偏导数：
1.
(
,0),,(=
=f z z y x F 设
z
y z x F F y z
F F x z ''-
=??''-=??,则
2.
0),(,0),(≠'==y
F x f y y x F 且设y
x F F dx dy
''-
=则
㈦.二阶偏导数：
)(),(22x
z
x x z y x f xx ????=??=''
)(),(2
2y
z
y y z y x f y y ????=??=''
)(),(2x z
y y x z
y x f xy
????=
???='' )(),(2y
z
x x
y z
y x f y x ????=
???=
'' 的连续函数时，为和结论：当y x y x f y x f yx xy
,),(),(''''),(),(y x f y x f yx xy
''=''则：
㈧.二元函数的无条件极值
1. 二元函数极值定义：
dx
dv v y dx du u y dx dy ???+???=
某一个邻域内有定义
在设),(),(00y x y x z []),(),(),,(),(0000y x z y x z y x z y x z ≥≤或若
,)(),(),(00值或极小的一个极大是则称y x z y x z
值点。或极小的一个极大是称)(),(),(00y x z y x
☆ 极大值和极小值统称为极值， 极大值点和极小值点统称为极值点。 2.极值的必要条件：
)
,(),(),(0000y x y x y x f z 有极值，且在在点若=两个一阶偏导数存在，则：
0),(0),(0000='='y x f y x f y
x
★，
的点使),(0),(),(1000000y x y x f y x f y x ='='
的驻点。称为)(,y x f z =
的必要条件，定理的结论是极值存在 2而非充分条件。
例：122
+-=x y
z
??
?===+='=-='0
20200y x y z x z y x 解出驻点 1)0,0(=z
11),0(0,02>+=≠=y y z y x 时，当
11)0,(0,02<+-==≠x x z y x 时，当
∴驻点不一定是极值点。 4. 极值的充分条件：
的某个领域内在设：函数),(),(00y x y x f y =
为驻点，
有二阶偏导数，且),(00y x []
),(),()
,(00002
00y x f y x f y x
f p yy xx
xy
''?''-''=
若：
??
??>''?<''<为极小值。时，为极大值。时，且当：),(0),(),(0),(000000000y x f y x f y x f y x f p xx
xx
微积分笔记
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1 ) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时, 若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 奇函数：f(-x)=-f(x) 偶函数：f(-x)=f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1. 数列的极限: A y n n =∞ →lim 称数列{}n y 以常数A 为极限；或称数列{}n y 收敛于A. 定理: 若{}n y 的极限存在 ?{}n y 必定有界.
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3
1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限
高等数学笔记
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后： 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源：https://www.sodocs.net/doc/5710626715.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。 文章来源：https://www.sodocs.net/doc/5710626715.html,/ 注意： （1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源：https://www.sodocs.net/doc/5710626715.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。 经济数学-微积分模拟试题-按模块分类 一、单项选择题（每小题3分，） 1.下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(2 2 =+=x g x x x f 2.已知1sin )(-= x x x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量． A. 0→x B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x 3. ? ∞+1 3 d 1x x （ C ）． A. 0 B. 2 1- C. 2 1 D. ∞+ 1.下列函数中为奇函数的是（ ）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) x x y -+=e e (D) x x y +=2 2.下列结论正确的是（ ）．C (A) 若0)(0='x f ，则0x 必是)(x f 的极值点 (B) 使)(x f '不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点 (C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在，则必有0)(0='x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点 3.下列等式成立的是（ ）．D (A) x x x d d 1= (B) )1d( d ln x x x = (C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数x x x f -= 1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 第一章 代数运算与自然数 主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用 重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b 12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。 可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。 可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。 根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则： （1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。 （2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。 根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。 只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。 归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立 大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在 二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。 序 中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所着的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。这是朴素的、也是很典型的极限概念。而极限理论便是微分学的基础。 古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。 17世纪，许多着名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。 19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来。 1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。 人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类认识微积分的水平在不断深化。 ※ 微积分学(Calculus,拉丁语意为用来计数的小石头)是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。 微积分学在科学、经济学和工程学领域被广泛的应用，来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。 ※ 在高二上学期的数学学习过程中，我们认识了导数和定积分，并开始了对其应用的理解和练习。其实，早在高中物理开始不久后的学习中，我们就接触到了微积分的原型——微元法。同当年的科学家一样，我们也因物理上的应用需要，开始了对微积分学的认识之旅。 借着这次研究性学习的契机，我们就了解一下微积分学的发展历史，认识数学研究对社会发展的重要意义，本着“以史为镜”的态度了解其中波折而有趣的发展历程；并由此拓展自己的知识面， 积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质 >区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则 基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用 1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 d 1 2 lim2,, x d x ax b a b → ++ = ｘ ｘ ２ ２ １ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In1 x+; 2 32 2 y x x =-; 3 2 log,(0,1), 1 x y R x = - ; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)()1m lim lim2 (1)(3)34 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→ -+++ === -++ ∴=∴=-= 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 sin lim x x x → -∞+∞ 在区间（，）是连续函数（） 3、 f"(x）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（） 5、设函数ｆ(x)在[] 0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( ) f x f f C f f <===- 令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=222 11 1 3 3 000 2 (2) lim lim lim 12 x x x x x x e e x e x x - - →→→ - ===+∞ - 微积分基础形成性考核作业（一） ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 2．函数x x f -=51)(的定义域是 ． 3．函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ． 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ． 5．函数???>≤+=0 e 2 )(2x x x x f x ，则=)0(f ． 6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 7．函数1 3 22+--=x x x y 的间断点是 ． 8．=∞→x x x 1 sin lim ． 9．若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 10．若23sin lim 0=→kx x x ，则=k ． 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 3．函数2 22)(x x x x f -+=的图形是关于（ ）对称． A ．x y = B ．x 轴 C ．y 轴 D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．x ln C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x + 5．函数)5ln(4 1 +++= x x y 的定义域为（ ）． A ． 5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 6．函数) 1ln(1 )(-= x x f 的定义域是（ ）． A ． ),1(+∞ B ．),1()1,0(+∞? C ．),2()2,0(+∞? D ．),2()2,1(+∞? 7．设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 8．下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等． A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(x x f =， x x g =)( C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= 9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2x x 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)经济数学微积分试题
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