中考数学 锐角三角函数综合试题附答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈）

【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】

作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】

解：作BF CE ⊥于F ，

在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝，

3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝，

在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3AB DE ADE =

==≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝

由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．

【点睛】

考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；

（2）如图2，若k=3，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k=3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.

【解析】

分析：（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出

△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

详解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ≌△ACD ，

∴EF=AD=BF ，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF ， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A 作AF ∥CB ，过点B 作BF ∥AD 相交于F ，连接EF ，

∴∠FBE=∠APE ，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF ，BF=AD ． ∵3BD ，3AE ，

∴

3AC CD

BD AE ==． ∵BD=AF ，

∴

3AC CD

AF AE

==． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE ∽△ACD ，

∴

3AC AD BF

AF EF EF ===，∠FEA=∠ADC ． ∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD ． ∵AD ∥BF ， ∴∠EFB=90°．

在Rt △EFB 中，tan ∠FBE=3

3

EF BF =

， ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH ∥CD ，DH ∥BE ，EH ，DH 相交于H ，连接AH ，

∴∠APE=∠ADH ，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH 是平行四边形， ∴BE=DH ，EH=BD ． ∵AC=3BD ，CD=3AE ，

∴

3AC CD

BD AE

==． ∵∠HEA=∠C=90°， ∴△ACD ∽△HEA ，

∴

3AD AC

AH EH

==，∠ADC=∠HAE ． ∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°．

在Rt △DAH 中，tan ∠ADH=3AH

AD

=， ∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°．

点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．

4．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD=CM ，DE ⊥AB 于点E ，连结AD 、CD ． （1）求证：△MED ∽△BCA ； （2）求证：△AMD ≌△CMD ；

（3）设△MDE 的面积为S 1，四边形BCMD 的面积为S 2，当S 2=17

5

S 1时，求cos ∠ABC 的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos ∠ABC=57

. 【解析】 【分析】

（1）易证∠DME=∠CBA ，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED ∽△BCA ； （2）由∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点，可知MB=MC=AM ，从而可证明∠AMD=∠CMD ，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD ≌△CMD ； （3）易证MD=2AB ，由（1）可知：△MED ∽△BCA ，所以

2

114

ACB S MD S

AB ??== ???，所以S △MCB =12S △ACB =2S 1，从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1，由于1EBD

S ME S EB =，从而可知

52ME EB =，设ME=5x ，EB=2x ，从而可求出AB=14x ，BC=7

2，最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】

（1）∵MD ∥BC ， ∴∠DME=∠CBA ， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED ∽△BCA ；

（2）∵∠ACB=90°，点M 是斜边AB 的中点， ∴MB=MC=AM ， ∴∠MCB=∠MBC ， ∵∠DMB=∠MBC ，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC ， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ，

∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC ， ∴∠AMD=∠CMD ， 在△AMD 与△CMD 中，

MD MD AMD CMD AM CM =??

∠=∠??=?

， ∴△AMD ≌△CMD （SAS ）； （3）∵MD=CM ， ∴AM=MC=MD=MB ， ∴MD=2AB ，

由（1）可知：△MED ∽△BCA ， ∴

2

114

ACB S MD S

AB ??== ???，

∴S △ACB =4S 1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S △MCB =

1

2

S △ACB =2S 1， ∴S △EBD =S

2﹣S △MCB ﹣S 1=2

5

S 1， ∵

1EBD

S ME

S

EB

=

， ∴1125

S ME

EB S =

，

∴

5

2

ME EB =， 设ME=5x ，EB=2x ， ∴MB=7x ， ∴AB=2MB=14x ，

∵

1

2MD ME AB BC ==， ∴BC=10x ，

∴cos ∠ABC=105

147

BC x AB x ==. 【点睛】

本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.

5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BC=1，点D 在边AC 上且BD 平分∠ABC ，设CD=x ．

（1）求证：△ABC ∽△BCD ； （2）求x 的值；

（3）求cos36°-cos72°的值．

【答案】(1)证明见解析；（2）15

2

-+；（3）75816+．

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形ABC 中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数，得到∠DBC=∠A ，再由∠C 为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似；

（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC ，根据AD+DC 表示出AC ，由（1）两三角形相似得比例求出x 的值即可；

（3）过B 作BE 垂直于AC ，交AC 于点E ，在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果． 试题解析：（1）∵等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ； （2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，

设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，

∴AB BC BD CD =，即11

1x x +=， 整理得：x 2+x-1=0，

解得：x 1=15

-+，x 2=15--（负值，舍去），

则x=

15

-+； （3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，

∵BD=CD ，

∴E 为CD 中点，即DE=CE=

15

4

-+， 在Rt △ABE 中，

cosA=cos36°=15

1514151AE AB -++

+==-++， 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=15

1541EC BC -+-+==

， 则cos36°-cos72°=51+=

-15-+=12． 【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．

6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，交⊙O 于点H ，连接DC ，AC ． （1）求证：∠AEC=90°；

（2）试判断以点A ，O ，C ，D 为顶点的四边形的形状，并说明理由； （3）若DC=2，求DH 的长．

【答案】（1）证明见解析； （2）四边形AOCD 为菱形； （3）DH=2．

【解析】

试题分析：（1）连接OC ，根据EC 与⊙O 切点C ，则∠OCE=90°，由题意得

，∠DAC=∠CAB ，即可证明AE ∥OC ，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出

∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD 为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB 可证明四边形AOCD 是

