正弦定理比必修5解三角形
218988课题：正弦定理
编制人： 丁成华 主审人
一、新课引入
问题：设ΔABC ，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若角45=C ?，60A ?=,且1c =，求边a . 回顾：当我们第一次遇见这个问题时候，我们同学采用的方法是作边AC 上的高，借助解直
角三角形求得a .
现在我们有了更简单直接的解决方法：正弦定理
二、概念建构
问题1：设ΔABC ，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，其中90C =?.我们不难写出：
C
c
B b A a c sin sin sin ===
，若对于任意三角形是否有这个结论呢？
问题2：同学们还记得正弦定理吗？
正弦定理 : 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦值的比都相等.即：
R C
c B b A a 2sin sin sin === (R 三角形外接圆半径). 问题3：你还记得正弦定理的推导吗？你掌握了几种推导方法？ 推导方法有：作三角形一边的高，转化成直角三角形；向量法；借助三角形外接圆;
运用三角形面积公式推导等.
问题4：你能由正弦定理写出它的哪些恒等变形？
（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C
===
（2）sin ,sin ,sin 222a b c
A B C R R R
=
==
（3） C B A c b a sin :sin :sin ::= （4）B
B A c b a C
c B
b A
a sin sin sin sin sin sin ++++=
==
问题5：三角形面积公式有哪些？
（1）三角形的面积等于一边与该边上高的积的一半；
（2）111
sin sin sin 222
=ABC S ab C ac B bc A ?==
三、例题选讲
例1 （多选题）设ΔABC ，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，则下列说法正确的序号有
（B C D ）
A.已知,a b 和C ，可用正弦定理求出c
B.已知,A B 和c ，可用正弦定理求出b
C.若sin sin A B >，则A B >
D.若a b <，则B A <
例2 ΔABC 中，角30,2,B AB AC ?===求（1）角C ;(2)ΔABC 的面积.
解析：由正弦定理可得：
sin sin AB AC
C B
=
,所以sin sin =AB B C AC , 因为AB AC >，所以B C >，
可得6090=C A ??=，,此时Δ1
sin 2=ABC S AB AC A ???=
1200=3C A ??=，,此时Δ1
sin 2
=ABC S AB AC A ???=
例3 设ΔABC ，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，若2,cos 42πB a C ===
，求c . 分析：根据条件，关键求出sin A ，然后正弦定理解决；难点是求sin A .
解：∵23
cos
cos 2cos 10225
B B B =∴=-=>
0,2πB ??
∴∈ ???
,4sin 5B ∴=，
从而()()sin sin sin sin cos cos sin π=A B C B C B C B C =--+=+=由正弦定理可得：
7
10
sin sin sin sin =
=∴=A C a c C c A a ， 例4 设ΔABC ，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，已知A b B a tan tan 22=,试判断ΔABC 的形状.
分析：根据边角混合式子判断三角形的形状，通常有两种方法：统一化成边或统一化成角. 法一：化成角判断
B A B
A B B A A B A b
a A
b B a sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan tan tan 222
2
=
÷==∴=，Θ， 由正弦定理可得2
22sin sin sin 2,sin 2??
?
??=∴==B A b a B R b A R a
所以B A B A B A b a sin cos cos sin sin sin 2
22=
??
? ??= A B
B A B A cos cos sin sin 0sin sin =∴≠，Θ 即B B A A cos sin cos sin =，得到B A 2sin 2sin =
因为022πA B <<，2,所以22A B =，即B A =，该三角形是等腰三角形；
或者()sin 2sin 2πA B =-，22πA B =-即2π
2π=∴=+C B A ，，该三角形是直角三角形；
故ΔABC 是等腰或者直角三角形.
法二：化成边判断.提示：运用正、余弦定理转化成边，然后整理、分解因式可解之.
变式：已知ABC ?中，sin sin b B c C =且222sin sin sin A B C =+，判断ΔABC 的形状. 答案：等腰直角三角形
三、当堂检测
1．在△ABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，下列式子与sin A
a
的值相等的是( )
A .b c
B ．sin B sin A
C .sin C c
D ．c sin C
【答案】C
2．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系为 ( )
A ．A >
B B ．A C ．A ≥B D ．A ，B 的大小关系不确定 【答案】A 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】B . 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．2∶5∶6 B ．6∶5∶2 C ．6∶2∶5 D ．不确定 【答案】A 5. 在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝ . 【答案】2 5. 6．在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为 ． 【答案】 32或3 4 7.已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝π 6 ，b ＝2a cosB ． (1)求B ； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．