2017_18学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法教学案

2.3 数学归纳法

预习课本P92～95，思考并完成下列问题

(1)数学归纳法的概念是什么？适用范围是什么？

(2)数学归纳法的证题步骤是什么？

[新知初探]

1．数学归纳法的定义

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．

2．数学归纳法的框图表示

[点睛] 数学归纳法证题的三个关键点 (1)验证是基础

数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n 0，这个n 0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．

(2)递推是关键

数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．

(3)利用假设是核心

在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1”，在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k )中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2．如果命题p (n )对所有正偶数n 都成立，则用数学归纳法证明时须先证n ＝________成立．

答案：2

3．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *

)，计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)

＞3，f (32)＞7

2

，由此推测，当n ＞2时，有______________．

答案：f (2n

)＞n ＋2

2

用数学归纳法证明等式

[典例] 用数学归纳法证明：

12

1×3＋22

3×5＋…＋n 2

(2n －1)(2n ＋1)＝n (n ＋1)2(2n ＋1)(n ∈N *

)． [证明] (1)当n ＝1时，12

1×3＝1×22×3成立．

(2)假设当n ＝k (n ∈N *

)时等式成立，即有 12

1×3＋22

3×5＋…＋k 2

(2k －1)(2k ＋1)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，12

1×3＋22

3×5＋…＋k 2

(2k －1)(2k ＋1)＋

(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)＝k (k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

(k ＋1)(k ＋2)

2(2k ＋3)

，

即当n ＝k ＋1时等式也成立．

由(1)(2)可得对于任意的n ∈N *

等式都成立．

用数学归纳法证明恒等式应注意的三点

用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n 取第一个值n 0时等式两端项的情况；二是弄清从n ＝k 到n ＝k ＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n ＝k ＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n ＝k ＋1证明目标的表达式变形．

[活学活用]

求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *

)．

证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝1

2，

右边＝

11＋1＝1

2

，左边＝右边．

(2)假设n ＝k (k ∈N *

)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋

1

2k

， 则当n ＝k ＋1时，

? ????1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋? ??

??12k ＋1－12k ＋2 ＝? ????1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋? ??

??12k ＋1－12k ＋2

＝

1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋1

2k ＋2

. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．

综合(1)，(2)可知，对一切n ∈N *

，等式成立．

用数学归纳法证明不等式

[典例求证：1＋

12＋13＋…＋

1

n

＞n ＋1.

[证明] (1)当n ＝3时，左边＝1＋12＋1

3

，右边＝3＋1＝2，左边＞右边，不等式

成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *

，k ≥3)时，不等式成立， 即1＋

1

2＋13＋…＋1

k

＞k ＋1. 当n ＝k ＋1时， 1＋

12＋1

3＋…＋1k ＋1k ＋1 ＞k ＋1＋1

k ＋1

＝

k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1

. 因为

k ＋2k ＋1 ＞k ＋2

k ＋2

＝k ＋2＝(k ＋1)＋1， 所以1＋

12＋13＋…＋

1

k

＋

1

k ＋1

＞(k ＋1)＋1.

所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)知对一切n ∈N *

，n ＞2，不等式恒成立． [一题多变]

1．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：

1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *

)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，13＋14＋15＋16＞5

6，不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *

)时，命题成立． 即

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56

. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋

1k ＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞5

6＋3×13k ＋3－1k ＋1＝56

. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)，(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *

都成立． 2．[变条件，变设问]将本题中所要证明的不等式改为：

? ????1＋13? ????1＋15…? ??

??1＋12n －1＞2n ＋12(n ≥2，n ∈N *)，如何证明？ 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.

左边＞右边，所以原不等式成立．

(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *

)时不等式成立， 即? ????1＋13? ????1＋15…? ????1＋12k －1＞2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，

左边＝? ????1＋13? ????1＋15…? ????1＋12k －1

??????

