上海交通大学高等数学复习提纲
上海交通大学高等数学复习提纲
第一章函数
1.会证明一般难度的不等式，并运用一些证明不等式的方法
2.函数的界与数列的界的联系和区别（联系第二章）
3.复合函数的函数值计算、单调性等
4.单射和满射的定义与性质
5.奇函数、偶函数的图像与性质，周期函数的定义与性质
6.反三角函数的图像与性质
7.双纽线、心脏线等的画法，图像性质，为积分应用求面积体积打好基础
第二章极限与连续（这一章最为琐碎，多耐心）
1.数列的有界无界的定义，怎么证数列的单调性，怎么证明数列的有界无界
2.数列极限的定义（这同样也是证明一个数是数列的极限的根据；注意数列极限的几何意义）
3.证明一个数是数列的极限的方法
4.无穷大与无穷小的含义
5.会求以下类型数列的极限
1）分子、分母为多项式
2）分子、分母含根式（很重要）
3）分子、分母含指数式
4）能够转化为（1+1/n）n的极限
5）会用夹逼定理求极限（很重要）
6）单调有界数列求极限的方法甚至是综合题，可参考习题集（较重要，有难度）
7）用定积分的定义来求极限的方法（考得比较多，方法比较死，但不容易想到）
6.为了达到会求极限的目标，要注意以下求和公式
并且掌握常见的求数列前n项和的方法
7.函数在一点和无穷远处极限的定义和相应的证明方法
8.了解一下Heine定理，如果有问题请回看子数列与数列的关系与性质
9.函数极限的几个常见性质，尤其是定性性质要有个感觉
10.重要函数极限及其转化应用
lim(sinx/x)=1; lim(1+1/x)x=e;
x→0x→?
11.无穷小、三类无穷小、正反求阶数、标准无穷小等概念和方法（重要）
12.等价无穷小，会用它求函数极限（很重要，包括简单变形、平移和本质相同的式子的等价无穷小），等价无穷小的替换原则和规律要认真体会，要耐心
13.函数极限的运算法则，会求函数极限（这一句话意味着要做大量的题和总结，类型要全）
14.函数连续性的定义，函数连续与函数极限的关系，几类间断点及特征，罕见的类型记住典型案例
15.连续函数求某点极限与该函数在该点函数值的关系，极限号可穿函数号等性质
16.从定义和几何特征上体会一下有界性定理、最值定理、介值定理，看一下典型应用方法，适当操练操练，注意构造辅助函数的方法的出现
第二章的内容一定要耐心，细节比较多，理解比较多
第三章导数与微分
1.导数的定义，可导的条件，可导与连续的关系
2.微分、线性主部的定义（不妨从几何上看看，以直代曲P108），可导与可微的关系
3.理解增量公式，会用增量公式求近似值，会用它估计误差(二者考得少，但是要会）
4.背住导数表和微分表
5.会求导数、会求微分（这两者比较简单），会准确地求复合函数的导数与微分；
理解复合函数求导法则的来源；掌握一些求导类型与方法；反函数求导方法的推导与理解，会求反函数的导数。（重要）
6.会求隐函数和参数方程的导数。（重要）
备注5&6:一定要理解为什么要那样求，然后就是大量地做题总结，类型要全
7.导数应用理论上可以忽略
8.掌握Leibniz高阶导数求导公式
9.隐函数与参数方程的高阶导数（二阶很重要），隐二者必须至少掌握到二阶，更高阶需要看一看
第四章微分中值定理与导数应用
1.把Fermat定理、Darboux定理、Rolle定理、Lagrange定理Cauchy定理挨着个儿看一遍；重点关注Rolle定理和Lagrange定理；
2.会用L'hospital法则与等价无穷小替换等方法结合来求极限（重要，练习）
3.理解Taylor展开的原理，背住Taylor公式带Peano余项的展开公式，Lagrange余项根据自己的情况
4.背住e x、sinx、ln（1+x）的Maclaurin公式，其它常见的至少要能够推导；
能够用Taylor展开求极限和解决无穷小的问题（重要）
5.会研究函数性态（重要）
1）明确函数性态包含的方面
2）掌握凸性与拐点与二阶导数值的关系
3）会求水平、垂直渐近线，背住斜渐近线的求法公式，而且会求
4）会全面的画性态示意图
6.从定义和几何上理解曲率和曲率半径，尽量记住公式，记不住要会推导（考得少，不过考得简单，所以记住公式，志在必得）
7.求近似解理论上可以忽略
第五章积分（要点少，功夫不能少）
1.定积分的定义及其在求数列极限中的作用，定积分的几何意义；
2.特殊的不可积例子；
3.时间不充足可以忽略可积条件这一点
4.了解定积分的性质，重点关注绝对值不等式、积分中值定理及其几何意义
5.变上限积分和变上限积分的导数（重要）
6.背积分表
7.会求不定积分
1）凑微分法的原理和用法
2）第二换元法的原理和用法（此处一定要会用辅助三角形）
3）第二换元法的特例倒置法的应用
4）分部积分法
5）简单有理函数积分法
6）三角函数有理式积分（注意合理使用万能代换）
7）简单无理函数积分
备注:一定要总结各种类型积分的结构特点，积分只有靠多观察多练
8.明白不定积分与定积分求法的不同之处，学会换元积分
9.会在定积分中（注意是定积分）用奇函数、偶函数的对称性；会用一系列三角函数积分变换的公式（P248）；会用wallis公式（重要）；
10.注意一下P289的33题的做法
11.会在函数、参数方程、极坐标方程的情形下或者转化后求面积、体积、弧长；（重要）重点要关注为什么那样求，关注薄壳法，记住重要的公式；
12.会求无穷区间和无界函数的反常积分，一定要明白存在反常积分的条件（重要）
第六章微分方程
这一章用另一种方式来说明：
首先搞清楚什么是微分方程、n阶微分方程、一阶线性微分方程等等；
然后梳理出一个清单，内容是我们需要解决的微分方程的类型和解法，写完清单的同时必须要理解并记住这种解法，其中记住的要求就是把握这种类型的结构特征；
此外有这样一些点需要注意：
1.避免y永远是x的函数的定势思维，灵活求解；
2.记住诸如Liouville公式等重要公式
3.一定要在理解一类微分方程的解法的基础上再去解微分方程
4.最后两节理论上可以忽略；
5.做题和总结很重要；
第七章向量代数与空间解析几何
1.会用定比分点公式
2.会单位化向量，掌握方向余弦、方向角的含义与求法
3.会求数量积
4.理解平面向量基本定理、空间向量基本定理并会使用
5.区分投影向量、投影，会求会表示
6.会求向量的外积，包括阶乘求法和几何求法，了解向量外积的几何意义（方向与大小）
