2020-2021学年安徽省安庆一中高二上学期期末理科数学卷

2020-2021学年安徽省安庆一中高二上学期期末理科数学卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）

A ．1(0,)4

B ．1(0,)8

C ．1(,0)8

D ．1(,0)4

2．已知点()11A t t t --，，，点()2B t t ，，，t ∈R ，则A 、B 两点间距离的最小值为( )

A B ．5 C ．5 D ．115

3．若椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，则双曲线12222=-b

y a x 的渐近线方程为（ ）

A ．x y 23±=

B ．y =

C ．x y 2

1±= D ．y x =± 4．下列命题中正确的是（ ）

A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题

B ．“0a >，0b >”是“2b a a b

+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”

D ．命题:p 0R x ?∈，使得20010x x +-<，则:p ?R x ?∈，使得210x x +-≥

5．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是（ ）．

A ．5．4 C ．3 D ．6

6．设()()124,0,4,0F F -为定点，动点M 满足128MF MF +=|，则动点M 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．直线

C ．圆

D ．线段

7．若直线y kx k =-交抛物线2y 4x =于A,B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =（ ）

A ．12

B ．10

C ．8

D ．6

8．已知双曲线C ：22

145

x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则12PF PF ?等于（ ）

A ．24

B ．48

C ．50

D ．56

9．已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为（ ）

A ．10

B ．12

C ．16

D ．20

10．已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于（ ）．

A ．2 D 11．抛物线

的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）

A B C D

二、填空题

12．已知命题2:,210p x R ax ax ?∈++≤．若命题p ?是真命题，则实数a 的取值范围是_______.

13．已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ．

14．设1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠，过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ，若

1213

MP F F =，则C 的离心率为_______. 15．已知ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体，①（1A A ＋11A D ＋11A B ）2＝311A B 2；②1AC ·（11

A B －1A A ）＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |．

其中正确命题的序号是________．

三、解答题

16．已知命题p ：实数m 满足227120m am a -+<(0)a >，命题q ：实数m 满足方

程22

112x y m m

+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，若q ?是p ?的充分不必要条件，求a 的取值范围．

17．在平面直角坐标系中,已知一个椭圆的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,且过

(2,0)D ．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P 是椭圆上的动点，点(1,0)A ，求线段PA 中点M 的轨迹方程

18．在边长是2的正方体ABCD -1111A B C D 中，,E F 分别为1,AB A C 的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

（1）求EF 的长； C

D 1

A

（2）证明：//EF 平面11AA D D ；

（3）证明:EF ⊥平面1A CD ．

19．在直角坐标系xOy 中，设动点P 到定点)0,1(F 的距离与到定直线1:-=x l 的距离相等，记P 的轨迹为Γ,又直线AB 的一个方向向量

(1,2)d =且过点)0,1(，AB 与Γ交

于B A 、两点，求||AB 的长．

20．如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AB=BC ．O 为AB 的中点，OF ⊥EC ．

（1）求证：OF ⊥FC ；

（2）若2

AC AB =时，求二面角F-CE-B 的余弦值．

21x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于C 1的长半轴长．

（1）求实数b 的值；

（2）设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与C 1相交于点D 、E ．

①证明：0MD ME ?=

②记MAB MDE ??，的面积分别是12,,S S 若

12

S S λ=，求λ的取值范围．

参考答案

1．B

【解析】 试题分析：由题211,,24x y p =∴=所以焦点坐标为1(0,)8

，故选B ． 考点：抛物线的性质

2．C

【分析】

由空间两点的距离公式列式，由二次函数的性质求最值即可.

【详解】

AB ===≥

∴min ||5

AB =

=．故选C ． 【点睛】 本题主要考查了空间两点距离公式的计算，属于基础题.

3．A 【解析】

试题分析：通过椭圆的离心率，得到ab 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．

椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21，222221142c a b b a a a -∴=∴=∴=，，

∴双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为2y x =±，故选A ． 考点：双曲线的简单性质的应用；椭圆的性质