1＋12(k ＋1)－1＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1 ＝2k ＋2

22k ＋1＝4k 2

＋8k ＋422k ＋1＞4k 2

＋8k ＋322k ＋1 ＝

2k ＋3·2k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋1

2.

所以，当n ＝k ＋1时不等式也成立．

由(1)和(2)可知，对一切n ≥2，n ∈N *

不等式都成立．

用数学归纳法证明不等式的四个关键

(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞k(k为正整数)，则n0＝k＋1.

(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．

(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前n个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．

(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．

归纳—猜想—证明

2＝2×1

3×4＝4×1×3

4×5×6＝8×1×3×5

5×6×7×8＝16×1×3×5×7

你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？

[解]由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…

猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，

下面利用数学归纳法进行证明：

证明：(1)当n＝1时，显然成立；

(2)假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，

那么当n＝k＋1时，

(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)

＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2

＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2

＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)

＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]

所以当n＝k＋1时等式成立．

根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立．

(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节

(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n 项和．

②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n ＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题．

[活学活用]

数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n

(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并

加以证明．

解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n

n －a n

(n ≥2)，

∴a 3＝a 22－a 2＝14

2－14＝17，a 4＝2a 3

3－a 3＝2×

1

73－17＝110

.

猜想：a n ＝

13n －2

(n ∈N *

)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2易知猜想正确．

(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *

)时猜想正确， 即a k ＝

1

3k －2

. 当n ＝k ＋1时，

a k ＋1＝

(k －1)a k

k －a k

＝

(k －1)·13k －2

k －

13k －2

＝k －13k －23k 2－2k －13k －2

＝k －1

3k 2

－2k －1 ＝k －1

(3k ＋1)(k －1)

＝13k ＋1 ＝

1

3(k ＋1)－2

∴n ＝k ＋1时猜想也正确．

由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *

都正确．

层级一 学业水平达标

1．设S k ＝

1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)

，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋1

2k ＋2

B ．S k ＋12k ＋1＋1

2k ＋2

C ．S k ＋12k ＋1－1

2k ＋2

D ．S k ＋12k ＋2－1

2k ＋1

解析：选C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)

，①

得S k ＋1＝

1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)

.② 由②－①，得S k ＋1－S k ＝12k ＋1＋12(k ＋1)－1

k ＋1

＝

12k ＋1－12(k ＋1).故S k ＋1＝S k ＋12k ＋1－12(k ＋1)

. 2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜n (n ≥2，n ∈N *

)的过程中，由n

＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )

A ．1项

B ．k 项

C ．2

k －1

项

D ．2k

项

解析：选D 当n ＝k 时，不等式左边的最后一项为1

2k －1，而当n ＝k ＋1时，最后一项

为

12k ＋1

－1＝1

2k －1＋2

k ，

并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k

项．

3．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )

A．该命题对于n＞2的自然数n都成立

B．该命题对于所有的正偶数都成立

C．该命题何时成立与k取值无关

D．以上答案都不对

解析：选B 由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.

4．对于不等式n2＋n＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当n＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k＜k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2＜(k2＋3k＋2)＋k＋2＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )

A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析：选D 在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.

5．设f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若f(n)能被m(m∈N*)整除，则m的最大值为( ) A．2 B．4

C．8 D．16

解析：选C f(1)＝8，f(2)＝32，f(3)＝144＝8×18，猜想m的最大值为8.

6．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值n0最小应当是________．

解析：∵210＝1 024＞103,29＝512＜93，∴n0最小应为10.

答案：10

7．用数学归纳法证明1

22＋

1

32

＋…＋

1

(n＋1)2

＞

1

2

－

1

n＋2

，假设n＝k时，不等式成立，则

当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．

答案：1

22

＋

1

32

＋…＋

1

(k＋1)2

＋

1

(k＋2)2

＞

1

2

－

1

k＋3

8．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35

不能被14整除，故a ＝5.