7.了解混合积的含义，会求混合积
8.归纳平面、直线方程的形式和参数的意义，重视方向向量与平面法向量的应用；
9.理解平面束方程的含义，会用平面束方程解决问题
10.能够联系外积的性质解决几何上的位置关系等问题
11.会求点面距、面面角、线线角、线面角等，公式可以记，也可以自己画法向量、方向向量等来推导；（多操练)
2016上海交通大学期末 高数试卷(A类)
2016级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类) 一、单项选择题（本题共15分，每小题3分） 1. 若3222lim 12 x ax bx x →∞++=+（其中,a b 为常数），则 （ ） （A ）0a =，b ∈R ； （B ）0a =，1b =； （C ）a ∈R ，1b =； （D ）a ∈R ，b ∈R 。 2. 若函数()f x 的一个原函数是(2)e x x -，则'(1)f x += （ ） （A ）e x x ； （B ）1e x x +； （C ）1(1)e x x ++； （D ）(1)e x x +。 3. 反常积分1 0ln[(1)]d x x x -? （ ） （A ）2=-； （B ）1=-； （C ）0=； （D ）发散。 4. 设OA a =和OB b =是两个不共线的非零向量，AOB ∠是向量a 与b 的夹角， 则AOB ∠的角平分线上的单位向量为 （ ） （A ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b ---； （B ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b +++； （C ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b ---； （D ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b +++。 5. 设函数()f x 为连续函数，对于两个命题： （I ）若()00()(()())d d x u F x f t f t t u =--??，则()F x 为奇函数； （II ）若()f x 为奇函数，则()3 0()()d d x y x G x f t t y =??为奇函数， 下列选项正确的是 （ ） （A ）（I ）和（II ）均正确； （B ）（I ）和（II ）均错误。 （C ）仅（I ）正确； （D ）仅（II ）正确； 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 已知函数()y f x =由参数方程3cos 2sin x t y t =??=? （0t <<π）所确定，则 ''()f x =___________________。 7. 一平面通过y 轴，且点)2,4,4(-到该平面的距离等于点)2,4,4(-到平面0z =的距离，则该平面方程是：_________________________。 8. 已知321e e x x y x =-，22e e x x y x =-，23e x y x =-是某二阶常系数非齐次线性微
武汉理工大学 高数A上 2007级 A卷及答案
武汉理工大学 高数A 上 2007级 A 卷及答 案 一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） （1）设1 11,0()11 ,0x x e x f x e x ?-?≠? =?+??=? ，则0x =是()f x 的（ ）。 A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．无穷间断点。 （2）设()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）。 A. 若0()lim x f x x →存在，则(0)0f =； B 、若0()() lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f = C 、若0()lim x f x x →存在，则)0(f '存在； D 、若0()() lim x f x f x x →--存在，则0)0(='f 。 （3）设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()(n x x n 是正整数） 高阶的无穷小，而sin()n x x 是比2 1x e -高阶的无穷小，则n 等于（ ）。 A 、1； B 、2； C 、3； D 、4 （4）设()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，且0(1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点(5,(5))f 处的切线的斜率为（ ）。 A 、1/2； B 、-2； C 、0； D 、-1 （5）设32()2912f x x x x a =-+-恰有两个不同的零点，则a 为（ ）。 A 、8； B 、6； C 、4； D 、2。 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） （1）设21lim( )1 a ax t x x te dt x -∞→∞+=-?，则a = ； （2）设()f x 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，n 为大于2的整数，则()()n f x = ；
大学高等数学期末考试题及答案详解(计算题)
大学数学期末高等数学试卷（计算题） 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) .d )1(22x x x ? +求 2、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题
武汉理工大学 高数A下 2004级 A卷及答案 理工科
