小升初数学衔接班列方程解应用题一

小升初数学衔接班——列方程解应用题（一）

一、学习目标

通过学习用一元一次方程解决浓度问题、工程问题和行程问题等几种常见问题，掌握列方程解应用题的方法和步骤。

二、学习重点

分析题目中的数量关系，列代数式，寻找等量关系。

三、课程精讲

1、知识回顾

我们在小学阶段学习过许多数量关系：

（1）溶液中浓度、溶液、溶质的关系；

（2）工程问题中工程量、工作效率、工作时间之间的关系；

（3）行程问题中路程、速度、时间之间的关系：相遇问题、追及问题、水流问题、过桥问题等。（4）增长率问题

（5）年龄问题

（6）数字问题

2、新知探秘

知识点一列方程解应用题的步骤

例1、有两种不同浓度的盐水，甲种盐水的浓度是30%，乙种盐水的浓度是6%，现在要配成浓度为10%的盐水60千克，问应取这两种浓度的盐水各多少千克？

思路导航：

此题是溶液的混合配制问题，这类问题中有三个等量关系：混合前后溶液的重量和不变、溶质重量和不变及溶剂重量和不变。

解答：

x(60?x)30%x千克，千克，千克，那么乙种盐水应取设应取甲种盐水甲种盐水中含盐6%(60?x)千克，根据题意，得乙种盐水中含盐

30%x?6%(60?x)?60?10%

x?10解方程，得60?x?60?10?50

答：甲种浓度盐水取10千克，乙种浓度盐水取50千克。

点津：

浓度问题是列方程解应用题的常见类型之一，关键是要找出配制前后溶液中哪些量不发生变化，从而寻找出等量关系，进而列出方程求解。

从上述例题我们知道，列方程解应用题的步骤是

（1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系；

（2）设元：选择适当未知数，用字母表示；

（3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量；

（4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；

（5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解；

（6）检验并答题。

仿练、现有两种酒精溶液，已知甲种酒精溶液中含酒精18千克，含水12千克；乙种酒精溶液中含酒精3千克，含水9千克。现在要得到含酒精7千克，含水7千克的酒精溶液，问应取甲、乙两种酒精溶液各多少千克？

思路导航：

与上题一样属于溶液混合配制问题。需要先算出甲种、乙种酒精溶液的浓度，再根据等量关系列出方程。

解答：

x(7?7?x)千克，千克，那么乙种酒精溶液应取设应取甲种酒精溶液所取的甲种酒精183千克，所取的乙种酒精溶液含酒精千溶液含酒精100%??x100%?x)??(77?12?183?9克，根据题意，得183?100%?(7?7?x)x???100%?718?123?910x?解方程，得7?7?x?14?10?4

答：甲种酒精溶液应取10千克，乙种酒精溶液应取4千克。

点津：

在列方程解应用题的步骤中，最重要的是对题目的分析，对列方程不要急于求成。在一x表示出来，然后根道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当的选择其中的一个，用字母x的代数式表示出来，将其他几个未知量用含再用列代数式时没有用到据数量之间的关系，的等量关系列出方程。

知识点二如何找等量关系

熟悉实际问题中各种量之间的相等关系是列方程解应用题的基础。

找寻相等关系的基本方法有：

（1）运用基本公式找寻相等关系；

（2）从关键词中找寻相等关系；

（3）运用不变量找寻相等关系；

（4）对一种“量”，从不同的角度进行表述（即计算两次），得到相等关系。

例2、一件工作，甲单独做需20小时完成，乙单独做需12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分需几小时完成？

思路导航：

此题属于工程问题，可把总工作量看作1，甲单独做4小时的工作量和甲、乙合作的工作量之和就等于总工作量“1”。

解答：

1x?4，甲、小时完成，则甲单独做4设剩下的部分甲、乙合作需小时的工作量为2011?()xx，根据题意，得小时的工作量为乙合作2012111?4?(?)x?1202012x?6解方程，得小时完成。6剩下的部分甲、乙合作需答：

点津：

列方程时，关键在于发掘题目中的等量关系。题中所给条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用某一个条件，会得到一个恒等式，却无法求得应用题的解。

