平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒doc
一、多选题
1．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3
π
，a ＝7，则以下判断正确的是（ ）
A ．△ABC 的外接圆面积是493
π
； B ．b cos C ＋c cos B ＝7；
C ．b ＋c 可能等于16；
D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大
值是73 .
2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ．
sin sin sin +=+a b c
A B C
3．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ．10,45,70b A C ==?=?
B ．45,48,60b c B ===?
C ．14,16,45a b A ===?
D ．7,5,80a b A ===?
6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）
A ．2
AB AB AC B ．2
BC CB AC C ．2AC
AB BD
D ．2
BD
BA BD
BC BD
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．
8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ）
A B C D ．9．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是
（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
11．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11
22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133
BM BA BD =
+ D ．12
33
CM CA CD =
+
12．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ）
A ．A
B B
C =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+
D ．AD CD CD CB +=-
13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
14．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形
15．如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A ．12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量
B ．对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个
C ．若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得
()11122122e e e e λμλλμ+=+
D ．若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==
二、平面向量及其应用选择题
16．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．23
17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin 2a c B -==-，且0,2B π??
∈ ???
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
18．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
19．三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?，那么点P 是三角形ABC 的（ ） A ．重心
B ．垂心
C ．外心
D ．内心
20．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．4
3
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
21．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
22．在ABC ?中，设2
2
2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心
B ．内心
C ．重心
D ． 外心
23．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +?-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则
::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）
A ．1∶2∶3
B ．1∶2∶1
C ．2∶1∶1
D ．1∶1∶2
25．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
26．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=?，ABC 的面积为3
2
，那么b 等于（ ）
A ．
13
2
+ B ．13+
C ．
22
3
+ D ．23+
27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得
45BDC ∠=?，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）
A ．102
B ．106
C ．103
D ．10
28．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1
2
BD DC =
，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（ ）
A ．m n +是定值，定值为2
B ．2m n +是定值，定值为3
C ．
11
m n +是定值，定值为2 D ．
21
m n
+是定值，定值为3 29．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
30．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ）
A ．0
B C ．-4 D ．4
31．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3
C π
∠=
，且
sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：
①2a b =
②ABC ?
③ABC ?的周长为4+
④ABC ?外接圆半径R =
这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
32．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，ABC S ?，则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++（ ）
A B C D ．33．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b ==，()()
20c a c b ?--=，则b c ?的最大值为（ ） A ．
5
4
B ．2
C ．
174
D ．4
34．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点
C ，
D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）
A ．10,2?? ???
B ．10,3?? ???
C ．1,02??
-
??? D ．1
,03??- ???
35．已知20a b =≠，且关于x 的方程2
0x a x a b ++?=有实根，则a 与b 的夹角的
取值范围是( ) A ．06
,π??????
B ．,3ππ??
?
???
C ．2,33ππ??
?
???
D ．,6ππ??
?
???
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一、多选题 1．ABD 【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】
对于A ，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A 正确； 对于B ，根据正弦定 解析：ABD 【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误． 【详解】
对于A ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据正弦定理
2sin a R A =，可得3
R =，所以ABC 的外接圆面积是2
49
3
S R ππ==
，故A 正确； 对于B ，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合A B C π++=，可将原式化为
2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==，故B 正确．
对于C ，22(sin sin )2[sin sin(
)]3
b c R B C R B B π
+=+=+-
114(cos )14sin()23
B B B π=+=+
14b c ∴+≤，故C 错误．
对于D ，设A 到直线BC 的距离为d ，根据面积公式可得
11
sin 22
ad bc A =，即sin bc A
d a
=
，再根据①中的结论，可得d =D 正确． 故选：ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．
2．ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确； 对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误；
对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角
解析：ACD 【分析】
根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】
对于A ，在ABC ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；
对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π
+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错
误；
对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以
A B >，故C 正确；
对于D ，由正弦定理得
2sin sin sin a b c
R A B C
===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C
R B C B C ++==++，故D 正确.
