概率论大数定律及其应用
概率论大数定律及其应
用
Revised as of 23 November 2020
概率论基础结课论文
题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用
作者
摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率
引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。
一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。
正文：发展历史：概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.从概率的统计定义中可以看出:一个事件发生的频率具有稳定性,即随着试验次数的增多,事件的频率逐渐稳定在某个常数附近.人们在实践中观察其他一些随机现象时,也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性.这就是说,无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何,大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关,且不再是随机的.深入考虑后,人们会提出这样的问题:稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是大数定律要研究的问题.
1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显着进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于21。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律的一个特例。再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
主要含义：大数定律(law of large numbers)，又称，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。但是注意到，虽然通常最常见的称呼是大数“定律”，但是大数定律并不是经验规律，而是了的定理。有些无规律可循，但不少是有规律的，这些“有规律的随机事件”
数学家伯努利在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。确切的说大数定律是以确切的数学形式表达了大量重复出现的的，即频率的稳定性和平均结果的稳定性，并讨论了它们成立的条件。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率”。该描述即。
相关数学家：
拉普拉斯
拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎数学教授，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长，1827年3月5日卒于巴黎。
拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的、和，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
德莫佛
），法国数学家。德莫佛对数学最着名的贡献是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。德莫佛还写了一本概率理论的教科书，The Doctrine of Chances，据说这本书被投机主义者（gambler）高度赞扬。德莫佛是和概率理论的先驱之一；他还最早发现了一个二项分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。
大数定理的意义：在一个中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。在数理统计中，一般有三个定理，贝努利定理和定理，如：反映和频率的稳定性。当n很大时，算术平均值接近；频率以概率收敛于事件的概率。
表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由
实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
大数定律的表现形式：
由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收
敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη ，如果对于任意的0ε>，有
()lim 1n n P ηηε→∞
-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),p n n ηη??→→∞。
定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若
(){}lim 1n n P ηωη→∞
==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη??→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ???,使得对任意的0ε>,有
11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=??-<= ???
∑ （8） 成立，则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律。
定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩r E η、r n
E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0r
n n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。记作 r
L n ηη??→。 此时必有r r n E E ηη=。
当r=2时是常用的二阶矩，2
L n ηη??→称为均方收敛。 定义5 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存
在，0ε?>有
则称随机变量序列12,,n ξξξ??????服从弱大数定律。
定义6 若12,,n ξξξ??????是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存
在，0ε?>有 ()1lim 01n k k n i P E n ξξ→∞??-==????
∑或等价地.110n n a e k k i i E n n ξξ-??→∑∑， 则称12,,n ξξξ??????服从强大数定律。
上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法
则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞
从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数
ε，有()2D P a ξ
ζεε-≥≤， 则称此式子为切比雪夫不等式。
粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A 在每次试验中出现的概率为p （0
（5） 此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事
件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （切比雪夫大数定律） 设12,,n ξξξ??????是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=???，则对于任意的0ε>,有
1111lim 1n n
i i n i i P E n n ξξε→∞==??-<= ???
∑∑ （9） 在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差
这个条件并不是必要的。例如独立同分布时的辛钦大数定律。
该定律的含义是：当n 很大，服从同一分布的随机变量的将依概率接近于这些随机变量的数学期望。
将该定律应用于，就会有如下结论：随着的增加，样本平均数将接近于
总体平均数。从而为中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。
贝努里大数定律
设n μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，且事件A 在每次试验中发生的概率为P ，则对任意正数ε，有：
该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n 足够大时，事件A
出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。
在中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。
定理4 （辛钦大数定律） 设12,,n ξξξ??????是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望()1,2i E a i ξ==???,则对于任意的0ε>,有
11lim 1n i n i P a n ξε→∞=??-<= ???
∑ （10） 上式也可表示为11lim p
n i n i a n ξ→∞==∑或()11n p i i a n n ξ=??→→∞∑,并且称11n i i n ξ=∑依概率
收敛于.