比如，此题中这样求解：

11xx?)(x。小时完成，则甲、乙合作设剩下的部分甲、乙合作需小时的工作量为2012因为由两部分时间共同完成了全部工作量，所以前一段时间里甲单独做的工作量为11?)?(x1，根据题意，得20121111?)x?(?)x1?(?120122012显然，化简后得到1=1，这个“方程”不能求解。

111??)x(“前一段时间里甲单独做的工作量”是根据“两发生错误的原因就是，1220

部分时间的工作量之和等于总工作量”，而又根据这个条件列出了“方程”，这个条件被重复利用了。

仿练、一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管。单开甲管16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全池水放完。现在先开甲、乙两管，4分钟后关上甲管开丙管，问：又经过几分钟后才能将水池注满?

思路导航：

111,,，相等关系是：甲工作量+乙工作由题意知甲、乙、丙管的工作效率分别为161020量+丙工作量=全部工作量，只不过丙管是来“捣乱”的。

解答：

1x?4，乙管在前4分钟的工作量为设又经过4分钟才能将水池注满，则甲管在前1611xxx?4分钟中的工作量分钟中的工作量为分钟的工作量为，丙管在后，乙管在后10101x，依题意得方程：为201111?4??4?x?x?116101020x?7解得答：又经过7分钟后才能将水池注满。

知识点三直接设元与间接设元

354km，一列慢车从甲站开往乙站，慢车走了、甲乙两站之间的路程为1.5小时后，3例

46km68km，问两车各另有一列快车从乙站开往甲站，已知慢车每小时走，快车每小时走走多少小时后相遇?

思路导航1：

本题属于行程问题中相向而行的相遇问题。为了弄清题目中各数量之间的关系，经常需要画图

或列表。如图可知，慢车和快车行走的路程之和等于甲乙两站之间的总路程。．

解答1：

x68x千米，慢车走的路程是设快车走了1.5小时后与慢车相遇，那么快车走的路程为

x(46x?46?1.5)千米，相遇时两车所走的路程之和小时走的路程，即小时走的路程加上为354千米，由此可得方程：

???68x?46354x?1.5

解得：x=2.5

x?1.5?4（小时）所以慢车走的时间是

2.5小时后两车相遇。 4小时，快车走了答：慢车走了思路导航2：

x小时。也可以设慢车走的时间为

解答2：

x x?1.5小时，.小时后与快车相遇那么快车在相遇时所用的时间为它们各设慢车走了

??1.5x68?46x千米，依题意可列方程为：自走的路程为：快车千米，慢车

???1.5354x?46x?68

x?4解得：x?1.5?2.5（小时）所以快车走的时间为

答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

思路导航3：

以上两种解法是采用了直接设未知数的方法，下面我们可以采用间接设未知数的方法，将快车走的路程设为未知数，然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列方程求解。

解法3：

xx小时，慢车从1.5设两车相遇时快车走的路程为小千米，那么快车所用的时间为

68354?46?1.5?x小时，由这两段路程相遇时所用的时间相等，时后到相遇时所用的时间为46可以依题意列出方程为：354?46?1.5?xx?4668x?170解得：170?2.5（小时）相遇时快车用的时间为：681.5?2.5?4（小时）慢车所用的时间：

答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

思路导航4：

采用间接设未知数的方法，也可以将慢车走的路程设为未知数，然后通过慢车和快车同时走的时间相等，即图中同色部分，列方程求解。

解法4：

x千米，那么慢车从1.5小时后到相遇时所用的时间设慢车从开出到相遇所走的路程为

x?46?1.5354?x小时，而快车自开出到相遇时所用的时间为为小时，依题意，以上2

4668个时间相等，可列出方程：

x?46?1.5354x??6846184?x解得：184?4小时慢车走的时间是46184354?2.5?快车走的时间为：小时68答：慢车走了4小时，快车走了2.5小时后两车相遇。

点津：

x，这称为直接设元。但这不是绝对的，有时直接设元后一般题目问什么，就设什么为x，这称为间接设元。不利于列代数式和列方程，我们也可以设其他未知数为到底如何设元，要根据题目中的数量关系决定，怎样设元方便就怎样设。但是如果选择间接设元，那么解出方程后还要换算出题目所求的量。

