一、多选题1.题目文件丢失!
2.正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则下列结论正确的是
( )
A .()
0a b c -?= B .()
0a b c a +-?= C .()0a c b a --?=
D .2a b c ++=
3.已知ABC 的三个角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若
cos cos A b
B a
=,则该三角形的形状是( ) A .等腰三角形
B .直角三角形
C .等腰直角三角形
D .等腰或直角三角形
4.设a ,b ,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列选项,其中正确的有( )
A .()
a c
b
c a b c ?-?=-? B .()
()
b c a c a b ??-??与c 不垂直 C .a b a b -<-
D .(
)()
22
323294a b a b a b +?-=-
5.在△ABC 中,点E ,F 分别是边BC 和AC 上的中点,P 是AE 与BF 的交点,则有( )
A .1122
AE AB AC →
→→
=+
B .2AB EF →→
=
C .1133
CP CA CB →→→
=+
D .2233
CP CA CB →
→→
=+
6.在△ABC 中,AB =AC ,BC =4,D 为BC 的中点,则以下结论正确的是( ) A .BD AD AB -= B .1
()2
AD AB AC =
+ C .8BA BC ?=
D .AB AC AB AC +=-
7.在ABC 中,15a =,20b =,30A =,则cos B =( )
A .
B .
23
C .23
-
D 8.下列命题中,结论正确的有( ) A .00a ?=
B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-
C .若//AB C
D ,则A ?B ?C ?D 四点共线;
D .在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,0AC BD ?=,则四边形ABCD 为菱形. 9.给出下列命题正确的是( ) A .一个向量在另一个向量上的投影是向量 B .a b a b a +=+?与b 方向相同 C .两个有共同起点的相等向量,其终点必定相同
D .若向量AB 与向量CD 是共线向量,则点,,,A B C D 必在同一直线上 10.有下列说法,其中错误的说法为( ). A .若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c
B .若PA PB PB P
C PC PA ?=?=?,则P 是三角形ABC 的垂心 C .两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向
D .若a ∥b ,则存在唯一实数λ使得a b λ=
11.设a 、b 是两个非零向量,则下列描述正确的有( ) A .若a b a b +=-,则存在实数λ使得λa b
B .若a b ⊥,则a b a b +=-
C .若a b a b +=+,则a 在b 方向上的投影向量为a
D .若存在实数λ使得λa
b ,则a b a b +=-
12.已知实数m ,n 和向量a ,b ,下列说法中正确的是( ) A .()
m a b ma mb -=- B .()m n a ma na -=-
C .若ma mb =,则a b =
D .若()0ma na a =≠,则m n =
13.设,a b 是两个非零向量,则下列描述正确的有( ) A .若||||||a b a b +=-,则存在实数λ使得a b λ= B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-
C .若||||||a b a b +=+,则a 在b 方向上的投影为||b
D .若存在实数λ使得a b λ=,则||||||a b a b +=-
14.如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A .12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B .对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C .若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D .若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ== 15.下列命题中正确的是( )
A .对于实数m 和向量,a b ,恒有()m a b ma mb -=-
B .对于实数,m n 和向量a ,恒有()m n a ma na -=-
C .若()ma mb m =∈R ,则有a b =
D .若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =
二、平面向量及其应用选择题
16.设(),1A a ,()2,1B -,()4,5C 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若OA 与OB 在
OC 方向上的投影相同,则a =( )
A .12
-
B .
12
C .-2
D .2
17.若△ABC 中,2
sin()sin()sin A B A B C +-=,则此三角形的形状是( ) A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等边三角形
D .等腰直角三角形
18.在ABC ?中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ?的面积为( )
A .2
B .4
C
D .19.在ABC 中,A ∠,B ,C ∠所对的边分别为a ,b ,c ,过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ,90C ∠=?,1CD =.当直线CD AB ⊥时,+a b 值为M ;当D 为边
AB 的中点时,+a b 值为N .当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N 中较大
的数),则m 的最小值为( )
A .M
B .N
C .