平行四边形，再由OA=OC ，即可证明平行四边形AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边

形是菱形）；

（3）连接OD ．根据四边形AOCD 为菱形，得△OAD 是等边三角形，则∠AOD=60°，再由

DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，

∵EC与⊙O切点C，

∴OC⊥EC，

∴∠OCE=90°，

∵点CD是半圆O的三等分点，

∴，

∴∠DAC=∠CAB，

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）

∴∠AEC+∠OCE=180°，

∴∠AEC=90°；

（2）四边形AOCD为菱形．理由是：

∵，

∴∠DCA=∠CAB，

∴CD∥OA，

又∵AE∥OC，

∴四边形AOCD是平行四边形，

∵OA=OC，

∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；

（3）连接OD．

∵四边形AOCD为菱形，

∴OA=AD=DC=2，

∵OA=OD，

∴OA=OD=AD=2，

∴△OAD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，

∵DH⊥AB于点F，AB为直径，

∴DH=2DF，

在Rt△OFD中，sin∠AOD=，

∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，

∴DH=2DF=2．

考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．

7．某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）．

【答案】车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速

【解析】

分析：根据点到直线的距离的性质，构造直角三角形，然后利用解直角三角形的应用，解直角三角形即可.

详解：如图，由题意知∠CAB=75°，∠CAP=45°，∠PBD=60°，

∴∠PAH=∠CAB–∠CAP=30°，

∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH=

tan PH PAH

∠

=3

3

=503，

∵AC∥BD，∴∠ABD=180°–∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD–∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=503+50，

∵60千米/时=50

3米/秒，∴时间t=

50350

50

3

+

=3+33≈8.1（秒），

即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．

点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB ＝4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A，B重合)，作∠DPQ＝60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示线段DC的长：_________________；

（2）当t =__________时，点Q与点C重合时；

（3）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，求出t的值．

【答案】（1）；（2）1；（3）t的值为或或.

【解析】

【分析】

（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；

（2）利用AQ=AC，即可得出结论；

（3）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．

【详解】

（1）∵AP= , AB=4,∠A＝30°

∴AC= , AD=

∴CD=；

（2）AQ=2AD=

当AQ=AC时，Q与C重合

即=

∴t=1；

（3）①如图，当PQ的垂直平分线过AB的中点F时，

∴∠PGF＝90°，PG＝PQ＝AP＝t，AF＝AB＝2.

∵∠A＝∠AQP＝30°，∴∠FPG＝60°，∴∠PFG＝30°，∴PF＝2PG＝2t，

∴AP＋PF＝2t＋2t＝2，∴t＝

②如图，当PQ的垂直平分线过AC的中点N时，

∴∠QMN＝90°，AN＝AC＝，QM＝PQ＝AP＝t.

在Rt△NMQ中，

∵AN＋NQ＝AQ，∴

③如图，当PQ的垂直平分线过BC的中点F时，

∴BF＝BC＝1，PE＝PQ＝t，∠H＝30°.

∵∠ABC＝60°，∴∠BFH＝30°＝∠H，∴BH＝BF＝1.

在Rt△PEH中，PH＝2PE＝2t.

∵AH＝AP＋PH＝AB＋BH，∴2t＋2t＝5，∴t＝.

即当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或.

【点睛】

此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线的性质，正确作出图形是解本题的关键．

9．如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度.（参考数据：

,，）

【答案】旗杆的高度约为.

【解析】 【分析】

在Rt △BDC 中，根据tan ∠BDC=求出BC ，接着在Rt △ADC 中，根据

tan ∠ADC==

即可求出AB 的长度

【详解】

解：∵在Rt △BDC 中，tan ∠BDC==1，∴BC=CD= 40m

在Rt △ADC 中，tan ∠ADC==

∴tan50°= =1.19

∴AB

7.6m

答：旗杆AB 的高度约为7.6m. 【点睛】

此题主要考查了三角函数的应用

10．如图，在ABC △中，10AC BC ==，3

cos 5

C =,点P 是BC 边上一动点（不与点,A C 重合），以PA 长为半径的

P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE CB ⊥于点E .

()1当P 与边BC 相切时，求P 的半径；

()2联结BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，

并直接写出x 的取值范围；

()3在()2的条件下，当以PE 长为直径的

Q 与P 相交于AC 边上的点G 时，求相交

所得的公共弦的长.

【答案】（1

）40

9

；（2）()

2

5880

010

320

x x x

y x

x

-+

=<<

+

；（3）1025

-

【解析】

【分析】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC=

3

5

，则sinC=

4

5

，sinC=

HP

CP

=

R

10R

-

=

4

5

，即可求解；

（2）PD∥BE，则

EB

PD

＝

BF

PF

，即：2

2

4880

5

x x x y

x y

--+-

=，即可求解；

（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=45，即可求解．

【详解】

（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，

连接HP，则HP⊥BC，cosC=

3

5

，则sinC=

3

5

，

sinC=

HP

CP

=

R

10R

-

=

4

5

，解得：R=

40

9

；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=

3

5

，

设AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，过点B作BH⊥AC，

则BH=ACsinC=8，同理可得：

CH=6，HA=4，

AB=45，则：tan∠CAB=2BP=()2

2

84

x

+-=2880

x x

-+，

DA=

25

5

x，则BD=45-

25

5

x，

如下图所示，

PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

tanβ=2，则cosβ=

5

，sinβ=

5

，

EB=BDcosβ=（45-

25

x）×

5

=4-

2

5

x，

∴PD∥BE，

∴EB

PD

＝

BF

PF

，即：2

2

4880

5

x x x y

x

--+-

=，

整理得：y=()

2

5x x8x80

0x10

3x20

-+

<<

+

；

（3）以EP为直径作圆Q如下图所示，

两个圆交于点G，则PG=PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，

∵点Q时弧GD的中点，

∴DG⊥EP，

∵AG是圆P的直径，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，

∴AG=EP=BD，

∴

设圆的半径为r，在△ADG中，

AG=2r，

，

则：

相交所得的公共弦的长为

【点睛】

本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．