答案：5

9．已知n ∈N *

，求证1·22

－2·32

＋…＋(2n －1)·(2n )2

－2n ·(2n ＋1)2

＝－n (n ＋1)(4n ＋3)．

证明：(1)当n ＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *

，k ≥1)时成立，即1·22

－2·32

＋…＋(2k －1)·(2k )2

－2k ·(2k ＋1)2

＝－k (k ＋1)(4k ＋3)．

则当n ＝k ＋1时，

1·22

－2·32

＋…＋(2k －1)·(2k )2

－2k ·(2k ＋1)2

＋(2k ＋1)·(2k ＋2)2

－(2k ＋2)·(2k ＋3)2

＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋(2k ＋2)[(2k ＋1)(2k ＋2)－(2k ＋3)2

]

＝－k (k ＋1)(4k ＋3)＋2(k ＋1)·(－6k －7)＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7) ＝－(k ＋1)·[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]， 即当n ＝k ＋1时成立．

由(1)(2)可知，对一切n ∈N *

结论成立．

10．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12

＋n (n ∈N *

)．

证明：(1)当n ＝1时，32≤1＋12≤3

2

，命题成立．

(2)假设当n ＝k (k ∈N *

)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12

＋k ，

则当n ＝k ＋1时，

1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋1

＝1＋k ＋1

2. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，

即n ＝k ＋1时，命题成立．

由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *

都成立．

层级二 应试能力达标1.凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n

＋1)为( )

A ．f (n )＋n ＋1

B ．f (n )＋n

C ．f (n )＋n －1

D ．f (n )＋n －2

解析：选C 增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.

2．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1

(n ∈N *

)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )

A.13n ＋2

B.13n ＋13n ＋1

C.

13n ＋1＋13n ＋2 D.13n ＋13n ＋1＋1

3n ＋2

解析：选D f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2

.

3．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为f (k )，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )

A ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋1

B ．f (k ＋1)＝f (k )＋k －1

C ．f (k ＋1)＝f (k )＋k

D ．f (k ＋1)＝f (k )＋k ＋2

解析：选C 当n ＝k ＋1时，任取其中1条直线记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为f (k )，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其他的f (k )个交点也两两不相同，从而n ＝k ＋1时交点的个数是f (k )＋k ＝f (k ＋1)．

4．若命题A (n )(n ∈N *

)n ＝k (k ∈N *

)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *

)时命题成立，则有( )

A ．命题对所有正整数都成立

B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立

C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立

D ．以上说法都不正确

解析：选C 由题意知n ＝n 0时命题成立能推出n ＝n 0＋1时命题成立，由n ＝n 0＋1时命题成立，又推出n ＝n 0＋2时命题也成立…，所以对大于或等于n 0的正整数命题都成立，而对小于n 0的正整数命题是否成立不确定．

5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2

＋…＋a n ＋1

＝1－a n ＋2

1－a

(n ∈N *

，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，

左边所得的项为____________．

解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2

. 答案：1＋a ＋a 2

6．用数学归纳法证明1＋2＋22

＋…＋2

n －1

＝2n －1(n ∈N *

)的过程如下：

①当n ＝1时，左边＝20

＝1，右边＝21

－1＝1，等式成立． ②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *

)时，等式成立，即 1＋2＋22

＋…＋2

k －1

＝2k

－1.

则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2

k －1

＋2k

＝1－2k ＋1

1－2

＝2k ＋1

－1，

所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由①②知，对任意n ∈N *

，等式成立． 上述证明中的错误是________．

解析：由证明过程知，在证从n ＝k 到n ＝k ＋1时，直接用的等比数列前n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．

答案：没有用归纳假设

7．平面内有n (n ∈N *

)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2

－n ＋2部分．

证明：(1)当n ＝1时，n 2

－n ＋2＝2，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *

)时命题成立，即k 个圆把平面分成k 2

－k ＋2部分． 则当n ＝k ＋1时，这k ＋1个圆中的k 个圆把平面分成k 2

－k ＋2个部分，第k ＋1个圆被前k 个圆分成2k 条弧，这2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加2k 个部分，故k ＋1个圆把平面分成k 2

－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2部分，

即n ＝k ＋1时命题也成立．综上所述，对一切n ∈N *

，命题都成立．

8．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n ≥2，数列的前n 项之积为n 2

. (1)写出这个数列的前5项；

(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．

解：(1)已知a 1＝1，由题意，得a 1·a 2＝22

，∴a 2＝22

. ∵a 1·a 2·a 3＝32

，∴a 3＝3

2

2

2.