D .1
20.已知在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若ABC 的面积为
S ,且222()S a b c =+-,则tan C =( )
A .43
-
B .34
-
C .
34
D .
43
21.在△ABC 中,M 为BC 上一点,60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==,则△ABC 的面积的最大值为( )
A .
B .
C .12
D .22.在△ABC 中,M 是BC 的中点.若AB =a ,BC =b ,则AM =( ) A .
1
()2
a b + B .
1
()2
a b - C .
1
2
a b + D .12
a b +
23.已知1a =,3b =,且向量a 与b 的夹角为60?,则2a b -=( )
A
B .3
C 11
D 19
24.O 为ABC ?内一点内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知
0a OA b OB c OC ?+?+?=,且tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=,若3a =,则
边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为( ) A .
23
π B .
43
π C .
6
π D .
3
π 25.已知向量()
2
2cos ,3m x =,()1,sin2n x =,设函数()f x m n =?,则下列关于函数
()y f x =的性质的描述正确的是( )
A .关于直线12
x π
=对称
B .关于点5,012π??
???
对称 C .周期为2π
D .()y f x =在,03π??
-
???
上是增函数 26.在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别是,.a b c ,若cos 2a
B c
=,则ABC ?一定是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形
C .直角三角形
D .等腰直角三角形
27.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则DF =
( )
A .13
24
AB AD -+ B .12
23AB AD + C .
11
32
AB AD - D .
13
24
AB AD - 28.ABC ?中,22:tan :tan a b A B =,则ABC ?一定是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形
D .等腰或直角三角形
29.已知菱形ABCD 边长为2,∠B =3
π
,点P 满足AP =λAB ,λ∈R ,若BD ·CP =-3,则λ的值为( ) A .
12
B .-
12
C .
13
D .-
13
30.在ABC ?中,2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠===,M 为线段EF 的中点,若1AM =,则λμ+的最大值为( )
A .
73
B .
27
3
C .2
D .
21 31.已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
,面积S 满足12S ≤≤,记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( ) A .()8bc b c +> B .()162ab a b +> C .612abc ≤≤
D .1224abc ≤≤
32.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2c A a C c +=且
a b =,则cos B 等于( )
A .
15 B .
14
C .
3 D .
3 33.在ABC 中,AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
?=?=?,则ABC 的形状为( ). A .钝角三角形 B .等边三角形 C .直角三角形
D .不确定
34.已知ABC 中,1,3,30a b A ?===,则B 等于( )
A .60°
B .120°
C .30°或150°
D .60°或120°
35.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 是BC 的中点,点F 在线段CD 上,且
2CF DF =,AE 与BF 交于点P ,若AP AE λ=,则λ=( )
A .
34
B .
58
C .38
D .
23
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一、多选题 1.无 2.ABC 【分析】
作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判
断D 选项的正误. 【详解 解析:ABC 【分析】
作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示:
对于A 选项,四边形ABCD 为正方形,则BD AC ⊥,
a b AB BC AB AD DB -=-=-=,()
0a b c DB AC ∴-?=?=,A 选项正确;
对于B 选项,0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=,则()
00a b c a a +-?=?=,B 选项正确;
对于C 选项,a c AB AC CB -=-=,则0a c b CB BC --=-=,则
()0a c b a --?=,C 选项正确;
对于D 选项,2a b c c ++=,222a b c c ∴++==,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查平面向量相关命题正误的判断,同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用,考查计算能力,属于中等题.
3.D 【分析】
在中,根据,利用正弦定理得,然后变形为求解. 【详解】 在中,因为, 由正弦定理得, 所以,即, 所以或, 解得或.
故是直角三角形或等腰三角形. 故选: D. 【点睛】 本题主要考查
解析:D 【分析】 在ABC 中,根据
cos cos A b B a =,利用正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=,然后变形为sin 2sin 2A B =求解.