武汉理工大学考试试题（A 卷） 备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。 一、单项选择题（本题共5小题，每小题 3分，满分15分） 1．二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的偏导数存在，是(,)f x y 在该点连续的（ ）. A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．设函数()f u 连续，区域{} 22(,)2D x y x y y =+≤，则()D f xy d σ??=（ ）. A ．1 1 ()dx f xy dy -? B ．2 02()dy f xy dx ? C ．2sin 20 (sin cos )d f r dr πθ θθθ?? D ．2sin 20 (sin cos )d rf r dr π θ θθθ?? 3．下列级数中条件收敛的级数是（ ）. A ．∑∞ =+1)1(1n n n B ．1n n ∞= C ．21(1)2n n n n ∞=-∑ D ．n ∞ = 4．设L 是平面上不包含原点的任一光滑有向闭曲线，则22 L ydx xdy x y -=+? （ ）. A ．π B ．2π C ．2π- D ．0 5．方程36x y y y xe '''--=特解*y 的形式可设为（ ）. A ．3()x ax b e + B ．23()x ax bx e + C ．3x axe D ．23x ax e 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，则z x ?=?________. 2．设()f x 连续，1 ()()(1)t t y F t dy f x dx t =>??，则(2)F '= . 3．设∑是平面123 x y z -+=位于第四卦限的部分，则∑的面积A =______.
同济大学大一 高等数学期末试题 (精确答案)
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
高等数学复习资料大全
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
武汉理工大学数学建模公共选修课考试试题
武汉理工大学数学建模公共选修课考试试题 A题：最低生活保障问题 温家宝总理在十届人大三次会议所作的《政府工作报告》中指出，要贯彻落实科学发展观，着力解决与人民群众切身利益相关的突出问题，高度重视解决城乡困难群众基本生活问题，维护社会稳定，努力构建社会主义和谐社会。 1999年国务院颁布《城市居民最低生活保障条例》，规定对持有非农业户口的城市居民，凡共同生活的家庭成员人均收入低于当地城市居民最低生活标准的，均可从当地政府获得基本生活物质帮助。据民政部统计，截至2004年12月底，全国城市低保对象总人数为2200．8万人，各级财政累计支出低保金172．9亿元，其中中央财政支出102亿元。低保对象月人均领取低保金65元。城市居民低保制度的实施，对于巩固社会稳定, 促进社会进步和经济发展起到了极其重大作用。 但是低保制度在实施过程中，也存在一些具体问题。突出表现在以下两点：一是保障标准的确定问题。既要能维持保障对象的基本生活需求，又要避免标准设置过高降低工作的积极性；既要随着经济发展逐步提高，又要考虑财政承受力；既要和当地经济社会发展水平相适应，又要防止各地在标准的高低上互相攀比。二是保障对象的资格问题。如何实现动态管理下的“应保尽保”，如何合理平衡收入因素和资产、教育、住房、赡养问题等非收入因素，如何制定更为合理有效的“分类施保”政策，避免出现贫困家庭保障不足，相对富裕家庭领取低保的现象。对这些问题，定性分析较多，定量研究尚不多。 1．分析、确定制定保障标准的主要依据。 2．试就以上一个或两个问题，运用数学工具，建立数学模型，并给出相应的结论。 3．对模型作实证分析，并与当前的有关政策和规定进行比较。 B题房价问题 房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。 请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量
合肥工业大学大一上学期高数期末考试题
高数期末考试 一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x = ??x x x x f d cos )(则 . 3. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 221L n n n n n n π π ππ . 4. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 5. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 6. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 7. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 8. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9. 设函数)(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且→=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 并讨论' ()g x 在=0x 处的连续性. 10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足 =- 1 (1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）
大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习
大一经典高数复习资料经典最新(经典全面复习)
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: ?
