2015年成都市中考数学试题及答案.doc
（B）（C）-3（D）3
成都市二O一五年高中阶段教育学校统一招生考试
（含成都市初三毕业会考）
数学
注意事项：
1.全套试卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟。
2.在作答前，考生务必将自己的姓名，准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束，监考人
员将试卷和答题卡一并收回。
3.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分也必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整，
笔迹清楚。
4.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，
试卷上答题均无效。
5.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等。
A卷（共100分）
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，）
1.-3的倒数是（）
（A）-
1
3
1
3
2.如图所示的三棱柱的主视图是（）
（A）（B）（C）（D）
3.今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相。新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将新建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学计数法表示126万为（）
（A）126?104（B）1.26?105（C）1.26?106（D）1.26?107
4.下列计算正确的是（）
（A）a2+a2=2a4（B）a2?a3=a6（C）(-a2)2=a4（D）(a+1)2=a2+1 5.如图，在?ABC中，DE//BC，AD=6，DB=3，AE=4,
则EC的长为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
6.一次函数y=2x+1的图像不经过（）
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
?3x - 2 y = -1
)
7.实数 a 、 b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算 a - b 的结果为（
）
（A ） a + b （B ） a - b （C ） b - a
（D ） - a - b
8.关于 x 的一元二次方程 kx 2 + 2 x - 1 = 0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（
）
（A ） k > -1
（B ） k ≥ -1 （C ） k ≠ 0 （D ） k > -1 且 k ≠ 0
9.将抛物线 y = x 2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（
）
A 、 y = ( x + 2)2 - 3
B 、 y = ( x + 2)2 + 3
C 、 y = ( x - 2)2 + 3
D 、 y = ( x - 2)2 - 3
10.如图，正六边形 ABCDEF 内接于圆 O ，半径为 4 ，则这个正六边
形的边心距 O M 和弧 BC 的长分别为（ ）
F E
（A ） 2 、 π
3
（B ） 2 3 、 π
A O D
（C ） 3 、 2π 4π
（D ） 2 3 、
3 3
M
B C
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上）
11、因式分解： x 2 - 9 = __________.
12、如图，直线 m // n ， ?ABC 为等腰直角三角形， ∠BAC = 90? ，
A
1 m
则 ∠1 = ________度.
13、为响应 “书香成都”建设的号召，在全校形成良好的人文阅
读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读
B
C
n
时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的中位数是_______小时.
14、如图，在平行四边形 ABCD 中， AB = 13 ， AD = 4 ，将平行四边形 A BCD 沿 AE 翻折后，点 B 恰
好与点 C 重合，则折痕 AE 的长为__________.
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分，解答过程写在答题卡上） 15.（本小题满分 12 分，每小题 6 分）
(1)计算： 8 - (2015 -π
0 - 4 cos 45? + (-3)2 ? x + 2 y = 5
(2)解方程组： ?
化简:(a
16.（本小题满分6分）
1a-1
+)÷
a+2a2-4a+2
17.（本小题满分8分）
如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C.其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离.（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
C
200m
B42°
E
200m
A30°
D
18.（本小题满分8分）
国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛活动，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）求获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛.请使用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率.
二等奖
20%
一等奖
三等奖
优胜奖
40%
19.（本小题满分10分）
如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例y=点.k
x（
k为常数，且k≠0）的图象交于A(1,a)，B两
y
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，
求满足条件的点P的坐标及?PAB的面积.
A
B
x
O
20、（本小题满分10分）
如图，在R t?ABC中，∠ABC=90?，AC的垂直平分线分别与AC，B C及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC.e O是?BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交e O于点H，连接BD，FH.
（1）求证：?ABC??EBF；
C
（2）试判断BD与e O的位置关系，并说明理由；H
（3）若AB=1，求HG?HB的值.D
E
G
O
A B F
21、比较大小： 5 - 1 ?2 x -
< a
B 卷（共 50 分）
一、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，答案写在答题卡上）
5
________ .（填 " > " ， " < " ，或 " = " ）
2 8
22、有 9 张卡片，分别写有1~ 9 这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为
?4 x ≥ 3 (x + 1)
?
a ，则关于 x 的不等式组 ? x -1
? 2
有解的概率为_________.