同理，可得a 4＝4232，a 5＝5

2

4

2.

因此这个数列的前5项分别为1,4，94，169，25

16.

(2)观察这个数列的前5项，猜测数列的通项公式应为： a n ＝?????

1(n ＝1)，n 2

(n －1)

2(n ≥2).

下面用数学归纳法证明当n ≥2时，a n ＝n 2

(n －1)2.

①当n ＝2时，a 2＝22

(2－1)

2＝22

，结论成立．

②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *

)时，结论成立， 即a k ＝

k 2

(k －1)

2

.

∵a 1·a 2·…·a k －1＝(k －1)2

，

a 1·a 2·…·a k －1·a k ·a k ＋1＝(k ＋1)2，

∴a k ＋1＝(k ＋1)2

(a 1·a 2·…·a k －1)·a k ＝(k ＋1)2

(k －1)2·(k －1)2

k 2＝(k ＋1)2

k 2＝(k ＋1)

2

[(k ＋1)－1]2.

这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．

根据①②可知，当n ≥2时，这个数列的通项公式是

a n ＝

n 2

(n －1)

2

.

∴这个数列的通项公式为a n ＝????

?

1(n ＝1)，n 2

(n －1)

2(n ≥2).

(时间： 120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2

在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理

D ．非以上答案

解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( ) A ．正确

B ．推理形式不正确

C ．两个“自然数”概念不一致

D ．“两个整数”概念不一致

解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．

3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确的个数有( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

解析：选B 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 4．下列推理正确的是( )

A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a y B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a y

D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)

解析：选D (xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．

5．已知f(x＋1)＝2f(x)

f(x)＋2

，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为( )

A．f(x)＝4

2x＋2B．f(x)＝

2

x＋1

C．f(x)＝1

x＋1D．f(x)＝

2

2x＋1

解析：选B f(2)＝

2

2＋1

，f(3)＝

2

3＋1

，f(4)＝

2

4＋1

，猜想f(x)＝

2

x＋1

.

6．求证：2＋3> 5.

证明：因为2＋3和5都是正数，

所以为了证明2＋3>5，

只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，

即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．

上述证明过程应用了( )

A．综合法

B．分析法

C．综合法、分析法配合使用

D．间接证法

解析：选B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．

7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为( )

A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29

C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

解析：选D 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．

8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}( )

A．一定是等比数列

B．一定是等差数列

C．可能是等比数列也可能是等差数列

D．一定不是等比数列

解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n

＋a n ＋1}一定是等比数列；

当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0

D ．不大于0

解析：选 D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2

＋b 2

＋c 2

＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－

a 2＋

b 2＋

c 2

2

≤0.

法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.

10．已知1＋2×3＋3×32

＋4×33

＋…＋n ×3n －1

＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *

都成立，那

么a ，b ，c 的值为( )

A ．a ＝12，b ＝c ＝14

B ．a ＝b ＝c ＝1

4

C ．a ＝0，b ＝c ＝14

D ．不存在这样的a ，b ，c

解析：选A 令n ＝1,2,3， 得????

?

3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.

所以a ＝12，b ＝c ＝14

.

11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2

a n (n ∈N *

)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )

A ．S n ＝

2n n ＋1

B ．S n ＝3n －1

n ＋1

C ．S n ＝2n ＋1

n ＋2

D ．S n ＝

2n n ＋2

解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32

a 3，∴a 3＝16

，

S 3＝3

2＝64

；

又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝8

5.

