2019北京市西城区高一(上)期末
数学 2019.1 试卷满分:150分考试时间:120分钟
A卷 [三角函数与平面向量] 本卷满分:100分
(A)向右平移
6个单位(B)向右平移
3
个单位
(C)向左平移π
6
个单位(D)向左平移
π
3
个单位
11.若
1
cos
2
θ=-,且θ为第三象限的角,则tanθ=______.
12.已知向量(1,2)
=
a.与向量a共线的一个非零向量的坐标可以是______.
13.如果π
tan()0(0)3
x x +=>,那么x 的最小值是______.
14.如图,已知正方形ABCD .若AD AB AC λμ??→
??→
??→
=+,其中λ,μ∈R ,则
λ
μ
=______. 15.在直角坐标系xOy 中,已知点(3,3)A ,(5,1)B ,(2,1)P ,M 是坐标平面内的一点.
① 若四边形APBM 是平行四边形,则点M 的坐标为______; ② 若2PA PB PM ??→
??→
??→
+=,则点M 的坐标为______.
16.设函数π()sin()3f x x ω=+.若()f x 的图象关于直线6
x π
=对称,则ω的取值集合是_____.
三、解答题:本大题共3小题,共36分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知(0,)2απ∈,且3
sin 5α=.
(Ⅰ)求π
sin()4
α-的值;
(Ⅱ)求2π
cos tan()24
α
α++的值.
18.(本小题满分12分)
函数()sin()f x A x ω?=+的部分图象如图所示,其中0,0,||πA ω?>><. (Ⅰ)求
()f x 的解析式;
(Ⅱ)求()f x 在区间[,]2
π
π上的最大值和最小值;
(Ⅲ)写出()f x 的单调递增区间.
在直角坐标系xOy 中,已知点(1,0)A -
,B ,(cos ,sin )C θθ,其中[0,]2
θπ
∈.
(Ⅰ)求AC BC ?
的最大值;
(Ⅱ)是否存在[0,]2
θπ
∈,使得△ABC 为钝角三角形?若存在,求出θ的取值范围;若不
存在,说明理由.
B 卷 [学期综合]本卷满分:50分
1.若集合{|03}A x x =<<,{|12}B x x =-<<,则A B = _____. 2.函数21
()log f x x
=
的定义域为_____. 3.已知三个实数1
3a =,b =3log 2c =.将,,a b c 按从小到大排列为_____.
4.里氏震级M 的计算公式为:0lg lg M A A =-,其中00.005A =是标准地震的振幅,A 是测震仪记录的地
震曲线的最大振幅.在一次地震中,测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500,则此次地震的里氏震级为_____级;8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍.
5.已知函数21
,2,(),
3.x x x c f x x c x -?+-?
=??≤≤≤
若0c =,则()f x 的值域是____;若()f x 的值 域是1[,2]4-,则实
数c 的取值范围是_____.
二、解答题:本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 6.(本小题满分10分)
已知函数2
()1
x
f x x =
-. (Ⅰ)证明:()f x 是奇函数;
(Ⅱ)判断函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.
已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上,其中[2,0]a ∈-. (Ⅰ)若1a =-,求()f x 的最小值; (Ⅱ)求()f x 的最大值.
8.(本小题满分10分)
已知函数()f x 的定义域为D .若对于任意12,x x D ∈,且12x x ≠,都有12
12()()2()2
x x f x f x f ++<,则称函数()f x 为“凸函数”.
(Ⅰ)判断函数1()2f x x =与2()f x (Ⅱ)若函数()2x f x a b =?+(,a b 为常数)是“凸函数”, 求a 的取值范围;
(Ⅲ)写出一个定义在1
(,)2
+∞上的“凸函数”()f x ,满足0()f x x <<.(只需写出结论)
数学试题答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.
1. D
2. C
3. B
4. C
5. B
6. D
7. D
8. B
9.A 10.A
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
(2,4)(答案不唯一) 13.
2π
3
14.1
- 15.(6,3);(4,2) 16.{|61,}
k k
ωω=+∈Z 注:第15题每空2分.
三、解答题:本大题共3小题,共36分.
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:因为
π
0,
2
α∈(),
3
sin
5
α=,
所以cosα……………………2分4
5
=.……………………3分
所以
π
sin()cos)
4
ααα
-=-……………………5分
=.……………………6分(Ⅱ)解:因为
3
sin
5
α=,
4
cos
5
α=,
所以
sin
tan
cos
α
α
α
=……………………8分
3
4
=.……………………9分所以2
π1cos1tan
cos tan()
2421tan
ααα
α
α
++
++=+
-
……………………11分
79
10
=.……………………12分
18. (本小题满分12分)
(Ⅰ)解:由图象可知 3A =. ……………………1分
因为 ()f x 的最小正周期为 66
T 7ππ
=
-=π, 所以 2T
ω2π
=
=. ……………………3分 令 262?ππ?