y
B 2
23、已知菱形 A 1B 1C 1D 1 的边长为 2，∠A 1B 1C 1＝60°，对角
线 A 1C 1，B 1D 1 相交于点 O ．以点 O 为坐标原点，分别以
OA 1，OB 1 所在直线为 x 轴、y 轴，建立如图所示的直角坐 标系．以 B 1D 1 为对角线作菱形 B 1C 2D 1A 2∽菱形 A 1B 1C 1D 1，
再以 A 2C 2 为对角线作菱形 A 2B 2C 2D 2∽菱形 B 1C 2D 1A 2，
B 1
C 3 C 2 C 1 O A 1 A 2
D 1
D 2
A 3 x 再以
B 2B 2 为对角线作菱形 B 2
C 3
D 2A 3∽菱形 A 2B 2C 2D 2，…，
按此规律继续作下去，在 x 轴的正半轴上得到点 A 1，A 2，A 3，…，A n ，则点 A n 的坐标为____________．
24、如图，在半径为 5 的 e O 中，弦 AB = 8 ， P 是弦 AB 所对的优弧上的动点，连接 AP ，过点 A 作 AP
的垂线交射线 PB 于点 C ，当 ?P AB 是等腰三角形时，线段 BC 的长为
.
C
C
C
A
H
B
A K
B
A
B
O
G O
O
P
P
P
图（1）
图（2） 图（3）
25、如果关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，则称这
样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是
.（写出所有正确说法的序号）
①方程 x 2 - x - 2 = 0 是倍根方程；
②若 ( x - 2)(mx + n) = 0 是倍根方程，则 4m 2 + 5mn + n 2 = 0 ；
③若点 ( p ，q ) 在反比例函数 y =
2
x
的图像上，则关于 x 的方程 px 2 + 3x + q = 0 是倍根方程；
④ 若 方 程 ax 2 + bx + c = 0 是 倍 根 方 程 ， 且 相 异 两 点 M (1+ t ，s) ， N(4 - t ，s) 都 在 抛 物 线
5
y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为.
4
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在大题卡上）
26、（本小题满分8分）
某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元够进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
27、（本小题满分10分）
已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在?ABC内，∠CAE+∠CBE=90o。
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF。
1)求证：?CAE∽?CBF；2）若BE=1,AE=2，求CE的长。
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB EF
==k时，若BE=1,AE=2,C E=3，BC FC
求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45o时，设BE=m,AE=n,C E=p，试探究m,n,p三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）
（2）点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 ，求 a 的值；
28、（本小题满分 12 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），经过点 A 的直线 l ：y ＝kx ＋b 与 y 轴负半轴交于点 C ，与抛物线的另一个交点为 D ，且 CD ＝ 4AC ．
（1）直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k 、b 用含 a 的式子表示）；
5
4
（3）设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩 形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
y
y
E
A
O
C
B
x
A
O
C
B
x
D
D
l l
备用图
? y = 2
16. 化简: (
a
? a + 2 = a - 1
【解析】： 原式= ?
? a 2 - 4 a 2 - 4 ? a - 1 (a + 2 )(a - 2 ) a - 1 a - 2
) ?
成都市二〇一五年高中阶段教育学校统一招生考试试卷
(含成都市初三毕业会考)
数学参考答案
1：A 2：B 3：C 4：C 5：B 6：D 7：C 8：D 9：A 10：D
11： (x + 3)(x - 3)
12： 45?
13：1
14：3
15. (1)计算： 8 - (2015 -π
0 - 4 cos 45? + (-3)2
【解析】：原式 = 2 2 - 1 - 2 2 + 9
= 8
(2)解方程组： ? x + 2 y = 5
?3x - 2 y = -1
? x = 1
【答案】： ?
1 a - 1
+ ) ÷
a + 2 a 2 - 4 a + 2
? a 2 - 2a 1 ? a + 2 (a - 1)2 + ? =
17：234m
如图所示，缆车从点 A 运行到点 C 的垂直上升的距离为 BD + CE ，
又∵ ?ABD 和 ?BCE 均为直角三角形，
∴ BD + CE = AB ? s in30 ?+ BC ? s in 42? = 200? (0.5 + 0.67) = 234m
18.：（1）30 人； （2）
1
6
（1）由图可知三等奖占总的 25%，总人数为 50 ÷ 25% = 200 人，
一等奖占1 - 20% - 25% - 40% = 15% ，所以，一等奖的学生为 200 ?15% = 30 人 （2）这里提供列表法：
A
B C D A AB
AC AD B AB BC
BD C AC BC CD
D
AD
BD
CD
从表中我们可以看到总的有 12 种情况，而 AB 分到一组的情况有 2 种，故总的情况为 P = 2 1
= 12 6
B
(3,1)；（2）P ? , 0 ?? ， S
或 ? ，所以 B (3,1)。 ? y = 3 ? y = 1 ?
得 x = ，∴ P ' ,0 ? ，即满足条件的 P 的坐标为 , 0 ? ，
= ? PC ? ( y - y )，
2
? 4 - ? ? (3 - 1) =
∴ EF 2 = BE 2 + BF 2 = 1 + 1 + 2(
) = 4 + 2
19：（1） y =
3
x
， 5 ? 2 ?