4．D

【解析】

试题分析：由若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p 且q 真假不确定，即可判断A ；

运用充分必要条件的定义和基本不等式，即可判断B ；由原命题和逆否命题的关系，注意或的否定为且，即可判断C ；由存在性命题的否定为全称性命题，即可判断D ．

对于A ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真，则p q ∧的真假不定，则A 错误；

对于B ．若00a b >>，，则2b a a b +≥=，当且仅当a=b 取得等号，反之，若2b a a b

+≥， ()2222000a b a b ab ab ab ab

-+-≥∴≥∴>，，，则“0a >，0b >”是“2b a a b +≥”的充分不必要条件，

则B 错误；对于C ．命题“若2320x x -+=，则x=1或x=2”的逆否命题为“若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠”，则C 错误；对于D ．命题p x R ?∈：，使得210x x +-<，则p x R ??∈：，使得210x x +-≥，则D 正确．故选D ．

考点：命题的真假判断

5．D

【解析】

试题分析：由11AC AC ，知11C A B ∠是异面直线1A

B 与A

C 所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值．

在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，1111AC A C C A B ∴∠，是异面直线1A B 与AC 所成角，

19021

ACB AA AC BC ∠=?===，，，

111111651

A B C B AC cos C A B ∴==∴∠=，，，

∴异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是

6 考点：异面直线所成角

6．D

【解析】

因为()()124,0,4,0F F -为定点，动点M 满足128MF MF +=|，即动点M 到两定点()()124,0,4,0F F -的距离之和等于两定点连线的距离，所以动点M 的轨迹是线段12

F F

（若M 不在12F F 上，必有128MF MF +>|）,故选D.

7．C

【解析】

试题分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A ，B 的中点横坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离．

直线y kx k =-恒过（1，0），恰好是抛物线2y 4x =的焦点坐标，设1122

A x y

B x y （，）（，）， 抛物

2y 4x =的线准线1x =-，线段AB 中点到y 轴的距离为3， 1212628x x AB AF BF x x +=∴=+=++=，，

故选：C ． 考点：直线与圆锥曲线的位置关系

8．C

【解析】

试题分析：设点P 的坐标为（m ，n ），其中m>2，根据点P 在双曲线上且|PF 2|=|F 1F 2|，建立关于m 、n 的方程组，解之得m 、n 的值，从而得到向量12PF PF 、

，的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出12PF PF ?． 根据双曲线方程22

145

x y -=

得22453a b c ====，，，所以双曲线的焦点分别为12303

0F F -（，）、（，），设点P 的坐标为（m ，n ），其中m>2， ∵点P 在双曲线上，且|PF 2|=|F 1F 2|

，22

1164536m n m n ?-=?∴∴===，，1233PF m n PF m n =---=--（，），（，），

221225339959

062759PF PF m m n n m n ∴=---+--=--=?+=+（）（）（）（）． 考点：双曲线的简单性质

9．D

【解析】

试题分析：先根据条件求出椭圆的标准方程中a 的值，再由△ABF 2的周长是121222AF AF BF BF a a +++=+（）（）求出结果．

椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的焦点分别为12,,4F F b =，离心率355e a =∴=，， ∵2ABF ?的周长是

121222420AF AF BF BF a a a +++=+==（）（），故选D 考点：椭圆的定义、标准方程

10．A

【解析】

试题分析：根据正三棱柱及线面角的定义知，取A 1C 1的中点D 1，∠B 1AD 1是所求的角，再由已知求出正弦值．

取A 1C 1的中点D 1，连接B 1D 1，AD 1，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，B 1D 1⊥面ACC 1A 1，则∠B 1AD 1是AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等

，

11sin B AD ∴∠， 故选A ．

考点：空间中的线面位置关系

11．B

【详解】

试题分析：设,A B 在直线l 上的投影分别是11,A B ，则1AF AA =，1BF BB =，又M 是AB 中点，所以111()2MN AA BB =

+，则1112MN AA BB AB AB +=?2AF BF AB +=，在ABF ?中222AB AF BF =+22cos 3

AF BF π-22AF BF AF BF =++2()AF BF AF BF =+-2()AF BF ≥+2(

)2AF BF +-23()4AF BF =+，所以2

2()43AF BF AB +≤

，即AF BF AB +≤

MN AB ≤B ． 考点：抛物线的性质．

【名师点晴】

在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转

化．象本题弦AB 的中点M 到准线的距离首先等于,A B 两点到准线距离之和的一半，然后转化为,A B 两点到焦点F 的距离，从而与弦长AB 之间可通过余弦定理建立关系． 12．[)0,1

【分析】

由p 得出p ?，根据二次函数的性质即可得结果.

【详解】

由于2:,210p x R ax ax ?∈++≤，则2

,0:21x R ax ax p ∈+??+>，

当0a =时，显然满足题意， 当0a ≠时，20440a a a >??=-

，解得01a <<， 综上可知：实数a 的取值范围是[)0,1.