故选：ACD. 【点睛】
本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 3．AB
【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >?>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=?，即A B =或
90A B +=?，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==??=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin sin 603a R A =
==
?，3
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
4．AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
2cos ,21a b a b a b
?<>=
=
=
?+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
5．BC
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两
解析：BC 【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由45,70A C =?=?，所以18065B A C =--=?，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B 中：因为csin sin 115B C b =
=<，且c b >，所以角C 有两解；
对于选项C 中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A
B a
=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】
本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
6．AD
【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形
解析：AD 【分析】
根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】
对于A ，2
cos AB AB AC AB AC A AB AC
AB AC
，故A 正确；
对于B ，
2
cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB AC
CB AC
，
故B 错误； 对于C ，
2
cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BD
BD
AB
,故C 错误； 对于D ，2
cos BD BA BD
BA BD ABD BA BD BD BA
,
2
cos BD BC BD
BC BD CBD BC BD
BD BC
,故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.
7．AC 【分析】
利用余弦定理：即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC 【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，
即216310a a -+=，解得8a =
故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
8．AB 【分析】
在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】
中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，
当时，由余弦定理得：， 解得，
当时，由余弦定理得：， 解得 所以或
解析：AB 【分析】
在ABC 中，根据4a =，5b =，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.
【详解】
ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC
S
=
所以1
sin 2
ABC
S
ab C =
=
所以sin C =
60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，
解得c =
当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，
解得c =
所以c =c =故选：AB 【点睛】
本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角
形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或
解析：ABCD 【分析】
应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2
A B π
+=，进而有
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】
根据正弦定理
sin sin a b A B
= cos cos a A b B =
sin cos sin cos A A B B =, 即sin 2sin 2A B =. 2,2(0,2)A B π∈,
22A B =或22A B π+=. 即A B =或2
A B π
+=
,
△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】
本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°
10．AC 【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC 【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错
误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2
A B π
+=
，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π
=，ABC 是直角三角形，故③正确；
对D ，因为2
2
2
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab
+-=>，A 为锐角.
但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
11．ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.
对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三
解析：ABD 【分析】
根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】
解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11
22
AD AB AC =
+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，
2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；
对于C 选项，()
2212
=3333
BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()
2212
3333
CM CA AD CA CD CA CA CD =+
=+-=+，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.
12．BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误； 因为，，且， 所以，即C 结论正确； 因为，
解析：BCD 【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；
因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD 【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
13．ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，
解析：ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
14．BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，
对于A ，若，则或， 当A ＝
解析：BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ?中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2
A B π
+=
时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；
综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
15．AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为时，有无数个,故不正确. 【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的. 对于B,由平面向量基本
解析：AD 【分析】
根据平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的，选项B 不正确；对于选项C ，当两个向量均为
0时，λ有无数个,故不正确.
【详解】
由平面向量基本定理可知,A ?D 是正确的.
对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定, 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，所以不正确； 对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时, 这样的λ有无数个，所以不正确. 故选:AD . 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的辨析，熟记并理解定理内容是关键，解题中要注意特殊值的应用，属于基础题.
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点，
所以11
22
AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以
()211132m AB m AD AB AD λ+??+-=+ ???
， 则213
112m m λλ
+?=????-=??
，
解得3
4
λ=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 17．C 【分析】
化简条件可得sin a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴
==
.0,2B π??∈ ???， 4
B
π
∴=
. 由正弦定理，得
sin sin 2
a A c C ==
，
3
sin 4C A C C C π???
∴==-=+? ?????
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈， 2
C π
∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 18．D 【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ??
+= ? ???
，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，
1
cos ||||2
AB AC A AB AC =
=，
3
A π
∴∠=
，
3
B C A π
∴∠=∠=∠=
，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 19．B 【分析】
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=，即得点P 为三角形ABC 的垂心. 【详解】
由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ?=?=?， 则()()()
0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ?-=?-=?-= 即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ?=?=?=， 即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥， 则点P 为三角形ABC 的垂心. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20．A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=
， 即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴222tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ?===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 21．B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B.
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 22．D 【分析】
根据已知条件可得()
2
2
2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得
()
0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线
上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】
()()()
2
2
2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?
()
20BC AC AB AM ∴?+-=
()()
0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=
设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=
20BC ME ∴?= BC ME ?⊥
ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 23．C 【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2
2
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案． 【详解】 解：
在ABC 中，(CA CB + 2
2
22)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，
a b ∴=，
ABC ∴为等腰三角形， 故选：C ． 【点睛】
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题． 24．B 【分析】
延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。 【详解】