高等数学基本概念整理
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§1.1 函数
一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.
0 () (0)()2() ()a
a
a
f x a f x dx f x dx f x ->??
=????
?当为奇函数当为偶函数
口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。 2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加 若()0f x '<，则()f x 单调减少 口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负 例1 求1
521[()ln(1)].x x I x x e e x x dx --=
+-++?
解 1()x
x
f x e e -=-是奇函数，∵2
112()(),()ln(1)x
x
f x e
e f x f x x x --=-=-=++是奇函数，
∵ 222
22
(1)()ln(1)ln
1
x x f x x x x x +--=-+
-=++
22ln1ln(1)()x x f x =-++=-
因此2
()ln(1)x
x
x e e x x --++是奇函数。 于是1
1
6
61
2027
I x dx x dx -=
+==
?
?。 例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是
(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。 (B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。 (C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。 (D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。
解 (B)不成立，反例32
(),()13
x f x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+
(D)不成立，反例2
()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内
(A)成立。
证明 0
()(0)(),x
F x F f t d t f =+
?
为奇函数，
00
()(0)()(0)()()
(0)()()
x
x x
F x F f t dt F f u d u F f u du F x --=+=+--=+=?
??
所以，()F x 为偶函数。
例3 设()f x ，()g x 是恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a x b <<时，下列结论成立的是
(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b > (D)()()()()f x g x f a g a >
解 ∵2()1[()()()()]0()()f x f x g x f x g x g x g x '??''=-
，∴()
()f x g x 单调减少 于是x
()()()()
f x f b
g x g b >，故(A)成立。 二、有关复合函数
1. 已知()f x ，()g x 求[()]f g x
2. 已知[()]f g x 和()g x ，求()f x 例1、已知12() ()() f x x a f x f x x a ≤?=?>?和12
() ()() g x x b
g x g x x b ≤?=?>?
求[()]f g x
解：11112221122
2[()] ()[()]
()[()][()] ()[()] ()
f g x x b g x a f g x x b g x a f g x f g x x b g x a f g x x b g x a
≤≤??
>≤?=?
≤>??>>?当，当，当，当，
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例2、已知()x x
f e xe -'=，且(1)0f =，求()f x 解：令x
e t =，则ln x t =，因此
ln ()()x
t
f e f t t
''== 于是，1
ln ()(1)x
t f x f dt t
-=
?
2121
ln 21
ln 2
x
t x == §1.2 极限
一、有关无穷小量
1.有界变量乘无穷小(量)仍是无穷小(量)；
2.等价无穷小代换；
3.无穷小的阶的比较。
例1 求x
x x x 30
sin sin lim -→
解 原式6
13cos 1lim sin lim 2030=-=-=→→x x x x x x x
例2 设当x →0时(1-cos x )ln(1+x 2
)是比x sin x n 高阶的无穷小，而x sin x n
是比()1
2
-x e
高阶的无穷
小，则正整 数n 等于 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
解：
()42
2
1)1ln(cos 1x x x →+- 2
11sin 2
x
e x x x x n n →-→+
由题意可知，4>n+1>2， ∴n+1=3, n=2 选(B)
例3 设
dt t x dt t
t
x t
x
x 1
50
sin 0)1()(,sin )(?
?+==βα，则当x →0时， )(x α是)(x β的 ( )
(A) 高阶无穷小 (B) 低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小
解
()()()()e x
x x x
x x x x x
x x x 5cos )
sin 1(555sin lim ''lim lim sin 10
00=
?+?==→→→βαβα
选(C)
二、有关两个准则
准则1 单调有界数列极限一定存在。 准则2 夹逼定理。 例1 设)3(,3011n n n x x x x -=<<+，证明n x x 0
lim →存在，并求其值。
解 ∵
我23
2)3()3(0,03,01111211=-+≤-=<∴>->x x x x x x x ， (几何平
均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>1时，2
3
0≤
n n n n n n n n x x x x x x x x
--=--=-+，
03)23(≥+--=
n
n n n x x x x ，
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n n x x ≥∴+1，则{}n x 单调增加。