高等数学(本科少学时类型) 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节 数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节 函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言 １．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） １.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；） ２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????） 第五节 极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则 关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算 设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子 分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--
同济大学版高等数学期末考试试卷
同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ???
2019年上海交通大学国际本科生入学考试大纲数学
2019年上海交通大学国际本科生入学考试大纲 数学 一、考试目的 上海交通大学留学生本科入学数学考试，是以报考我校的具有高中毕业学历的外国学生为对象而进行的选拔考试。数学考试旨在测试考查考生的数学素养，包括数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探究能力。 二、考试基本要求 留学生本科入学数学考试测试考生各项数学素养如下： 1.记忆。能识别或记住有关的数学事实材料，使之再认或再现；能在标准 的情景中作简单的套用，或按照示例进行模仿； 2.解释性理解。明了知识的来龙去脉，领会知识的本质，能用自己的语言 或转换方式正确表达知识内容；在一定的变式情境中能区分知识的本质属性与非本质属性，会把简单变式转换为标准式，并解决有关的问题； 3.探究性理解。能把握知识的本质及其内容、形式的变化；能从实际问题 中抽象出数学模型或作归纳假设进行探索，能把具体现象上升为本质联系，从而解决问题；会对数学内容进行拓展或对数学问题进行延伸，会对解决问题过程的合理性、完整性、简捷性作有效的思考。 三、试卷结构 数学考试釆用笔试的方式进行。笔试共25题，满分100分。数学笔试要求考生在90分钟内完成。答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。对进入考场的计算器品牌和型号不作规定，但附带计算器功能的无线通讯工具、记忆存储等设备和附带无线通讯功能、记忆存储功能、具有图像功能的计算器不得带入考场。
按测量目标划分: 四、考试内容和要求 文理科共同考试内容： 一、集合与命题：集合及其表示、子集、交集、并集、补集；命题的四种形 式；充分条件、必要条件、充分必要条件；子集推出关系。 二、不等式：不等式的基本性质及其证明；基本不等式；一元二次不等式（组） 的解法；分式不等式的解法；含有绝对值的不等式的解法。 三、数列与数学归纳法：数列的有关概念；等差数列；等比数列；简单的递 推数列；数列的极限；无穷等比数列各项的和；数列的实际应用问题；数学归纳法；归纳-猜测-论证。 四、函数及其基本性质：函数的有关概念；函数的运算；函数关系的建立； 函数的基本性质；简单的幂函数、二次函数的性质；指数函数的性质与图像；
关于高等数学B上复习资料归纳
华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导 一、 求函数值 例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： 无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无 穷小替换 例题： 1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →， ， 原式=3 200(3)lim lim270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？ 解：原式=03lim 3x x x →=
3、201-cos lim x x x →=？ 解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2 x x x →= 4、0ln(13) lim x x x →+=？ 解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？ 解：当201~2x x e x →-， 原式=.02lim 2x x x →=. 三、 多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率 曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为： 例题： 1、曲线44x y x += -在点(2,3)M 的切线的斜率．
武汉理工大学数学实报告
学生实验报告书 实验课程名称数学实验 开课学院理学院 指导教师姓名尹强 学生姓名李欣 学生专业班级电信科1201班 2013-- 2014学年第 2 学期