?P AB
= 3 2
（1）由已知可得， a = -1 + 4 = 3 ， k = 1? a = 1? 3 = 3 ，
∴反比例函数的表达式为 y =
3
x
，
? y = - x + 4
? 联立 ? 3
? y = x
? x = 1 ? x = 3 解得 ? y
A
（2）如答图所示，把 B 点关于 x 轴对称，得到 B ' (3, -1) ，
连接 AB ' 交 x 轴于点 P ' ，连接 P ' B ，则有，
B
P A + PB = P A + PB ' ≥ AB ' ，当 P 点和 P ' 点重合时取
x
到等号。易得直线 AB ' ： y = -2 x + 5 ，令 y = 0 ，
O
P P'
C
5
? 5 ? ?
5
?
设 y =
- x + 4 交 x
轴于点 C
，则 C (
4,0 )，
2 ? 2 ? ? 2 ? B'
∴ S
?P AB
= S
?APC
- S
?BPC
1
A B
即 S
5 ? 3
2 ? 2 ? 2
20：（1）见解析（2）见解析（3） 2 +
2
（1）由已知条件易得， ∠DCE = ∠EFB ， ∠ABF = ∠EBF
C
又 BC = BF ，∴ ?ABC ? ?EBF （ ASA ）
H
（2） BD 与 e O 相切。
D
理由：连接 OB ，则 ∠DBC = ∠DCB = ∠OFB = ∠OBF ，
E
∴ ∠DBO = ∠DBC +∠ EBO = ∠OBF +∠ EBO = 90? ， G
∴ DB ⊥ OB 。
O
（3）连接 EA ， EH ，由于 DF 为垂直平分线，
∴ CE = EA =
，
A
B
F
又∵BH为角平分线，∴∠EBH=∠EFH=∠HBF=45?，
HG
=
HB HF，即HG?HB=HF2，∵在等腰Rt?HEF中EF2=2HF2，
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HF ∴∠GHF=∠FHB，∴?GHF:?FHB，∴
易知
AP
射影知PG=.
易知AP
40
∴HG?HB=HF2=1
EF2=2+2 2
21：<22：4
9
B卷（共50分）
23：（3n－1，0）：由题意，点A
1
的坐标为（1，0），
点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0）点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）………
∴点A n的坐标为（3n－1，0）
24：BC=8或5685
或153
1）当AB=AP时，如图（1），作O H⊥AB于点H，延长AO交PB于点G；
OH3540
=cos∠APC=cos∠AOH==?PC=AP=
PC AO533，
AP26424404856
PC53515
3
（2）当P A=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，易知OK=3，PK=8，PB=P A=45
OK3520585 =cos∠APC=cos∠AOK==?PC=AP=?BC=PC-PB=.
PC AO5333（3）当BA=BP时，如图（3），由∠C=900-∠P=900-∠P AB=∠CAB?BC=AB=8.
综上：BC=8或5685
或153
25：②③
研究一元二次方程ax2+bx+c=0是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此
99
ax2+bx+c=a(x-t)(x-2t)=ax2-3atx+2t2a，所以有b2-ac=0；我们记K=b2-ac，即
22
K=0时，方程ax2+bx+c=0为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于①，K=b2-9
ac=10，因此本选项错误；2
2993 3
13200
?
（2）连接BF，同理可得∠EBF=90o，由AB
对于②，mx2+(n-2m)x-2n=0，而K=(n-2m)2-本选项正确；9
2
m(-2n)=0?4m2+5mn+n2=0，因此
对于③，显然pq=2，而K=32-9
2
pq=0，因此本选项正确；
对于④，由M(1+t，s)，N(4-t，s)知-b1+t+4-t5
==?b=-5a，由倍根方程的结论知2a22
9505010 b2-ac=0，从而有c=a，所以方程变为ax2-5ax+a=0?9x2-45x+50=0?x=
1
，
x=5
2
，因此本选项错误。
综上可知，正确的选项有：②③。
26、：（1）120件；（2）150元。
（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则第二批衬衫是2x件
由题意可得：28800
-=10，解得x=120，经检验x=120是原方程的根。2x x
（2）设每件衬衫的标价至少是a元
由（1）得第一批的进价为：13200÷120=110（元/件），第二批的进价为：120（元/件）
由题意可得：120?(a-110)+(240-50
)?(a-120)+50?(0.8a-120)≥25%?42000解得350a≥52500，所以a≥150，即每件衬衫的标价至少是150元。
27、：（1）1）见解析，2）6；（2）10
4；（3）
p2-n2=(2+2)m2
：（1）1)
∠ACE+∠ECB=45o?
??∠ACE=∠BCF，又Q
∠BCF+∠ECB=45o??