+=, 解得 6
?π
=,适合||?<π. 所以 π
()3sin(2)6
f x x =+. ……………………5分
(Ⅱ)解:因为[,]2
x π∈π,所以π2[,]666x 7π13π
+∈. ……………………6分
所以,当π13π266x +
=
,即πx =时,()f x 取得最大值3
2
; ……………………8分 当π3π262x +
=,即2π3
x =时,()f x 取得最小值3-. ……………………10分 (Ⅲ)解:()f x 的单调递增区间为[,]36
k k ππ
π-π+(k ∈Z ). ……………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:(cos 1,sin )AC θθ=+ ,(cos ,sin BC θθ=
. ……………………2分
所以 (cos 1)cos sin (sin AC BC θθθθ?=+?+?
……………………3分
cos 1θθ=+
π
2cos()13
θ=++. ……………………4分
因为 [0,]2
θπ∈,所以 π[,]336θπ5π
+∈. ……………………5分
所以 当ππ
33
θ+
=,即0θ=时,AC BC ? 取得最大值2. ……………………6分
(Ⅱ)解:因为||2AB =,||AC ,
||BC =
又 [0,]2
θπ
∈,所以 sin [0,1]θ∈,cos [0,1]θ∈,
所以 ||2AC ≤,||2BC ≤.
所以 若△ABC 为钝角三角形,则角C 是钝角,从而0CA CB ?<
.………………8分
由(Ⅰ)得π2cos()103θ++<,解得π1
cos()32
θ+<-. ……………………9分
所以 π(,]336θ2π5π+
∈, 即(,]32
θππ
∈. ……………………11分 反之,当(,]32
θππ
∈时,0CA CB ?< ,
又 ,,A B C 三点不共线,所以 △ABC 为钝角三角形.
综上,当且仅当(,]32
θππ
∈时,△ABC 为钝角三角形. ……………………12分
B 卷 [学期综合] 满分50分
一、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
1.{|13}x x -<<
2.{|01x x <<,或1}x >
3.c b a <<
4.5;1000
5.1[,)4-+∞;1[,1]2
注:第4题、第5题每空2分. 二、解答题:本大题共3小题,共30分. 6.(本小题满分10分)
(Ⅰ)解:函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±. ……………………1分
对于任意x D ∈,因为 2()()()1
x
f x f x x --=
=---, ……………………3分
所以 ()f x 是奇函数. ……………………4分 (Ⅱ)解:函数2()1
x
f x x =
-在区间(1,1)-上是减函数. ……………………5分 证明:在(1,1)-上任取1x ,2x ,且 12x x <, ……………………6分
则 121221122222
1212(1)()
()()11(1)(1)
x x x x x x f x f x x x x x +--=
-=----. ……………………8分 由 1211x x -<<<,得 1210x x +>,210x x ->,2110x -<,2
210x -<,
所以 12()()0f x f x ->,即 12()()f x f x >. 所以 函数2()1
x
f x x =
-在区间(1,1)-上是减函数. ……………………10分 7.(本小题满分10分)
(Ⅰ)解:当1a =-时, 2211
()()24
f x x x x =-+=--+. ……………………2分
所以 ()f x 在区间1(0,)2上单调递增,在1
(,2)2
上()f x 单调递减.
因为 (0)0f =,(2)2f =-,
所以 ()f x 的最小值为2-. ……………………4分 (Ⅱ)解:① 当0a =时,()f x x =. 所以 ()f x 在区间[0,2]上单调递增,
所以 ()f x 的最大值为(2)2f =. ……………………5分
当20a -<≤时,函数2()f x ax x =+图像的对称轴方程是1
2x a
=-
. ………6分 ② 当1022a <-
≤,即124a --≤≤时,()f x 的最大值为11()24f a a
-=-. ………8分 ③ 当1
04
a -<<时,()f x 在区间[0,2]上单调递增,
所以 ()f x 的最大值为(2)42f a =+. ……………………9分
综上,当124a --≤≤时,()f x 的最大值为11
()24f a a
-=-;
当1
04
a -<≤时,()f x 的最大值为42a +. ……………………10分
8.(本小题满分10分)
(Ⅰ)解:对于函数1()2f x x =,其定义域为R .
取120,1x x ==,有12()()(0)(1)2f x f x f f +=+=,121
2(
)2()222
x x f f +==,
所以 12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++=, 所以 1()2f x x =不是“凸函数”.…………2分
对于函数 2()f x [0,)+∞. 对于任意12,[0,)x x ∈+∞,且12x x ≠,由
2222
21212[()()][2(
)]02x x f x f x f ++-=-=-<, 所以 22
1212[()()][2(
)]2x x f x f x f ++<. 因为 12()()0f x f x +>,12
2(
)02
x x f +>,
所以 12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++<, 所以 2()f x 4分 (Ⅱ)解:函数()2x f x a b =?+的定义域为R . 对于任意12,x x ∈R ,且12x x ≠, 12
12()()2(
)2
x x f x f x f ++- 12
1
2
2
(2)(2
)2(2)x x x x a b a b a b +=?++?+-?+ ……………………5分
12
12
2
(22
22)x x x x a +=+-?
1
2
2
2
2(22)x x a =
-. ……………………7分
依题意,有1
2
2
2
2(22)0x x a -<.
因为 1
2
2
22(22)0x x ->,所以 0a <. ……………………8分
(Ⅲ)1
()()2
f x x =>. (注:答案不唯一)
……………………10分