实验教学管理基本规范 实验是培养学生动手能力、分析解决问题能力的重要环节；实验报告是反映实验教学水平与质量的重要依据。为加强实验过程管理，改革实验成绩考核方法，改善实验教学效果，提高学生质量，特制定实验教学管理基本规范。 1、本规范适用于理工科类专业实验课程，文、经、管、计算机类实验课程可根据具体情况参 照执行或暂不执行。 2、每门实验课程一般会包括许多实验项目，除非常简单的验证演示性实验项目可以不写实验 报告外，其他实验项目均应按本格式完成实验报告。 3、实验报告应由实验预习、实验过程、结果分析三大部分组成。每部分均在实验成绩中占一 定比例。各部分成绩的观测点、考核目标、所占比例可参考附表执行。各专业也可以根据具体情况，调整考核内容和评分标准。 4、学生必须在完成实验预习内容的前提下进行实验。教师要在实验过程中抽查学生预习情况， 在学生离开实验室前，检查学生实验操作和记录情况，并在实验报告第二部分教师签字栏签名，以确保实验记录的真实性。 5、教师应及时评阅学生的实验报告并给出各实验项目成绩，完整保存实验报告。在完成所有 实验项目后，教师应按学生姓名将批改好的各实验项目实验报告装订成册，构成该实验课程总报告，按班级交课程承担单位（实验中心或实验室）保管存档。 6、实验课程成绩按其类型采取百分制或优、良、中、及格和不及格五级评定。
实验课程名称：__数学实验_____________
实验课程名称：__数学实验_____________
(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答
1、解 22 ()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B. (,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥. 答案：C 2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π '''=?=-++??u r r 22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt π π π=++==?? 答案：B 3、解 22 :1(1)S z x y =+≤，方向为下侧， [221]S S S I y y dv dxdy - + + Ω ∑+=+=--+-?????????ò 32251133 πππ=-?-?=- 答案：A 4、解 1 |(1)|n n n n a ∞ ∞ ==-=∑∑ ――A 错 11||n n n n n a a ∞∞ ∞ +====≥∑∑ ∑ ，发散 ――B 错 1111||| |n n n n n n n a a +∞ ∞ ∞ +===-=- ≥∑∑∑ ，发散 ――C 错 111 1 ||| |n n n n n n n a a +∞ ∞ ∞ +===+=+ =∑∑∑ n n ∞ ∞ ===≈∑ ∑ ，收敛 ――D 对 答案：D 5、解 (0)(0) (3)()02 S S S S ππππ-+-+== = 答案：D 6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2 .......D xy dxdy =?? 解2 *** 22***D xy dxdy dy xy dx +-==????0 7、解 ()()() 2 22222 552323222 c c c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=?=???蜒 ?5π
高等数学3复习提纲
复习提纲 注意：以下出现的Ex1表示的对应习题中的第一题，其余表示符号类推。 1、掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分 直角坐标系下： 把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序，再把其中的二重积分化为二次积分，由此把三重积分化为三次积分。 先一后二：先把Ω向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy 面投影得到Dxy)，再以Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，把Ω的边界曲面分为上下部分，其方程分别记作()()21,,,z z x y z z x y ==，()()12,,z x y z x y ≤。则Ω表示为：()()()12,,,xy x y D z x y z z x y ∈≤≤，。再把Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。 先二后一：先把Ω向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z 轴投影得到[Z1,Z2])，再从[Z1,Z2]上任取一点z ，过该点作一垂直于z 轴的平面，截Ω得到平面闭区域Dz ，则Ω表示为：()12,z z z z x y D ≤≤∈， 。再把Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。 柱面坐标系下：实为直角坐标系下使用先一后二的做法时，选择Dxy 为极坐标系，把Ω表示为如下形式：()()()12,,,xy D z z z ρθρθρθ∈≤≤，。Dxy 下,ρθ的取值范围可参照二重积分（有两种情形）。当Ω的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时，可考虑使用柱面坐标系。 球面坐标系下：当Ω的是球体或半球体或球面与锥面围成时，可考虑使用球面坐标系，其积分变量,,r θ?的范围的确定请参照课堂例题。 示例：159页 例1，例2，例3；习题10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。 2、了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式，会套用公式计算。 示例：167页 例1，例4习题10-4，Ex1，Ex5 3、掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法，曲线质量、质心的求法 L 是平面曲线时，其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程，化弧长的曲线积分为定积分的关键点：曲线方程代入被积函数进行化简；弧微分ds 套公式化简；由曲线方程确定积分限。 L 是空间曲线时，只考虑其方程是参数方程的情形，做法同上。 示例：习题11-1，Ex3 (1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。