定理5 （泊松大数定律）设12,,n ξξξ??????是相互独立的随机变量序列,
()1n n P p ξ==，()0n n P q ξ==，其中1n n p q +=，则12,,n ξξξ??????服从泊松大数定律。
泊松大数定律是伯努利大数定律的推广，伯努利大数定律证明了事件在完全
相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳定性；而泊松定理表明，当独立进行的随机试验的条件变化时，频率仍然具有稳定性：随着n 的无限增大，在n 次独立试验中，事件A 的频率趋于稳定在各次试验中事件A 出现概率的算术平均值附近。
定理6 （马尔科夫大数定律）对于随机变量序列12,,n ξξξ??????,若有
则有
大数定律的一些应用
大数定律本身便是概率论中非常重要的定理之一，而它与其他数学理论也有
密不可分的联系，而且对这些数学理论分支有不可或缺的作用。
大数定律本身便是频率靠近概率的极限理论，是大量随机现象的平均结果稳
定于平均值的极限理论。可以说大数定律是利用极限才得出的，同时利用大数定律可以来求解极限，这当然只是众多求极限方法之一，但也有它独特的简洁和巧妙。就以大数定律和极限这个概念的关系为例子，用它来对我们要求的重积分和极限相关的问题进行另一种方式的求解。极限伴随重积分出现的类型在高数中是常见的，在利用大数定律来求解这类重积分的极限的题目前，先介绍一个相关定理。
定理7（勒贝格控制收敛定理）
设（1）{}n f 是可测集E 上的可测函数列；
（2）()().n f x F x a e ≤于E （n=1，2，…..，）且()F x 在E 上可积分（称{}n f 为()F x 所控制，而()F x 叫控制函数）；
（3）()()n f x f x ?；
则()f x 在E 上可积分且()()lim n E E
n f x dx f x dx =??； 例1：已知0a b >>，求11
1211200......lim ..................a a a n n b b b n n x x x dx dx x x x →∞++++++??的值。 解：设1x ，……n x ，为独立同分布的随机变量序列，(1)n x n ≥服从（0，1）
上的均匀分布，12,,......,a a a n x x x 为独立同分布，12,,......,b b b n
x x x 为独立同分布。且 又 ()()()()222222************a n n n n Dx a a D n n n a a a a ∞
∞∞=====<∞++++∑∑∑ 由切比雪夫大数定律可知：当()n x 是独立的同分布的随机变量序列，且
21n n Dx n ∞
=<∞∑，由前面知道是强大数定律可知，1111lim 01n n k k n k k P x Ex n n →∞==????-== ? ?????
∑∑； 由此可知 1111lim 0n n a a k k n k k x Ex n n →∞==??-= ???
∑∑ 即 1
11lim 1n a k n k x n a →∞==+∑ 又因为01,1,n x k ≤≤≥且a b >故有,1a
b k k x x k <≥，因此11
n n
a b k k k k x x ==≤∑∑。 由此n ?，有
1111121211100001212..............................1............a a a a a a n n n n n b b b b b b n n
x x x x x x dx dx dx dx dx dx x x x x x x ++++++????≤????≤++++++???? 根据勒贝格控制收敛定理可知：
()()()()()11
112100121............lim ......lim ............a b a a a n n n b b b b b n n n n x x x x x dx dx Pd x x x x x ωωωωω→∞→∞Ω+++++???=+++++???= ()()()()()11......lim ......a b n b b n n x x Pd x x ωωωωω→∞Ω
++++?=()()1111b b Pd Pd a a ωωΩΩ++=++?? 即11
1210012......1lim ............1a a a n n b b b n n x x x b dx dx x x x a →∞++++???=++++??。 可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁
的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。[7]
1、大数定律在级数上的应用
大数定律在求解无穷级数上也有很大的作用，它为一些定理和固定公式的理
论证明提供另一种有趣而且也有用的办法。下面我们就引用一个很着名的问题来展现大数定律在级数中的应用：
伯努利是一位伟大而且着名的数学家，但是他也被一个在现在已经解决的问
题难住了：一个求级数和的问题。
求自然数倒数平方的级数和： 2222
11111...........234n +++++。 伯努利公开征求这个问题的求解方法。
三十年过后，先是欧拉利用猜度术的方法找出了它的结果，他是第一个找出
答案的，但是却不能证明，只能是数据验证，当然，到现在为止，有了很多种证明的方法，其中一种便是利用了大数定律的原理来完成的。 下面先来看其他方法之一是如何证明2