根据准则1，
l x n n =∞
→lim 存在
把)3(1n n n x x x -=+两边取极限，得
0,3,)3(2
2=-=-=l l l l l l l (舍去) 得 23=l ，
∴2
3lim =
∞
→n n x 。 口诀(3)：递推数列求极限；单调有界要先证；
两边极限一起上；方程之中把值找。
例2 求
)212654321(lim n
n n -?????∞→。 解 令1
225432),212654321(+????=-?????=n n
y n n x n n ，
则0 ，于是1 2102 +=< 由夹逼定理可知 0lim 2=∞ →n x x ，于是原极限为0。 三、有关两个重要公式 公式1、1sin lim 0=→x x x 公式2、e n n n =+∞→)11(lim e u u u =+∞→)1 1(lim e v v v =+→1 )1(lim 例1 求n n x x x 2 cos 4cos 2cos lim ???∞→。 解 当x =0时，原式=1 当x ≠0时，原式n n n n n n x x x x x 2 sin 22cos 4cos 2cos 2sin 2lim ???=∞→ =? ??=????--+∞→n n n n n n x x x x x 2 sin 22sin 2cos 4cos 2cos 2lim 1 11 = x x x x x x x x n n n n n n sin 2 sin 2sin lim 2sin 2sin lim =?=∞→∞→ )12 sin 2lim (=∞ →n n n x x 例 2 设 ) (x f 在 ) ,(+∞-∞内可导，且 e x f x =∞ →)('l i m ， )]1()([lim )(lim --=-+∞ →∞→x f x f c x c x x x x ，求c 的值。 解:c c c x x x x x e e e x c x c c x c x 2) 1()1(lim )(lim ==-+=-+-∞→∞→ 则拉格朗日中值定理，有 )(')]1()[(')1()(ξξf x x f x f x f =--=-- 其中ξ介于(x -1)与x 之间，那么 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… e f x f x f x x ==--∞→∞→∞ →)('lim )]1()([lim ) (ξξ 于是，e 2c =e,2c=1，则 2 1=c 口诀(4)：函数之差化导数；拉氏定理显神通。 四、用洛必达法则求极限 洛必达法则主要处理七种待定型极限：“ ”型，“∞ ∞”型，“0·∞”型，“∞-∞”型， “1∞ ”型，“00 ”型和“∞0 ”型 口诀(5)：待定极限七类型，分层处理洛必达。 第一层次：直接用洛必达法则 “ ”型 用洛必达法则Ⅰ “ ∞ ∞ ”型 用洛必达法则Ⅱ 第二层次：间接用洛必达法则 “0·∞”型 例100ln lim ln lim -→→++=x x x x x x 变为“∞ ∞ ”型 “∞-∞”型 例)1()1(lim )111(lim 00---=--→→x x x x x e x x e e x 变为“0 0”型 第三层次：间接再间接用洛必达法则 “1∞ ”型，“00 ”型，“∞0 ”型均为) ()(lim *x g x x f → 形式 而) ()] ([x g x f 称为冪指函数，比较复杂。 口诀(6)：冪指函数最复杂；指数、对数一起上。 ) (ln )()](ln[) () ()] ([x f x g x f x g e e x f x g ==, 而上面三种类型化为) (ln )(lim * x f x g x e →, 这时)(ln )(lim *x f x g x → 一定是“0·∞”型 再用第二层次的方法处理即可 例 x x x x x x x e e x x ln 0 ln 0 lim lim lim +++→→→== =10ln lim ln lim 1 0===-+ →+ →e e e x x x x x x 例1 求)cos sin 1(lim 2220x x x x -→。 解 原式=x x x x x x 222220sin cos sin lim ?-→ =4 2202sin 41 lim x x x x -→ =3 042cos 2sin 4 4 2lim x x x x x -→ =3 024sin 4 1 lim x x x x -→ =2 064cos 1lim x x x -→ =x x x 124sin 4lim 0→ = 3 4 例2 设函数)(x f 连续，且0)0(≠f ，求?? --→x x x dt t x f x dt t f t x 0 )()()(lim 解 原式=???-→x x x x du u f x dt t tf dt t f x 0 )()()(lim (分母令u t x =-) 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… =) ()() ()()(lim x xf du u f x xf x xf dt t f x x x +-+? ? → (用积分中值定理) =)()() (lim ) 0(0x xf xf xf x +→→ξξξ(ξ在0和x 之间) =2 1 )0()0()0(=+f f f . 口诀(7)：变限积分是函数；遇到之后先求导。 公式： )(]')([ x f dt t f x a =? (当)(x f 连续时) 例3 高a>0,b>0常数，求n n n x b a ??? ? ??+∞→2lim 解 先考虑x x x x b a )2 (lim 11 ++∞→它是“∞1”型。 令 ]2ln )[ln(ln ,)2 (1 1 11-+=+=x x x x x b a x y b a y x b a y x x x x 1 2 ln )ln(lim ln lim 11-+=+∞→+∞ → 令)"00 ("2ln )ln(lim 10t b a t x t t t -+=+ →型 =ab b a b a b b a a t t t t t ln )ln (ln 2 1 ln ln lim 0=+=+++→ 因此， ab b a x x x x =++∞ →)2 ( lim 11 于是， ab b a n n n n =+∞→)2 (lim 。 口诀(8) 离散数列“洛必达”；先要转化连续型。 五、求分段函数的极限 例 求)| |sin 12( lim 410 x x e e x x x + ++→。 解 112)si n 12(lim 410 =-=-+++-→x x e e x x x 110)sin 1 2( lim 4340 =+=+ ++- - -→+x x e e e x x x x ∴ 1)| |sin 12( lim 410 =+ ++→x x e e x x x 口诀(9)：分段函数分段点；左右运算要先行。 