【点睛】

本题主要考查了由复合命题的真假求参数的取值范围，属于中档题.

13．3

【解析】

试题分析：根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．

因为(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，

所以212133136x b y c a x y λ∴+∴-=--+=，（，，）（，，）（，，），

13236,13

32x y x y x y λλ-+=+=--+=??∴∴???

＝ 考点：共线向量与共面向量

14．32

【解析】 试题分析：设PT 交x 轴于点T ，1PF m =，则121233c MP F F =

=，由于OM PT ，

得11

11F M FO F P FT =，即1223m c c m F F -=，则123mc FT m c =-，所以2223mc F T c m c =--，又PT 是12F PF ∠的角平分线，则有

1122F P FT F P F T =，代入整理得423m a m c -=-，所以离心率为32

c e a ==. 考点：圆锥曲线的离心率.

【方法点睛】离心率是圆锥曲线的一个重要性质，离心率的几种常用求法：1、已知圆锥曲线的标准方程或a c 、易求时，可利用率心率公式c e a

=来解决；2、根据题设条件，借助a b c 、、之间的关系，沟通a c 、的关系，构造a c 、的齐次式，

（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e .

15．①②

【解析】

试题分析：本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．

①向量的加法得到：222

211111*********()()A A A D A B AC AC A B AC A B ++=∴，＝，＝，所以①正确；

②111111110A B A A AB AB AC AC AB -⊥=∴=?，，，故②正确；

③∵△ACD 1是等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°，又A 1B ∥D 1C ，∴异面直线AD 1与A 1B 所成的夹角

为60°，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120°，故③不正确；

111||00AB AA AB AA AB AA AD ⊥∴∴?=??=④，，，

因此④不正确． 故答案为①②．

考点：命题的真假判断与应用；平面向量数量积的性质及其运算律．

【名师点睛】平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题角度有：（1）平面向量的模；（2）平面向量的夹角；（3）平面向量的垂直．

16．133

8a ≤≤ 【解析】

试题分析：根据命题p 、q 分别求出m 的范围，再根据非q 是非p 的充分不必要条件列出关于m 的不等式组，解不等式组即可

试题解析：由

227120(0)m am a a -+<>，则34a m a <<，即命题:34p a m a << 由22

112x y m m +=--表示焦点在y 轴上椭圆可得：210m m ->->， ∴312m <<，即命题3:12q m <<

由q ?是p ?的充分不必要条件，则p 是q 的充分不必要条件， 从而有：31342a a ≥???≤??

∴1338a ≤≤ 考点：充要条件

【方法点睛】根据命题真假求参数的方法步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）；

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

17．（1）2

214

x y +=；（2）221()412x y -+=. 【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的几何性质和求方程；（2）设点(,)M x y ，点P 的坐

标是00(,)x y ，利用中点坐标公式表示出

001

2{2x x y y +=

=，转化为0021{2x x y y =-=，再将00(,)x y 代入椭圆方程中即可求得轨迹方程.

试题解析：（1）由已知得椭圆的半长轴2a =,半焦距c =1b =.

又椭圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为2214x y += （2）设线段PA 的中点为(,)M x y ,点P 的坐标是00(,)x y ，

由001

2{2x x y y +=

=，得0021{2x x y y =-= 因为点P 在椭圆上,得2

2(21)(2)14

x y -+= ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是221()412x y -+=.

考点：1、椭圆的标准方程；2、轨迹方程的求法.

18．（1）2；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF 的坐标表示，代入长度公式求解；

（2）求出1AD 的坐标表示，关键坐标关系判断1EF

AD ，再利用线面平行的判定定理证

明；

（3）利用100CD EF EF A D ??==，，可证直线EF 垂直于CD 、A 1D ，再利用线面垂直的判定定理证明．

试题解析：（1）如图建立空间直角坐标系

11(2,0,2),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)A A B C D =====

x z y

(2,1,0),(1,1,1)E F ==

(1,0,1),||EF EF =-=（2）

11(2,0,2)AD AD EF =-∴，而11ADD A EF ?面//EF ∴平面11AA D D （3）11EF CD 0,EF A D=0EF CD,EF A D ?=?∴⊥⊥ 又1CD A D=D ? EF ∴⊥平面1A CD ．

