初二数学奥林匹克竞赛题及答案

初二数学奥林匹克竞赛题及答案

1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连结DF。

（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD＝1，BC＝3，DC＝ 2 ，试判断△ DCF的形状；

（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△ PCD是等腰

三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由。

2、在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终

点C运动，连接DM交AC于点N.

（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN. ①求证：△ ABN≌ △ADN；

②若∠ ABC = 60°，AM = 4，求点M到AD的距离；

（2）如图25－2，若∠ ABC = 90 °，记点M运动所经过的路程为x （6≤x≤12）试问：x为何值时，△ ADN为等腰三角形.

3、对于点O、M，点M沿MO的方向运动到O左转弯继续运动到N，

使OM＝ON，且OM⊥ ON，这一过程称为M点关于O点完成一次“左

转弯运动” ．

正方形ABCD和点P，P 点关于 A 左转弯运动到P1，P1关于B左转弯

运动到P2，P2 关于C左转弯运动到P3，P3 关于D左转弯运动到P4，P4

关于A左转弯运动到P5，??．（1）请你在图中用直尺和圆规在图中

确定点P1 的位置；

（2）

P 两点的坐标为（0，4）、（ 1 0三点的坐

P

由。

（3）以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B 在第二象限，A、A

4、如图 1 和 2，在 20×20 的等 QAC 的面积为 y.

(1) 如图 1，当 Rt △ABC 向下平移到 Rt △A 1B 1C 1 的位置时，请你在网格中画出 Rt △A 1B 1C 1关于直线 QN 成轴对称的图形；

(2) 如图 2，在 Rt △ABC 向下平移的过程中，请你求出 y 与 x 的函数关系式， 并说明当 x 分别取何值时， y 取得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多 少？ (3)在 Rt △ABC 向右平移的过程中，请你说明当 x 取何值时， y 取得最大值和 最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？

5、如图①，△ ABC 中， AB=AC ，∠ B 、∠C 的平分线交于 O 点，过 O 点作 EF ∥BC 交 AB 、 AC 于 E 、F ．

(1) 图中有几个等腰三角形 ?猜想： EF 与 BE 、CF 之间有怎样的关系，并说 明理由．

(2) 如图②，若 AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗 ?如果有， 分别指出它们．在第 (1) 问中 EF 与 BE 、CF 间的关系还存在吗 ?

(3) 如图③，若△ ABC 中∠ B 的平分线 BO 与三角形外角平分线 CO 交于 O ，过 O 点作 OE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 F ．这时图中还有等腰三角形吗 ?EF 与 BE 、CF

6、已知，如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC,D 为 AC 上一点，且 ∠ BDC=12°4 ，延长 BA 到点 E ，使 AE=AD,BD 的延长线交 CE 于点 F ， 求∠ E 的度数。

距网格(每格的宽和高均是 1 个 单位长)中， Rt △ABC 从点 A 与 点 M 重合的位置开始，以每秒 1 个单位长的速度先向下平移， 当 BC 边与网的底部重合时，继续 同样的速度向右平移，当点 C 与点 P 重合时， Rt △ ABC 停止

移

7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点 E 和 F 通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。

1、解：（1）证明：∵ EF=EC，∴∠ EFC=∠ECF，∵EF∥AB，

∴∠B=∠EFC，∴∠ B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

1 （2）

△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF= 1 CD，

2 ∴△CDF 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），

∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF= 1（BC-AD）=1，∵DC= 2 ，∴由勾股定

2 理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3- 2 ，PB=3+ 2

2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠1=∠2．又∵ AN=AN，

∴△ ABN≌△ ADN．

②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由AD∥BC，得∠ MAH∠= ABC=60°．

在Rt△AMH中，MH=A?Msin60 °=4×sin60 °=2 3．∴点M到AD的距离为 2 3．

∴ AH=2．∴DH=6+2=．8

（2）解：∵∠ ABC=90°，∴菱形ABCD是正方形．∴∠

CAD=4°5 ．下面分三种情形：（Ⅰ）若ND=N，A 则∠

ADN=∠NAD=4°5 ．

此时，点M恰好与点 B 重合，得x=6；

（Ⅱ）若DN=D，A 则∠DNA=∠ DAN=4°5 ．此时，点M恰好与点C重合，得x=12；（Ⅲ）若AN=AD=，6 则∠ 1=∠2．∵AD∥BC，

∴∠1=∠4，又∠ 2=∠3，

∴∠ 3=∠ 4．∴CM=C．N ∴AC=6 2．∴CM=CN=AC-AN=6 2．-6

故x=12-CM=12-（ 6 2-6 ）=18-6 2 ．

综上所述：当x=6 或12 或18-6 2 时，△ ADN是等腰三角形

3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；

ABP1可看成是由△ ADP绕点 A 顺时针旋转90°而得．理由如下：在△ ABP1和△ ADP中，

由题意：AB=AD，AP=AP1，∠ PAD=∠P1AB，

∴△ ABP1≌△ ADP，

又∵△ ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠ PAP1=90°，

∴△ ABP1可看成是由△ ADP绕点A顺时针旋转90°而得；

（3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3 ，3），点P1（-3 ，3）关于点B（-4 ，4）左转弯运动到点P2（-5 ，3），点P2（-5 ，3）关于点C（-4 ，0）左转弯运动到点P3（-1 ，1），点P3（-1 ，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1），

点 P 4（1，1）关于点 A （0，4）左转弯运动到点 P 5（-3 ，3），

点 P 5与点 P 1重合，点 P 6与点 P 2重合，，点 P 2009的坐标为（ -3 ，3） 点 P 2010的坐标为（ -5 ，3）．

4、解：（1）如图 1，△ A 2B 2C 2 是△A 1B 1C 1 关于直线 QN 成轴对称的图形；

（2）当△ ABC 以每秒 1 个单位长的速度向下平移 x 秒时（如图 2）， 则有： MA=x ，MB=x+4，MQ=2，0

1 1 1

= 4+20）（ x+4） - × 20x- × 4× 4 2 2 2 =2x+40（0≤x ≤16）．

由一次函数的性质可知：

当 x=0 时， y 取得最小值，且 y 最小 =40，

当 x=16时， y 取得最大值，且 y 最大=2×16+40=72； （ 3）解法一：

当△ ABC 继续以每秒 1 个单位长的速度向右平移时，

此时 16≤x ≤32，PB=20-（x-16 ） =36-x ，PC=PB-4=32-x ，

111

∴ y=S 梯形 BAQ -P S △CPQ -S △ ABC = （4+20）（ 36-x ） - ×20×（ 32-x ）- ×4×4 222 =-2x+104（16≤x ≤32）．

由一次函数的性质可知：

当 x=32时， y 取得最小值，且 y 最小=-2 ×32+104=40； 当 x=16时， y 取得最大值，且 y 最大=-2 ×16+104=72． 解法二：

在△ ABC 自左向右平移的过程中， △QAC 在每一时刻的位置都对应着（ 2）中△ QAC 某一时刻的位置， 使得这样的两个三角形关于直线 QN 成轴对称．

因此，根据轴对称的性质，

只需考查△ ABC 在自上至下平移过程中△ QAC 面积的变化情况， 便可以知道△ ABC 在自左向右平移过程中△ QAC 面积的变化情况． 当 x=16 时， y 取得最大值，且 y 最大 =72， 当 x=32 时， y 取得最小值，且 y 最小 =40． 5、解：（1）图中有 5 个等腰三角形，

EF=BE+C ，F ∵△ BEO ≌△ CFO ，且这两个三角形均为等腰三角形， 可得 EF=EO+FO=BE+；

CF

y=S 梯形 QMB -C S △AMQ -S △ABC

（2）还有两个等腰三角形，为△ BEO、△ CFO，如下图所示：∵ EF∥BC，∴∠ 2=∠3，

又∵∠ 1=∠2，∴∠1=∠3，

∴△ BEO为等腰三角形，在△ CFO中，同理可证．∴EF=BE+CF存在．

（3）有等腰三角形：△ BEO、△ CFO，此时EF=BE-CF，∵如下图所示：OE∥BC，∴∠ 5=∠6，又∠ 4=∠5，∴∠ 4=∠ 6，∴，△ BEO是等腰三角形，在△ CFO中，同理可证△ CFO是等腰三角形，此时EF=BE-CF，

6、解：在△ ABD和△ ACE中，

∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE，

∴△ ABD≌△ ACE（SAS），

∴∠ E=∠ ADB．

∵∠ ADB=180°- ∠BDC=18°0 -124°=56°，∴∠ E=56°．

7、解：OE=O．F

证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA=O，B ∠ OAB=∠OBE=4°5 ，AC⊥ BD．

∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°，

∴∠ AOF=∠EOB．

在△ AOF和△ BOE中

∠OAB=∠OBE，OA=O，B ∠ AOF=∠ EOB，∴△ AOF≌△ BOE （ASA）．

∴OE=O．F