六 用导数定义求极限 例 设曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，求)2(lim n nf n ∞→ 解 由题设可知 0)0(=f ， 1|)'(sin )0('0===x x f 于是 2)0('20 2) 0()2 (2lim )2(lim ==--?=→∞→∞f n f n f n nf n x 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 七 用定积分定义求极限 公式： ?∑==∞→101 )()(1lim dx x f n k f n n k n ()(x f 连续) 例1 求∑=∞→+n k n k n n 1 22 lim 。 分析 如果还想用夹逼定理中方法来考虑 12 2 1 22222 +≤+≤+∑=n n k n n n n n n k 而21lim 222=+∞→n n n n ， 11 lim 222 =+∞→n n n 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑。 解 ∑∑=∞→=∞→+=+n k n n k n n k n k n n 12 122)(11 1lim lim =4 |arctan 11 01 02π==+?x x dx 例2 求k n n k n 1sin lim + ∞ →π 。 解 ∵∑∑∑===≤+≤+n k n k n k n k n k n n k n k n 11 1sin 11sin sin 11ππ π 而 πππ2 si n si n 1lim 101 ==?∑=∞→xdx n k n n k n πππ2 )sin 1)(1(lim sin 11lim 11 =+=+∑∑=∞→=∞→n k n n k n n k n n n n k n 由夹逼定理可知， ∑ =∞ →=+ n k n k n n k 1 21sin lim ππ 口诀(10)：数列极限逢绝境；转化积分见光明。 八、求极限的反问题 例1 设3) 1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a 和b. 解 由题设可知 0)(lim 2 1 =++→b ax x x ，∴1+a+b=0 再对极限用洛必达法则 32 2)1cos(22lim )1sin(lim 21221=+=-+=-++→→a x x a x x b ax x x x 5,4-==b a 例2、 设 )(x f 在(0，+∞)内可导， )(x f >0， 1)(lim =+∞ →x f x 且满足x h h e x f hx x f 1 1 0]) ()([lim =+→，求 )(x f 解： 先用冪指函数处理方法 )](ln )([ln 1 lim 100]) ()([lim x f hx x f h h h h e x f hx x f -+→→=+ 再用导数定义 x x F x x F x F x ?-?+=→?) ()(lim )('0 取 hx x x f x F =?=),(ln )(， 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 于是)]'([ln )](ln )([ln lim 0 x f x x f hx x f hx x h =-+→ 这样 x x f x e e 1 )]'([ln = 所以 x x f x 1 )]'([ln = 2 1 )]'([ln x x f = '1 )(ln C x x f +-= x Ce x f 1)(- = 再由 1)(l i m =+∞ →x f x ，可知C=1，则x e x f 1)(-= §1.3 连续 一、连续与间断 例1 设 )(x f ，)(x g 在),(+∞-∞内有定义，)(x f 为连续，且0)(≠x f ，)(x g 有间 断点，则下列函数中必有间断点为 (A))]([x f g (B)2 )]([x g (C) )]([x g f (D) )() (x f x g 解：(A)，(B)，(C)不成立可用反例 1) (≡x f ，00 11)(<≥? ??-=x x x g ,(D)成立 可用反证法： 假若不然 )() () (x h x f x g =没有间断点，那么)()()(x h x f x g ?=为两个连续函数乘积，一定连续故矛盾，所以 )() (x f x g 一定有间断点 例2 求)()sin sin (lim sin sin x f x t x t x x t =-→的间断点，并判别其类型。 解 πk x ≠，考虑)sin sin ln(sin sin lim )(ln x t x t x x f x t -=→ x x x t x t x x t sin sin sin sin cos lim = ?=→ ∴ )()(sin πk x e x f x x ≠= 可见πk x =为间断点,0=x 是可去间断点，其它皆为第二类间断点。 二、闭区间上连续函数的性质（重点为介值定理及其推论） 例1 设 )(x f 在]1,0[上连续，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明存在)1,0(∈ξ，使得 ξξ-=1)(f 证 令 1)()(-+=x x f x g ，则) (x g 在 ]1,0[上连续01)0(<-=g ， 01)1(>=g ， 根据介值定理推论，存在)1,0(∈ξ使0)(=ξg ，即证。 例2 设 )(x f 在]2,0[上连续，且3)2()1()0(=++f f f ，求证：存在]2,0[∈ξ， 使 1)(=ξf 。 证 ∵ )(x f 在]2,0[上连续，故有最大值M 和最小值m ，于是 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… M f f f m ≤++≤)]2()1()0([3 1 根据介值定理，存在]2,0[∈ξ使 )]2()1()0([3 1 )(f f f f ++=ξ ∴ 1)(=ξf . 口诀（11）：函数为零欲论证；介值定理定乾坤。 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 一、可导性与连续性 例 设 1 6 lim )()1() 1(2+++=--∞ →x n x n n e ax e x x f ，问a 和b 为何值时， )(x f 可导，且求 )('x f 。 解 ∵x ＞1时， +∞=-∞ →) 1(lim x n n e x ＜1时， 0l i m ) 1(=-∞ →x n n e . ∴ 1 1 12 1)(2<=>?????+++=x x x b ax b a x x f 由 1 =x 处连续性， 1 lim )(lim 2 1 1 ==++→→x x f x x ， 1 2 1)1(=++=b a f ，可知 1=+b a 再由 1=x 处可导性， 1 ) 1(lim )1('21--=+ →+x f x f x 存在 1 ) 1()(lim )1('1--+=- →-x f b ax f x 存在 且 )1(')1('-+=f f 根据洛必达法则 21 2lim )1('1==+ →+x f x a a f x ==- →-1 lim )1('1 ∴2=a 于是 11-=-=a b . 