由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2n n ＋1

.

12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )

x 1 2 3 4 5 f (x )

4

1

3

5

2

A.1 C ．4

D ．5

解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．

解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．

答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lg

a ＋b

2

，n ＝lg

a ＋b

2

，则m ，n 的大小关系是________．

解析：ab >0?ab >0?a ＋b ＋2ab >a ＋b ? (a ＋b )2

>(a ＋b )2

?a ＋b >a ＋b ?

a ＋b

2

>

a ＋b

2

?lg

a ＋b

2

>lg

a ＋b

2

.

答案：m >n 15．已知 2＋23

＝223

， 3＋38

＝338

， 4＋415

＝ 4

4

15

，…， 6＋a b ＝6

a

b

，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.

解析：由题意归纳推理得

6＋a b ＝6

a b

，b ＝62

－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：41

16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 2

4

.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的

某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 3

8.

答案：a 3

8

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥

lg a ＋lg b

2

；

(2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a ，b >0时，有a ＋b

2

≥ab ，

∴lg a ＋b

2

≥lg ab ，

∴lg

a ＋

b 2≥1

2lg ab ＝lg a ＋lg b

2

. (2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2

>(23＋2)2

， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．

18．(本小题满分12分)若a 1>0，a 1≠1，a n ＋1＝2a n

1＋a n (n ＝1,2，…)．

(1)求证：a n ＋1≠a n ；

(2)令a 1＝1

2，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n (不要求证

明)．

解：(1)证明：若a n ＋1＝a n ，即2a n

1＋a n ＝a n ，

解得a n ＝0或1.

从而a n ＝a n －1＝…＝a 2＝a 1＝0或1， 这与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， 所以a n ＋1＝a n 不成立． 故a n ＋1≠a n 成立．

(2)由题意得a 1＝12，a 2＝23，a 3＝45，a 4＝89，a 5＝1617，由此猜想：a n ＝2

n －1

2n －1＋1.

19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．

(1)求证：四边形的内角和等于360°.

证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.

(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．

证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．

(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2

＋2x ＋5－m 2

＝0无实根．

证明：假设方程x 2

＋2x ＋5－m 2

＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2

－4)，∵－2

∴14

＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2

＝0无实根． 解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．

(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．

20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S n n

(n ∈N *

)，

求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：(1)由已知得??

?

a 1＝2＋1，

3a 1＋3d ＝9＋32，

∴d ＝2.

故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S n n

＝n ＋ 2.

假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2

q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2

＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2

－pr )＋(2q －p －r )2＝0，

∵p ，q ，r ∈N *

，∴?

??

??

q 2

－pr ＝0，2q －p －r ＝0，

∴?

??

??p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0.

∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．

∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *

)．

求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *

)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，

右边＝2? ??

??1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．

假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *

)时，结论成立，即

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]，

那么，当n ＝k ＋1时，

f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )

＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k

＝(k ＋1)??????f (k ＋1)－1k ＋1－k ＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *

)．

22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2

? ?

???x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.

(1)求函数f (x )的表达式；

(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4； (3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．

解：(1)把f (1)＝log 16

2＝1

4，f (－2)＝1，代入函数表达式得?????

b ＋1(a ＋1)2＝1

4，－2b ＋1

(1－2a )2

＝1，

即????

?

4b ＋4＝a 2

＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2

－4a ＋1，

解得???

??

a ＝1，

b ＝0，

(舍去a ＝－1

3

)，

∴f (x )＝1

(x ＋1)2(x ≠－1)．

(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝3

4

，

x 2＝34(1－f (2))＝34

×?

????1－19＝23，

x 3＝23

(1－f (3))＝23

×?

??

??

1－116

＝58

，

x 4＝5

8

×?

????1－125

＝35

.

(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋2

2(n ＋1).