【详解】
在ABC 中,因为
cos cos A b
B a =, 由正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=, 所以sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =, 所以22A B =或22A B π=-,
解得A B =或2
A B π
+=.
故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选: D. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
4.ACD 【分析】
A ,由平面向量数量积的运算律可判断;
B ,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;
C ,由与不共线,可分两类考虑:①若,则显然成立;②若,由、、构成三角形的三边可进行判断;
D ,由平
解析:ACD 【分析】
A ,由平面向量数量积的运算律可判断;
B ,由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断;
C ,由a 与b 不共线,可分两类考虑:①若a b ≤,则a b a b -<-显然成立;②若a b >,由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断;
D ,由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】
选项A ,由平面向量数量积的运算律,可知A 正确; 选项B ,
()()()()()()()()
0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ????-???=???-???=???-???=??
, ∴()()b c a c a b ??-??与c 垂直,即B 错误;
选项C ,∵a 与b 不共线,
∴若a b ≤,则a b a b -<-显然成立;
若a b >,由平面向量的减法法则可作出如下图形:
由三角形两边之差小于第三边,可得a b a b -<-.故C 正确;
选项D ,()()
22
223232966494a b a b a a b a b b a b +?-=-?+?-=-,即D 正确. 故选:ACD 【点睛】
本小题主要考查向量运算,属于中档题.
5.AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图:
根据三角形中线性质和平行四边形法则知, , A 是正确的;
因为EF 是中位线,所以B 是正确的; 根据三角形重心
解析:AC 【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图:
根据三角形中线性质和平行四边形法则知,
111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →
→
→
→
→→→→→
→=+=+=+-=+, A 是正确的;
因为EF 是中位线,所以B 是正确的;
根据三角形重心性质知,CP =2PG ,所以22113323CP CG CA CB CA CB →
→→→→→????
==?+=+ ? ?????
,
所以C 是正确的,D 错误. 故选:AC 【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用,熟记一些基本结论是求解问题的关键,属于中档题.
6.BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算,以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项:,故A 错;
对于 B 选项:因为D 为BC 的中点,,故B 正确; 对于C 选项:,故正确; 对于D 选项:,而,故
解析:BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算,以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项:BD AD BD DA BA -=+=,故A 错; 对于 B 选项:因为D 为BC 的中点,
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+,故B 正确;
对于C 选项:cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
?=??∠=??
=?=,故正确;
对于D 选项:2,AB AC AD AB AC CB +=-=,而2AD CB ≠,故D 不正确. 故选:BC.
【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算,属于基础题.
7.AD 【分析】
利用正弦定理可求得的值,再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】
由正弦定理,可得, ,则,所以,为锐角或钝角. 因此,. 故选:AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析:AD 【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值,再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】
由正弦定理sin sin b a B A
=,可得1
20sin 22sin 153
b A B a ?
===, b a >,则30B A >=,所以,B 为锐角或钝角.
因此,cos B ==. 故选:AD. 【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值,考查计算能力,属于基础题.
8.BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得; 【详解】
解:对于A ,,故A 错误;
对于B ,若,则,所以,,故,即B 正确; 对于C ,,则或与共线,故C 错误; 对于D ,在四边形中,若
解析:BD 【分析】
根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得; 【详解】
解:对于A ,00a ?=,故A 错误;
对于B ,若a b ⊥,则0a b ?=,所以2222
||2a b a b a b a b +=++?=+,
2222
||2a b a b a b a b -=+-?=+,故||||a b a b +=-,即B 正确;
对于C ,//AB CD ,则//AB CD 或AB 与CD 共线,故C 错误;
对于D ,在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,即AB DC =,所以四边形ABCD 是平行四边形,又0AC BD ?=,所以AC BD ⊥,所以四边形ABCD 是菱形,故D 正确; 故选:BD 【点睛】
本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用,属于基础题.