111121)(2<=>?? ? ??-=x x x x x x f 11 22)('<≥? ??x x x x f 二、导数与微分的运算法则和计算公式 （要求非常熟练地运用，具体例题可看参考书） 三、切线和法线方程 例1 已知曲线的极坐标方程q r cos 1-=，求曲线上对应于6 p q =处的切线与法线的直角坐标方程。 解 曲线的参数方程为? ??-=-=-=-=θθθθθθ θθθcos sin sin sin )cos 1(cos cos cos )cos 1(2y x 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 1 sin cos 2sin sin cos cos 6 6 226 =+-+-= == ==π θπ θθ θθθθθθ θπ θd dx d dy dx dy 故切线方程 )43 23(14321+-?=+-x y 即 04 5 343=+--y x 法线方程 )4 3 23(3421+--=+- x y 即 04 1 341=+-+y x 例2 设)(x f 为周期是5的连续函数，在0=x 邻域内 恒有 )(8)sin 1(3)sin 1(x a x x f x f +=--+ 其中 0) (lim 0=→x x a x ，)(x f 在1=x 处可导，求曲线)(x f y =在点 （ )6(,6f ）处的切线方程。 解 由题设可知 )1(')6('),1()6(f f f f ==，故切线方程为 )6)(1(')1(-=-x f f y 所以关键是求出 )1(f 和)1('f 由 )(x f 连续性 )1(2)]sin 1(3)sin 1([lim 0 f x f x f x -=--+→ 由所给条件可知 0)1(2=-f ，∴ 0)1(=f 再由条件可知 8)sin )(sin 8(lim sin )sin 1(3)sin 1(lim 00=+=--+→→x x a x x x x f x f x x 令t x =sin ，8) 1(3)1(lim 0=--+→t t f t f t ，又∵0)1(=f ∴上式左边) () 1()1(lim 3)]1()1([lim 00t f t f t f t f t t ---+-+=→→ )1('4)1('3)1('f f f =+= 则 8)1('4 =f 2)1('=f 所求切线方程为)6(20-=-x y 即0122=--y x 四、高阶导数 1.求二阶导数 例1、设???+==) 1l n(arctan 2t y t x ，求x d y d 22 。 解 t t t t dt dx dt dy dx dy 211122 2 =++== ) 1(2112)()(22 22 t t dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d +=+=== 例2 设)(x y y =由方程 12 2=+y x 所确定，求''y 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 解： 0'22=+yy x ，得y x y -=' 3 322221'1''y y x y y y x y y xy y y -=+-=+ -=-?-= 2.求n 阶导数 例1 设4323 --=x x x y ，求 ) (n y (n 正整数)。 解 先用多项式除法，得 ) 1)(4(12 13)3(+-+++=x x x x y ，然后把真分式再化为最简 公式 令 14)1)(4(1213++-=+-+x B x A x x x )4()1(1213-++= +x B x A x 令 4=x ，得45 64 ,645== =x A A 令 1-=x ，得15 1 ,15-==-=-x B B ]) 1(1)4(64[5!)1(...] )1(5 1)4(564)2)(1('')1(5 1)4(5641')1(51)4(564)3(1 1)() (33 2 2 1 1 ++------++--=++---=+---=++-++=n n n n x x n y x x y x x y x x x y 口诀（12）：有理函数要运算；最简分式要先行。 例2 设 x x y cos sin 4 +=，求) (n y （n 为正整数）。 解 2 2)22cos 1()22cos 1( x x y ++-= x x 4cos 4 143)2cos 22(412+=+= )2 4cos(4)24cos(4411)(ππn x n x y n n n +=+?=- 口诀（13）：高次三角要运算；降次处理先开路。 〔注〕 有时求 )0()(n f 可以通过幂级数 ∑∞ ==0 )(n n n x a x f 的系数公式!)0()(n f a n n = 反过来 n n a n f )!()0()(=来计算，这就需要掌握把函数 )(x f 展成幂级数的有关技巧，数学一和 数学三在无穷级数中有专门讨论。 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… §2.2 微分中值定理 一、 罗尔定理 罗尔定理：设)(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且)()(b f a f =，则存在) ,(b a ∈ε使 0)(=εf 。 口诀（14）：导数为零欲论证；罗尔定理负重任。 在考研考题中，经常要作辅助函数)(x F ，而对)(x F 用罗尔定理，从而得出)(x F 的有关结论，为此，我们引进两个模型及有关例题。 模型Ⅰ：设 )(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，)(x g 是) ,(b a 内的连续函数，则存在),(b a ∈ε，使0)()()(=+'εεεf g f 成立。 证 令)()() (x f e x F x G =，其中)()(x g x G ='。 于是)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，0)() (==b F a F 。根据罗尔定理，存在 ),(b a ∈ε使0)(='εF 而 )()()()()() (x f x G e x f e x F x G x G ''+'=' ]0)()()([) (=?+'∴εεεεf g f e G ，而0) (=εG e 因此 0)()()(=+'εεεf g f 例1设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)2 1 (=f ，试证： (1) 存在)1,2 1 (∈η，使ηη=)(f ； (2) 存在),0(ηε∈，使1])([)(=--'εελεf f （l 为任意实数）。 证 (1)令x x f x -=)() (?，显然，)(x ?