证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝3

4，

∴猜想成立．

②假设当n ＝k (k ∈N *

)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，

即x k ＝k ＋2

2(k ＋1)

，

则n ＝k ＋1时，

x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1))

＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·??????1－1(k ＋1＋1)2

＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2

＝12·k ＋3

k ＋2

＝

(k ＋1)＋2

2[(k ＋1)＋1]

.

∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *

，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)

都成立．

浅谈数学归纳法

浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：

第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,

(完整版)高二数学归纳法经典例题

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k

()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

数学归纳法

《数学归纳法》说课稿 各位专家、评委：大家好！ 我是陇西一中的数学教师王耀文，很高兴能有机会参加这次说课活动. 我要讲的课题是《数学归纳法》（第一课时），用的教材是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第三册（选修Ⅱ），本课是高中数学第三册第二章第一节. 下面我就从教材分析、教学目标的确定、教学方法的选择、学法的指导、教学过程的设计和板书设计六个方面进行说明. 1教材分析 1.1教材的地位和作用 数学中许多与正整数有关的命题，用不完全归纳法证明是不可靠的，用完全归纳法证明又是不可能的，为解决这一“有限”与“无限”的矛盾，数学归纳法应运而生.所以数学归纳法是一种十分严谨而又重要的方法，也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学命题，也可以通过“有限”来解决某些“无限”问题. 1.2重点、难点 重点是如何在较短的时间内，使学生理解“归纳法”和“数学归纳法”的实质，接受数学归纳法的证题思路. 难点有两个，一是学生初步对数学归纳法原理的理解；二是数学归纳法的两个步骤及其作用. 2教材目标的确定

2.1知识目标使学生了解数学归纳法的发现过程，理解数学归纳法原理；理解数学归纳法的操作步骤；能用数学归纳法证明一些简单的数学命题并能正确书写证明步骤. 2.2能力目标培养学生观察、猜想、归纳、发现问题的能力；培养学生数学思维能力、推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力. 2.3情感目标使学生在发现数学归纳法的过程中，体验数学研究的过程和发现的乐趣，激发学生学习数学的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验. 3教学方法的选择 本节课我主要采用“…发现?的过程教学”和“启发探究式”的教学方法，根据教材特点和学生实际在教学中体现两点： ⑴由学生的特点确定启发探究和感性体验的学习方法. 由于本节课安排在高三阶段，且为数学基础较好的理科学生的选修内容，考虑到学生的接受能力比较强这一重要因素，在教学中我通过创设情境，启发引导学生在观察、分析、归纳的基础上，自主探索，发现数学结论和规律，掌握数学方法，突出学生的主体地位. ⑵由教材特点确定以引导发现为教学主线. 根据本节课的特点，教学重点应该是方法的应用．但是我认为虽然数学归纳法的操作步骤简单、明确，教师却不能把教学过程简单的当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必将半信半疑，兴趣不大．为此，我在教学中通过实例给学生创造条件，让学生直观感受到数学归纳法的实质，再在教师的引导下发现理解数学归纳法，揭示数学归纳法的实质. 对于数学归纳法的应用，只要求学生在理解原理的基础上掌握应用原理证题的步骤，学会证明一些简单的问题. 4学法的指导