222211111 (2346)
n π+++++=的设所有的排列为2<3<5<7<…… 1:A αβ与互素； 2:A αβ与的公因子有2； 3:A αβ与有公因子3； …………. q :A αβ与有公因子q ；……. 因此12,3,,......,....q A A A A 是必然事件Ω，且知{},2,3,.....i A i =是相互独立的，设α中有因子q ，那么α必定是q 的倍数，那也可知()1q =q P α是的倍数。 同理也有()1q =q P β是的倍数，那么()21q =q P αβ、有公因子。由对立事件知道()2 11q q P A =-。根据对偶规律1212A A A A +=,根据他们的独立性，可知 根据欧拉的变换无穷乘积为级数的方法 ()122 n 11 6=1P A n π∞==∑. 下面我们就用大数定律的办法来求解这个级数的和。 从自然数中有放回任意取出两个数，设他们的最大公因子是n,事件数为 2n M ，ni B 表示第i 次取出n 的倍数事件（i=2，3，4，…..）。 根据第一次和第二次从自然数序列中有放回的随机取出两数是n 的倍数的条 件下，这两数的最大公因子是n 的条件概率等于从自然数序列随机取出两数互素的概率。于是有 显然()21,2,...n M n =是互不相容的，且有2n 1= n M ∞=Ω。 ni B 与n 是相互独立的，()()1,1,2,...ni P B n n ==,()1221n n P B B n = 于是就有()2122n 11 61P M n π∞===∑。 根据伯努利大数定律知道，概率可近似的利用频率来表示，因此在如此多的 自然书中，随机的取出两数互素的概率为 26π。于是知所求级数的和为 2 222211111 (2346) n π+++++=。 2、多项式逼近连续函数 分析中应用概率论的思想是非常美妙的构思,证明清晰明了。作者在文献[6 ] 中利用非齐次马氏链强大数定律构造了一类奇异单调函数, 而非借助于传统的Cantor 展式。尤其多项式逼近连续函数中也容易注意到近似多项式富有意义的构造。下面类似的方法可用来较易地构造一些熟悉的分析结果。 例2假设()f x 在闭区间[]b a ，上连续，则存在一列多项式12(),(), ,B x B x 一致 收敛于函数()f x 。 证明：不妨设a=0，b=1。可引入新的变量u ：x=(a b -)a u +，使 u ∈[0,1]，那么 由f(x)在[a ，b]上连续可知f(x)在[0,1]上一致连续且有界。即对于任意ε>0，存在δ>0，只要21x x -<δ，总有)()(21x f x f -<2 ε ，其中1x ，2x ∈[0,1]， 此外，对于任意x ∈[0,1]，有)(x f ≤k （k 为常数）。 设随机变量1ξ，2ξ…n ξ服从二项分布，则可建立多项式： n B (x)=Ef ( n 1n ξ) = ∑=n m n m f 0)(m m n x C m n x --)1( 其中x ∈[0,1]，参数n 1≥。显然n B (0)= f(0)，n B (1)= f(1)。由贝努力大 数定律知： 1lim =??????<-∞→εξx n p n n ，x ∈[0，1]。 由于n m 0=∑m m n x C m n x --)1(=1， 故有： n B (x) —)(x f =∑=-n m x f n m f 0)]()([m m n x C m n x --)1( = ∑<--δx n m x f n m f )()(m m n x C m n x --)1(+∑≥--δx n m x f n m f )()(m m n x C m n x --)1( < 2ε+2k ∑≥---δx n m m n m m n x x c )1(=2ε+2kP ??????≥-δξx n n 。 而对于任意x ∈[0,1]， n n ξx p →，可见存在N ，使当n>N 时， P ??????≥-δξx n n ≤k 4ε， 从而，当n>N 时，对于一切x ∈[0,1]，有： )()(x f x B n - ε=2ε+2 ε=ε 即)(x B n 关于x ∈[0,1]一致收敛于)(x f 。 从上可以看出大数定律在极限、重积分、级数以及多项式逼近中都有重要应 用，其实概率论学科和数学分析只见是相互渗透的，大数定律在数学理论中的应用也不仅仅这么狭窄，它在求很多高等数学的问题上也有很好的催化作用，大数定律在信息论中也有不俗的表现，比如在信息序列的渐近等分性质就是一个体现。下面主要看大数定律在实际生活中的精彩的表现，它涉及到很多与我们贴身的行业。[8] 3、大数定律在保险业的应用 保险动机的产生 现代保险业已经是社会非常重要的一环，而大数定律就是这大厦最重要的基 石之一，下面就看看大数定律是如何撑起这座保险业大厦的。 保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风 险的社会机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。 例如某企业有资金Z 单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受 的经济损失为1Z 个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金 1Z Z -单位。