在]1,0[上连续又02 1 )21(>=?， 01)1(<-=?根据介值定理推论存在)1,2 1 (∈η，使0)(=η?，即ηη=)(f （2）令 ])([)()(x x f e x e x F x x -=Φ=--λλ (相当于模型Ⅰ中，λ -=)(x g ， x x G λ-=)(） ∵0)() 0(=Φ=Φη，0)()0(==∴ηF F )(x F 在],0[η上用罗尔定理，存在),0(ηε∈，使0)(='εF 即 []{}01)()(=---'-εελελε f f e 从而 []1)()(=--'εελεf f 。 口诀（15）：导数、函数合为零；辅助函数用罗尔。 1. 模型Ⅱ 设 )(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，且,0)(,0)(==b g a f ， 则存在),(b a ∈ε ，使 0)()()()(='+'εεεεg f g f 证 令)()()(x g x f x F =，则0)()(==b f a F ，=)(x F 在],[b a 上用罗尔定理， 存在),(b a ∈ε，使0)(='εF ， 即 0)()()()(='+'εεεεg f g f 。 例2 设 )(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)0(=f ，k 为正整数，求证存在)1,0(∈ε， 使得 )()()(εεεεf kf f '=+' 证 取a=0,b=1，令k x x g )1()(-=，用模型Ⅱ，存在)1,0(∈ε ，使得 0)()1()1)((1=-+-'-εεεεf k f k k 故 ,0)()1)((=+-'εεεkf f 即)()()(εεεεf kf f '=+'。 3.例3 设 )(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，对任意k ＞1，有?-=k x dx x f xe k f 10 1)()1(， 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 求证：存在)1,0(∈ε，使 )(11)(εεεf f ?? ? ??-=' 证 由定积分中值定理可知存在?? ? ???∈ k c 1,0，使得 ?? ? ???-=?--01)()(10 11k c f ce dx x f xe k c x 令 ),()(1x f xe x F x -= ，可知 ?====--k c x c F c f ce dx x f xe k f F 10 11)()()()1()1( 对 ) (x F 在 [] 1,c 上用罗尔定理，存在 ) 1,(c ∈ε，使 )(='εF ，而 )()()()(111x f xe x f xe x f e x F x x x '+-='--- 从0)(=εF 中消去ε ε-1e 因子，得)(11)(εεεf f ?? ? ??-='。 4. 例4 设 )(x f 在],0[π上连续，??==ππ 000cos )(,0)(xdx x f dx x f ，求证：存在 ),0(),,0(21πεπε∈∈，21εε≠，，使0)()(21==εεf f 证 令)0()()(0ππ ≤≤=?x dt t f x F 则0)(,0)0(==πF F 又 ???+====π π π π 000sin )(0cos )()(cos cos )(0xdx x F x x F x xdF xdx x f ?=π 0sin )(xdx x F 如果x x F sin )(在),0(π内不变号，由于连续性，积分不为0，故x x F s i n )(在),0(π内一定有正有负，故存在),0(πε ∈使0sin )(=x x F ，而0s i n ≠ε 0)(=∴εF ， 于是分别在],0[ε和],[πε上对)(x F 用罗尔定理则存在),0(1εε∈，),(2 πεε∈， 21εε≠使0)(1='εF 和0)(2='εF ，即0)()(21==εεf f 二、 拉格朗日中值定理和柯西中值定理。 1. 拉格朗日中值定理： 设 )(x f 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，则存在),(b a ∈ε，使)() ()(εf a b a f b f '=--， 即 )()()()(a b f a f b f -='=-ε。 口诀（4）：函数之差化导数；拉氏定理显神通 2. 柯西中值定理 设 )(x f ，)(x g 在],[b a 上皆连续，在),(b a 内皆可导，且0)(≠'x g ，则存在 ),(b a ∈ε， 使 ) () () ()()()(εεg f a g b g a f b f ''= -- 例1 设 )(x f 在],[b a 上连续，) ,(b a 内可导，且0>>a b ,证明：存在 ),(),,(b a b a ∈∈ηε使ε εη) (2)(f b a f '? +=' 证 考虑柯西中值定理（)(x g 待定） ) ()() )(()()()()()()(a g b g a b f a g b g a f b f g f --'=--=''ηεε 最后一步是把分子用拉格朗日中值定理。 再把欲证的结论变形， 2 2) )(()(2)(a b a b f b a f f --'=+'='ηηεε 两式比较，看出令2) (x x g =即可。 类似地，欲证222) (3)(ε εηf a ab b f '?++='，则取3)(x x g =即可 例2. 已知)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且0)0(=f ，1)1(=f ，证明 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… （Ⅰ）存在)1,0(∈ε，使得εε-=1)(f （Ⅱ）存在两个不同η，)1,0(∈ζ，使得1)()(=ζηf f 证： （Ⅰ）令 1)()(-+=x x f x g ，则 )(x g 在 ] 1,0[上连续，又有01)1(,01)0(>=<-=g g ，根据介值定理，所以存在)1,0(∈ε，使得 01)()(=-+=εεεf g 即 εε-=1)(f 。 （Ⅱ）根据拉格朗日中值定理，存在)1,(),,0(εζεη∈∈，使得 ε ε ε εη-= -= '1) 0()()(f f f ， εε εεζ-= --= '11) ()1()(f f f ， 从而 111)()(=-?-=''ε ε εεζηf f 。 在上面两个例子中，都是寻找ηε,的问题，但所用方法完全不同，我们可以用两个口诀来加以区别。 口诀（16）：寻找ηε,无约束，柯西、拉氏先后上。 口诀（17）：寻找ηε,有约束，两个区间用拉氏。 泰勒定理。 设 )(x f 在包含0x 的区间),(b a 内有n+1阶导数，在],[b a 上有n 阶连续导数，则对],[b a x ∈， 存在ε在0x 与x 之间，有公式 n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(! )()(!2)())(()()(00) (2 00000-++-''+-'+= 101)()! 