人教B版高中数学选修22第2章23《数学归纳法》课时作业

【成才之路】2015-2016学年高中数学第2章 2、3数学归纳法课时 作业新人教B版选修2-2 一、选择题 1.用数学归纳法证明1＋q＋q2＋…＋q n＋1＝错误!(n∈N＊，q≠1）,在验证n＝1等式成立时，等式左边的式子是（） A.1 B.1＋q C.1＋q＋q2 D.1＋q＋q2＋q3 [答案] C [解析］左边＝1＋q＋q1＋1＝1＋q＋q2、故选C、 2。用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2）(n＋3)…(n＋n）＝2n·1·3·…·(2n－1)（n∈N*），从n＝k到n＝k＋1，左边的式子之比是( ） A、错误!B。错误! C、错误!D。错误! [答案] B ［解析]错误! ＝错误! ＝错误!、故选B、 3.用数学归纳法证明错误!＋错误!＋…＋错误!>错误!（n≥2，n∈N＊)的过程中，由n ＝k递推到n＝k＋1时不等式左边( ) A.增加了一项错误! B.增加了两项错误!＋错误! C。增加了B中两项但减少了一项错误! D。以上各种情况均不对 [答案］ C ［解析]n＝k时，左边＝错误!＋错误!＋…＋错误!,n＝k＋1时，左边＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!＋错误! ∴增加了错误!＋错误!,减少了一项错误!、 故选C、 4.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行，任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k＋1)与f(k)的关系是（） A。f（k＋1)＝f（k)＋k－1 B。f(k＋1）＝f（k）＋k＋1

C。f（k＋1）＝f(k)＋k＋2 D。f（k＋1)＝f（k)＋k [答案］ D ［解析]因为任何两条不平行，任何三条不共点,所以当增加一条直线时,则增加k个交点,故交点个数为f（k）＋k、 5.某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k（k∈N*)时该命题成立,则可推得n＝k＋1时该命题也成立,现已知n＝5时命题不成立，那么可推得( ) A。当n＝4时该命题不成立 B.当n＝6时该命题不成立 C。当n＝4时该命题成立 D.当n＝6时该命题成立 ［答案] A ［解析]由命题及其逆否命题的等价性知选A、 6.等式12＋22＋32＋…＋n2＝错误!(5n2－7n＋4)( ） A。n为任何正整数都成立 B。仅当n＝1,2，3时成立 C。当n＝4时成立,n＝5时不成立 D。仅当n＝4时不成立 [答案］ B ［解析］经验证,n＝1,2,3时成立，n＝4，5，…不成立.故选B、 7.(2015·枣庄一模)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝错误!，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（） A.k2＋1 B.(k＋1)2 C、错误! D。(k2＋1）＋（k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2 [答案] D [解析］∵当n＝k时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2、 当n＝k＋1时,左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1）2， ∴当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1）＋（k2＋2）＋(k2＋3)＋…＋(k ＋1)2、 8。用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋（n＋2）3(n∈N＊)能被9整除”,要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( ) A。（k＋3）3B。(k＋2）3

高中数学 数学归纳法

13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

各种数学归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．

数学归纳法证明例题

例1.用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法: 证明：①n ＝1时,左边31311=?=，右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =ｋ时，等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 那么当n =ｋ+1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n ＝k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设ｎ=k 这一步,当ｎ=k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n ＝ｋ+1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k

()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n ＝k +１时,等式亦成立, 例２.是否存在一个等差数列｛a ｎ},使得对任何自然数n ，等式: a 1+2a ２＋3a ３+…+n ａn =ｎ（n ＋１）(n +2) 都成立，并证明你的结论. 分析：采用由特殊到一般的思维方法,先令ｎ=1,２，3时找出来｛a n },然后再证明一般性. 解：将ｎ=1,２，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6，a 2=9，a ３=1２，则d ＝３． 故存在一个等差数列a n =3n +３，当n ＝1，２,３时,已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数，等式 ａ１+２a 2+3ａ3+…＋ｎa n =n (n +１）(n +２)都成立. 因为起始值已证，可证第二步骤. 假设n =ｋ时,等式成立，即 a 1+2a ２＋３a 3+…+ka k =k （ｋ+1）(k ＋2) 那么当ｎ=k +１时， ａ1+2a 2＋3a 3+…＋ka k ＋(ｋ+１)ａk +1 = ｋ(k +1)（k +２)+ (k +1)[３(ｋ+1)+3] =(k ＋1)(k ２+2k +3k +6) =(k +１）(k +２）(k +3） =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当ｎ=k +1时,也存在一个等差数列ａn =３n +3使a 1+２a 2+３a 3+…+n ａｎ=n （n +１)(ｎ+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列ａn =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2+3a 3+…+na ｎ=ｎ（ｎ+1)(n +2)都成立.

