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【北师大版教材适用】九年级数学下册《圆的对称性》教案

北师大版九年级数学下册精编教学设计系列

圆的对称性

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用.

二、教学任务分析

知识与技能

通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.

过程与方法

通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.

情感态度与价值观

（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．

（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．

（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．

教学难点：圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．

三、教学设计分析

本节课设计了七个教学环节：认识圆的对称性（轴对称图形，中心对称图形）、认识圆心角的概念、探索圆心角，弦，弧的关系、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业.

数学活动一：认识圆的对称性

提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？

提问二：圆是对称图形吗？

（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证

圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）

验证方法：折叠

（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点?

现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将

上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?

通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．

数学活动二：了解圆心角的定义

如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

数学活动三、探索圆心角定理

尝试与交流．按下面的步骤做一做：

1．在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下． 2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

教师叙述步骤，同学们一起动手操A'

作．

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

结论可能有：

1．由已知条件可知∠AOB=∠A ′O ′B ′．

2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O ′B ′A ′=∠OAB 和∠O ′A ′B ′．

3．由△AOB ≌△A ′O ′B ′可得到AB ＝A ′B ′．

4．由旋转法可知AB =''A B

刚才到的AB =''A B 理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB=∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以AB 和A ′B ′重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即AB ＝A ′B ′．在上述操作过程中，你会得出什么结论?

在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． A

这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个

特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这

个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角

如下图示.虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′AB≠

下面我们共同想一想．

在同圆或等圆中弧相等

相等的圆心角弦相等

如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一

下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组

量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉

这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．

（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．

（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”

一词的含义．否则易错用此关系．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关

部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．

例题：如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？

（过程见课本）

（补充例题）

例．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．

（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？

（2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？?为什么？∠AOB 与∠COD 呢？

分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．

（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中，

又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt?△COF ，

∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 = 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF

理由是：∵∠AOB=∠COD

∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=1

2AB，CF=1

∴AE=CF

又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF

（2）如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD

理由是：∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF

又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE=1

2AB，CF=1

CD∴AB=2AE，

CD=2CF

∴AB=CD ∴AB=CD，∠AOB=∠COD

课时小结

通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳) 利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理

四、教学反思

本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教

师演示动态课件及引导，让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣.

（1）情景引入中运用媒体形象直观的展现了圆心角、弧、弦之间的关系，激发学生的学习兴趣，并让学生体会到数学对称之美（2）在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时，教师应用白板的旋转功能让学生观察——猜想——证明——归纳的数学过程，让学生既轻松又形象直观地获得了新知.

总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.

北师大版初中数学九年级章节知识点总结

北师大版初中数学九年级(上册)各章标题第一章证明（二）第二章一元二次方程第三章证明（三）第四章视图与投影第五章反比例函数第六章频率与概率北师大版初中数学九年级(下册)各章标题第一章直角三角形边的关系第二章二次函数第三章圆第四章统计与概率北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则 2 b