1()(++-++n n x x n f ε ()() ()()1101!n n f x x n x +++ -+ （称为拉格朗日余项形式的泰勒公式） 例 设 )(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且)11(,0)1(==-f f 。0)0(='f 求证：),1,1(-∈?ε使3)(='''εf 。 证 麦克劳林公式 3 2! 3)(!2)0()0()0()(x f x f x f f x f η'''+''+ '+= 其中]1,1[-∈x ，η介于0与x 之间，0)0(='f 312 )1)((61)1(!2)0()0()1(0-'''+-''+=-= ηf f f f )01(1<<-η 3221)(6 1 1!2)0()0()1(1?'''+''+===ηf f f f )10(2<<η 后式减前式，得 6)()(21='''+'''ηηf f )(x f ''' 在],[21ηη上连续，设其最大值为M ，最小值为m 。 则 M f f m ≤'''+'''≤)]()([2 1 21ηη 再由介值定理，)1,1(),(21-?∈?ηηε 使 ]3)()([2 1 )(21='''+'''='''ηηεf f f §2.3 导数的应用 一、 不等式的证明 例1 求证：当0>x 时，22)1(ln )1(-≥-x x x 。 证 令 22)1(ln )1()(---=x x x x f ，只需证明0>x 时，0)(≥x f ， 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 易知 x x x x x f f 1 2ln 2)(,0)1(- +-='=，0)1(='f 由于)(x f 的符号不易判别，再求导得2)1(,1 1ln 2)(2=''++=''f x x x f 。 再考虑3 2) 1(2)(x x x f -='''可见当10< 0)(>'''x f ，)(x f '单调增加，而0)1(='f ，10<<∴x 时，0)(<'x f ，则)(x f 单 调减少，+∞<< x 1时，0)(>'x f ，)(x f 单调增加，于是，0>x 时0)(≥x f 。 例2 设0>>a b ，求证：a b a b a b +->) (2ln 证 令 )(),(2))(ln (ln )(a x a x a x a x x f ≥--+-=, 则 2)ln (ln )(1 )(--++='a x a x x x f 2 21)(x a x x x a x f -=+-='' )(a x > 于是可知)(x f '在a x >时单调增加，又0)(='a f ，a x >∴时0)(>'x f ， 这样)(x f 单调增加，因此，0>>a b 时，0)()(=>a f b f ，得证 口诀（18）：数字不等式难证，函数不等式先行。 二、 极值与拐点 例1 设)(x f y =有二阶导数，满足x e x f x x f x --='+''1)]([3)(2。 求证：当 )(0x f '时，)(0x f 为极小值 证 （1）00 ≠x 情形 01)(0 0>-=''-x e x f x ??? ? ??<-<>->--01,001,00 0x x x e x e x 故)(0x f 为极小值。 （2）00 =x 情形 这时方程条件用0=x 代入不行，无法得出上面的方式。 )(x f '' 存在 )(x f '∴连续，0)0()(lim 0 ='='→f x f x 1 ) (lim )(lim 0)0()(lim )0(0 00x f x x f x f x f f x x x ''='=-'-'=''→→→ （用洛必达法则） []x e x f x e x x x x -→-→-=?? ? ???'--=1lim )(31lim 0 20 （再用洛必达法则） 11 lim 0 ==-→x x e )0(f ∴是极小值 例2 设)1()(x x x f -=，则( ) （A ）0=x 是)(x f 的极值点，但)0,0(不是曲线)(x f y =的拐点 （B ）0=x 不是)(x f 的极值点，但)0,0(是曲线)(x f y =的拐点 （C ）0=x 是)(x f 的极值点，且)0,0(是曲线)(x f y =的拐点 （D ）0=x 不是)(x f 的极值点，)0,0(也不是曲线)(x f y =的拐点 解 ???><-=--≤≤-=-=)10()1() 10()1()(2 2x x x x x x x x x x x x f 或 ?? ?--='1221)(x x x f 10)10(><< 2 )(x f 10)10(><< 又)0,0(点两侧，凸凹性不同（0=x 两侧)(x f ''异号） 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 所以)0,0(是曲线)(x f y =的拐点，应选C 。 例3 设 )(x f 的导数在a x =处连续，又1) (lim -=-'→a x x f a x ，则（ ） （A ）a x =是)(x f 的极小值点 （B ）a x =是)(x f 的极大值点 （C ）))(, (a f a 是曲线)(x f y =的拐点 （D ）a x =不是极值点，))(,(a f a 也不是曲线)(x f y =的拐点 分析： 题目只设 )(x f '在a 点连续，无法考虑a 点两侧二阶导数故（C ）(D)不行 又由1)(lim -=-'→a x x f a x 可知存在),(a a ?-和),(d a a +内0) (<-'a x x f 当),(a a x δ-∈时，则0)(>'x f 当),(d a a +时，则0)(<'x f 故a x =是 )(x f 的极大值点，应选B 。 上面用极值第一充分条件来判断，也可以用第二充分条件来判断。由1) (lim -=-'→a x x f a x 可知 0)(lim ='x f 根据 )(x f 在a x =处连续，则0)(lim )(='='→x f a f a x 于是01) (lim )()(lim )(<-=-'=-'-'=''→→a x x f a x a f x f a f a x a x 根据极值第二充分条件则知()f a 为极大值。 故a x =是 )(x f 的极大值点 一、 最大值和最小值的应用题 1. 数学一和数学二要考物理、力学方面内容。 2. 数学三要考经济方面内容，我们这里不再统一讨论。 第三章 一元函数积分学 §3.1 积分的概念与计算 一、 一般方法 例1设)(x f 的一个原函数)1(ln )(22++=x x x x F ,求?'=dx x f x I )(。 解 ??