131334公公里，、仿练甲、乙、丙三人，甲每小时走公里，乙每小时走丙每小时走522里，若甲、乙两人在A地，丙在B地，三人同时出发，甲、乙与丙相向而行，丙在遇到乙后3分钟才遇到甲。求A、B两地的距离？

思路导航1：

此题属于行程问题中的相遇问题，而且此题中有两个相遇问题，它们的相遇时间差3分钟。

解答1：

x x小时，丙与甲的相遇公里，则丙与乙的相遇时间为、设AB两地的距离为134?325．x小时，根据题意，得时间为1143?22xx3??

11136043?3?42522x?32.4解这个方程，得答：A、B两地相距32.4公里。

思路导航2：

x小时，则可以表示出丙与甲的相遇时间，设丙与乙的相遇时间为及也可以间接设元，各自的相遇路程，再根据相遇路程相等来列方程。

解答2：

3)x?(x小时，甲的相遇时间为设丙、乙的相遇时间为相遇路程分别是小时，则丙、6031113(3?4)x(3?4)(x?)公里，根据题意，得公里、

52226031113(3?4)x?(3?4)(x?)522260x?4解这个方程，得

3131(3?4)x?(3?4)?4?32.45252答：A、B两地相距32.4公里。

点津：

此题要注意单位的统一。

四、知识提炼导图

五、目标期望

通过本讲的学习，希望同学们掌握列方程解应用题的步骤，重点要学会分析题目中的数x来表

示其他的未知量，再抓住会选择直接设元还是间接设元，会用设出的未知数量关系，题目中的等量关系列出方程。

六、下讲预告

在下一讲的学习中，我们除了继续复习巩固列方程解应用题的方法步骤外，还要学习用方程解其他类型的应用题，比如流水问题、年龄问题、数字问题等。通过对这些题型的分析讲解，要教会大家分析比较复杂的题目中的数量关系，要教会大家如何检查自己列出的方程是否正确。

【同步练习】（答题时间：45分钟）

1、火眼金睛：

（1）甲、乙两人环湖竞走，环湖一周400米，乙的速度是80米/分，甲的速度是乙的11x分钟两人第一米，多少分钟后，两人第一次相遇。设经过倍，且甲在乙前100速度的4）次相遇，所列方程为（

55x80x?300?80?10080xx??80?B. A.4455x??300?80xx100x80??80?80 D. C. 44（2）一列火车匀速前进，从它进入300米长的隧道到完全通过一共用20秒钟，又知隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射火车10秒钟，求这列火车的长度和速度。在这个问题中路程和时间

的关系是（）

A. 火车走300米路程用20秒

B. 火车走的路程等于隧道长与车身长的差，用了10秒

C. 火车走的路程等于隧道长与车身长的和，用了20秒

以上都不对D.

（3）有含盐30%的盐水240千克，要将盐水稀释成1.5%，需加水（）千克

A. 4800

B. 4560

C. 5040

D. 4680

（4）某件工程，甲单独做要用15小时完成，乙单独做要用12小时完成。若甲先做1小时，乙又单独做4小时，剩下的工作两人合作，再用几小时可全部完成任务？

x小时可完成任务，则下列方程中正确的个数是（设两人合作再用）

14xx4?x1?x???11???；①；②

1512121512151111x4?x41?)x??(?1?(?)?。④③；

12151515121512A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

（5）一队学生从学校步行前往工厂参观，速度为每小时5千米，当走了1小时后，一名学生回学校取东西，他以每小时7.5千米的速度回学校，取了东西后立即以同样的速度追赶队伍，结果在离工厂2.5千米处追上队伍，求学校到工厂的路程（取东西的时间忽略不计）。

x千米，列出的方程是（）若设学校到工厂的距离为x11x?2.5x?2.5x?2.5???1?2?? B.

A.

7.5557.57.552.5??x2.51xx1x?2.55???1???2.5? C. D.