9.C 【分析】
对A ,一个向量在另一个向量上的投影是数量; 对B ,两边平方化简;
对C ,根据向量相等的定义判断; 对D ,根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中,一个向量在另一个向量上的投影是数量,A
解析:C 【分析】
对A ,一个向量在另一个向量上的投影是数量; 对B ,两边平方化简a b a b +=+; 对C ,根据向量相等的定义判断; 对D ,根据向量共线的定义判断. 【详解】
A 中,一个向量在另一个向量上的投影是数量,A 错误;
B 中,由a b a b +=+,得2||||2a b a b ?=?,得||||(1cos )0a b θ?-=, 则||0a =或||0b =或cos 1θ=,当两个向量一个为零向量,一个为非零向量时,a 与b 方向不一定相同,B 错误;
C 中,根据向量相等的定义,且有共同起点可得,其终点必定相同,C 正确;
D 中,由共线向量的定义可知点,,,A B C D 不一定在同一直线上,D 错误. 故选:C 【点睛】
本题考查了对向量共线,向量相等,向量的投影等概念的理解,属于容易题.
10.AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可.
【详解】
对于选项A ,当时,与不一定共线,故A 错误; 对于选项B ,由,得,所以,,
同理,,故是三角形的垂心,所以B 正确; 对于选项C ,两个非零向量
解析:AD 【分析】
分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】
对于选项A ,当0b =时,a 与c 不一定共线,故A 错误;
对于选项B ,由PA PB PB PC ?=?,得0PB CA ?=,所以PB CA ⊥,PB CA ⊥, 同理PA CB ⊥,PC BA ⊥,故P 是三角形ABC 的垂心,所以B 正确;
对于选项C ,两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向,故C 正确;
对于选项D ,当0b =,0a ≠时,显然有a ∥b ,但此时λ不存在,故D 错误. 故选:AD 【点睛】
本题考查与向量有关的命题的真假的判断,考查学生对基本概念、定理的掌握,是一道容易题.
11.AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件,可判断A 、C 、D 选项的正误,利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时,则、方向相反且,则存在负实数
解析:AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件,可判断A 、C 、D 选项的正误,利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时,则a 、b 方向相反且a b ≥,则存在负实数λ,使得λa b ,A
选项正确,D 选项错误;
若a b a b +=+,则a 、b 方向相同,a 在b 方向上的投影向量为a ,C 选项错误; 若a b ⊥,则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形,且a b +和a b -是这个矩形的两条对
角线长,则a b a b +=-,B 选项正确. 故选:AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断,涉及平面向量模的三角不等式的应用,考查推理能力,属于中等题.
12.ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当时,,但与不一定相等,
解析:ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当0m =时,0ma mb ==,但a 与b 不一定相等,故C 不正确;D 中,由ma na =,得()0m n a -=,因为0a ≠,所以m n =,故D 正确. 故选:ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算,属于基础题.
13.AB 【分析】
若,则反向,从而; 若,则,从而可得;
若,则同向,在方向上的投影为
若存在实数使得,则共线,但是不一定成立. 【详解】
对于选项A ,若,则反向,由共线定理可得存在实数使得; 对于选
解析:AB 【分析】
若||||||a b a b +=-,则,a b 反向,从而a b λ=; 若a b ⊥,则0a b ?=,从而可得||||a b a b +=-;
若||||||a b a b +=+,则,a b 同向,a 在b 方向上的投影为||a
若存在实数λ使得a b λ=,则,a b 共线,但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】
对于选项A ,若||||||a b a b +=-,则,a b 反向,由共线定理可得存在实数λ使得
a b λ=;
对于选项B ,若a b ⊥,则0a b ?=,
222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-;
对于选项C ,若||||||a b a b +=+,则,a b 同向,a 在b 方向上的投影为||a ;
对于选项D ,若存在实数λ使得a b λ=,则,a b 共线,但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选:AB. 【点睛】
本题主要考查平面向量的性质及运算,明确向量的性质及运算规则是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.