+-'=-='=C x F x F x dx x f x xf x f xd I )()()()()( C x x x x x x +++-+++=)1(ln )1ln(1 22 222 例2 设),()(x f x F ='2 )1(2)()(0x xe x F x f x x += ≥时，当，又 )0)((,0)(,1)0(≥>=x x f x F F 求 解 ?? +==12 )()()(2)()(2 C x F x dF x F dx x F x f 而dx x e x de dx x e x dx x xe x x x x ????+-+=+-+=+2 22)1(1)1(]1)1[()1( 22 21)1()1(1C x e dx x e dx x e x e x x x x ++=+-+++=?? 0,1)0(,1)(2 =∴=++=∴C F C x e x F x ,又,0)(>x F 因此x e x e x F x x +=+= 11)(2 则 2 3 22)1(212121121)()(x xe x x e x x e x F x f x x +=++-+='= 例3 设dx x f x x I x x x f ?-== )(1,sin )(sin 2 求 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 解一 令u u u f u x u x x u arcsin )(,arcsin ,sin ,sin 2 ====则 则??? --=---=-=x d x x d x x dx x x I 1arcsin 2)1(1arcsin 1arcsin x d x x x x ?-? -+--=11 12arcsin 12 。 C x x x ++--=2arcsin 12 解二 令tdt t dx t t x x t x sin cos 2,cos sin 1,sin 2 ==-=则 则??-=??=t td tdt t t t t t I cos 2cos sin 2sin cos sin ?++-==-=C t t t tdt t t sin 2cos 2cos 2cos 2 C x x x ++--=2arcsin 12 例4 设连续函数)(x f 满足dx x f dx x f x x f e e ??-=11)(,)(ln )(求 解 令 ,ln )()(1 A x x f A dx x f e -==?，则 两边从1到e 进行积分，得 )1()ln (ln )(1 111---=-=? ??e A x x x Adx xdx dx x f e e e e 于是e A eA e A e e A 1 ,1),1()1(==----=， 则?=e e dx x f 1 1)( 例5 设)(x f 连续，且??==-21 2 0)(,1)1(,arctan 2 1)2(dx x f f x dt t x tf x 求。 解 变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理。 令 ,2t x u -=则 ??--=-x x x du u f u x dt t x tf 0 2)()2()2( ??-=x x x x du u uf du u f x 22)()(2 代入条件方程后，两边对x 求导，得 双方都 4 21)](2)2(2[)]()2(2[2)(2x x x xf x xf x f x f x du u f x x += -?--+?即 )(1)(224 x xf x x du u f x x ++=? 令1=x ，化简得?==2 1 4 3 )(dx x f 三、 递推方法 例 1 设),2,1,0(sin 20 ==?n xdx I n n π （1）求证当时2≥n ，21--=n n I n n I （2）求n I 解1 ??---+-=-=2020120 1 1 )(sin cos cos sin )cos (sin π π π x d x x x xd I n n n n xdx x n xdx n n n 22022 202sin )sin 1()1(sin cos )1(--??--=-=π π n n I n I n )1()1(2---=- 2)1(--=n n I n nI ,则)2(1 2≥-= -n I n n I n n 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… （2）??=== =202010 ,1sin ,2 π π π xdx I dx I 当n=2k, 正偶数时， 02222 1 2232212212I k k k k I k k I I k k n --?-=-= =- 2)!(2)!2(2)!2()!2(2 22ππ?=?=k k k k k k 当21n k =+，正奇数时， 112123 2 1222122122I k k k k I k k I I k k n --?+=+= =-= )!12()!(2)!12()!2(222+=+=k k k k k k 例 2 设,),2,1,0(cos 20?==π n xdx J n 求证：),2,1,0( ==n I J n n 证 令??=--=-= 200 2sin )()2 (cos ,2π ππ π tdt t d t J t x n n n 则),2,1,0( ==n I J n n 例 3 设?==202),3,2,1(tan π n xdx K n n 求证：?-=-402)1(2)1(sec tan π dx x x K n n ?---=401)1(2tan tan π n n K x xd 11 21 ---=n K n 四、 反常积分 例1 计算dx e xe I x x ?∞ +--+=0 2) 1( 解 ???∞+∞+∞ ++-=++=+=0 0202) 1(1)1()1()1(x x x x x e xd e e xd dx e xe I ?∞++=++∞++-=021110)1(I I dx e e x x x )1(lim 1+-=+∞→x x e x I 用洛必达法则0)1 (lim =-+∞ →x x e ?∞++=02)1(dx e e e I x x x 令u e x =?∞++1) 1(u u du 2ln 21ln 1ln 11ln 111 1=-=∞++=?? ????+-=?∞ +u u du u u 例2 ?+∞ -==0),2,1,0( n dx e x I x n n （1） 求证：1-=n n nI I （n 为整数） （2） 求n I 解 （1）??∞ +∞ +----+∞ →-=+-=-=0011 )(lim n n x x n x x n n nI dx x e n e x de x I λ （n 为整数） （2）021)!()1(I n I n n nI I n N n =-==-- ?+∞ -=∴==00!,1n I dx e I n x §3.2 有关变上（下）限积分和积分证明题 一、 有关变上（下）限积分 基本公式：(1) 设?=x a dt t f x F )() (，f 连续 则)()]([)()]([)(112 2x x f x x f x F ????'-'= ' 口诀（7）：变限积分是函数；遇到之后先求导。 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 例1设?--=x a t a t dt e x f 0)2()(（a 为常数）求dx x f I a ?=0)( 解 ??--='-=---a a x a a x a dx xe dx x f x a x xf I 00)] (2)[()1()(0 )( )(2 1220) (0) (2 2 22x a d e dx xe a x a a x a --==??-- )1(2102 12 22)(-=-=-a x a e a e 例2 设 )(x f 在),0(+∞内可导，2 5 )1(= f ，对所有),0(),,0(+∞∈+∞∈t x ，均有???+=xt x t du u f x du u f t du u f 1 1 1 )()()(，求)(x f 。 解 把所给方程两边求x 求导?+=t du u f x tf xt tf 1)()()( 把1=x 代入，得?+=t du u f t t tf 1)(2 5 )( 再两边对t 求导，得)(2 5)()(t f t f t t f +='+ 于是 t t f 125)(?='则,ln 25 )(C t t f +=令1=t 代入 得 )1(ln 2 5 )(,25)1(+=∴==x x f f C 例3设 ) (x f 在 ) ,0(+∞内可导， )0(=f ，反函数为 ) (x g ，且 ,)() (0 2x x f e x dt t g ? =求)(x f 。 解方程两边对x 求导，得 , 2)()]([2x x e x xe x f x f g +='于是, )2()(x e x x x f x +='故 , )1()(,)2()(C e x x f e x x f x x ++=+='由 ,0)0(=f 得1-=C 则1)1()(-+=x e x x f 口诀（19）：正反函数连续用；最后只留原变量。 二、 积分证明题 例1 设 )(),(x g x f 在],[b a 上连续，且],[,0)(b a x x g ∈≠ 试证：存在),(b a ∈ξ 使??=b a b a dx x g f dx x f g )()()()(ξξ 证一 令?=x a dt t f x F ,)() (?=x a dt t g x G )()( )(),(x G x F 在],[b a 上满足柯西中值定理有关条件，故存在),(b a ∈ξ， 使 ) () ()()()()(ξξG F a G b G a F b F ''= --即 ,) ()()()(ξξg f dx x g dx x f b a b a =??则 ??=b a b a dx x g f dx x f g )()()()(ξξ 证二 令??==x a x a dt t g x G dt t f x F )()(,)()( 令??-?=x a x a dt t f b G dt t g b F x W )()()()() ( )(x W 在],[b a 上连续，在）（b a ,内可导，且0)()(==b W a W 根据罗尔定理，存在),,(b a ∈ξ 使0)(='ξW 则0)()()()(=-ξξf b G g b F 即??=b a b a dx x g f dx x f g )()()()(ξξ 例 2设 )(),(x g x f 在]1,0[上的导数连续，且0)(,0)0(≥'=x f f ，0)(≥'x g 。证明 对任 何]1,0[∈a 有 ? ?≥'+'a g a f dx x g x f dx x f x g 01 0)1()()()()()( 证 设??-'+'=x g x f dt t g t f dt t f t g x F 01 0)1()()()()()() (，]1,0[∈x 则 )(x F 在 ] 1,0[上的导数连续，并且 )]1()()[()1()()()()(g x g x f g x f x f x g x F -'='-'=' 由于]1,0[∈x 时，,0)(,0)(≥'≥'x g x f 因此,0)(≤x F 即)(x F 在]1,0[上单调递减。注意 命题人或命题小组负责人签名： 系（部）主任签名： 分院领导签名： ………………………………………………………………密封线…………………………………………………………… 到??-'+'=101 )1()1()()()()()1(g f dt t g t f dt t f t g F 而,)()(01)()()()()()(1 1 01 dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g ???'-==' 故.0)1(=F 因 此] 1,0[∈x 时 ， , 0)(≥x F 由此可得对任何 ] 1,0[∈a 有 ??≥'+'a g a f dx x g x f dx x f x g 0 1 )1()()()()()( §3.3 定积分的应用 一、几何方面 例1 设 )(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内0)(>'x f ，证明),(b a ∈?ξ，且唯一，使得 ),(),(ξf y x f y ==a x =，所围面积1S 是b x f y x f y ===),(),(ξ所围面积的三 倍。 证 令??---=t a b t dx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([) ( ?<--=b a dx a f x f a F 0)]()([3)( ?>-=b a dx x f b f b F 0)]()([)( 由连续函数介值定理的推论可知),(b a ∈?ξ，使0=）（ξF 。 再由 ,0)(>'x f 可知)(x f 的单调增加性，则ξ惟一。 例2 设)(x f y =在]1,0[上为任一非负连续函数， （1） 试证：)1,0(0∈?x ，使],0[0x 上以)(0x f 为高的矩形面积等于]1,[0x 上以 )(x f y =为曲边的曲边梯形面积； （2） 又设 )(x f 在)1,0(内可导，且,) (2)(x x f x f - >'证明（1） 中0x 惟一。 （1） 证 设 ?=1 , )()(x dt t f x x F 则 , 0)1()0(==F F 且 ),()()(1 x xf dt t f x F x -='?对)(x F 在]1,0[上用罗尔定理),1,0(0∈?x 使 ,0)(0='x F 即?=1 000 )()(x x f x dt t f 证毕。 （2） 证 令?-=1 ),()() (x x xf dt t f x ?当)1,0(∈x 时， 0)()()()(<'---='x f x x f x f x ?（由（2）的已知条件） 因此在)1,0(内，)(x ?单调减少，∴0x 是惟一的。 例3 1D 是由抛物线22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域；2D 是由抛物线