AC CE
==2，
BC CF
∴?C AE∽?CBF。
2）Q
AE
=2，∴BF=2，由?CAE∽?CBF可得∠CAE=∠CBF，BF
又∠CAE+∠CBE=90o，∴∠CBF+∠CBE=90o，即∠EBF=90o
由CE2=2EF2=2(B E2+BF2)=6，解得CE=6。
EF
==k，可得BC:AB:AC=1:k:k2+1,
BC FC
CF:EF:EC=1:k:k2+1
2 G
C
（2）a ＝－ ；
（3）P 的坐标为（1，－ ）或（1，－4）
∴－3－ ＝－1×4，∴k ＝a
＝ ( ax 2－3ax －4a )( x ＋1 )－ ( ax 2－3ax －4a )x
1 1 3
2 ＝ ( ax 2－3ax －4a )＝ a ( x － ) － a
AC AE
∴ = = k 2 + 1 ，所以 BF = BC BF AE
k 2 + 1
， BF 2 = AE 2 k 2 + 1 。
∴ C E 2 = k 2 + 1 k 2 + 1
? EF 2 =
k k 2
( B E 2 + BF 2 )
∴ 32 = k 2 + 1 k 2 (12 + 2
2 10 ) ，解得 k = 。
k 2 + 1 4
（3）连接 BF ，同理可得 ∠EBF = 90o ，过 C 作 CH ⊥ AB 延长线于 H ，
可解得 AB 2 : BC 2 : AC 2 = 1:1: (2 + 2) ， EF 2 : FC 2 : EC 2 = 1:1: (2 + 2) ，
n 2 ∴ p 2 = (2 + 2) EF 2 = (2 + 2)( BE 2 + BF 2 ) = (2 + 2)( m 2 +
) = (2 + 2) m 2 + n 2
2 + 2
∴ p 2 - n 2 = (2 + 2) m 2 。
D
C D C
G
D
G
F
F
n
E
m
p
F
E
A
B
A
E
B
A
B
H
图①
图②
图③
28：（1）A （－1，0），y ＝ax ＋a ；
2
5
26 7
7
（1）A （－1，0）
∵直线 l 经过点 A ，∴0＝－k ＋b ，b ＝k
y
∴y ＝kx ＋k
令 ax 2－2ax －3a ＝kx ＋k ，即 ax 2－( 2a ＋k )x －3a －k ＝0
E
∵CD ＝4AC ，∴点 D 的横坐标为 4
k
a
A
C
O
B x
∴直线 l 的函数表达式为 y ＝ax ＋a
（2）过点 E 作 EF ∥y 轴，交直线 l 于点 F
F
D
l
设 E （x ，ax 2－2ax －3a ），则 F （x ，ax ＋a ） EF ＝ax 2－2ax －3a －( ax ＋a )＝ax 2－3ax －4a △S ACE ＝△S AFE － △S CFE 1 1
2 2
25 2 2 2 8
∴△ACE 的面积的最大值为－ 25
∵△ACE 的面积的最大值为 5
∴－ 25
即 a 2＝ 1 7
则线段 AD 的中点坐标为（ 3 即 a 2＝ 1 点 P 的坐标为（1，－ 26 7
8 a
4
5 2
8 a ＝ 4 ，解得 a ＝－ 5
（3）令 ax 2－2ax －3a ＝ax ＋a ，即 ax 2－3ax －4a ＝0
解得 x 1＝－1，x 2＝4
∴D （4，5a ）
∵y ＝ax 2－2ax －3a ，∴抛物线的对称轴为 x ＝1 设 P （1，m ）
①若 AD 是矩形的一条边，则 Q （－4，21a ）
A
y
O
C B x
m ＝21a ＋5a ＝26a ，则 P （1，26a ）
∵四边形 ADPQ 为矩形，∴∠ADP ＝90° ∴AD 2＋PD 2＝AP 2
∴5 2＋( 5a )2＋( 1－4 )2＋( 26a －5a )2＝( －1－1 )2＋( 26a )2
7 7 ，∵a ＜0，∴a ＝－
7
D
l
∴P 1（1，－ 267 ）
Q
②若 AD 是矩形的一条对角线
5a
2 ， 2 ），Q （2，－3a ）
m ＝5a －( －3a )＝8a ，则 P （1，8a ）
∵四边形 APDQ 为矩形，∴∠APD ＝90° ∴AP 2＋PD 2＝AD 2
∴( －1－1 )2＋( 8a )2＋( 1－4 )2＋( 8a －5a )2＝5 2＋( 5a )2
A
y P
Q
O
C
B x
1 4 ，∵a ＜0，∴a ＝－
2 D
l
∴P 2（1，－4）
综上所述，以点 A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能成为矩形
7 ）或（1，－4）
P