14.AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为时,有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析:AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为
0时,λ有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,所以不正确; 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个,所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析,熟记并理解定理内容是关键,解题中要注意特殊值的应用,属于基础题.
15.ABD 【详解】
解:对于:对于实数和向量、,根据向量的数乘满足分配律,故恒有:,故正
确.
对于:对于实数,和向量,根据向量的数乘运算律,恒有,故 正确. 对于:若,当 时,无法得到,故不正确. 对
解析:ABD 【详解】
解:对于A :对于实数m 和向量a 、b ,根据向量的数乘满足分配律,故恒有:
()m a b ma mb -=-,故A 正确.
对于B :对于实数m ,n 和向量a ,根据向量的数乘运算律,恒有()m n a ma na -=-,故 B 正确.
对于C :若()ma mb m =∈R ,当 0m =时,无法得到a b =,故C 不正确. 对于D :若(,,0)ma na m n a =∈≠R ,则m n =成立,故D 正确. 故选:ABD . 【点睛】
本题考查相等的向量,相反的向量的定义,向量的数乘法则以及其几何意义,注意考虑零向量的情况.
二、平面向量及其应用选择题
16.A 【分析】
根据平面向量的投影的概念,结合向量的数量积的运算公式,列出方程,即可求解. 【详解】
由题意,点(),1A a ,()2,1B -,()4,5C , O 为坐标原点, 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同,则
OA OC OB OC OC
OC
??=
,
即OA OC OB OC ?=?,可得4152415a +?=?-?,解得12
a =-. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算,以及向量的投影的定义,其中解答中熟记向量投影的定义,以及向量的数量积的运算公式,列出方程是解答的关键,着重考查运算与求解能力. 17.A 【分析】
已知等式左边第一项利用诱导公式化简,根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=,再利用两角和与差的正弦函数公式化简.
【详解】
ABC ?中,sin()sin A B C +=,
∴已知等式变形得:2sin sin()sin C A B C -=,即sin()sin sin()A B C A B -==+,
整理得:sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+,即2cos sin 0A B =,
cos 0A ∴=或sin 0B =(不合题意,舍去),
0A π<<
90A ∴=?,
则此三角形形状为直角三角形. 故选:A 【点睛】
此题考查了正弦定理,以及三角函数中的恒等变换应用,熟练掌握公式是解本题的关键,属于中档题. 18.A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形,由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点,所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长,再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =, 所以45B =,45C =,所以ABC 是等腰直角三角形,
由条件可知ABC ,即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=?=. 故选:A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状,重点考查直角三角形和外接圆的性质,属于基础题型. 19.C 【分析】
当直线CD AB ⊥时,由直角三角形的勾股定理和等面积法,可得出222+=a b c ,
1ab c =?,再由基本不等式可得出2c ≥,从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时,
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =,2224a b c +==,由基本不等式可得出2ab ≤,从而得出N 的范围,可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时,因为90C ∠=?,1CD =,所以222+=a b c ,由等面积法得
1ab c =?,
因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即()2
2>0c c c ≥,所以2c ≥,
所以
+M a b ==
=≥(当且仅当a b =时,取等号),
当D 为边AB 的中点时,因为90C ∠=?,1CD =,所以2c =,2224a b c +==, 因为有222a b ab +≥(当且仅当a b =时,取等号),即42ab ≥,所以2ab ≤,
所以
+N a b ==
=≤(当且仅当a b =时,取等号),
当a ,b 变化时,记{}max ,m M N =(即M 、N
中较大的数),则m 的最小值为(此时,a b =); 故选:C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用,以及考查对新定义的理解,属于中档题. 20.A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式,利用二倍角公式求得tan
2
C
,从而求得tan C . 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-,即2221
2sin 22