假设企业投入资金与所得利润之间的函数关系为()f Z ，显然有 ()()f Z f Z K --，当1K Z =时为预期风险条件下利润损失额。当 ()()0f Z f Z K --≥时，企业就需要有避险的需求，且随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。 具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候， 需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。 假设这种随机现象为(1,2,....,)i X i n =，则i X 的概率分布为： 1事件的数学期望为()1i E X Z P =。 根据切比雪夫大数定律，当1Z 有限时，0ε?>， 111lim 0n i n i P X Z P n ε→∞=??-≥= ??? ∑. 0ε?>，上述式子可以表述为：n 个具有某种同类风险，且风险的发生是相 互独立的，当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以致在企业生产过程中可以忽略不计。 定理6在n 重伯努利实验中，事件A 在每次试验中出言的概率为p ， (01)p <<，n μ为n 此试验中出现A 的次数，则 2 2lim t x n P x e dt -→∞??<=????。 定理7 设随机变量 n X X X ,21， ，相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差()()() ,2,10,2=≠==k X D X E k k σμ。则随机变量 的分布函数()X F n 对于任意x 满足 根据上述中心极限定理，由事先约定的0β>，则 这样，由事先给定的P εβ、、确定出参加某种风险保障的企业最小数目n. 例如：当=0.01=0.0012P ε、，则当约定=0.001β时，一定有n 130≥,也就是说当n 130≥时，上述的结果成立。 依据上述结果，从两个方面来看， 从微观上看，因为01P <<,则11Z PZ >，由前面说的企业是看利润递增的原 则，显然有()()11f Z Z f Z PZ -<-。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会保险比自保更有利。 从宏观上看，如果有n 个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理 性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为 ()()()111n i i i D f Z f Z Z ==--∑。 其中()i f Z 表示第i 个企业的利润函数（i=1,2,…..n ）. 而这n 企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为 ()()()211n i i i D f Z f Z PZ ==--∑。 概率论基础结课论文则由于参加社会保险而产生的社会总效益为： 由于 ()()11f Z Z f Z PZ -<-，i=1,2,……n. 所以此效益随着n 的增大而增大。[3] 综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利， 利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。 保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条 件有： 1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。 2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。 大数定律是保险业经营的一个重要数理基础，大数定律的原作，可以将个别风险单位遭遇损失的不确定性，转化为风险单位集合的损失的确定性。由于与损失金额的预测具有相关性，大数定律的运用直接关系到补偿或给付的实现程度与保险经营的稳定性。下面分成几个方面来阐述大数定律在保险业中的一些应用。 1、制定保费 结论：本文论述了有关大数定律的几个定理和应用，分别在理论上和实践上论述了大数定律的实际作用。 在理论上，利用大数定律的思想，我们可以得出求解极限、重积分以及级数的一种新思路，为我们解决一些数学分析中的难题提供了理论上的指导；另一方面，在实际生活中，保险体现“我为人人，人人为我”的互助思想，它是依据大数定律合理分摊、化整为零这一科学的数理计算方法，大数定律是保险业存在、发展的基础。从保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定中，大数定律起到不可或缺的作用。大数定律为促进人类社会和谐又好又快发展有着不可估量的价值。 参考文献 【1】魏华林，林保清，主编.保险学【M】.北京：高等教育出版社，2006. 【2】章志敏.一个级数求和的概率算法【J】.山东曲阜师范学院.. 【3】薛蓓蕾.人身保险中的数学计算【J】.哈尔滨高等专科学校学报.1999. 【4】王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的应用【J】数学的实践和认 识.(10):128-133 【5】何英凯.大数定律与保险财政稳定性研究【J】.税务与经济，2007,15(4):65-67.