考点：向量方法证明线、面的位置关系定理；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．

19．5

【解析】

试题分析：根据抛物线的定义得动点P 的轨迹Γ是抛物线，求出其方程为

x y 42=．由直线方程的点斜式，算出直线AB 的方程为22-=x y ，再将直线方程与抛物线方程联解，并结合抛物线的定义加以计算，可得线段AB 的长．

试题解析：由抛物线的定义知，动点P 的轨迹Γ是抛物线，方程

x y 42=． 直线AB 的方程为2

11y x =-，即22-=x y ． 设),(11y x A 、),(22y x B ，22-=x y 代入

x y 42=， 整理，得0132=+-x x ．

所以52||21=++=x x AB ．

考点：抛物线的标准方程；两点间的距离公式

20．（1）见解析；（2）1-3

【解析】

试题分析：（1）连结OC ，则OC ⊥AB ，从而得到OC ⊥OF ，进而得到OF ⊥OE ，由此能证明OE ⊥FC ．

（2）由（1）得AB=2AF ．不妨设AF=1，AB=2，取EF 的中点为O ，建立坐标系，求出平面FCE 的法向量、平面CEB 的法向量，利用向量的夹角公式，求二面角F-CE-B 的余弦值为即可 试题解析：（1）证明：连结OC ，因AC=BC ，O 是AB 的中点，故OC AB ⊥．

又因平面ABC ⊥平面ABEF ，故OC ⊥平面ABEF ，于是OC OF ⊥．又OF EC ⊥，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥，又因OC OE ⊥，故OE ⊥平面OFC ，所以OE FC ⊥．

（2）由（1），得2AB AF =，不妨设1AF =，2AB =，取EF 的中点D ，以O 为原点，OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC k =，则(0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),(,0,0)F E B C k -，

在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则从而

设平面的法向量，由，得，

同理可求得平面的法向量

， 设的夹角为，则

， 由于二面角为钝二面角，则余弦值为

考点：与二面角有关的立体几何综合题 【易错点睛】利用法向量求二面角时应注意 （1）对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求．

（2）注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误．

21．（1）1；（2）①见解析；② 【解析】

试题分析：（1）确定半长轴为2，利用x 轴被曲线22C y x b =-：截得的线段长等于C 1的长

半轴长，可求b 的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M 的坐标为（0，-1），可得1MA MB k k =-，从而得证；②设直线的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，代入抛

物线方程可得21x k x =，从而可得点A 的坐标、点B 的坐标，进而可得1S ，同理可得2S ，

进而可得比值，由此可得λ的取值范围．

试题解析：（1）由题意知：半长轴为2，则有，

,,x y z (0,1,1),(0,1,1),(0,1,0),F E B C -(2,1,1),(0,2,0),CE EF =-=-(,,)n x y z =00

CE n EF n ?=??=??(1,0,2)n =(1,2,0)m =1cos 3

n m

n m ==θF CE B --13-

?????

?∞+,642522=b

（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为． 由得，

设，则是上述方程的两个实根，

于是， 又点的坐标为，所以

故，即，故0MD ME ?=；

②设MA 的斜率为，则MA 的方程为，

由解得或，

则点A 的坐标为又直线的斜率为，

同理可得点B 的坐标为．

于是 由得，

解得或， 则点的坐标为

； 1

=∴b 21y kx y x =??=-?210x kx --=1122(,),(,)A x y B x y 1212,1

x x k x x +==-(0,1)-2221212121212121211(1)(1)()1111MA MB y y kx kx k x x k x x k k k k x x x x x x +++++++-++?=?====--MA MB ⊥MD ME ⊥11y k x =-1211y k x y x =-??=-?01x y =??=-?1211x k y k =??=-?211(,1)k k -11k -

21111(,1)k k -

-211111111||||||||.22||k S MA MB k k k +=?=-=1221440y k x x y =-??+-=?2211(14)80k x k x +-=01x y =??=-?12121218144114k x k k y k ?=?+??-?=?+?

2112211841(,)1414k k k k -++

又直线MB 的斜率为，

同理可得点的坐标

于是

因此

， 又由点的坐标可知，，

平方后代入上式，所以

， 故的取值范围为 考点：圆锥曲线综合 11k -

211221184(,)44k k k k --++2112221132(1)||1||||2(14)(4)k k S MD ME k k +?=?=++???? ??++=1744641212121k k S S 21211111111k k k k k k k -==-+642564254221≥+==k S S λ?????

?∞+,6425