上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_试卷_(180学时)
2007级第二学期高等数学期末试题解答与评分标准（180A 卷） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 若二阶连续可微函数(,)f x y 在点(,)a b 处取得极小值，则有 （ ）. （A ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≤ （B ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≥ （C ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≥ （D ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≤ 2. 质点在变力F yzi xzj zk =-++ 作用下沿螺旋线:cos ,sin ,C x t y t z t ===从 点()11,0,0M 运动到点2(1,0,)M π-，则变力F 所做的功为 （ ）. （A ）π （B ）2π （C ）212π （D ）313π 3. 设有向曲面∑：222(1)1(1)x y z z ++-=≥，方向为上侧，则 22x y d y d z y d z d x z d x d y ∑--=?? （ ）. （A ）53π- （B ）23π - （C ）3π- （D ）3π 4. 设n n a =，则下列级数中，绝对收敛的级数是 （ ）. （A ）1(1)n n n a ∞=-∑ （B ）11n n n a a ∞+=∑ （C ）11()n n n a a ∞+=-∑ （D ）11()n n n a a ∞+=+∑ 5. 设三角级数1sin n n b nx ∞ =∑在(0,)π内收敛到函数()1f x x =+，则此三角级数 在3x π= 处收敛于 （ ）. （A ）1+π （B ）1+2π （C ）1+3π （D ）0 二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 设区域22222{(,)|(),,R }D x y x y x y x y =+≤-∈，则2D xy dxdy =?? . 7. 设平面曲线C 为圆221x y +=，则曲线积分()2223C x xy y ds -+=? . 8. 微分方程2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++=的通解为： . 9. 设23F yzi xzj xyk =-+ , 则()div rot F = .
高等数学复习提纲同济大学下册
高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程
解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??
武汉理工大学网络教育学院大学入学考试复习资料高等数学C 答案 2010-6-3 10：31
武汉理工大学网络学院试卷参考答案 课程名称：高等数学 专业班级：2010秋入学考试 一、选择题（5×3分 = 15分） B;A;D;B;A; 二、填空题（5×3分 = 15分） 1、2350x y +-= 2、1,1==b a 3、2=x 4、x e 2 5、2 121cos 2y x x c x c =-+++ 三、计算题（5×8分 = 40分） 1、由 ???≥-≥00 x x x 得 ???≥≥x x x 20 或 ? ??≥-≥0)1(0x x x ， 从而定义域为 {}01=≥x x x 或． 2、2 22 21)1)(1(ln )1ln()(x x x x x x x x x y ++++-++=++-=- )()1ln(11ln 22 x y x x x x -=++-=++=； 故)(x y 为奇函数. 3、1 sin 1sin x y e x '??'= ??? 1 sin 11 cos x e x x '??=?? ???1 sin 211cos .x e x x =-? 4、令2sin x t =，得2cos dx tdt =，,22t ππ?? ∈- ??? 原式(2sin )2cos t tdt =? 322232sin cos 32sin (1cos )cos t tdt t t tdt ==-?? 2432(cos cos )cos t t d t =--? 351 132cos cos 35t t C ??=--+ ???
3 5 32 32.35C =-+ + 5、标准化得1 ln y y x x '- =，其中1()P x x =-，()ln Q x x =， 通解为()()[()]P x d x P x d x y e Q x e d x C -??=+?l n l n [l n ]x x e xe dx C -=+?]ln [?+=C dx x x x ]ln [ln C x x +=. 代入初始条件,x e y e ==，得所求特解为)ln ln 1(x x y +=. 四、应用题（2×10分 = 20分） 1、设2r A π=，10=r 厘米，05.0=?r 厘米 r r dA A ??=≈?∴π205.0102??=ππ =（厘米2），即面积大约增大了π厘米2． 2、?-=10 22)1(2dx x V π ?-+=1024)21(2dx x x π ππ154 )32 511(2=-+= 五、证明题（1×10分 = 10分） 1、证： 设x e x x f -+=2)(， 则有2(0)10,(2)40f f e =>=-<，显然()f x 在[0,2]连续，故由零点定理知，存在)2,0(0∈x 使0)(0=x f ，即方程02=-+x e x 在(0,2)有实根．