7.57.557.57.5552、对号入座：

（1）一件工程甲队独做需8天完成，乙队独做需9天。甲做三天后，乙来支援，甲，3x，由此条件列出的方程是______________；乙合作做天，一共完成了任务的4（2）若取浓度为15%的酒精溶液______克与浓度为35%的酒精溶液_____克混合，则可配成浓度为20%的酒精溶液100克；

（3）某人从家里去上班，每小时行5千米，下班按原路返回时，每小时行4千米，结t小时，可列方程为________________分钟，设上班所用时间为；果下班返回比上班多花10（4）一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分钟，逆风要3小时，已知风速是20千米/时，则两城市间距离为__________千米。

3、牛刀小试：

（1）从家里骑摩托车去火车站，如果每小时走30千米，那么比开车时间早到15分钟，如果每小时走18千米，那么比开车时间迟到15分钟，现在打算比开车时间早10分钟到达火车站，那么摩托车的速度应该是多少？

（2）一项工作由A单独做要40天完成，由B单独做要50天完成。现在由A先做，工作了若干天后，因A有事离去，由B继续做，共用了46天完成。问A、B各做了多少天？

（3）甲种盐水浓度为乙种盐水浓度的2倍，若甲种盐水取120克，乙种盐水取240克，混合后加水40克，测得浓度是12%，问甲、乙两种盐水的浓度各是多少？

【试题答案】

1、火眼金睛：

（1）B 甲在乙的前面，好像是乙追甲，实际上甲的速度比乙的速度快，因此是甲追(400?100)米。当两人第一次相遇时，甲的路程比乙的路程多300米。乙，追及距离是

（2）C “从它进入300米长的隧道到完全通过”是指车头刚进入隧道开始，到车尾离开隧道截止，一共前进的路程是隧道长与车身长的和；在“隧道顶部一盏固定的灯光垂直照射列车”的时间内列车前进的路程就是车身长。

x240?30%?1.5%(240?x)x?4560。，解得千克，则（3）B 设需加水x小时的工作量以及小时的工作量、甲小时的工作量、乙4）D ①方程表示甲1（4x(4?x)(1?x)小时的工作量与甲乙；

②方程表示乙小时的工作量的和等于总工作量“1”(1?x)小时工作量的1”；③方程表示总工作量“1”与甲小时的工作量的和等于总工作量“(4?x)小时的工作量；④方程表示甲1小时的工作量、乙4小时的工作量及甲乙差等于乙x小时的工作量的和等于总工作量“1”。合作

x?2.5（5）C 一方面，用队伍的速度计算，从出发到这名学生追上队伍所用时间为

51?5返回用的用这名学生的速度计算，小时；另一方面，这段时间还等于刚开始的1小时+

7.52.5x?小时+去追队伍的小时。7.52、对号入座：

11131?3?(?)x??3x天的工作量为（1，甲乙合作甲做三天的工作量为）

48988113x?)(。，两部分工作量的和等于984x的酒精溶液克，则需取浓度为35%的酒精溶液（2）75，25 设需取浓度为15%20%100??(100?x)15%x?35%(100x)?解得。克，根据混合前后纯酒精重量不变，25?xx?75100?得。，1010?t)4(?)5t?4(tt5）（上班的距离为3千米，根据题千米，下班的距离为606010?4(t)5t?意，得。6045x2x(?20)?时，则顺风路程为千米千米，（4）1320 设飞机在无风时的速度为/

6045220)3(?(x?20)?x?20)?3(x460x?此因。解得千风，逆路程为米，601320?20)?3(x。

3、牛刀小试：

x小时，根据题目，得）设从出发到开车时间一共（11515)?18(x?)?x30(60601x?解得，

15)?30(x60?27（千米/时）101?60答：摩托车的速度应该是27千米/时。

11x)x?x(46天，则AAB，做的工作量为做了做的工作量为（2，根据题）设

504011x?(46?x)?1意，得4050x?16解得46?x?30

答：A、B分别做了16天和30天。

x2x120?2x克，，则甲种盐水的浓度为3（）设乙种盐水的浓度为，甲种盐水中含盐

120?2x?240x?(120?240?40)?12%x240乙种盐水中含盐克，根据题意，得x?0.1解得

2x?0.2

答：甲、乙两种盐水的浓度分别是20%和10%。