最新数学归纳法证明例题

例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k

()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…

用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲 课题：用数学归纳法证明不等式 教学目标： 1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。 2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。 3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。 重点、难点： 1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。 2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。 教学过程： 一、复习导入： 1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？ （1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。 （2）步骤：1）归纳奠基; 2）归纳递推。 2、作业讲评：（出示小黑板） 习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1) 如采用下面的证法，对吗？ 证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。 ②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立， 即2+4+6+8+……+2k=k(k+1) 当n=k+1时， 2+4+6+8+……+2k+2(k+1) ∴ n=k+1时，等式成立。 由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。 （1）学生思考讨论。

（2）师生总结：1）不正确 2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究 明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板) 例1 观察下面两个数列，从第几项起a n始终小于b n？证明你的结论。 ｛a n=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛b n=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512,…… （1）学生观察思考 （2）师生分析 （3）解：从第5项起，a n＜ b n，即 n2＜2n,n∈N+（n≥5） 证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。 即k2＜2k 当n=k+1时，因为 （k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2k+1 所以，（k+1）2＜2k+1 即n=k+1时，命题成立。 由（1）（2）可知n2＜2n（n∈N+，n≥5） 学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2 ②归纳假设：2k2<2×2k 例2证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+) 分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。 证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。 （2）假设当n=k（k≥1）时命题成立， 即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│

浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2

目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17

高中数学数学归纳法(1)苏教版选修2-2

数学归纳法(1) 一、教学目标： 1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。 2．掌握数学归纳法证明问题的方法。 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。 难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 三、教学过程： 【创设情境】 1．华罗庚的“摸球实验”。 2．“多米诺骨牌实验”。 问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳法全部枚举之外，是否还有其它方法？ 数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。 【探索研究】 1．数学归纳法的本质： 无穷的归纳→有限的演绎（递推关系） 2．数学归纳法公理： （1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 【例题评析】 例1：以知数列{a n }的公差为d，求证： 1 (1) n a a n d =+- 说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系，是解题的关键。 ②数学归纳法证明的基本形式； （1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设） 证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明） 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 EX: 1.判断下列推证是否正确。 P88 2,3 2. 用数学归纳法证明 2 )1 ( )1 3( 10 3 7 2 4 1+ = + + + ? + ? + ?n n n n K 例2：用数学归纳法证明 111 1 1231 n n n ++???≥ +++ (n∈N,n≥2) 说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。

(完整版)数学归纳法知识点大全(综合)

数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果

① )(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有 在证明中，由 真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要 型的自然数）为真；从而证明 ，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立； ②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立； （4）双重归纳法 设 是一个含有两上独立自然数 的命题． ① 与 对任意自然数 成立； ②若由 和 成立，能推出 成立； 根据（1）、（2）可断定， 对一切自然数 均成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，

高中数学归纳法大全数列不等式精华版

§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．

5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n

数学归纳法的七种变式及其应用..

数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；

高中数学归纳法证明题

高中数学归纳法证明题 高中数学归纳法证明题 1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n. 1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n. 1、当n=1时候， 左边=1/2; 右边=2-3/2=1/2 左边=右边，成立。 2、设n=k时候，有： 1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立， 则当n=k+1时候：有： 1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) =2-[(k+1)+2]/2^(k+1) 我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法. 比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列 如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.

结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立. 用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量 进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的. 这说明你一眼能看出答案，是个本领。 然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。 比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过， 就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所 以你的证明方法是严格错误的! 说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不 是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都 是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那就无所适从， 永远也解不出来了!这就是你的做法带来的.答案，你想想呢?你的这 种做法有什么值得推广的? OK,了解! 数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论 确保了n属于N时成立，这是严密的。 你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项 和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一 种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证 明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的 结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事 实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”