ab C a b ab c ??=++-, ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-,
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-?-===-,∴sin cos 12C C +=
, 即22cos sin cos 222C C C =,则tan 22C =,∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ?===---, 故选:A . 【点睛】
本题考查三角形面积公式,余弦定理,考查二倍角公式,同角间的三角函数关系,掌握相应的公式即可求解.属于中档题,考查了学生的运算求解能力. 21.A 【分析】
由已知条件,令||AC a =,||BC b =,则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤,根据三角形面积公式即可求最大值 【详解】
由题意,可得如下示意图
令||AC a =,||BC b =,又2BM MC =,即有1||||33
b CM CB =
= ∴由余弦定理知:222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠
2221216()332333
a a
b ab ab ab
b =+-?≥-=,当且仅当3a b =时等号成立
∴有48ab ≤
∴113sin 4812322ABC S ab C ?=≤?=故选:A 【点睛】
本题考查了正余弦定理,利用向量的知识判断线段的长度及比例关系,再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围,进而结合三角形面积公式求最值 22.D 【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果. 【详解】
在ABC ?中,M 是BC 的中点, 又,AB a BC b ==, 所以11
22
AM AB BM AB BC a b =+=+=+, 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的加法运算,属于简单题目. 23.A 【分析】
根据向量的数量积的运算公式,以及向量的模的计算公式,准确运算,即可求解. 【详解】
因为1a =,3b =,a 与b 的夹角为60?,
所以2
2
2
4424697a a b b a b =-?+=-+=-,则27a b -=.
故选:A. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算,以及向量的模的求解,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 24.A 【分析】 根据题意得出
tan tan tan A B C
a b c
==,利用正弦定理边化角思想和切化弦思想得出A B C ==,从而可得知ABC ?为等边三角形,进而可求得BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧
长. 【详解】
0a OA b OB c OC ?+?+?=,a b
OC OA OB c c
∴=--,
同理可得tan tan tan tan A B OC OA OB C C =--,tan tan tan tan a A c C
b B
c C ?-=-??∴??-=-??,
tan tan tan A B C
a b c
∴
==, 由正弦定理得
tan tan tan sin sin sin A B C A B C ==,所以,111
cos cos cos A B C
==, cos cos cos A B C ∴==,
由于余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减,所以,3
A B C π
===
, 设ABC ?的外接圆半径为R
,则22
sin a
R A
=
==,1R ∴=, 所以,边BC 所对的ABC ?外接圆的劣弧长为222133
R A ππ?=?=. 故选:A. 【点睛】
本题考查弧长的计算,涉及正弦定理边角互化思想、切化弦思想以及正弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题. 25.D 【详解】
(
)22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++,当12
x π
=
时,sin(2)sin
16
3
x π
π
+
=≠±,∴f (x )不关于直线12
x π
=
对称;
当512x π=
时,2sin(2)116x π
++= ,∴f (x )关于点5(
,1)12
π对称; f (x )得周期22
T π
π=
=, 当(,0)3
x π
∈-
时,2(,)6
26x π
ππ
+
∈-
,∴f (x )在(,0)3
π
-上是增函数.
本题选择D 选项. 26.A 【分析】
利用余弦定理化角为边,得出c b ABC =, 是等腰三角形. 【详解】
ABC ?中,c cos 2a B c =,由余弦定理得,222
2a c b cosB ac
+-=
, ∴222
22a a c b c ac +-= 220c b ∴-= ,
∴c b ABC =,是等腰三角形. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用问题,是基础题. 27.D 【分析】
利用向量的三角形法则和向量共线定理可得:
DF AF AD =-,1=
2AF AE ,=AE AB BE +,1
=2
BE BC ,=BC AD ,即可得出答案. 【详解】
利用向量的三角形法则,可得DF AF AD =-,=AE AB BE +,
E 为BC 的中点,
F 为AE 的中点,则1=2AF AE ,1
=2
BE BC 1111
=
=()=+2224
DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又
=BC AD
13
24
DF AB AD ∴=
-. 故选D.
【点睛】
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法:
一是几何运算,往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是: