初三锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数:
知识点一：锐角三角函数的定义：
一、锐角三角函数定义：
在Rt△ ABC 中，/ C=90°, / A、/ B、/ C 的对边分别为a、b、c, 则/ A的正弦可表示为：sinA= __________ ,
/ A的余弦可表示为cosA= ___________
/ A的正切：tanA= ________ ，它们弦称为/ A的锐角三角函数
【特别提醒：1、sinA、/ cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没值只与_________ 有关，与直角三角形的_________ 无关
2、取值范围___ vsinA _______ c osA< ______ tanA> ________】
例1.如图所示，在Rt△ ABC中，/ C = 90°.
例2.锐角三角函数求值：
在Rt△ ABC 中，/ C= 90°，若a= 9,
sinA= ______ , cosA= ______
sinB = _____ , cosB = ______
例3.已知：如图，Rt△ TNM 中，/ TMN = 90°, MR丄TN 于R点，TN= 4, 求: sin/TMR、cos/TMR、tan/ TMR.
典型例题：
类型一：直角三角形求值有，这些比
① sin A 一()
斜边
② cosA -)
斜边
③ tan A _ ()
Z A的邻边
sin B 一(
)
斜边;
cos^ =—)
斜边
.B的对边
tan B ------------- =.
()
b= 12,贝U c=_______
tanA = ______ ,
tanB = ______ .
MN = 3. 第1题图
3
4
3
1 已知 Rt △ ABC 中， C =90,ta nA
, BC =12,求 AC 、AB 和 cosB . 4
3
2. 已知：如图，O O 的半径 OA = 16cm , OC 丄AB 于C 点，sin. AOC 二—-
4
求：AB 及OC 的长.
3
3. 已知：O O 中，OC 丄 AB 于 C 点，AB = 16cm , sin . AOC 二—
5 (1)求O O 的半径OA 的长及弦心距 OC ; ⑵求 cos / AOC 及 tan / AOC .
8
4.已知? A 是锐角，si nA
，求cosA , ta nA 的值 17
对应训练:
C = 90° 若 BC = 1，AB=J 5，贝U tanA 的值为
B.-
5
类型二.利用角度转化求值：
1. 已知：如图， Rt △ ABC 中，/ C = 90°. D 是AC 边上一点，DE 丄AB 于E 点.
DE : AE = 1 : 2.
求: sinB 、cosB 、tanB .
(房山)5.在△ ABC 中，/ C=90° sinA= 3
，那么tanA 的值等于（
5
（西城北）3.在Rt △ ABC 中，/ C. D.-
3
2. 如图，直径为10的O A 经过点C （0,5）和点0（0,0），与x 轴的正半轴交于点 D , B 是y
的面积= _______ cm 2.
3
半径为3 , AC =2，则sin B 的值是（
）
2
轴右侧圆弧上一点，则 cos / OBC 的值为（
C . 3
:-的顶点为0,它的一边在x 轴的正半轴上，另
OA 上有
ABCD 的边长为10cm , DE 丄AB ,
则这个菱形
5. （2009齐齐哈尔中考）如图,
O O 是厶ABC 的外接圆, AD 是O O 的直径, 若O O 的
D .
3. （2009孝感中考）如图，角
4. （2009庆阳中考）如图，菱形
3
度数及边BC 、AB 的长.
类型三.化斜三角形为直角三角形
例 1 （ 2012?安徽）如图，在△ ABC 中，/ A=30°，/ B=45 , AC=2 .3，求 AB 的长.
1 例 2.已知：如图，△ ABC 中，AC = 12cm , AB = 16cm , sinA= — （1）求AB 边上的高CD ; ⑵求△ ABC 的面积S ; ⑶求tanB .
6.如图4，沿AE 折叠矩形纸片 ABCD ，使点 BC =10, AB=8,则 tan / EFC 的值为(
F 处?已知AB =8,
A. 3 4
B. 4 3
C. 3 5
在等腰直角三角形
：
ABC 中，.C =90 , AC =6 ,
1
tan 一匕 DBA
5
7.如图6,
则AD 的长为（）
A. C.
.2.2
8.如图 6,在 Rt △ ABC 中，/ C=90° , AC=8,/ A 的平分线
D 为AC 上一点，若
AD = ^ 求
3
D 落在BC 边的点 D.
图
6
例 3.已知：如图，在△ ABC 中，/ BAC = 120°, AB = 10 , AC = 5. 求：sin / ABC 的值.
对应训练
1. （ 2012?重庆）如图，在 Rt △ ABC 中，/ BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ ABD 是等边 三角形.若AB=2，求△ ABC 的周长.（结果保留根号）
2. 已知：如图，△ ABC 中，AB = 9, BC = 6,A ABC 的面积等于 9，求sinB .
3. ABC 中，/ A=60°, AB=6 cm , AC=4 cm ，则△ ABC 的面积是
A.2 ■■ 3 cm 2 C.6 一 3 cm 2
类型四：利用网格构造直角三角形
例1 （2012?内江）如图所示，△ ABC 的顶点是正方形网格的格点， 则sinA 的值为（
）
A 丄
B 国
C 巫
D M
2
5
10 5
l' i
1 i ■ ■1 -
…右…[
4
L
… t 7
Zu /
:c
1
■ 1 8
对应练习:
1.
如图，△ ABC 的顶点都在方格纸的格点上，贝U
sin A = ______
B.4 - 3 cm 2 D.12 cm 2
A B
特殊角的三角函数值
锐角G 30°45°60°
si n ot
cosot
ta n a
当________ 时，正弦和正切值随着角度的增大而 ___________ 余弦值随着角度的增大而例1求下列各式的值.
（昌平）1）.计算：2cos30 = .2sin45 ‘—tan 60 .
（朝阳）2）计算:ta n60°+si n245 °- 2cos30°.
（2009黄石中考）计算：
3
一
1
+（2 n
-
1）
0-号
tan30—
tan45
°
△AC'B'，则tanB'的值为
1 1 1
A. —
B. —
C.—
D. 1
4 3 2
J7
_
A」
———a
B. 2 ,'5
5
tan / AOB的值是（
C.2
D. 2
2 .如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到3?正方形网格中, / AOB如图放置，则
(石景山)4 ?计算:
+ T2cos60 * + si n4 5°-"￥ta n30 =
(5)已知：?为锐角，且tan(鼻亠30°) =
3，求tan 〉的值
例3.三角函数的增减性
1
1. 已知/ A 为锐角，且sin A < ，那么/ A 的取值范围是
2
A. 0 ° B. 30